数列的概念二A基础练（解析版）

4.1数列的概念(1)・A基础练

一、选择题

1.数列LLi,，，…的递推公式可以是()

24816

可二9(〃£%*)B.%=?(〃£%*)

U-二；%(〃£7*)D.q用=%(〃£%*)

【答案】C

【详解】由题意可知，数列从第二项起，后••项是前•项的;，所以递推公式为%x=N(nwN").

故选：C.

2.已知数列｛q｝满足叫=2,an=2一——,则为=()

an-\

【答案】A

c1c13.14-15

［详解］4=2,%=2-----,:•%=?=-,生=2----=-,4=2----=-,

%_142a23生4

c16

%=2---=彳.故选：A.

45

3.数列｛〃“｝的前〃项和5〃=二，则4=().

〃+1

22I］

3w(/z+1)〃(〃+1)n(n+l)2〃(〃+1)

【答案】B

2n2(z?-l)_2

【详解】当〃=1时4=5=1,当〃22时4=S”-Ri

〃+1n71(714-1)

验证，当〃=1时修满足，故选：B.

4.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代

杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关抿，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用乙

为偶数

表示解下〃(〃W9,〃£N')个圆环所需的移动最少次数，若《=1.且%=,

2%+2,〃为奇数‘川

解卜.6个环所需的最少移动次数为（)

A.13B.16C.31D.64

【答案】C

2c*-为偶数

【详解】•・,％=1,生=2q—1=1,%=2%+2=4,%=2%-1=7,

2〃“_]+2,〃为奇数

%=24+2=16,%=2%-1=31,所以解下6个环所需的最少移动次数为31.故选：C.

5.（多选题）符合递推关系式斯=加的数列是（）

A.1,2,3,4,...B.1,75,2,2或,…C.衣,2,22,4,…D.0,72,2,272,...

【答案】BC

【详解】B与C中从第2项起，后一项是前一项的企倍,符合递推公式。户叵az.

6.（多选题）已知数列｛。“｝满足勺+]=1一」-（〃£"）,且4=2,则（）

B-%019=；

A.%=-1

C,二|_2019

D.S2019=-2-

【答案】ACD

【详解】由题意见=l-g=：，=A正确，53=2+|-1=|,C正确：

4=1-1；=2,・••数列｛%｝是周期数列，周期为3.生019=6x673=〃3=-1，8错・；

—1

32019

5,（）,179=673X-2=--2---,D正确.故选：ACD.

二、填空题

7.记S“为等差数列｛q｝的前〃项和，若S“=〃2（〃wN*），则。=.

【答案】17

【详解】因为S”=/,当〃22时，S,.]二（〃一1了，所以an=S”-Si=/一（"一1）、=2〃-1,

又〃=1时，%=，=1也适合上式，所以%=2〃-1,所以“）=2x9—1=17.

8.己知数列｛4｝满足q=2,%+]=3。“-2,则生=

【答案】10

【详解】由题得〃=1时，％=3%—2=3x2—2=4；

当〃=2时，=3a2-2=3x4-2=10.

9.已知数列｛m｝的前n项和5“=/-9〃,第k项满足3<公<8,则k=.

【答案】8

【详解】：八,：%=2止10.由5V2hl0<8,得7.54<9,・：々=8.

2九-3小15—G,

10.若数列｛可｝满足，%+1=若2，4=2,则数列｛为｝前2022项的积等于.

n

【答案】-6

a

]+1+nj।

【详解〉•”量，则-=T,所以,“一一二一]

1+q1+2

-3,所以，数列｛%｝是以4为周期的周期数列,

,/4=2,则的1-6/,-7^2"

且《4+M”+24”+3=4〃q+i.-，]•一--=1»所以，｛%｝的前2022项的积为

I4八4+J

%•令•/•。4«2022=4a2XI50'=2x（-3）=-6.

三、解答题

11.如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，

便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得

到第2条“雪花曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”.设第〃条“雪花

曲线”有％条边.

甲乙丙

(1)写出4，%的值•

(2)求出数列｛q｝的递推公式.

【详解】(1)4=12，«2=48,

(2)由“雪花曲线”的作法可知,

第〃条“雪花曲线”的每条边都可得到第〃+1条“雪花曲线”的四条边.

・•・/+］=4an数列｛“J的递推公式为凡+|=4。0.

12.根据下列数列的首项和递推公式，写出数列前5项，并由此归纳出它的通项公式.

(1)q=2,an+i=34+2；

1/?4-2

2'%=77产

【详解】《1)=2,4rH=3〃“+2,

2345

:.ax=2=3—1,a2=8=3—1,a3=26=3—1,a4=80=3—1,a5=242=3—1.

所以，数列｛%｝的通项公式为q=3"-l(〃eN")；

/r、1〃+2

,23「4&=3=9

「•4=1=5，=2=—,a

422

所以，数列｛4｝的通项公式为4=等("EN*).

A级必备知识基础练

1」探究点一］已知在数列｛。〃｝中M=2,即+1=an+n(nWN"),则出的值为()

A.5B.6C.7D.8

2」探究点三］已知数列｛斯｝的前n项和5尸,则06的值等于()

n

A.-B.-——C.——D.-——

20203030

3.［探究点三］已知数列｛〃〃｝的前n项和S”=4//0〃,则42a6=()

A.52B.68C.96D.108

4.［探究点二］己知0=1="(4+10)(〃£N"),则数列｛斯｝的通项公式是()

A,2,MB.然广

C./72D.n

5」探究点一］(多选题)已知数列｛4｝满足为=4m=〃*+］=.3.叩(〃22),则下列结论正确的是()

A.12020=4

B.X2O22=a»

C.An=X2O2l

D.X|+X2+…+X2020=25-4

6」探究点一］若数列｛〃〃｝满足4〃+1=2。0-1,且“8=16,则a6=.

7」探究点二］根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式

（1）。1=04”+1=。“+2小1（〃£N*）;

⑵所1，硒”+含

(3)«i=-1M+i=川+^^(〃eN-).

B级关键能力提升练

8.已知数列｛〃〃）,〃〃+产一一M=3.则022=（）

l・Qn

213

A.gB.3C.,D.g

9.在数列（4｝中M=l,对所有的都有…a”=〃2,则s+as等于（）

A至B至C丝D卫

A.9B,16C-16U15

10.设（〃〃｝是首项为1的正项数列，且（〃+1）a"1-〃W+斯+|4〃=0（〃仁N）则它的通项公式

11.已知数列｛”“｝满足0>0,且〃“+产小产，则数列伍〃｝的最大项是.

1

2dn,0WQn<~,

12.已知数列｛%｝满足«,t+i=

2a”-1,；<an<1.

若41=g,试求(12021+〃2022.

C级学科素养创新练

13.在数列｛斯｝中,41=)“+[=猊+<:；<£则(123=()

A.1B.|C.|D.1

14.已知数列41=1/2,。3」",。"(〃£内)的法则如下:若。〃为自然数，则依+1=斯-2,否则斯+尸斯+3,则

«6=•

1.D因为。尸2,知+|二。〃+以所以。2=。[+1=2+1=3,。3=。2+2=3+2=5,01=43+3=5+3=8.

2.D46=56-55=：_：=-.故选口.

oD3U

22

3.B由题意，可得当〃22时,an=Sn-S„.i=4n-10/7-[4(H-1)-10(n-1)]=8/:-14,所以

«2«6=(8X2-14)X(8X6-14)=68.

4.D(方法I构造法)

由已知整理，得(〃+1)〃〃=〃〃“+1,

•••耨=攀,・,・数列图是常数列，且号=十1,・・・时〃・

(方法2累乘法)

当心2时，出=已如=$…，"=:，"=今这(〃-1)个式子两边分别相亲，得&=〃.・・・0=1,・・・

a

an-i九jn-2a22ali

an=n.

当，?=1时M产〃也成立，所以(in=n.

5.BCDx\=a^2=h,X3=xi-x\=b-a,

X4=X3-X2=-a,X5=X4-X3=-/?^6=X5-X4=Cl-b,

xi=Xft-xs=a=x\,%x=xi-Xb=b=X2.

・・・｛斯｝是周期数列,周期为6,

X2020=A*4=-«,A不正确；X2O22=X6=a-/?.B正确\X1O21=X5=X||,C正确出+4+…+M

020=-Y|+X2+X3+.X4=2b-Ct,D正确.

6.孕・••。”+尸2。“-1,，。8=2。7-1=16,解得m=¥，

42

又47=246/二¥，解得。6二;.

24

7.解(1>1=0,02=1,03=4^4=9.

猜想a”二(〃-l)2(〃f=N").

八\134r5

(2)4户1^2=",£?3=-=2,«4=-.

猜想。”=等(〃£1<).

(3)0=-1,42=-；,的=-；,如=-；.猜想a„=--(fi£N)

234n

8.A由题意，可知⑼=3,

111

公=前二廿》

112

111

'F=n=r

・•・数列｛斯｝是一个以3为最小正周期的周期数列.

V2022^3=674,.\a2O22=a.3=1

9.C由题意。|。2=2：。1426=32,4|42。3。4=424|。2a3aM5=5、

mi3295225M.61

则所/=严5卞=适故。3+的=记

10.，把(〃+l)W+i-〃忌+m+1诙=0分解因式，得[(〃+1)a〃+M4〃](a“+i+。〃)=0.•・•〃〃>(),

•'.a