初三数学相似三角形典型例题

初三数学相似三角形典型例题相似三角形是初中几何的核心内容之一，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是解决几何计算与证明问题的重要工具。掌握相似三角形的判定与性质，能有效提升我们分析和解决复杂几何问题的能力。本文将通过几道典型例题，深入剖析相似三角形在不同情境下的应用，希望能为同学们的学习提供有益的参考。一、相似三角形的判定与性质回顾在探讨例题之前，我们先来简要回顾一下相似三角形的核心知识点，这是解决一切相关问题的基础。判定定理：1.两角分别相等的两个三角形相似。（AA判定）2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。（SAS判定）3.三边成比例的两个三角形相似。（SSS判定）4.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。（HL判定，适用于直角三角形）性质定理：1.相似三角形的对应角相等。2.相似三角形的对应边成比例。3.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。4.相似三角形的周长比等于相似比。5.相似三角形的面积比等于相似比的平方。这些定理是我们解决相似三角形问题的“利器”，能否熟练、准确地运用它们，直接关系到解题的成败。二、典型例题深度解析例题1：基础判定与性质应用题目：已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=70°，∠B=50°，∠E=60°，判断这两个三角形是否相似，并说明理由。若AB=4，DE=6，求△ABC与△DEF的周长比。分析：要判断两个三角形是否相似，首先考虑角的关系。已知∠A=∠D=70°，我们只需再找到一对角相等即可。在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可求出∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°。而△DEF中∠E=60°，所以∠C=∠E。解答：在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°。在△DEF中，∠E=60°，所以∠C=∠E。又因为∠A=∠D=70°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”（AA判定），可得△ABC∽△DFE。（注意：对应顶点要写正确，∠A对应∠D，∠B对应∠F，∠C对应∠E，所以是△ABC∽△DFE）相似比k=AB/DF。但题目中给出的是DE=6。这里需要明确对应边。由于∠A=∠D，∠C=∠E，所以∠A的对边是BC，∠D的对边是EF；∠C的对边是AB，∠E的对边是DE。因此，AB对应DE，AC对应DF，BC对应EF。所以相似比k=AB/DE=4/6=2/3。根据相似三角形周长比等于相似比，可得△ABC与△DEF的周长比为2/3。点评：本题主要考察相似三角形的基本判定方法和周长比性质。解题的关键在于准确找到对应角和对应边，这是初学者容易出错的地方。在书写相似三角形时，务必将对应顶点的字母写在对应的位置上，以避免后续对应关系混乱。例题2：利用相似求线段长度题目：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=3，DB=2，AE=4，求EC的长。（示意图：一个三角形ABC，底边BC水平，AB、AC为两腰，D在AB上靠近A，E在AC上靠近A，DE连接且平行于BC）分析：本题中出现了“DE∥BC”这一条件，这是一个非常明显的提示，通常意味着可以构造相似三角形。根据平行线分线段成比例定理的推论（或“AA”判定），可以得出△ADE与△ABC相似。解答：因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）。在△ADE和△ABC中，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，所以△ADE∽△ABC（AA判定）。因此，AD/AB=AE/AC（相似三角形对应边成比例）。已知AD=3，DB=2，所以AB=AD+DB=3+2=5。AE=4，设EC=x，则AC=AE+EC=4+x。代入比例式：3/5=4/(4+x)交叉相乘得：3(4+x)=5×412+3x=203x=8x=8/3所以EC的长为8/3。点评：“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”，这是解决此类问题的常用依据，其本质就是构造了相似三角形。这类“A”型相似（或“X”型相似）是相似三角形中最基本也最常见的模型，必须熟练掌握。例题3：相似三角形与比例式证明题目：已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。求证：AC²=AD·AB。（示意图：直角三角形ABC，∠C为直角，CD⊥AB于D）分析：要证明AC²=AD·AB，即证明AC/AD=AB/AC。这提示我们需要找到以AC、AD和AB、AC为对应边的两个相似三角形。在图形中，△ACD和△ABC是值得关注的对象。解答：在△ABC和△ACD中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，所以∠ADC=90°。因此，∠ACB=∠ADC=90°。又因为∠A是公共角，所以△ABC∽△ACD（AA判定）。因此，AB/AC=AC/AD（相似三角形对应边成比例）。交叉相乘，得AC²=AD·AB。点评：本题涉及到的“直角三角形斜边上的高”所形成的三个直角三角形两两相似（即△ABC∽△ACD∽△CBD），这是一个非常重要的基本图形，由它可以推导出一系列的比例线段和等积式，如AC²=AD·AB，BC²=BD·AB，CD²=AD·BD等（射影定理）。同学们应熟记这个图形的性质。例题4：综合应用与动态问题题目：如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点B出发沿BC向点C匀速运动，速度为每秒1个单位；同时点Q从点D出发沿DB向点B匀速运动，速度为每秒k个单位。设运动时间为t秒（0<t<8）。当△BPQ与△BCD相似时，求t的值及相应的k。（示意图：矩形ABCD，AB为宽，BC为长，BD为对角线，P在BC上从B向C运动，Q在BD上从D向B运动）分析：这是一道动态几何与相似三角形结合的题目，有一定的综合性。首先，我们需要用含t的代数式表示出相关线段的长度，然后根据相似三角形的判定条件，分情况讨论△BPQ与△BCD相似的可能性。解答：在矩形ABCD中，∠C=90°，BC=8，CD=AB=6。根据勾股定理，BD=√(BC²+CD²)=√(8²+6²)=10。由题意知：BP=1·t=t，DQ=k·t，所以BQ=BD-DQ=10-kt。PC=BC-BP=8-t。△BCD是直角三角形（∠C=90°）。要使△BPQ与△BCD相似，△BPQ也必须是直角三角形，且对应角相等。点P在BC上，点Q在BD上，所以∠PBQ是△BPQ与△BCD的公共角（∠PBQ=∠CBD）。因此，存在两种可能的相似情况：情况一：△BPQ∽△BCD（此时∠BPQ=∠C=90°）则有BP/BC=BQ/BD即t/8=(10-kt)/10同时，因为∠BPQ=90°，所以PQ⊥BC。又因为CD⊥BC，所以PQ∥CD。因此，△BPQ∽△BCD也可由平行得到（PQ∥CD）。由PQ∥CD可得BQ/BD=BP/BC，即(10-kt)/10=t/8，与上面比例式一致。解t/8=(10-kt)/10：10t=8(10-kt)10t=80-8kt10t+8kt=80t(10+8k)=80...(1)由于∠BPQ=90°，PQ⊥BC，而ABCD是矩形，AB⊥BC，所以PQ∥AB。因此，△BQP∽△BDA（如果考虑PQ∥AB），或者在Rt△BPQ中，PQ/BP=CD/BC=6/8=3/4，所以PQ=(3/4)t。同时，PQ/CD=BQ/BD，即(3/4t)/6=(10-kt)/10(t/8)=(10-kt)/10，这与前面的式子相同，没有新信息。对于情况一，我们还无法直接求出t和k，因为有两个未知数。我们先看情况二。情况二：△BPQ∽△BDC（此时∠BQP=∠C=90°）则有BP/BD=BQ/BC即t/10=(10-kt)/8交叉相乘：8t=10(10-kt)8t=100-10kt8t+10kt=100t(8+10k)=100...(2)现在，我们需要结合图形的几何性质来确定k或t的值。对于情况一：∠BPQ=90°。在Rt△BPQ中，BP=t，BQ=10-kt，PQ=(3/4)t（由PQ∥CD，PQ/CD=BP/BC可得PQ=CD·BP/BC=6t/8=3t/4）。由勾股定理：BP²+PQ²=BQ²t²+(3t/4)²=(10-kt)²t²+9t²/16=(10-kt)²25t²/16=(10-kt)²开方得：(5t)/4=10-kt(因为长度为正)所以kt=10-(5t)/4代入(1)式：t(10+8*(10/t-5/(4)))=80t(10+80/t-10)=80t*(80/t)=8080=80这说明情况一的方程是自洽的，但仍需结合情况二或题目其他隐含条件。不过，题目中点Q的速度k是一个确定的值，对于每一种相似情况，应该有一组对应的t和k。我们先求解情况二：由t(8+10k)=100...(2)同样，∠BQP=90°，在Rt△BQP中，BQ=10-kt，BP=t，PQ可由勾股定理表示，但也可利用相似比：BP/BD=PQ/DC，即t/10=PQ/6，所以PQ=6t/10=3t/5。BQ/BC=PQ/DC，即(10-kt)/8=PQ/6，代入PQ=3t/5，可得(10-kt)/8=(3t/5)/6=t/10，即回到情况二的比例式t/10=(10-kt)/8。同样，在Rt△BQP中，BQ²+PQ²=BP²(10-kt)²+(3t/5)²=t²但我们从比例式t/10=(10-kt)/8可得10-kt=(8t)/10=(4t)/5。代入上式：(4t/5)²+(3t/5)²=t²(16t²+9t²)/25=t²25t²/25=t²t²=t²，同样是恒等式。因此，我们需要明确，题目中“当△BPQ与△BCD相似时”，应考虑两种可能的相似对应关系。但通常这类问题会有具体的解，可能题目隐含了k为正数，t在(0,8)范围内。我们尝试从情况一的比例式t/8=(10-kt)/10和kt=10-(5t)/4(来自PQ=3t/4和BQ=10-kt，以及PQ/CD=BP/BC)联立：由kt=10-(5t)/4，代入t/8=(10-kt)/10中的(10-kt)=kt，得t/8=kt/10→1/8=k/10→k=10/8=5/4。然后代入kt=10-(5t)/4：(5/4)t=10-(5t)/4(5t)/4+(5t)/4=10(10t)/4=10t=4。t=4在0<t<8范围内，符合题意。对于情况二，t/10=(10-kt)/8→8t=100-10kt→10kt=100-8t→kt=10-0.8t。此时，BQ=10-kt=0.8t。因为点Q在BD上，所以BQ=0.8t>0，显然成立。BP=t，由相似比BP/BD=BQ/BC→t/10=0.8t/8→t/10=t/10，对任意t成立（t≠0）。但我们还需保证Q点的运动速度k为正，且当t=8时，Q点应未到达B点或恰好到达。kt=10-0.8t→k=(10-0.8t)/t=10/t-0.8。k>0→10/t-0.8>0→t<10/0.8=12.5。结合t<8，所以k>10/8-0.8=1.25-0.8=0.45。但题目中并没有给出更多关于k的限制，这似乎意味着情况二有无数解？这显然不可能。问题出在哪里？哦，不对！在情况二中，我们假设的是△BPQ∽△BDC，其对应关系是∠BPQ对应∠BDC，∠BQP对应∠BCD=90°。在△BDC中，∠BDC是锐角（因为DC=6，BC=8，BD=10）。当t在(0,8)内变化时，只要k=(10-0.8t)/t，就能保证△BPQ∽△BDC。但题目中说“点Q从点D出发沿DB向点B匀速运动，速度为每秒k个单位”，这里k应该是一个常数，而不是随t变化的量。因此，情况二下，如果k是常数，那么对于特定的t值，k才能是常数。由kt=10-0.8t→k=