导数的概念及运算-高考数学重难点题型专练（新高考地区专用）解析版

专题3.2导数的概念及运算.重难点题型精练

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2022春•辽宁月考）函数/（x）=-9+1在区间I-I,2］上的平均变化率为（）

A.3B.2C.-2D.-3

【解题思路】根据平均变化率的定义化简即可求解.

【解答过程】解：函数/（x）=・/+］在区间［.1,2］上的平均变化率为

（-23+1）-［-（-1）3+1］

----------=-------------------=-5，

2-（-1）3

故选：D.

2.（5分）（2022春•珠海期末）下列函数的求导正确的是（）

A.（i）*=-^2B.（sin.v）'=-cosx

1

C.（ln2Xy=2^D.（W）'=（I+x）/

【解题思路】根据求导公式，结合选项判断即可.

【解答过程】解.：对于A，故4错误，

对于B,V（sin.v）'=cosx,故4错误，

对于C,：（也2%）'=/x2=g故C错误，

对于Q,•・•（X，）'=/+.i/=（l+x）心故。正确.

故选：。.

3.（5分）（2022春•定远县校级月考）函数），=/（外在x=xo处的导数/（打）的几何意义是（）

A.在点（村，/（xo））处与）=/（x）的图象只有一个交点的直线的斜率

B.过点（m,/（xo））的切线的斜率

C.点（刈，/（.ro））与点（0,0）的连线的斜率

D.函数y=/（x）的图象在点（如，/（刈））处的切线的斜率

【解题思路】根据题意，由导致的几何意义分析可得答案.

【解答过程】解：根据题意，函数〉，=/（》）在X=X（）处的导数/（A0）的几何意义是函数图象在点（A0,

f（xo））处的切线的斜率，

故选：O.

4.（5分）（2022春•成都期中）若函数/（X）=2cou,则/（x）在点（巳，）处的切线的倾斜角为（）

n37r7T57r

A.-B.—C.-D.—

4466

【解题思路】利用导数的几何意义求出/（x）在点（,〃刍）处的切线的斜率，进而求出倾斜角.

【解答过程】解：•"（x）=2cosx,.*./（x）=-2sinx,

・・・/（x）在点（2,心）处的切线的斜率左一/（-）--2sig=-1,

6。66

，倾斜角为当，

4

故答案为：B.

5.（5分）（2022春•朝阳区校级期中）如图，函数），=/（“）的图像在点尸处的切线方程是j=-x+9,则

【解题思路】根据导数的几何意义以及图像得/（5）,/（5）,即可求出结果.

【解答过程】解：由导数的几何意义可得，/（5）=-1,/（5）=-5+9=4,

:J（5）+f（5）=4+（-1）=3,

故选：B.

6.（5分）（2022•上饶一模）设/Xx）为可导函数，且〃机/专乌必=一1,则曲线y=/（x）在点

Ax-»0

（h/（I））处的切线斜率为（）

1

A.2B.-1C.ID.

【解题思路】将已知关系式化为“m3率=2x2,由此即可求解.

AX-»0gx

【解答过程】解：因为/（X）为可导函数，且〃m/（1）一,：-2/幻=_],

4x->0

则Ihn/⑴工x2=2f（I）=-I,

△so2AX'

所以/（1）=-1,即为曲线），=.f（x）在点（1,/（I））处的切线斜率,

故选：D.

7.(5分)(2021•舒城县校级模拟)若函数/(x)=阮r+x与g(x)=箜学的图象有一条公共切线，且该

公共切线与直线)，=2x+1平行，则实数加=()

17171717

A.-B.-C.-D.一

8642

【解题思路】分别求得火Mg(x)的导数，可得切线的斜率和方程，结合两直线平行的条件，求得切线方程,

结合切点既在切线上，又在曲线上，解方程可得，〃的值.

【解答过程】解：设函数/(幻=/〃x+x图象上切点为(刈，冲)，

因为广(、)“+1，所以/'(a)="+1=2,得刈=1,

xxo

所以.yo=/(M))=/(1)=1,

所以切线方程为y・1=2(x-I),即y=2r-l,

设函数g(x)=筌产的图象上的切点为(用，户),

2(式-1)(2%?九：_m-2

为为g'O)=

(1)2QT)2‘

所以g'(%i)==2,即m=20—444-4,

又yi=Zri-I=g(xi)=第二p，

即771=-2x1+5%—1,

所以2*—4*1+4=—2*+5叼-1,即4*一9%1+5=0,解得与=，或工1=1(舍)，

5

24X-+417

所以m=2x(1)4=8

故选：A.

8.(5分)(2021秋•祁东县校级月考)设xER,函数f(x)="+ae”的导函数)，=/(x)是奇函数，若

曲线y=/(x)的一条切线的斜率为:，则切点的横坐标为()

ln2i7

A.—B.一n早C.bi2D.-In2

32

【解题思路】对函数求导，先有导函数为奇函数可求小利用导数的几何意义设切点，表示切线的斜率,

解方程可得.

【解答过程】解:由题意可得，f(x)=2-与是奇函数，

・•・/(0)=1-a=0

・・.a=i,仆)r⑴”凸

•・•曲线y=/(x)在(x,y)的一条切线的斜率是|,

解方程可得，=2,

'.x=bi2.

故选：C.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)(2022春•道里区校级月考)下列求导运算正确的是()

A.若/(x)=sin(2r+4),则/(x)=-2cos(2x+4)

B.若/(x)则/(A)=屋31

C.若f(%)=嬴则广(无)=g

D.若/(x)="3则/(x)=bvc+\

【解题思路】由已知结合函数II勺求导公式及复合函数的求导法则分别检验各选项即可判断.

【解答过程】解：若/(x)=sin(2v+4),则/(x)=2cos(2x+4),A错误；

若/Cr)=/2VH,则/J)=-2"%句，B错误；

若/(%)=或，则/(幻二^¥=M，C正确；

若/(x)=xlnx,则/(x)=lnx+\f。正确.

故选：CD.

10.(5分)(2022春•浙江月考)下列说法正确的是()

A.已知函数/(x)=/+2r,则该函数在区间［1,引上的平均变化率为3()

B.已知A(Xi,W)，8(x2,yi)在函数)=/a)图像上，若函数/(x)从川到殍平均变化率为8,

则曲线y=f(x)的割线的倾斜角为?

C.已知直线运动的汽车速度V与时间/的关系是v=2p-1,则1=2时瞬时加速度为7

D.已知函数/。)=依,则/(9.05)-3.008

【解题思路】对于4从结合平均变化率的定义，即可求解，

对于C,结合导数的几何意义，即可求解，

对于。，将x=9.05代入/(外，即可求解.

【解答过程】解：对于A,/(3)=33,/(I)=3,

则该函数在区间”，3]上的平均变化率为"?一，(1)二警=15,故A错误，

3—13—1

对于8,函数/(X)从XI到X2平均变化率为百，

曲线y=/(x)的割线AB的斜率为V5,即曲线y=/(x)的割线AB的倾斜角为g故8正选，

对于C,直线运动的汽车速度V与时间/的关系是V=2r-1,

则V(/)=43

所以V(2)=8,故C错误，

对于。，函数/■(')=4，则/(9.05)-3.008,故。正确.

故选：BD.

11.(5分)(2022春•石家庄期末)若两曲线尸』-I与尸〃加-1存在公切线，则正实数”的取值可能

是()

A.1.2B.4C.5.6D.2e

【解题思路】设公切线与两曲线的切点，利用导数求得过切点的切线方程，再由斜率相等、直线在)，轴

上的截距相等列式，可得a=-4石(伍右一1)，令g(X)=-4.V2(Inx-1)(x>0),再由导数求最值

得答案.

【解答过程】解：切线与两曲线)=f-1与尸内x-1的切点分别为A(xi,户)，B(X2.”)，

由丁一丁-1,得)/—2x,由)-得)，'=?,

则两切线方程分别为y-(%1-1)=2%1(%-%)与y-(alnx2-1)=^-(%-x2),

x2

化简得y=2xrx-1-xl，y=+a伍孙—a-1»

又两条切线为同一条，可得/=石，得Q=-4A交"外一1)，

alnx2—a=-x/

令g(x)=-4/(hix-1)(x>0),得g'(x)=4x(.1-2//tr),

当xW(0,V?)时，g(x)>0,g(x)单调递增,

当xE(Vi,+8)时，g(x)<0,g(x)单调递减，，g(x)max=g(VF)=2e,

・•・〃€(0,2e],

结合选项可得，正实数a的取值可能是ABD.

故选：ABD.

12.(5分)(2022春•佛山期末)设函数/(x)=xex+a+bx,曲线)，=/(x)在点(-2,/(-2))处的切

线方程为)，=(e・1)x-4,则()

A./(-2)=-2e-2B.a=2

C.a=3D./(x)在R上单调递增

【解题思路】求出函数/'(X)的导函数，得到函数在点(-2,/(-2))处的切线方程，结合题意可得

“与的值，得到函数解析式，然后逐一分析四个选项得答案.

【解答过程】解：由/(x)=J(ex+a+bx,得/(x)=/%+城池+4

•・•曲线y=/(x)在点(-2,/(-2))处的切线方程为)，=(e-1)x-4,

：.f(-2)],且-2(e-1)-4=-2^-2-2Z?,

解得a=2,b=e,

：.f(x)=打什2+百，则/(-2)=-2e°-2e=-2e-2,

/(A)=e2-r-Ae1Y+e=(1-A+er_1)e2"r,

令h(x)=1-x+ex'],则h'(x)=-1+，I

可得当.隹(-8,I)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当居(1,+8)时，h'(x)>0,h(x)

单调递增，

：.h(x)2〃(1)=1>0,可得/(x)>0,

则/(x)在R上单调递增，

综上可知，43。正确.

故选：ABD.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)(2022春•福安市校级月考)已知函数/(x)=/(1)则

【解题思路】利用函数求导公式可解.

【解答过程】解：•・•函数/(x)=/(1)f

：.f(x)=2f(1)X・P,

故，(1)=2f(1)-e,得/(1)=e.

故答案为：e.

14.(5分)(2022•宛城区校级三模)曲线产/+加(x<0)在点A处的切线方程为y=3x+2w-2,则切

点4的坐标为(-1,3).

【解题思路】设出A的坐标，求解函数的导数，利用切线的斜率，结合切点在曲线以及切线上，转化求

解即可.

【解答过程】解：设点A（«,b）,«<0,y=x^+m（x<0）可得y'=3x2,

曲线y=x^+m（A<0）在点A处的切线方程为y=3x+2m-2,

所以3。2=3,解得a=-l,

所以-1+机=-5+2m,解得加=4,

所以b=3,

切点A的坐标为（-1,3）.

故答案为：（-1,3）.

15.（5分）（2022•遵义开学）已知函数/（x）=A2r-2,则由线y=/（x）在工=1处的切线与坐标轴围

9

成的三角形的面积为-.

-8-

【解题思路】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程、三角形面积公式进行求解即可.

【解答过程】解：由题意可得f（x）=（2?+2x）a-2,则曲线）,=/（》）在尸1处的切线斜率为4,

切点为（1,1）,

故切线方程为y-1=4（x-1）,即y=4x-3.

令x=0,得y=-3：令），=0,得工=甲

则该切线与坐标轴分别交于点（0,-3）,0）,

4

10q

故该切线与坐标轴围成的三角形的面积为ax3xX='

9

故答案为：

8

16.（5分）（2022•安徽模拟）若直线/：），="+〃是曲线），=/的切线，切点为M（xi,yi）,也是曲线），

=（x+l）2的切线，切点为N（X2,）2）,则Zri-X2=1.

【解题思路】分别求得y=Q,y=2（x+1）2的导数，可得切线的斜率，由切点既在切线上又在曲线上，

可得加，虫的力程，化简可得所求值.

【解答过程】解：y=，的导数为=",），=（x+1）2的导数为y=2（A-+1）,

则k=/i=2（jc+1）,yi=k.x]+b=exl,y2=kx2+b=（刈+1）2,

却有ex]-Ui=rv,（1-xi）=（X2+I）2-2x1（X2+1）,

化为2（,V2+1）（1-Al）=（九+1）2_2x2（X2+1）,X2+l>0,

却有2（I-Xl）=X2+1-Zr2,

即有2x\-X2=1.

故答案为：1.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2022春•海淀区校级月考）求下列函数的导数:

(1))，=(2?-1)(3x+l)；

3-2x

(2)y=

x2+l

（3）y=，cosji.

【解题思路】根据导数的公式即可得到结论.

【解答过程】解：（1）Vy=（2x2-1）（3x+l）；

・•・)，'=4x(3x+l)+3(2A-2-1)=18?+4x-3；

3-2x

•.♦y=而;

-2a2+1)-(3—2乃・2无=2%2-6%-2

(x2+l)2-(x2+l)2

(3)Vy=^rcos.v,

.•.)/=e'cosx-e'siar.

18.（12分）（2021春•嘉兴校级期中）己知曲线丁=马上一点P（1,1）,用导数的定义求在点P处的切

线的斜率.

【解题思路】本题根据题意进行分析，从1到1+ZXx时，曲线的增量为△），，则根据，，空震的意义即可

求得答案.

22

【解答过程】解：Um尹=Um*竽一=Um—（1+△%）=u--2△彳=.~Lx~2=-2.

mZ

30AX-0AXAX^OAX（H-AX）AX（1+AX）AX-0（1+AX）

19.（12分）（2021春•石首市校级月考）已知曲线S：y=2r-/.

（1）求曲线S在点A（I,1）处的切线方程；

（2）求过点4（2,0）并与曲线S相切的直线方程.

【解题思路】（1）先对函数进行求导，根据导函数在点A处的值为切线方程的斜率可得答案.

（2）先设切点坐标，然后得出斜率的表达式求出斜率，最后根据直线的点斜式方程可得答案.

【解答过程】解：⑴Vy=2v-?/./=-3.1+2

当x=l时，），'=-1

・••点A(1,1)处的切线方程为：)，-1=(-1)(x-1)即：x+y-2=0

(2)设切点坐标为(〃?，2m-m3)

则直线斜率左二等挈，

771—2

而y'=2-3，?，

整理得到："P-3〃/+2=0

留3-nf--2(m2_\)=()

m2(m-1)・2(〃i+l)(in-1)=0

1)(〃尸-2rn-2)=0

解得=1,1112=1+V5,相3=1-V3

当m=1时：k=2-3m2=-1,直线方程为y=-(x-2)=2-x；

当M=1+V5时，k=2-3m2=-I0-6V3,直线方程为y=(-10-675)(x-2),

当〃?=1-V5时，k=2-3m2=-I0+6V3,直线方程为)，=(-10+675)(%-2).

20.(12分)(2022•衡阳县校级二模)设/(工)是定义在R上的奇函数，且当时，/(x)=2?.

(I)求x<0时，/(x)的表达式；

(II)令g(x)=/加，问是否存在A0,使得/(x),g(X)在X=X0处的切线互相平行？若存在，请求

出刈值；若不存在，请说明理由.

【解题思路】(1)先取工<0,・x>0,再由奇函数的性质/(X)=・/(・x)及％20时，/(%)=2?.求

出解析式即可

(II)求出两个函数的导数，令/(w)=g'(刈)，若此方程有根，则说明存在，否则说明不存在

【解答过程】解：(I)当xVO时，-x>0,/(x)=-/(-x)=-2(-K)2=-2?；

(H)若/(X),g(x)在刈处的切线互相平行，则/(xo)=g'(AX)),

f'(%0)=4x0=g，Oo)=白，解得，&=±4'

x0L

-1

Vx^O,得%o=2-

21.(12分)(2021•秦州区校级一模)已知函数/(x)=2?-3(a・l)/+4x+6”(«eR),g(x)=4x+6.

(1)若函数y=/(x)的切线斜率的最小值为1,求实数。的值；

(2)若两个函数图象有且只有一个公共点，求实数。的取值范围.

【解题思路】(1)先求函数的导数，利用二次函数的最小值的为1,解方程即可求得实数。的值；

(2)将题中条件：”两个函数图象有且只有一个公共点，”等价于"h(x)=/(x)-g(X)=2/-3

(a・1)/+6(a-1)图象与工轴只有一个交点”，利用导数求得函数的极值，最后要使力(x)=f(x)

-g(x)=2?-3(a-1)/+6(«-I)图象与x轴只有一个交点，得到关于a的不等关系，从而求实数

。的取值范围.

【解答过程】解：(1)/(工)=2/-3(a-I)，+4x+6a,求导得

2

』-2

/J(x)=66(a-1)x+4>>xSx4'x翌6"=4-2'(a-l)'=1,

：.a=\上",

(2),:g(x)=4x+6的图象是一条直线，

因此两个函数图象有且只有一个公共点的个数取决于方程/(x)=g(X)的解的个数，

所