北师大版八年级数学上册：第1课时 分层练习

北师大版数学八年级上册7.1第1课时分层练习

一、基础夯实

1.下列说法正确的是（）

A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否

B.推理是科学家的事，与我们没有多大关系

C.对于自然数n,M+n+37一定是质数

D.有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个

2.布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳

选手的李生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是

（）

A.布鲁斯先生B.布鲁斯先生的妹妹

C.布鲁斯先生的儿子D.布鲁斯先生的女儿

3.图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网

线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同

时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）

4.世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得。分，平

局时两队各得I分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还

要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）

A.6分B.7分C.8分D.9分

5.能说明“M+3n+l一定是质数”不正确的反例是（）

A.n=4B.n=5C.n=6D.n=7

6.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；

（3）准备面条及佐料2分钟；14）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟.以

上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（）

A.14分钟B.13分钟C.12分钟D.11分钟

7.小明发现：当n=l,2,3H7,n2-6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，j一

6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.

二、能力提升

8.当n=l时，代数式fn2—5n+5）2=］；当n=2时，-5n+5）?=；'与n=3

22=

H寸，（M—5n+5）2=：当n=4时，fn—5n4-59.因此，小明推断，不

论n取任何正整数，*-5n+5）?的值都是,这个推断是的.（填“正确”或

“错误”）

9.好久未见的A,B,C,D,E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同

学握手次数：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一

下，E同学握手次.

10.观察下列各式:

22-02=4x1

42-22=4x3

62—42=4x5

82—62=4x7

（1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个等式：；

（2）如果一个正整数能表示成连续的两个偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数

在一5,28,2016,2018这四个数中，是“神秘数”的有.

11.由塞的乘方的性质，得（ab）2=a2b2,类比这个等式，能得到（a+b）2=a?+b2也成立吗？

三、拓展培优

12.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12=42—

22,20=62—42,28=82-62,…，因此12,20,28都是奇巧数.

（1）36,50是奇巧数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2n,2n+2（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是4的

倍数吗？为什么？

答案解析部分

1.【答案】D

【知识点】质数与合数；定义、命题、定理、推论的概念

【解析】【解答】解：A.经验、观察或实验完全不能够完全判断一个数学结论的正确与否，还要有严

格的逻辑证明，故此项错误；

B.生活中也有推理的存在，故此项错误；

C.当n=37时，n2+n+37=372+37-37=1443,它不是质数，故此项错误；

D.有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个，此项正确，

故选：D.

【分析】根据推理、证明的作用即可作出判断.

2.【答案】D

【知识点】推理与论证

【解析】【解答】解：由①和②可知，最佳选手的学生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是

其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布

鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的李生同胞，所以

布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹.由①知，最佳选手的挛生同胞

一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿.

故选：D.

【分析】根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是

布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决.

3.【答案】C

【知识点】推理与论证

【解析】【解答】解：由于信息可以分开沿不同路线同时传递，

・•・从结点A向结点B传递信息可经过结点D和结点B；

又•・•从结点A到结点D的最大信息量为5,从结点到结点B的最大信息量为3,

・•・从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信

息量为5+3=8.

故选：C.

【分析】先找出从结点A向结点B传递信息可沿A-C-B和A-D-B路线同时传递，再找出每条路线

通过的最大信息量，然后相加即可得到答案.

4.【答案】B

【知识点】推理与论证

【蟀析】【解答】解：4个队单循环比赛共比赛4x3：2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即

打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，

①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7

分，所以这个队必定出线，

②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线.

应选B.

【分析】易得小组赛的总场数为小组数x（小组数・1）-2,可得4个队的总积分，进而分类讨论小

组得6分或7分能否出线即可.

5.【答案】C

【知识点】举反例判断命题真假；猜想与证明

【解析】【解答】解：A.n=4,n2+3n+l=16+12+l=29,故本选项错误；

B.n=5»n2+3n+1=25+15+1=41,故本选项错误;

C.n=6,n2+3n+l=36+18+l=55,故本选项正确;

D.n=7,n2+3n+1=49+21+1=71,故本选项错误；

故答案为：D.

【分析】将各选项中的n值代入表达式M+3n+l,计算结果并判断是否为质数，若结果不是质数则为

反例.

6.【答案】C

【知识点】生活中的简单运算推理

【解析】【解答】解：第一步，洗锅盛水花2分钟；

第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料•2分钟，总计7分钟；

第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟；

总计共用：2+7+3=12（分钟），

故选：C.

【分析】本题考查时间统筹的优化思想，解题的核心是找出可同时进行的工序以缩短总时间。首

先，洗锅盛水是前置工序，必纪单独进行，耗时2分钟；接着用锅烧开水的7分钟内，无需持续操

作，可同步进行洗菜（3分钟）和准备面条及佐料（2分钟）.这两道工序总耗时5分钟，小于烧开

水的时间，不会影响后续步骤；最后用烧开的水煮面条和菜需3分钟，且必须在水烧开后进行。将

这三个关键步骤的时间相加，即为煮好面条的最少时间。

7.【答案】解：小明的猜想不正确.

理由如下：

举反例，如当n=7时,n2—6n=7>0

【知识点】猜想与证明

【解析】【分析】因为n2・6n=n(n-6),所以只要叱6时，该式子的值都表示非负数.

8.【答案】1；1：1；1；错误

【知识点】有理数混合运算的实际应用

【解析】【解答】解：将n=l代入(n2-5n+5)2中,得(12_5xi+5)M,

故n=l时，(M・5n+5)2=1成立;

将n=2RA(n2-5n+5)2中，^(n2-5n+5)2=l,

故n=2时，(n2-5n+5)2=l成立；

22

将n=3彳弋入(X-5n+5)2中,W(n-5n+5)=l,

故n=3时，(n2-5n+5)2=l成立

将n=4代入(*511+5)2中，得(幽1)+5)2=1,

故当n=4时，(n2-5n+5)2=l成立；

由于当n=5时，(n2-5n+5)2=25*,

故不能得到结论：对于所有的正整数n,代数式(M-5n+5)2的值恒等于1.

故答案为：1,1,1,1,错误.

【分析】结合题意，看能否找出反例，若能找出反例，则说明结论不成立：若不能找出反例，再结

合所学知识对结论作出严密的证明后，才能说明结论成立，本题，结合题意可知当n=5时，(M-

5叶5)2,1,据此即可解答此题.

9.【答案】2

【知识点】逻辑推理

【解析】【解答】解：•・,共有5个人，A同学握手4次，

・・・A与B,C,D,E每人握手一次.

•••D同学握手1次，

・・・B,C一定不与D握手.

握手3次，D握手1次，

.・・B握手3次一定是与A,C,E握手.

・・・C握于2次,

，C是与A和B握手，

.•・E一共握手2次，是与A和B握手.

故答案为：2.

【分析】根据握手次数进行推导是解题的关键，共有5个人.A同学握手4次，则A与B、C、D、

E每人握手一次，则B、C握手一定不是与D握手，依此类推即可确定.

10.【答案】(1)(2n)2-(2n-2)2=4(2n-l)

(2)28

【解析】【解答】解：⑴根据题意得:第n(n为正整数)个等式为(2n)2-(2n-2)2=4(2n・l)；

故答案为：(2n)2-(2n-2)2=4(2n-l).

(2)根据“神秘数”