2026-2027学年人教A版高一数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 单元自测卷

2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测第四章指数函数与对数函数建议用时：120分钟，满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x∈R，x2A．∃x∈R，x2−5x+2≤0 B．∃x∈RC．∀x∈R，x2−5x+2≤0 D．∀x∈R2．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．f(x)=−x3 B．f(x)=2x C．f(x)=13．函数y=f(x)=ax−1+2(a>0且a≠1)A．(1,1) B．(1,3) C．(0,1) D．(0,2)4．用二分法求函数零点时，所求到的零点（）A．一定是近似值 B．一定不是近似值C．一定不是准确值 D．可以是准确值5．已知a>1，则函数y=ax与函数A． B．C． D．6．函数fxA．−1,0 B．0,1 C．1,2 D．2,37．某催化剂的活性指标K（单位：kgPP/gCat）与反应温度t（单位：°C）满足函数关系：K=eat+b（其中a、b为常数，e=2.71828···，是一个和π类似的无理数）.若在20°C时的活性指标为11kgPP/gCat，若在40°CA．125kgPP/gCat B．225kgPP/gCatC．245kgPP/gCat D．250kgPP/gCat8．已知fx=xx−1x>1，若α,βA．α<2ln2 B．1α+1β二、多项选择题9．下列说法错误的是（）A．0.064B．若不等式mx2C．已知函数f(x)=kx+3,x≤−12x+1,x>−1，在R上是增函数，则kD．设正实数x,y，满足x+2y=2，则2x10．已知3aA．lga>lgb B．a+b=ab C．111．对于定义域为D的函数fx，若存在区间m,n⊆D，同时满足下列条件：①fx在m,n上是单调的；②当x∈m,n时，有A．fx=2x B．fx=三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知关于x的方程x2−2mx+m2−4=0有两个实数根，一个根比1小，另一个根比113．已知函数fx=x2+3ax+1,x≤12a+aln14．(log4四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|14（1）求集合A∪B；（2）若C={x|m+1≤x≤2m−1}，C⊆(A∩B)，求实数m的取值范围．16．已知函数fx=log2x+a（1）求实数a，b的值；（2）求函数fx17．某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用x年x∈N∗所需的总维护费用为(2x2+x)万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用x年的盈利总额为w（1）该店从第几年开始盈利？（2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？18．在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2023年底至2025年底新能源汽车保有量如下表：年份（年）202320242025新能源汽车保有量（辆）100015002250（1）假设从2023年底起经过xx∈N年后，该地区新能源汽车保有量为y辆，根据表中提供的数据，从函数y=a⋅bx（a>0,b>0且b≠1（2）2023年底该地区传统能源汽车保有量为20000辆，且传统能源汽车保有量每年均下降4%．若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：lg2≈0.3019．已知函数f(x)=2x+a⋅2−x（1）讨论函数f(x)的奇偶性；（2）当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)−k⋅f(x)=3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围.

答案解析部分1．【答案】C【知识点】命题的否定【解析】【解答】解：命题“∃x∈R，x2其否定为：∀x∈R，x2故答案为：C【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再否结论即可求解.2．【答案】B【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性【解析】【解答】A、fxB、fxC、fx=1x在D、fx故答案为：B.【分析】先求函数的定义域、奇偶性，再对选项逐一分析单调性，由此选出正确选项.3．【答案】B【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】解：令x=1，得y=a0+2=3，所以函数f故答案为：B.【分析】将x=1代入y=f(x)=a4．【答案】D【知识点】二分法求方程近似解；二分法求函数零点近似值【解析】【解答】解：由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值.故答案为：D【分析】利用二分法的定义分析采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值即可.5．【答案】A【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质【解析】【解答】解：因为a>1，所以y=ax在又y=loga(−x)所以由复合函数单调性可知，y=loga(−x)在(−故答案为：A.【分析】利用指数函数与对数函数的性质判断即可．6．【答案】C【知识点】函数零点存在定理【解析】【解答】解：由题意知，f(−1)=−1−2−4=−7<0,f(0)=−4<0，

f(1)=1+2−4=−1<0,f(2)=8+4−4=8>0，

所以f(1)f(2)<0，而函数为R上的增函数，

由零点的存在性定理知函数f(x)的零点在区间(1,2).故答案为：C.【分析】利用函数零点存在性定理，即若函数在区间(a,b)上连续，且f(a)f(b)<0，则函数在(a,b)内有零点.同时结合函数单调性判断零点所在区间.7．【答案】C【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型【解析】【解答】解：由题意，可得：11=e20a+b两式相减，可得：e40a所以e20a−9e20a+8=0，

则e20a=9或所以，该催化剂在50°C的活性指标为e50a故答案为：C.【分析】由方程11=e20a+b，83=e40a8．【答案】A,C,D【知识点】函数单调性的性质；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；互为反函数的两个函数之间的关系；图形的对称性【解析】【解答】解：∵fx=x∵fx的图象是由y=∴fx在1,+设点a,ba>1,b>1是fx上的一点，则b=aa−1，

∴ab−b=a，∴a=bb−1，则b,a也是函数f由y=xy=xx−1因为y=ex与y=ln则可作出y=ex，y=ln对于A，当x=2ln2时，设gx=e∵e4<43∴2ln2−1>13，则0<12∴fx与gx的交点横坐标落在区间1,2ln2中，

则对于B，∵α,β分别是方程fx=ex和∴fx与gx图象的交点为α,αα−1，fx又因为fx图象关于直线y=x对称，

∴α,αα−1与∴α=ββ−1或β=αα−1，整理可得：αβ=α+β对于C，当x=2时，f2=2，h2当x=4时，f4=43，h4=ln4，由选项A知：43<ln4因为α<2ln2<2，对于D，∵β是方程fx=ln∴β+lnβ=β+ββ−1=β−1由选项C知：2<β<4，∴等号不成立，

则β+ln故答案为：ACD.【分析】作出y=ex，y=lnx与fx的图象，设gx=ex，hx=lnx，结合函数图象和指数函数的单调性、对数函数的单调性以及不等式的基本性质，从而得出α的取值范围，则判断出选项A；由方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系和函数图象的对称性，从而得出αβ=α+β9．【答案】B,D【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的运算性质；不等关系与不等式；基本不等式【解析】【解答】解：选项A：根据幂的运算法则，0.064−13=[(0.4)3]−1选项B：当m=0时，不等式变为1>0，解集为R，符合题意；当m≠0时，不等式mx2−mx+1>0是一元二次不等式，要使其解集为R，则需m>0Δ=m2−4m<0.解Δ=m2选项C：函数f(x)在R上是增函数，所以在分段点x=−1处，需满足k×(−1)+3≤2×(−1)+1，即−k+3≤−1，解得k≥4，同时k>0（保证x≤−1时函数单调递增），所以k的取值范围是[4,+∞选项D：因为4y=(22)y=22y，所以2x+4y=2x+22y.根据基本不等式a+b≥2ab（a,b>0，当且仅当a=b时等号成立），这里a=2x，b=2故答案为：BD.

【分析】本题综合考查幂的运算、不等式恒成立、函数单调性、基本不等式等知识.解题思路是分别对每个选项，根据相应的知识点和方法进行分析计算，判断其正误.10．【答案】A,B,D【知识点】函数单调性的性质；指数式与对数式的互化；基本不等式【解析】【解答】解：对于A选项，因为3a=5b=155<15=5b<25=52，则1<b<2对于B选项，因为3a=5b=15所以，1a=log153所以，a+bab=1，可得对于C选项，因为a>2>b>1，则12对于D选项，因为1a+≥5+24b当且仅当4ba=a事实上，2b=2log所以，等号不成立，故a+4b>9，D对.故答案为：ABD.【分析】先将指数式转化为对数式，再利用对数的运算性质、函数单调性和基本不等式来判断各选项.11．【答案】A,C,D【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：对于选项A，fx是−∞,0和0,+则有2m=n2n=m，则有mn=2，取m=1对于选项B，fx=x2−2x在1,+∞单调递增，若存在区间解得m=0，n=3，不符合1≤m<n，即fx=x另一方面，fx=x2−2x在−∞,1解得m=1−52对于选项C，因为fx=x3在整个定义域R上单调递增，若存在区间m,n，解得m=−1，n=0，或m=0，n=1，或m=−1，n=1，可取m=0，n=1，即存在区间0,1符合题意，故选项C正确；对于选项D，fx=ln若存在区间m,n，0<m<n，使lnm+2=m即lnx+2=x有两个不等实数根，转化为ln即y=lnx与故答案为：ACD.【分析】根据“和谐区间”的定义，对每个选项中的函数，先判断其单调性，再看是否存在区间[m,n]，使得当x∈[m,n]时，f(x)∈[m,n]，即f(m)=m且f(n)=n，通过解方程或分析函数图象来判断.12．【答案】−1,3【知识点】函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：令fx由题意可知：fx有两个零点，一个零点比1小，另一个零点比1则f1<0，即12故实数m的取值范围为−1,3.故答案为：−1,3.【分析】令fx=x2−2mx+m2−4，由题意可得fx有两个零点，一个零点比113．【答案】−2,−【知识点】函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】解：由题意可知：fx在定义域R则−3a2≥1所以实数a的取值范围是−2,−2故答案为：−2,−2【分析】由fx1−fx214．【答案】5【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论【解析】【解答】解：(=(lg故答案为：54【分析】根据已知条件和换底公式，从而计算得出(log15．【答案】（1）解：解不等式14≤2x−1≤128⇔当x∈[18,32]时，log21则A∪B=[−3,8]；（2）解：由（1）得，A∩B=[−1,5]，当m+1>2m−1，即m<2时，C=∅，满足C⊆(A∩B)，则m<2；当m+1≤2m−1，即m≥2时，由C⊆(A∩B)，得m≥2m+1≥−12m−1≤5，解得则实数m的取值范围是m≤3.【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；对数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法【解析】【分析】（1）解指数不等式求得集合A，根据对数函数的单调性，求对数函数的值域得集合B，再利用集合的并集运算求解即可；（2）由（1）求出A∩B，再分集合C是否为空集，结合集合的包含关系列式求m的范围即可.（1）不等式14≤2x−1≤128⇔当x∈[18,32]时，log21所以A∪B=[−3,8].（2）由（1）得，A∩B=[−1,5]，当m+1>2m−1，即m<2时，C=∅，满足C⊆(A∩B)，则m<2；当m+1≤2m−1，即m≥2时，由C⊆(A∩B)，得m≥2m+1≥−12m−1≤5，解得所以实数m的取值范围是m≤3.16．【答案】（1）解：由题意：log2又a>0,b>0，所以a=2b=1（2）解：因为fx由x+2>01−x>0⇒−2<x<1，所以函数fx因为fx=log当x∈−2,1时，−x2−x+2∈0,所以log2所以函数fx的值域为−【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质【解析】【分析】（1）由题意把点代入fx（2）由对数的意义得x+2>01−x>0，解得定义域为−2,1；算出y=−x2−x+2在给定区间（1）由题意：log2又a>0,b>0，所以a=2b=1（2）因为fx由x+2>01−x>0⇒−2<x<1，所以函数fx因为fx=log当x∈−2,1时，−x2−x+2∈0,所以log2所以函数fx的值域为17．【答案】（1）解：由题意可知，w(x)=16x−2若开始盈利，则w(x)>0，所以−2x2+15x−18>0，

因为x∈N∗，（2）解：设年平均利润为fx则fx当且仅当2x=18x时，即当则当x=3时，最终获利w(3)+11=−18+45−18+11=20万元.【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型【解析】【分析】（1）由已知条件可得w(x)=−2x2+15x−18，再利用盈利得出w(x)>0（2）设年平均利润为fx（1）由题可知w(x)=16x−2若开始盈利即w(x)>0，所以−2x2+15x−18>0因为x∈N（2）设年平均利润为fx则fx当且仅当2x=18x，即x=3时，最终获利w(3)+11=−18+45−18+11=20万元.18．【答案】（1）解：由于2250−1500=750，1500−1000=500≠750，新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，

而是越来越快，故可用函数y=a⋅bx（代入点1,1500,2,2250，得ab1=1500ab2023年的数据0,1000，满足y=1000⋅32x，

（2）解：设从2023年底起经过xx∈N由题意知，从2023年底起经过xx∈N年后，新能源汽车保有量为y=1000⋅从2023年底起经过xx∈N年后，传统能源汽车保有量为20000⋅所以1000⋅32x>20000⋅1−4因为lg10064=lg100−lg64=2−6lg2≈2−1.8=0.2所以从2023年底起经过7年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量，即到2030年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型【解析】【分析】（1）由表中数据判断新能源汽车保有量随年份增长越来越快，则选用函数y=a⋅bx（a>0,b>0且b≠1）来描述，代入点1,1500,（2）设从2023年底起经过xx∈N年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量，传统能源汽车保有量为20000×（1）由于2250−1500=750，所以可用函数y=a⋅bx（a>0,b>0且代入点1,1500,2,2250，得ab1=1500所以y=1000⋅32023年的数据0,1000，满足y=1000⋅3所以描述新能源汽车保有量的增长趋势的函数解析式为y=1000⋅3（2）设从2023年底起经过xx∈N由题意知，从2023年底起经过xx∈N年后，新能源汽车保有量为y=1000⋅从2023年底起经过xx∈N年后，传统能源汽车保有量为20000⋅所以1000⋅32x两边取常用对数，得xlg100因为lg10064=lg100−所以x>1.3所以从2023年底起经过7年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.即到2030年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.19．【答案】解：（1）由题意可知，函数f(x)的定义域为x∈R，

又∵f(−x)=2−x+a⋅2x

①当f(−x)=f(x)时，即2−x+a⋅2x=2x+a⋅2−x时，可得a=1

∴当a=1时，函数f(x)为偶函数；

②当f(−x)=−f(x)时，即2−x+a⋅2x=−(2x+a⋅2−x)=−2x−a⋅2−x时，可得a=−1

∴当a=−1时，函数f(x)为奇函数.

综上所述，当a=1时，函数f(x)为偶函数；当a=−1时，函数f(x)为奇函数.

（2）由（1）可得，当函数f(x)为偶函数时，a=1，

∴f(x)=2x+2−x，∴f(2x)=22x+2−2x=(2x+2−x)2−2

∴(2x+2−x)【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；函数零点存在定理【解析】【分析】（1）先求得函数f(x)的定义域，进而利用函数的奇偶性的定义求得a的值即可；（2）由(1)可知当函数f(x)为偶函数时，a=1，进而可得函数f(x)的解析式，即可得f(2x)的表达式，根据f(2x)−k⋅f(x)=3可得(2x+2−x)2−k(2x+

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：25分分值分布客观题（占比）16.0(64.0%)主观题（占比）9.0(36.0%)题量分布客观题（占比）11(57.9%)主观题（占比）8(42.1%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.8(42.1%)10.0(40.0%)填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）3(15.8%)4.0(16.0%)解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证