《线性代数及其应用》课件全套 马倩 第1-4章 矩阵与线性方程组 -相似矩阵与二次型

1.1矩阵的概念与运算第1章矩阵与线性方程组√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地

ABCDBAC√√1.矩阵概念的引入引例1某航空公司在A、B、C、D四城市之间开辟了若干航线，如图所示表示了四城市间的航班图，如果从A到B有航班，则用带箭头的线连接A与B.

解：四城市间的航班图情况常用表格来表示:为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表:1.矩阵概念的引入(续)这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCD

ABCD√√√√√√√1.矩阵概念的引入(续)

引例2

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．

这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：

其中bi1

表示第i种货物的单价，bi2

表示第i种货物的单件重量．

1.矩阵概念的引入(续)引例3由m个方程n个未知量x1,x2,…,xn构成的线性（即：一次）方程组可以表示为其中，第i个方程的第j个未知数的系数第i个方程的常数项.对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究！2.矩阵的定义定义1.1由

个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵.简称矩阵，记作.2.矩阵的定义(续)这个数称为矩阵A的元素，简称为元.以上矩阵可以记为:.元素全为实数的矩阵称为实矩阵，有元素为复数的矩阵称为复矩阵．.

(1)行矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵(行向量).

(2)列矩阵：只有一列的矩阵称为列矩阵(列向量)...3.几种特殊的矩阵主对角线副对角线例如：矩阵称为n阶矩阵或者n阶方阵，记作或者.

(3)方阵：行数与列数相等的矩阵称为方阵.3.几种特殊的矩阵(续)

(4)三角形矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角形矩阵.主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角形矩阵.3.几种特殊的矩阵(续)不全为0又记作

(5)对角矩阵：主对角线以外的元素全为零的方阵.3.几种特殊的矩阵(续)3.几种特殊的矩阵(续)称为n阶单位矩阵（或n阶单位阵）．全为1

(6)单位矩阵：主对角线上元素全为1、其它元素全为零的方阵.注：每一个n对应一个单位矩阵．不同阶的单位阵是不同的.

(7)零矩阵：所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作

或．3.几种特殊的矩阵(续)例如：4.同型矩阵与矩阵相等的概念

(1)两个矩阵的行数对应相等、列数对应相等时，称它们为同型矩阵.为同型矩阵.

(2)若两个矩阵为同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵相等，记作注:每一个型号都有一个零矩阵．不同型号的零矩阵是不同的.4.同型矩阵与矩阵相等的概念(续)定义1.3

设有两个m×n

矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.5.

矩阵的加法减法:负矩阵：矩阵加法的运算律:称为矩阵A的负矩阵.(1)交换律：(2)结合律：(3)(4)5.

矩阵的加法(续)

例如：5.

矩阵的加法(续)例如：

数乘矩阵定义1.4

数与矩阵的乘积记为或，规定为:6.矩阵的数乘6.

矩阵的数乘(续)数乘矩阵的运算律矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算：（设为m×n矩阵，为数）：（1）（2）（3）并把此乘积记作.

定义1.5

设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中

例如：7.矩阵与矩阵相乘7.矩阵与矩阵相乘(续)

一个1×s的行矩阵与一个s×1的列矩阵的乘积等于一个1阶方阵，即为一个数.

一个s×1的列矩阵与一个1×s的行矩阵的乘积是一个s阶方阵.7.矩阵与矩阵相乘(续)例如：不存在.存在，为2×3矩阵.注：只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，两个矩阵才能相乘.7.矩阵与矩阵相乘(续)显然有例如:则有注：7.矩阵与矩阵相乘(续)矩阵乘法不满足交换律：并且有，但．同时说明：8.例1例1

设，求AB和BA.

AB不一定等于BA.矩阵乘法不一定满足交换律...9.

线性方程组的矩阵表示系数矩阵

未知数向量常数项向量

m个方程n个未知数的线性方程组中，有以下几个矩阵增广矩阵线性方程组可以用矩阵乘法表示为：利用矩阵乘法，有

9.线性方程组的矩阵表示(续)10.矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律(3)乘法对加法的分配律

(5)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即注：矩阵乘法不一定满足交换律，但是数量阵

lE

与任何同阶方阵都是可

交换的.数量阵不同于对角阵(4)对于2个n阶方阵A与B,

若AB=BA,则称方阵A与B是可交换的.11.方阵的幂

定义1.6

若A是n阶方阵，则称为A的k

次幂，定义为由以上定义可知，当为正整数时，注：思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立12.矩阵的转置

定义1.7

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做

的转置矩阵，记作.例如:13.

转置矩阵的运算性质矩阵转置满足的运算律：

(1)

(2)

(3)

(4)14.

例2例2

已知解法114.

例2(续)例2

已知解法215.

对称阵与反对称阵定义1.8设A为n阶方阵，如果满足，即那么A称为对称矩阵.

例如：注：对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.

如果，则称A是反对称矩阵.对称阵

反对称阵

aii=016.

对称矩阵的性质(1)若A,B都是n阶对称矩阵，则A±B

及kA也是对称矩阵(k为实数)，但

AB不一定是对称矩阵;(2)若A，B都是n阶对称矩阵，则AB仍为对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换.例如是对称矩阵，但不是对称矩阵;

证明：因为例3：设列矩阵满足，E为n阶单位阵，.

证明H是对称矩阵，且.所以，H是对称矩阵.17.

例318.本节小结

(1)矩阵的概念：m行n列的一个数表

(2)特殊矩阵方阵单位矩阵对角矩阵零矩阵三角形矩阵(3)矩阵的相等加法（减法）数乘矩阵矩阵相乘转置矩阵方阵的幂

(6)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律.

(5)只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法和减法运算.(7)对称阵与反对称阵.18.本节小结(续)(4)矩阵运算1.2

分块矩阵第1章矩阵与线性方程组1.矩阵的分块(续)问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想..例如：其中：1.矩阵的分块(续)即1.矩阵的分块(续)其中，1.矩阵的分块(续)其中，1.矩阵的分块(续)2.按行分块以及按列分块一个m×n矩阵，若按列分块，则可以得到n个列矩阵（列向量）：其中，2.按行分块以及按列分块(续)一个m×n矩阵，若按行分块，则可以得到m个行矩阵（行向量）：其中，3.分块矩阵的加法3.分块矩阵的加法(续)设矩阵A与B的同型，且采用相同的分块法，则有其中与都是同型矩阵，那么形式上看成是普通矩阵的加法！4.分块矩阵的数乘设为一个数，A分块如下：形式上看成是普通的数乘运算！则有5.分块矩阵的乘法设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成为其中，的列数分别等于的行数，那么其中，←s×r个子块6.例1例1设，，求与.

解：将A，B分块，得到6.例1(续)所以6.例1(续)另一方面，6.例1(续)因此，7.分块矩阵的转置例如：分块矩阵转置时不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置.设A分块如下：则8.分块对角矩阵设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只在对角线上有非零的子块，其余子块都为零矩阵，且对角线上的子块都是方阵，即则称A为分块对角矩阵.分块对角矩阵的加法、减法、数乘、矩阵相乘满足一般矩阵的运算要求.例如：9.分块对角矩阵的性质（1）若A的k次幂为：设方阵A的分块对角矩阵为则有9.分块对角矩阵的性质(续)（2）若A与B是同阶方阵，它们的分块对角阵的对应子块阶数相同，则设方阵A的分块对角矩阵为则有（1）在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本，最重要的计算技巧与方法.①加(减)法：同型矩阵、相同的分块法.（2）分块矩阵之间的运算：②数乘：每个子块都要乘这个数.③矩阵相乘：左矩阵的列划分与右矩阵的行划分必须一致.④转置：10.本节小结11.思考题设，求AB．解：将A、B分块为11.思考题(续)则又：11.思考题(续)于是谢谢各位同学！1.3

矩阵的初等变换与线性方程组第1章矩阵与线性方程组1.引例引例：求解线性方程组①②③①②③①②②-2①,③-①①②③②③③-4②恒等变换易得，方程组的解为1.引例(续）1.引例(续）三种变换：交换方程的次序，记作；以非零常数

k

乘某个方程，记作

；一个方程加上另一个方程的k

倍，记作

.其逆变换是：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．iji

×k

i＋kjiji

×ki+k

jiji÷k

i－k

j2.矩阵的初等变换定义1.10下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

(1)交换矩阵的两行(对调i,j两行，记作)；

(2)矩阵某一行乘以非零数k(第i

行乘k，记作)；

(3)将矩阵的某一行所有元素的k

倍加到另一行对应的元素上去(第j

行的k倍加到第i

行上，记作)；2.矩阵的初等变换(续)矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同.同理可定义矩阵的初等列变换（所用记号是把“r”换成“c”）．逆变换:逆变换:逆变换:例如：增广矩阵结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.2.矩阵的初等变换(续)3.例1例1：求解线性方程组①②③④3.例1(续)①②③÷2①②③④①②③④3.例1(续)②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④3.例1(续)②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④3.例1(续)④－2×③③④①②③④①②③④3.例1(续)①②③④①－②②－③注：不带运算符的矩阵运算，用“→”或“～”.例如：初等行变换初等列变换其对应方程组为令x3

=c

，则(c

为任意实数)

3.例1(续)4.行阶梯形矩阵非零矩阵若满足以下要求，则称此矩阵为行阶梯形矩阵：

(1)非零行在零行的上面；

(2)非零行的非零首元(从左至右第一个不为零的元素)的列标随着行标的增大而严格增大.例如：4.行阶梯形矩阵(续)特点：

(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；

(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．行阶梯形矩阵的性质：（1）任何非零矩阵，总可以经过有限次初等行变换将其化为行阶梯形矩阵.（2）一个矩阵的行阶梯形是不唯一的，但它的行阶梯形的非零行的行数是唯一确定的.4.行阶梯形矩阵(续)5.行最简形矩阵对行阶梯形矩阵进行初等行变换可得：若A是行阶梯形矩阵，且满足以下要求，则称A为行最简形矩阵：

(1)各非零行的非零首元为1；

(2)每个首非零元所在列的其余元素都为0.5.行最简形矩阵(续)特点：

(1)它是行阶梯形矩阵：

(2)非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都为零.行最简形矩阵的性质：

(1)对于任何非零矩阵，总可以经过有限次初等行变换将其化为行最简形矩阵.

(2)一个矩阵的行最简形是唯一确定的.6.矩阵的标准形对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以得到一种形状更简单的矩阵，称为标准形.例如：6.矩阵的标准形(续)矩阵标准形的特点：左上角是一个单位矩阵，其他元素均为零.注：

(1)对于m×n矩阵A，总可以经过初等变换将其化为标准形其中，m,n,r三个数完全确定.

(2)所有与矩阵A等价的矩阵组成一个集合，A的标准形F是这个集合中最简单的矩阵.7.矩阵的等价定义1.11若矩阵A经有限次初等行变换化成矩阵B，则称矩阵A与B行等价，记为

A~B

．r若矩阵A经有限次初等列变换化成矩阵B，则称矩阵A与B列等价，记为

A~B

．c若矩阵A经有限次初等变换化成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记为

A~B

．7.矩阵的等价(续)矩阵之间的等价具有下列性质：

(1)反身性：A~A；

(2)对称性：若A~B，则B

~A；

(3)传递性：若A~B，B

~C，则A

~C．8.初等矩阵的定义三种初等变换对应着三种初等矩阵：定义1.12由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.8.初等矩阵的定义(续)

(1)将单位矩阵E的第i，j两行对换(或者第i，j两列对换)，得到初等矩阵：例如，对调5阶单位阵的第3,5行(列)，记作E5(3,5

)．8.初等矩阵的定义(续)8.初等矩阵的定义(续)用m阶的初等矩阵左乘，得到这相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i行与第j行对换.8.初等矩阵的定义(续)类似的，n阶的初等矩阵右乘，得到这相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A的第i列与第j列对换.8.初等矩阵的定义(续)

(2)以数k≠0乘单位矩阵E的第i行(或第i列)，得到初等矩阵：例如，以常数k≠0

乘5阶单位阵第3行(列)，记作E5(3(k))．8.初等矩阵的定义(续)8.初等矩阵的定义(续)用m阶的初等矩阵左乘，得到这相当于以数k乘矩阵A的第i行.8.初等矩阵的定义(续)类似的，n阶的初等矩阵右乘，得到这相当于以数k乘矩阵A的第i列.8.初等矩阵的定义(续)

(3)以k乘单位矩阵E的第j行加到第i行上（或者以k乘单位矩阵的第i列加到第j列上），得到初等矩阵：例如，以k

乘单位阵第5行加到第3行,记作E5(3,5(k))．

以

k

乘单位阵第3列加到第5列．?

两种理解！8.初等矩阵的定义(续)8.初等矩阵的定义(续)以左乘，得到这相当于将A的第j行乘以数k乘加到第i行上.类似地，以右乘，得到这相当于将A的第i列乘以数k乘加到第j列上.8.初等矩阵的定义(续)9.初等矩阵的作用定理1.2设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.以初等行变换为例:口诀：左行右列10.求解线性方程组含有n个未知数m个方程的线性方程组系数矩阵未知数向量常数项向量增广矩阵方程组可表示为10.求解线性方程组(续)线性方程组常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.对于一般的n元线性方程组，需要解决以下三个问题：1.如何判断方程组是否有解？2.若方程组有解，它有多少个解？3.若方程组有解且不唯一，如何求出方程组的全部解？①+②①/2③/3③

-4②

③-①

②-2①10.求解线性方程组(续)①②②③②+③①-3③结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.11.例2例2：求解非齐次线性方程组解：

11.例2(续)

即得与原方程组同解的方程组令x3

做自由未知量，则令

x3=

c，方程组的全部解可表示为,c为任意实数.通解约束未知量12.求线性方程组解的具体步骤解n

元非齐次线性方程组Ax=b

的具体步骤如下：(1)写出线性方程组的增广矩阵(A,b)；(2)对(A,b)实施初等行变换，将其化为行最简形矩阵；(3)写出以该行最简形矩阵为增广矩阵的线性方程组；(4)将以非零行非零首元为系数的未知量作为约束未知量，留在等号

左边，其余未知量作为自由未知量，移到等号右边，并令自由未

知量为任意常数，从而求得线性方程组的解

．13.例3例3：求解非齐次线性方程组解：.0=2，矛盾

，故原线性方程组无解．

关于线性方程组的解的情况有以下结论：(1)线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是第一个非零元不出现在其增广矩阵的行最简形的最后一列；(2)线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件是第一个非零元不出现在其增广矩阵的行最简形的最后一列，且非零行行数等于未知量的个数；

(3)线性方程组Ax=b有无穷多个解的充分必要条件是第一个非零元不出现在其增广矩阵的行最简形的最后一列，且非零行行数小于未知量的个数.14.线性方程组的解的情况

n个方程n个未知数的齐次线性方程组Ax=0的一般形式：其增广矩阵最后一列元素全为零，所以齐次线性方程组一定有解.显然，一定是齐次线性方程组Ax=0的解，它称为齐次线性方程组的零解．若有一组不全为零的数是齐次线性方程组Ax=0的解，则称其为齐次线性方程组的非零解．15.齐次线性方程组的相关结论在求解齐次线性方程组的时候，只需对其系数矩阵实施初等行变换即可.任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换

有限次初等列变换

有限次初等变换有限次初等行变换

(1)矩阵的初等（行、列）变换及其逆变换的概念.

(2)矩阵等价.

(3)矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形.16.本节小结

(5)初等矩阵(共有三类).

(6)利用初等变换求解线性方程组.单位矩阵初等矩阵一次初等变换16.本节小结(续)谢谢各位同学！1.4

逆矩阵第1章矩阵与线性方程组1.概念的引入在数的运算中，当时，有其中为a的倒数，或称为a的逆．在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A，是否存在一个矩阵(记作)，使得2.逆矩阵的定义显然，n阶单位阵E是可逆的，n阶零矩阵O是不可逆的.定义1.13设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得

则称矩阵A是可逆的，方阵B称为A的逆矩阵．因此，根据定义，A是可逆的，B是A的逆矩阵．例如：2.逆矩阵的定义(续)又如：，对任何矩阵，都有定义1.13设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得

则称矩阵A是可逆的，方阵B称为A的逆矩阵．因此，根据定义，

是不可逆的．2.逆矩阵的定义(续)注：

(1)“可逆”的概念只对方阵而言，只有方阵才有可逆或不可逆的说法.定义1.13设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得

则称矩阵A是可逆的，方阵B称为A的逆矩阵．

(2)有的方阵是可逆的，有的方阵是不可逆的.

(3)若方阵A有逆矩阵B，则B也是可逆的，B的逆矩阵就是A.3.逆矩阵的性质于是，所以，A的逆矩阵是唯一的，即B=C．

证明：设B和C都是A的逆矩阵，则有注：

由于A的逆矩阵是唯一的，所以像数a存在唯一倒数，A的逆矩阵也用表示，即有

(1)逆矩阵的唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.3.逆矩阵的性质(续)

证明：由条件可得

(2)若A是可逆矩阵，数，则均可逆，且有3.逆矩阵的性质(续)

证明：由条件可得

(3)若A,B是同阶可逆矩阵，则AB可逆，且有.因此，AB可逆，且有3.逆矩阵的性质(续)

(3)若A,B是同阶可逆矩阵，则AB可逆，且有.注：当A,B可逆时，A+B不一定可逆，且一般情况下，.例如：

显然A，B都可逆，但不可逆.

显然A，C可逆，可逆，但是3.逆矩阵的性质(续)进一步，若A可逆，k为正整数，则可逆，且有

(4)若是同阶可逆矩阵，则可逆，且有4.方阵幂的扩充当A可逆时，定义其中，k为正整数．于是，可逆矩阵的幂运算可以扩充到全体整数，即当A可逆，为整数时，有5.例1例1判断矩阵是否可逆.若可逆，求出其逆矩阵.

解：若A可逆，则存在，使得，即于是得到5.例1(续)易得唯一解：因此，A可逆，且有注：利用定义判断一个矩阵是否可逆或者求其逆矩阵，计算过程比较复杂！应寻找更方便的判断矩阵可逆和求逆矩阵的方法.6.初等矩阵的逆矩阵我们先观察5阶初等矩阵的情形.更一般地，有6.初等矩阵的逆矩阵(续)更一般地，有6.初等矩阵的逆矩阵(续)更一般地，有6.初等矩阵的逆矩阵(续)也就是说：初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵都是同一类型的初等矩阵.将上述讨论总结如下：7.矩阵可逆的等价条件定理1.3设A的是n阶矩阵，则下列命题等价：(1)A是可逆矩阵；(2)A行等价于n阶单位矩阵；(3)A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.证明：采取循环证明的方式进行.

(1)(2)：

设A是n阶可逆矩阵.由定理1.1可知，A可经有限次初等行变换化为行最简形矩阵R：再由定理1.2可知，存在有限个初等矩阵，使得7.矩阵可逆的等价条件(续)

因此，n阶行最简形矩阵R没有全为零的行，而没有全为零的行的行最简形矩阵即是单位矩阵，故R=E，即这说明：即A行等价于n阶单位矩阵E.由可逆矩阵的性质和初等矩阵的可逆性可知，R是可逆的.

(2)(3)：

设A行等价于n阶单位矩阵.存在有限个初等矩阵，使得7.矩阵可逆的等价条件(续)由于初等矩阵都是可逆的且其逆矩阵仍为初等矩阵，不妨设的逆矩阵分别为，于是有即这说明A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.

(3)(1)：

设A可以表示为有限个初等矩阵的乘积，其中，均为初等矩阵，它们均可逆.由逆矩阵的性质可知，A可逆.8.两个矩阵等价的充分必要条件由定理1.3可以推出得到以下关于两个矩阵等价的充分必要条件：推论一

设A与B均为m×n矩阵，那么(1)的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使得PA=B；(2)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使得AQ=B；

(3)的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B.

9.方阵可逆的充分必要条件推论二

方阵A可逆的充分必要条件是：存在有限个初等矩阵使得.由定理1.3容易得到以下关于方阵可逆的充分必要条件：推论三

方阵A可逆的充分必要条件是：.进一步有：10.判断方阵可逆并求逆矩阵的初等行变换方法当n阶矩阵A可逆时，存在有限个初等矩阵，使得，于是因此，上式说明：若对n×2n矩阵(A,E)施行初等行变换，当A可化为E时，则A可逆.此时，原来的E就变成了.10.判断方阵可逆并求逆矩阵的初等行变换方法(续)判断n阶矩阵A可逆并求的方法：

(1)构造矩阵；

(2)对矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形；

(3)若不能行等价于E，则矩阵A不可逆.若A行等价于E，则矩阵A可逆，且原来的E就变成了.11.例2例2判断矩阵是否可逆.若可逆，求出其逆矩阵.

解：因为11.例2(续)所以，12.例3例3判断矩阵是否可逆.若可逆，求出其逆矩阵.

解：因为所以，矩阵A不可逆.13.矩阵方程含有未知矩阵的等式称为矩阵方程.可利用逆矩阵求解的矩阵方程有三种基本形式：14.求解矩阵方程AX=B的初等行变换方法设有矩阵方程，其中可逆，则有如何求呢？由于这说明:初等行变换而可以表示为有限个初等矩阵的乘积：，于是有15.例4

解：若A可逆，则.于是，

例4求解矩阵方程AX=B，其中15.例4(续)因此，16.求解矩阵方程XA=B的初等行变换方法设有矩阵方程，其中可逆，该方程等价于方程这个方程的解为再按前述方法，用初等行变换计算出，从而得到X.17.例5

解：设

例5求解矩阵方程则原方程为XA=B，转置后化为.而

17.例5(续)17.例5(续)因此，从而18.求解矩阵方程AXB=C的初等行变换方法设有矩阵方程，其中可逆，如何求解这个方程？令，用初等行变换求解.求得Y后，再来求解方程.即用初等行变换求解.求得后，再转置得到X.19.例6

解：设XB=Y,则得到AY=C.先求Y：例6设AXB=C，，求矩阵X.19.例6(续)得到，19.例6(续)再求解方程，即求解：19.例6(续)得到从而20.例7

解：若P可逆，则，于是例7设，求.而只需求出，就可以计算.20.例7(续)

因为所以因此，21.本节小结

(1)逆矩阵的概念及性质.

(2)初等矩阵的逆矩阵.

(3)矩阵可逆得等价条件两个矩阵等价的充分必要条件.

(4)方阵可逆的充分必要条件.

(5)求逆矩阵的方法：①定义法；②初等行变换法.

(6)基本的矩阵方程求解的初等行变换法.22.思考题思考题若A可逆，矩阵方程AX=B是否有唯一解？矩阵方程YA=B是否有唯一解？答：都有唯一解.这是由的唯一性决定的.谢谢各位同学！2.1行列式的定义第2章行列式1.二阶行列式的引入类似地，也可以得到：

我们首先回顾用Gauss消元法求解二元线性方程组的解法：两式相减，得到：1.二阶行列式的引入(续)当时，解的表达式的分母由方程组的四个未知数的系数确定.二元线性方程组记号数表

的解为我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即2.二阶行列式的定义定义2.1由四个数排成二行二列(横排称为行、竖排称为列)的数表表示代数式，称这个数表为一个二阶行列式，并记作其中，称为行列式的元素，

i为行标，表明元素位于第i行；

j为列标，表明元素位于第j

列.3.二阶行列式的计算对角线法则：例如：主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积.

二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为4.二阶行列式的一个应用5.例1例1

求解二元一次线性方程组

解：因为所以6.三阶行列式的定义设有9个数排成三行三列的数表称为由以上3行3列数表所确定的一个三阶行列式.6.三阶行列式的定义(续)(1)沙路法

(2)对角线法则红线上三元素的乘积冠以正号蓝线上三元素的乘积冠以负号6.三阶行列式的定义(续)注：(1)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．(2)三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.6.三阶行列式的定义(续)7.例2

例2

计算三阶行列式

解：

例3求解方程

解：方程左端为由此解得

8.例39.三阶行列式的一个应用再设假设三元一次线性方程组的系数行列式9.三阶行列式的一个应用(续)的解为则用消元方法可得三元线性方程组10.引例共有种放法，可以组成6个没有重复数字的三位数．

引例：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法

解：11.全排列定义2.2把n个不同的元素排成一排，称为一个n元排列(或简称排列).同理：问题：

n个不同的元素排成一排，共有几种不同的排法？

n个不同的元素的所有排列的总数，通常用表示.由引例可知：所有6种不同的排法中，只有一种排法(123)中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.

3个不同的元素一共有3!=6种不同的排法123，132，213，231，312，32111.全排列规定：

各元素之间有一个标准顺序，n个不同的自然数，规定由小到大为标准顺序．12.逆序数按照这个规定，排列123······n称为一个标准排列(或自然排列)．例如：排列32514中，32514逆序逆序逆序定义2.3当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.3251412.逆序数(续)定义2.3(续)一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.通常用故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.

例如：排列32514中，31

定义2.3(续)逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列.0

来表示排列的逆序数.0113.计算排列逆序数的方法方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.14.例4

例4

求排列32514的逆序数.

解：在排列32514中：3排在首位，逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3，故逆序数为1;5的前面没有比5大的数，其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个，故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个，故逆序数为1.32514于是排列32514的逆序数为

这个排列是奇排列.0103115.例5

例5

计算下列排列的的逆序数，并讨论它们的奇偶性：(1)217986354

解：此排列是偶排列.15.例5(续)

解：当时，此排列是偶排列.当时，此排列是奇排列.(2)15.例5(续)

解：当为偶数时，此排列是偶排列.当为奇数时，此排列是奇排列.(3)n

阶行列式问题1:由哪些项组成？问题2:总项数为多少？问题3:每项符号如何确定？16.n阶行列式的引入16.n阶行列式的引入(续)考察三阶行列式总结：(1)三阶行列式共有

项，即6项．(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．(3)每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.(4)当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.

例如：的列标排列的逆序数：偶排列，符号：+的列标排列的逆序数：奇排列，符号：-所以有16.n阶行列式的引入(续)17.n阶行列式的定义

定义2.4由个数排成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和记作也简记为，数称为行列式的元素.其中，为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数.

也就是说，17.n阶行列式的定义(续)注：

(1)n阶行列式是

项的代数和.

(2)n阶行列式的每一项都是位于不同行,不同列的n个元素的乘积.

(3)前面的符号为.

(4)行列式是一种特定的算式，它首先是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次线性方程组的需要而定义的，但其用途大大拓广了.17.n阶行列式的定义(续)18.例6例6写出四阶行列式中含有因子

的项.解：和

答：符号

可以有两种理解：若理解成绝对值，则

；若理解成一阶行列式，则

.思考：

成立吗？注：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式

.19.知识点对比行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式20.方阵的行列式若则称矩阵A为非奇异矩阵,否则称为奇异矩阵.定义2.5由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.例如：21.例7

例7

计算上三角矩阵A=的行列式.

解：展开式中项的一般形式是因此，只需考虑所以，可能不为零的项只有.21.例7(续)于是有例如：上三角行列式同理可得下三角行列式特别地，对角行列式21.例7(续)22.例8例8

计算副对角行列式.

解：展开式中项的一般形式是若，则，从而这个项为零，所以只用考虑的项.同理可知，只用考虑的项.也就是说，行列式展开式中可能不为零只有.22.例8(续)于是有23.例9例9

证明

.

证明：若记，则有于是有例如：23.例9(续)24.四个结论(1)对角行列式(2)副对角行列式

(3)上三角行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角行列式（主对角线上侧元素都为0）24.四个结论(续)

(1)二阶和三阶行列式是由解二元和三元一次线性方程组引入的.

(2)二阶与三阶行列式的计算——对角线法则.(4)计算排列逆序数.(5)排列具有奇偶性.(3)n个不同的元素的所有排列总数为.(6)行列式是一种特定的代数式.(7)n阶行列式共有项的代数和，每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积，其正负号由下标排列的逆序数决定.(8)四种特殊的行列式.25.本节小结26.思考题1已知，求中的系数.解：中含的项有两项：故中的系数为.试判断和是否都是六阶行列式中的项.解：下标的逆序数为所以，是六阶行列式中的项.而下标的逆序数如下计算所以，不是六阶行列式中的项.27.思考题2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解:(1)列表排列431265的逆序数为所以，前边应带正号.

(2)28.思考题3列表排列452316的逆序数为所以，前边应带正号.28.思考题3(续)计算

.解：因为所以，.29.思考题42.2行列式的性质与计算第2章行列式1.转置行列式及其性质为行列式D的转置行列式.记n阶行列式则称若记,则.

性质2.1行列式与它的转置行列式相等.注：以上性质说明：行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的，对列也同样成立！2.行列式中两行(列)互换的性质

性质2.2互换行列式的两行(列)，行列式变号.例如:第i行与第j行互换，记作.

第i列与第j列互换，记作.

注：2.行列式中两行(列)互换的性质(续)于是.

推论2.1若行列式有两行(列)元素完全相同，则此行列式为零.

证明：互换相同的两行，有3.行列式的数乘性质性质2.3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数，等于用这个数乘此行列式.即某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

证明：3.行列式的数乘性质(续)注：第i行乘k，记作.

第i列乘k，记作.

第i行提出公因子k，记作.

第i列提出公因子k，记作.

注：

数乘矩阵与数乘行列式是有区别的：4.行列式中两行(列)元素的比例性质推论2.3行列式中若有两行(列)元素成比例，则此行列式为零.

证明：5.行列式的拆分性质性质2.4若行列式的某一行(列)元素都是两数之和，则它等于两个行列式之和.

5.行列式的拆分性质(续)证明：6.两个行列式/矩阵相加的区别知识点比较

7.行列式中行(列)相加的性质性质2.5把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．7.行列式中行(列)相加的性质(续)

证明：7.行列式中行(列)相加的性质(续)注：第i行乘k加到第j行上，记作.

第i列乘k加到第j列上，记作.

8.利用行列式性质计算行列式的的思路利用行列式的性质，特别是以下运算将行列式化为上(下)三角形行列式，从而算出行列式的值．9.例1例1

计算

解：9.例1(续)9.例1(续)9.例1(续)10.例2例2

计算n阶行列式

解：将第2、3、…、n列都加到第1列得10.例2(续)例3(练习)计算4阶行列式(1)(2)

(3)11.例312.例4例4

设，且设证明：.12.例4(续)

证明：对作运算，将其化为下三角形行列式，设为对作运算，将其化为下三角形行列式，设为12.例4(续)对的前k行作运算，再对后n列作运算，将化为下三角行列式故13.例5

例5计算行列式13.例5(续)

解：将第2n行依次与第2n-1行、第2n-2行、···、第2行作对换，可得再将第2n列依次与第2n-1列、第2n-2列、···、第2列作对换，可得13.例5(续)于是，由例4的结论有13.例5(续)以此作递推，可得14.关于行列式的运算顺序

例如：特别值得注意的是：上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算的结果上.15.方阵行列式的运算性质(1)(2)(3)(4)注：虽然但16.例6例6

设A是三阶方阵，且，求和.

解：17.行列式展开的引入考虑三阶行列式：一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算！问题：一个n

阶行列式是否可以转化为若干个n-1阶行列式来计算？18.余子式与代数余子式定义2.6在一个n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作.

称为元素的代数余子式．例如：18.余子式与代数余子式(续)注：

行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式．19.引理引理一个n阶行列式D，如果其中第i行所有元素除外都为零，那末这个行列式等于与它的代数余子式的乘积，即例如：19.引理(续)

证明：当位于第一行第一列时,由上一节的例题，有又因为，从而19.引理(续)将D的第i行依此与第i-1行、第i-2行、···、第1行作对换，可得再证一般情形，此时19.引理(续)再将以上行列式第j列依次与第j-1列、第j-2列、···、第1列作对换，可得19.引理(续)19.引理(续)因此有，我们以4阶行列式为例.思考：能否以代替两次行变换？

被调换到第1行，第1列.19.引理(续)20.行列式按任一行(列)展开定理2.1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

证明：只对行的情形证明，列的情形类似可证．20.行列式按任一行(列)展开(续)注：定理2.1称为行列式按行（列）展开定理．21.例7例7

计算行列式

解：21.例7(续)22.利用展开法则计算行列式的思路(1)利用行列式的性质，将行列式的某一行（列）尽量多地化出0；(2)利用展开法则将行列式展成低阶行列式；(3)依此下去；(4)直至展成二阶行列式或者可直接计算的行列式．23.例8例8

计算行列式

解：23.例8(续)24.例9

例9

证明：范德蒙德（Vandermonde）行列式24.例9(续)

证明：用数学归纳法证明.因为所以，当n=2时，Vandermonde行列式成立.假设Vandermonde行列式对于n-1阶成立，下面考虑n阶的情形.从第n行开始,后一行加上前一行的倍,可得24.例9(续)按第1列展开，并将每列的公因子提出，得到

n-1阶Vandermonde行列式24.例9(续)因此有24.例9(续)25.一个推论推论2.4行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即25.一个推论(续)

证明：将行列式按第j行展开，有上式中，将换成，可得25.一个推论(续)所以有相同类似可证26.代数余子式的重要性质

将定理2.1和推论2.4结合，我们将得到以下重要性质：对于n阶行列式D，它的元素的代数余子式满足：27.例10例10设，求和.

解：27.例10(续)28.本节小结

3.计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值；(3)利用行列式按行（列）展开法则，把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算.1.行列式的5个性质及其推论(行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立).2.方阵行列式的运算性质.4.29.思考题1计算解：29.思考题1(续)30.思考题2解：设