5.1.2 含30∘ 角的直角三角形的性质 课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

新湘教版八年级上册数学第5章直角三角形5.1.2含30°角的直角三角形的性质学习目标1.

掌握直角三角形中30°角所对直角边与斜边的数量关系；2.

理解直角三角形中直角边是斜边的一半，那这条直角边所对的角等于30°的几何意义；3.学会通过直角三角形的特殊性质解决一些简单的实际问题.在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系?任务导入探索展示如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果∠A=30°ACB30oD取斜边AB的中点D，连接CD.∵

CD是Rt△ABC斜边AB上的中线∴从而△DBC是等腰三角形又∵

∠ACB=90o，∠A=30o∴∠B=60o从而

△DBC为等边三角形.∴探索展示由此可得在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ACB30o可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试应用提升例1在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里，如图所示.若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1.732)D60O海里ABO北东解:取轮船航向所在的直线为OB.过A点作AD⊥OB，垂足为D，连接AO在Rt△AOD中，海里，∠AOD=30o∴∵AD≈25.98>20∴轮船由西向东航行不会有触礁危险.应用提升例2

如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，求证：∠A=30°CBA取斜边AB的中点D，连接CD证(法1)：D∵

CD是Rt△ABC斜边AB上的中线∴又∵∴从而

△BDC为等边三角形

∴∠B=60O∵∠B+∠A=90°∴∠A=30°应用提升例2

如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，求证：∠A=30°CBA证(法2)：延长BC到F，使CF=BC，连接AFF∵∠BCA=90°，BC=CF∴AC垂直平分BF从而AB=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)又∵BC=AB，BC=CF=BF∴BF=AB从而BF=AB=AF，即△ABF是等边三角形从而∠CAB=90°-∠B=30°∴∠B=60°应用提升由此得到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.应用提升课堂练习1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠A=30°.求证：AB=4BD.ABDC证：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴∠B=60°从而∠BCD=30°∴BC=2BD，AB=2BC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)从而AB=4BD应用提升课堂练习2.如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD=2AB，沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在BC上(如图中的点

A′)，折痕交AB于点G，那么∠ADG等于多少度？A′ABCDG∵AD=2AB解：∴A'D=2AB又∵∠C=90°∴∠CA'D=30°(在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°)又∵BC∥AD∴∠A'DA=CA'D=30°从而3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cmABCD应用提升课堂练习D注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.4.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3B．2C.1.5D．1C应用提升课堂练习5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).应用提升课堂练习在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝

AD＝

BD，即CD＝

DB.6.如图是屋架设计图的一部分，点D

是斜梁AB的中点，立柱BC，DE

垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC,DE

有多长？ABCDE

图中BC,DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？应用提升课堂练习ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.课堂小结导图复盘含30°角的直角三角形的性质

内容

在直角三角形中，如果一个