专项复习：平面与平面平行

8.5.3平面与平面平行

【学习目标】1.借助长方体，通过直观感知，/解空间中平面与平面的平行关系，理解并掌握平面与平面平

行的判定定理.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.

一、平面与平面平行的判定定理

问题1如图(1),。和匕分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面

平行吗？如图(2),c和“分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行

吗？该如何判定平面与平面平行呢？

知识梳理平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内的___________与另一个平面平行，那么这两

文字语言

个平面平行

au仇____________

符号语言

,b//aj

图形语言

Ld

简记线面平行，则面面平行

例1(1)已知机，〃是两条直线，a,4是两个平面，有以下三个命题：

①〃相交且都在平面a,“外，/〃〃夕，鹿〃a,〃〃夕，则a〃£；

②若w〃a,〃夕，贝ija〃1；

③若〃〃夕，/“〃〃，贝ija〃夕.

其中正确命题的个数是()

A.OB.1

C.2D.3

(2)如青，在正方体A8CD・A|BiGDi中,M，E,F,N分别是4囱，BC,GA，54的中点

D

求证：①£F,。，A四点共面;

②平面M4N〃平面EFDB.

反思感悟平面与平面平行的判定方法

①定义法：两个平面没有公共点.

②判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.

③利用平行平面的传递性：若a〃氏p//yf则a〃y.

④借功面面平行判定定理的推论，转化为线线平行的证明.

跟踪训练I如图，在四棱锥A4AC。中，AB//CD,E,F,G分别是PC,PD,的中点，求证:

平面〃平面EFG.

二、平面与平面平行的性质定理

问题2若两平面a与夕平行，那么平面Q内的宜线。与平面”有何位置关系？平面。内的直线。与平面夕

内的任一直线〃有何位置关系？何时。与〃平行？

问题3通过问题2,请归纳出从面面平行推出线线平行的结论，并进行证明.

知识梳理两个平面平行的性质定理

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两

文字语言

条交线__________

符号语言a//p,aC\y=a,0n尸b=______

图形语言

简记面面平行，则线线平行

例2如图，已知C。是夹在两个平行平面如尸之间的线段，M,N分别为A8,。。的中点.

求证：//a.

反思感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步躲

'定翁件:审题看是否有平面与平面平行

找平面］~~►［找（或作）第三个平面与已知两个平面相交

'定交线:-I确定一线的值一

、得随得两条交线互相平行

跟踪训练2如图，在三棱锥A4AC中，。，E,尸分别是尸4,PB,PC的中点，M是48上一点，连

接MC,N是与OE的交点，连接NP,求证：NF//CM.

三、平行关系的综合应用

例3如图，在三棱柱A8C-AIC］中，E,F,G分别为EG，AS，A8的中点.

⑴求证：平面4GG〃平面BEP；

(2)若平面AiGGA8c二〃，求证：〃为8c的中点.

跟踪训练3已知平面a〃6P是a,夕外一点，过尸点的两条直线抬，PB分别交a于点A,B,交4

于点C,D,且PA=6,AC=9,48=8,则CO的长为.

■课堂小结-------------------------------------------------------------------------------------

1.知识清单：

(1)平面与平面平行的判定定理.

(2)平而与平面平行的性质定理.

(3)平行关系的综合应用.

2.方法归纳：转化与化归.

3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.

«__随___堂_-演...练..._._._.____________

1.已知m〃表示直线，«,尸，y表示平面，则下列推理正确的是()

A.an夕=a,Z?UQ=a〃/?

B.a//a,a//[i=^a//p

C.a〃4，b//p,aua,bua=a〃B

D.a〃人aDy=a,pC\尸b0a〃b

2.已知平面a,夕和直线〃z,〃，〃ua,则“/〃〃夕〃〃,8"是"a〃夕”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.如图所示，设E,F,Ei，R分别是长方体A8CO-481GA的棱A8,CD,4囱，Gd的中点，则平

面EFDIAI与平面BCF\E\的位置关系是()

C.异面D.不确定

4.如图所示，尸是△ABC所在平面外一点，平面a〃平面43C,。分别交线段HA,PB,尸。于点4,

B',C',若PA'：AA'=2：3,则S"B'C'=_________.

SRABC

p

答案精析

问题I三角尺和桌面一定平行，硬纸片不一定平行.即如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平

行，那么这两个平面平行.

知识梳理

两条相交直线bu/SaC\h=Pa//a

例1(1)B

(2)证明①如图，连接囱。|,

,:E,尸分别是边5G,GDi的中点,

:・EF〃B\D\.

而BD〃B\D\,

：,BD//EF.

F,。，〃四点共面.

②易知MN〃BiD\,BD〃BD,

又MMZ平面EFDB,

BQu千面EFDB,

・・・MN〃平面EFDB.连接MF,

IM,尸分别是48,GW的中点,

・・・MF〃A|Oi,MF=AiDit

又AQi〃A。，A\D]=AD,

：.MF//ADtMF=AD,

・•・四边形AOFM是平行四边形，

：.AM//DF,

又AMQ平面EFDB,

DFuT面EFDB,

・・・AM〃平面EFDB.

AM,MNu平面MAN,

.•・平面MAN〃平面EFDB.

跟踪训练1证明•:E,G分别是PC,BC的中点，・・・EG〃P8,

又・・・E(8平面PAB,

PBu平面PAB,

・・・EG〃平面PAB,

VE,尸分别是尸C,尸。的中点,

：.EF//CDy又・・・A8〃CO,

:,EF〃AB、

•:EFd平面PAB,ABu平面PA8,

尸〃平面PAB,

又EFCEG二E,

EF,EGu平面EFG,

・•・平面PA8〃平面EFG.

问题2直线。与平面夕平行.直线。与平面夕内的任一直线〃平行或异面.当。与〃不异面，却在同一个平

面内时，。与/?平行.

问题3归纳结论：两个平面平行.如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

证明如图，平面。〃从平面y分别与平面。，£相交于直线小b.

•「an尸a,

0n产b,

♦.aua,

又a%

：・a,b没有公共点.

又a,b同在平面y内，a//b.

知识梳理

平行a//b

例2证明若A8,。。在同一平面内，则平面ABDC与a,4妁交线分别为8。，AC.

,:J.AC//BD.

VM,N分别为A8,8的中点，

又BDua,MNQa,：.MN//a.

若48,CO不在同一平面内，如图，过点A作AE〃C。交a于点石，取AE的中点P,连接仞P,PN,

BE,ED.

9：AE//CD,

：.AE.CO确定平面AEOC,且与a,£的交线分别为EO,AC.

■:a/邛,：.ED//AC.

又P,N分别为AE,CD的中点，

：,PN//ED,又PNGa,EDua,

:.PN//a、

同理可得MP〃呢

又MPCPN=P,

MP,PNu平面MPN,

・•・平面MPN〃*

又MMz平面MPN,：.MN//a.

跟踪训练2证明因为D,E分别是PA,PB的中点，所以。E〃AB.又D助平面48C,48二平面A8C,

所以DE〃平面A8C,

同理D/7〃平面ABC,

且DECDF二D,

DE,DRz平面DEF,

所以平面DE尸〃平面ABC.

又平面PCMCI平面DEF=NF,

平面PCA/n平面ABC=