交通流分析理论课件：宏观交通流模型

交通流分析理论宏观交通流模型一、LWR模型的构建二、LWR模型的求解三、LWR模型的应用四、高阶连续模型五、宏观模型比较本章内容一、LWR模型的构建二、LWR模型的求解三、LWR模型的应用四、高阶连续模型五、宏观模型比较本章内容一、LWR模型的构建引入在前面章节中，已经建立了两种交通流特征之间的关系第一种是交通流之间的恒等式：q=kv

将流量、密度和速度看作是时间和空间的函数，得到：q(t,x)=k(t,x)v(t,x)第二种交通流特征之间的关系为基本图的平衡态模型式中：V、Q、U——平衡态模型中速度-密度、流量-密度和速度-流量的函数式

虽然平衡态模型能够描述交通流的某一状态，但在实际交通工程中，往往需要分析交通流状态在时间和空间上的的动态变化，为解决这一问题，需要进一步构建交通流动态模型一、LWR模型的构建构建守恒方程假设道路上有两个观测点x1和x2，路段车流进出示意图如图4-1所示路段的长度为△x=x2-x1t1时刻该路段车辆数为N1，t2时刻车辆数为N2t1和t2时刻该路段上的密度分别为k1和k2驶入该路段的流量为q1，驶出该路段的流量为q2构建交通流守恒方程

根据密度的定义，可得：

两边同时除以ΔxΔt，得到：令Δx→0，Δt→0，得到方程：根据车辆守恒定律，可得：

交通流守恒方程一、LWR模型的构建

LWR模型表达式联立交通流恒等式、基本图的平衡态模型、交通流守恒方程求解交通流的三个时空状态量。

上式即为著名的LWR模型式中：qx=∂q(t,x)/∂xkt=∂k(t,x)/∂t交通流恒等式：q=kv交通流守恒方程：

平衡态模型：一、LWR模型的构建二、LWR模型的求解三、LWR模型的应用四、高阶连续模型五、宏观模型比较本章内容在LWR模型中，将v=V(k)代入交通流恒等式得到流量-密度平衡态模型q=Q(k)，有：将上式代入连续性守恒方程qx+kt=0，则LWR模型转化为二、LWR模型的求解求解特征线解特征线方程

式中：Q’(k)——在流量-密度平衡态模型的曲线上，流量对密度的切线斜率，即该密度处交通波的波速二、LWR模型的求解求解特征线式中：x(t)——交通流密度波在道路车流中传播的时空特征函数由于交通流密度在特征线上不随时间变化，有：解特征线方程进而推导方程特征线，得到：若交通流密度不随时间变化，则需要满足条件：因此，交通流密度波的特征线方程为式中：C0——积分常数二、LWR模型的求解求解冲击波交通流密度波的波速与波速值在道路交通流中，不同道路空间地点的密度值存在不相同的情况特征线的传播速度为特征线的斜率，称为交通流密度波的波速波速值分别为各空间点的初始密度在基本图流量-密度平衡态模型曲线处的斜率二、LWR模型的求解求解冲击波A点的流量、密度和速度分别为qA、kA和vAB点的流量、密度和速度分别为qB、kB和vBA点和B点的交通流密度波的波速分别为wA和wBwA≠wB，即A点和B点的密度波特征线在时空中存在相交的可能交通流密度波的波速如图4-2所示二、LWR模型的求解求解冲击波A点的密度kA在其斜率为wA的特征线上处处相等B点的密度kB在其斜率为wB的特征线上处处相等特征线A和特征线B携带着各自的密度值在时空中传播当特征线A和特征线B在C点相交时，即产生交通流冲击波(用UAB表示)交通流密度波的特征线如图4-3所示二、LWR模型的求解求解冲击波冲击波路径A点的交通波以波速wA正向传播，B点的交通波以波速wB反向传播特征线相遇时，不同密度的交通流之间存在泾渭分明的界面界面两侧交通流保特各自的密度状态，且界面本身随交通流在时空中运动则此界面的运动轨迹称为交通流的冲击波路径冲击波波速根据Rankine-Hugonoit跃变条件可以证明得到有效冲击波路径的运动速度，即冲击波的波速为：式中：UAB——交通流状态A和状态B相遇时的冲击波波速，km/h二、LWR模型的求解例题4-1二、LWR模型的求解例题4-1解以道路原点x=0km为参考点参考点的前方下游交通流初始密度k1=0veh/km，得到q1=0veh/h该交通流状态的特征线斜率计算为参考点的后方上游交通流初始密度k2=2veh/km，得到q2=4/3veh/h，对应的交通流速度v2=2/3km/h该交通流状态的特征线斜率计算为自由流状态以一定速度运行的交通流二、LWR模型的求解例题4-1解当上游交通流进入下游自由流状态时，即两种交通流相遇，形成冲击波与冲击波路径，计算得到画出冲击波路径，如图4-5所示一、LWR模型的构建二、LWR模型的求解三、LWR模型的应用四、高阶连续模型五、宏观模型比较本章内容三、LWR模型的应用基于Greenshields平衡态模型的LWR模型根据Greenshields流量-密度平衡态模型可得

式中：vf——自由流速度，km/h，kj——堵塞密度，veh/km

假设vf＝120km/h，kj=143veh/km，则有：以距离原点2km的地点为参考地点，考虑如下的初始条件

三、LWR模型的应用基于Greenshields平衡态模型的LWR模型在参考点的前方下游路段交通流密度k1=30veh/km交通流流量q1=2845veh/h交通流的密度k2=10veh/km交通流流量q2=1116veh/h交通流速度v1=94.8km/h下游交通流密度波的波速w1=69.6km/h交通流速度v2=111.6km/h上游交通流密度波的波速w2=103.2km/hw1大于w2，当二者相遇时，形成冲击波以及冲击波路径，如图4-6所示在参考点的后方上游路段三、LWR模型的应用通用性的LWR模型通用性LWR模型的表达式可写为以图4-2中的基本图流量-密度曲线为例进行介绍，此时通用性LWR模型的初始条件可以表达为

三、LWR模型的应用通用性的LWR模型假设在以原点为参考点的道路空间中，上游交通流状态为A点状态，下游交通流状态为B点状态A点状态为非拥堵区域，B点状态为拥堵区域A点状态的交通流速度大于B点状态的交通流速度A点状态的交通波为正向交通波B点状态的交通波为反向交通波三、LWR模型的应用通用性的LWR模型假设在以原点为参考点的道路空间中，上游交通流状态为A点状态，下游交通流状态为B点状态A点状态的正向交通波将与B点状态的反向交通波相遇，形成冲击波上游交通流车队的队头在不断消散，而下游交通流车队的队尾在不断增加，形成冲击波路径上游车队的头车行驶轨迹如图4-7中的虛线所示冲击波速度为负值，表明冲击波路径随时间往交通流上游蔓延三、LWR模型的应用例题4-2三、LWR模型的应用例题4-2（教材P37）解：如图4-8所示，ae为货车驶离高速公路需要的时间，在这一过程中，货车上游交通流逐渐变为货车的行驶状态，紧跟其后形成排队，即状态B当货车驶出高速公路时，状态B的下游是状态C，上游为状态A存在两个动态变化过程：状态B逐渐加速至状态C进行消散、状态A继续追赶上状态B进行排队三、LWR模型的应用例题4-2（教材P37）解：这两个动态变化过程持续时间为图中的ef，f时刻以后，货车影响结束因此，可通过以下步骤求得货车的影啊时间af三、LWR模型的应用例题4-3（教材P39）三、LWR模型的应用例题4-3（教材P39）解：在高速公路关闭的20min内，上游状态A的交通流在事故地点前形成排队事故清理结束后，排队车辆将加速驶离事故地点，即状态C向状态B的消散过程同时，上游到达车辆继续在未消散完的车队尾车处进行排队，即状态A向状态C的排队过程两个过程呈现动态的变化，与状态C的排队消散完毕后，交通流恢复至事故前的状态A三、LWR模型的应用例题4-3（教材P39）解：因此,整个过程的排队长度为图中的x，可通过以下步骤求得一、LWR模型的构建二、LWR模型的求解三、LWR模型的应用四、高阶连续模型五、宏观模型比较本章内容四、高阶连续模型高阶连续模型1971年，Payne提出了第一个高阶模型

Papageorgiou考虑了出入匝道车辆的影响

Kühne在Payne模型中添加了黏性项式中：Ve(k)——平衡态速度，km/h

τ——车辆速度调整的延迟时间，又称为松弛速度，s。式中：s——通过出入匝道进入或离开路段的流量

δ——可调参数。

式中：μ——黏性系数四、高阶连续模型高阶连续模型Kerner和Konhäuser利用黏性项扩展了Payne模型

H.M.Zhang提出非平衡态的高阶连续模型

国内学者姜锐等推导得到了Jiang-Wu-Zhu的高阶连续模型一、LWR模型的构建二、LWR模型的求解三、LWR模型的应用四、高阶连续模型五、宏观模型比较本章内容五、宏观模型比较模型间的联系宏观交通流模型可表达为如下的广义形式：

式中：g(t,x)——匝道驶入与驶出流量差，对于高速公路基本路段而言，g(t,x)=0；P——交通流压力参数当τ=0，P=0时：上式转变为LWR模型

五、宏观模型比较模型间的优缺点在允许超车的低交通流密度场景下，LWR模型存在以下三个缺点当车辆越过交通流冲击波时，速度会存在突变，这种情形不符合实际的物理约束LWR模型难以预测走走停停交通流状态下的不稳定现象LWR模型假设了驾驶员不存在反应延时，这与实际不相符合在Payne