上海市闵行区2025-2026学年高三年级上册学业质量调研数学试卷（解析版）

闵行区2026届高三一模数学试卷

2025.12

一,填空题(本大题共12题，1・6每题4分，7・12每题5分，共54分)

1.［知全集二集合/={-2,-1,0},则］=

【答案】{1,2}抻{2,1}

【解析】

【分析】利用补集的定义可得集合7.

【详解】因为全集。={・2,-1,0,1,2},集合/={-2,-1,0},则7={1,2}.

故答案为：{1,2}.

x+3

2.不等式一^<0的解集为

x-2-----

【答案】(一3,2)

【解析】

【分析】将分式不等式转化为二次不等式，即可得解.

T+3

【详解】不等式__^<0等价于(x+3)(x—2)<0,

x-2

13

.•.「v；<：0的解集为(一3,2).

x-2

故答案为：(-3,2).

3.若复数z的实部为1,虚部为正数，且忖=J5,则2=

【答案】1+i

【解析】

【分析】根据复数的相关概念，以及复数的模长公式，建立方程，可得答案.

【详解】由复数Z的实部为1,虚部为正数，设2=。+勿，具中。=11>0,

由同=啦，则以+从="解得力=1,所以z=l+i.

故答案为：1+i

4.(x+1)’的展开式中，/项的系数为.

【答案】10

【解析】

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中r5项的系数.

【详解】（x+l）s的展开式的通项公式为1+产矿产"令5T-=3,求得,・=2,

可得展开式中r项的系数为C；=10.

故答案为：10.

5.某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的

方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是

【答案】6

【解析】

【分析】根据题意，利用分层抽样的定义和计算方法，即可求解.

48

【详解】根据题意，可得抽取的专业技术人员的人数是25xk=6人.

故答案为：6.

6.过点以1,1）的直线被圆/+必=4截得的最短弦长为

【答案】2&

【解析】

【分析】先确定圆的圆心与半径，计算点到圆心的距离，利用"直线与圆心和点的连线垂直时弦长最短”

的结论，结合弦长公式计算最短弦长.

【详解】圆/+产=4的圆心为o（o,o）,半径〃=2.

22

点P（1』）到圆心O的距离为|OP|=>/（1-0）+（1-0）=V2.

当直线与OP垂直时，圆心到直线的距离最大（等于|。尸|）,此时弦长最短.

最短弦长为2）八一|00|2=274^2=2J5.

故答案为：2.

7.若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则其侧面展开图的扇形的圆心角弧度数是.

【答案】

【解析】

【分析】由题意设圆锥的母线长为/=应,求得底面圆的半径/*=1,求得底面圆的周长为2万，结合弧长

公式列出方程，即可求解.

【详解】由题意，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，可设圆锥的母线长为/二J5，

则圆锥的底面圆的直径为2r=2,即r=1,

所以底面圆的周长为2万厂=2兀,

设侧面展开图的扇形的圆心角弧度数为。，可得axJS=2不，解得a=JLr.

即侧面展开图的扇形的圆心角弧度数是缶.

故答案为：J%.

8.已知｛/｝是等比数列，若外、为是函数歹=/+3x+l的两个零点，则。3=

【答案】-1

【解析】

【分析】首先利用韦达定理可得再利用等比数列的性质即可求解.

【详解】由题意可知/+3x+l=0的两根为4，%所以由韦达定理可知《+。5=-3,卬・%=1，

所以q<0,%<0，

因为｛q｝是等比数列，其通项满足。3=qd，公比的平方d>0（若4=0则％=0,不符题意）,

所以2与《同号，故&<。,乂因为4・%="；=1，

综上可得%=-1.

故答案为：—1.

9.若点P是边长为I的正三角形,"C外接圆上的一点，则万.比的最大值为

【答案】B心有

33

【解析】

【分析】以V/8C的外心O为原点建系，设cosO,乎sinO,根据坐标运算即可求出.

【详解】如图所示：。为V/18C的外心，以。为原点，平行于8c的直线为x轴建立平面直角坐标系,

因等边V/16C的高为巫，

贝I」月0⑻/1G]

2唱T6T?~

因圆则设。便8池/建

33

-y^cosO,^-^ysinO,^C=(1,O),

则方=

所以苏•瓦？二一3cos。，所以当cos€)=—1时，中.元的最大值为正

33

故答案为：也

3

10.某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同

的排法种数为

【答案】36

【解析】

【分析】将甲、乙相邻的排列种数减去甲、乙相邻且甲站在两端的排列种数，即可得到答案.

【详解】先让甲、乙相邻共有用种情况，再将甲、乙捆绑与其他三人排列共用种情况，

所以甲、乙相邻共力；力：种情况.

甲、乙相邻且甲站在两端时：若甲在首位，则乙在第二位，其他三人全排列，有4种排法；若甲在末位,

则乙在倒数第二位，其他三人全排列，有H种排法.

故共有24；种情况.

所以甲、乙相邻，且甲不站在两端，不同的排法种数为《团-24；=36.

故答案为：36.

11.草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正二角形活动区域43C,点尸在边上，且

IPB1=21尸CI，小闵同学在该区域玩耍，他在P处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两

条光线的最大夹角）为60。，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为

【答案】125石

【解析】

【分析】根据给定信息确定照射面积最大时情况，再利用正弦定理、三角形面积公式列式，利用基本不等

式求出最大值.

【详解】依题意，要使手电筒在48c内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过48、4C边，如

图,

71

在正V/8C中，4EPF=—,BP=20,CP=10,设4BPF=/CEP=0,

3

PBBFcl20sin<9

-----------=-----Dr=

.2兀qsin。，则./2兀幻,

sin(--6/)-------------------------sin(--<9)

2兀

.10sin(--6>)

73—2120sin6>7rl777T

=-----3()~----------------------20sin---l0---------------------sin-

42•7兀32sin。3

sin(------0)

,2兀八、

sin(--^)

=225石-10073———-25行

sin(”)sing

人."sin(--^)

=2256-25®―*+——------]<125石,

si吟一夕)

4sin。sin（----g）r-

当且仅当一y——=--,即tan6=Y>，亦即。时取等号，

疝（如一夕）即。36

所以手电筒在力夕。内部所能照射到的地面的最大面积为1256m2.

故答案为：125J1

12.已知集合了=｛（占卜）㈤1/ER｝,K,=｛（x,y）|y=（〃lnx+》2｝；如果存在（%,然）eA9,对于属

于7且不属于任意（。工0）的所有元素（x，y）,都有y-xV%-%成立，则为一4的取值范围是

【答案】［81n2-4,+e）

【解析】

/］、2______2

【分析】根据题目得到比-4=［aIn/+--x0>卜Jin%）一%二4In/一%,构造函数

/（%）=41n/7o,利用导数分析单调性，求出/&））a=/（4）=81n2-4,从而得到

j/0-x0£［8In2-4,+8）.

【详解】因为（/，为）£〃公所以盟=（alnxo+，］，

Ia）

No一%二（alnxo+｝）-x0>）-x0=4lnx0-x0,设=一%,则

小。），1=4,

%与

令fM=>0=>x0G（04）,/（x0）=<0=>x0G（4,+O））,

X。x0

所以/（%）在（L4）单调递增，在（4,十”）单调递减；/（/）3=/（4）=81112-4,

故见一/£［81n2-4,+8）.

故答案为：［8In2-4,+oJ）

二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）

13.抛物线/二％的准线方程为：）

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线标准方程求出准线方程.

【详解】解：抛物线V=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=l,-'y=^

..・抛物线/=x的准线方程为x=.

4

故选：B.

11

则

是

成

立的

a><条件

14,已知非零实数a、b，-b-

。

A,充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】D

【解析】

【分析】取。=1/二-1判断充分性，取。=-1/=1判断必要性.

【详解】取。=满足。＞人但不成立，充分也不成立；

ab

取〃=-1,6=1,满足,〈I,但。＞人不成立，必要性不成立.

ab

由题意可知：是成立的既不充分也不必要条件.

ah

故选：D.

15.从等差数列：1、2、3、L、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列｛4｝.第一次取出数字力”，

然后从取出的力”开始往后数2个数的生，再取出往后数到3的数名，…，以此类推，如果某次取出的是

数字“4”，则下一次从取出的“％”开始往后数左+1个数，再取出数到攵+1的数字“%+J';兰往后数的数

字个数小于“4+1”时，结束取数.那么｛%｝的最后一项是（）

A.6B.990C,999D.1000

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得到｛%｝的通项公式，即可求解.

【详解】由题知：q=1,%=1+2,%=。2+3=1+2+3,。4=%+4=1+2+3+4,

k(k+l)

….4=4T+Z=1+2+3H-----\-k--------

则为4=^^=990,a45=^^=1035>1000,

所以｛%｝的最后一项是990,

故选:B.

16.如果“若P,则”'和"若心则P”中有且仅有一个真命题，称夕与夕具有“U—关系”.已知函

数y=/(x)的定义域为R，〃：j=/(x)为偶函数，则P与下列选项中的乡具有“u—关系”的为

()

A.q,.对任意xwR都有一—(x)2/(x)B.q：对任意xeR都有/(—x)N/(x)

c.q：对任意XER都有/'(-x)=|/(x)|D.q：对任意xwR都有/(—x)=/(|x|)

【答案】C

【解析】

【分析】由〃：f=/")为偶函数，得/(r)=/'(x),结合“u—关系”的定义可得出答案.

【详解】由〃：y=/(x)为偶函数，M/(-x)=/(x)

对干选项A：=为假命题，"夕=>"”也为假命题，故A错误；

对于选项B由/(一,=/(%)得了(一乃2/(劝成立,故“png”为真命题，

而对任意x£R都有/(-X)>/(X)可推出/(-X)>/(X)且/(XI>/(-X),

从而/(-x)=/(x)成立，所以“9nP”也为真命题，故B错误；

对于选项C：易得“Pnq”为假命题，

而由夕：f(-x)=|j\x)|,用一x替换x得/(x)=|/(-x)|,

又因/(-x)=|/(x)|之0,故|/(T)I=〃T),所以/(x)=/1-x)成立，

所以“夕=P”为真命题，故c正确：

对于选项D：“，=9”为真命题，

由干由/(-X)=/(IXI).用一X替换X得/(X)=/(|-XI)=/(Ix\).故/(T)=f(x),

所以“夕=P”也为真命题，故D错误；

故选:C.

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）

17.如图，三棱锥中，侧面HC与底面44C都是以4C为斜边的等腰直角三角形，。为力。中

点.

（1）求证：ACA.PB

（2）若POtOB,求二面角P—48—C的大小.

【答案】（1）证明见解析

°劣

⑵arccos——.

3

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得出/C_L平面PO8,再根据线面垂直的性质定理求证;

（2）取力3边中点，，求证/尸”。为二面角P—48—C的平面角，在△P"。中计算即可.

【小问1详解】

因为侧面4c与底面力BC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点，

所以R9JL4C,8OJ,4C,

因为POc80=O,PO,BOu平面POB,所以力CJ_平面P08,

因P8u平面。。8,所以力CJ.P8；

【小问2详解】

取力〃边中点〃，

因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，0为AC中点，

所以/。=8。=。0=。。，

设.4O=BO=CO=PO=2,则4P=48=2后，

因P0_L03,则P8=2jl，所以力2=82，

所以尸H_LAB.OH1AB，则/PHO为二面角?一力7?—。的平面角.

因。。_1。优。。，4。,。8口。。=0,。伉。。(=平面45。，则尸O_L平面4BC,

因。〃u平面48C,则P01。”,

又()H=>AB=6,则尸”=7?71="，^lcosZPHO=—=^=—,

2PH瓜3

所以二面角。-4？一。的大小为arccos走

3

18.已知函数y=/(x),/(x)=/sin(69x+。)(J>0,@>0,|^|<^),其部分图象如图所示.

(1)求y=/(x)的解析式;

(2)在V力BC中，仇。分别是角4法。的对边，若/(8)=1,。，仇c成等差数列，判断V力BC的形

状.

【答案】⑴/(x)=2sin2x+^

I6

(2)等边三角形

【解析】

【分析】(1)由图可知/=2./(0)=1,f\j=2,将数值代入函数解析式即可求得相关参数;

(2)根据/(3)=1求得3=四，再利用正弦定理将。+。=2力化为sin4+sinC=2sin8,进一步化简得

3

到sinC+二兀=1,从而求出。二巴，即可求出答案.

【6)3

【小问1详解】

由图知：4=2,

/（0）=2sin^=l,因为|9|vg,所以（p二g

26

/[—|=2sin—（o+—=2,所以£（0+乙=¥+2Mc#wZ,解得co=2+12左,1wZ,

\6J166J662

।G

由一x—＞一得。＜3,所以co=2,

4696

所以/（x）=2sin（2x+^）

【小问2详解】

因为/（3）=1且兀），所以3=1，

因为成等差数列，所以。+。=26,

由正弦定理得sinA+sinC=2sinB,

因为sin4=sin（兀-3-C）=sin（5+C）,所以5出（3+。）+5m。=25访8,

将B=1代入得sin[1+C）+sinC=2siny,

展开得sin?cosC+cos三sinC+sinC=2sin—,

333

即,cosC+且sinC=1，

22

即sinC+-^j=1,

因为。£（0,兀），所以。二g,

J

所以/=8=C=m，所以V45C为等边三角形.

J

19.小闵同学某一天进行了10次10（）米短跑集训，其中上午进行了6次，下午进行了4次；如下是他上午

集训6次的成绩（单位：s）：13.7、13.9、14.9、15.3、12.9、13.3.

（1）求这6次成绩的中位数；

（2）参考这一天上午集训的数据，用经验概率估计概率，求该同学训练100米短跑3次至少有一次用时

小干13s的概率；

（3）若该同学下午4次的集训原始成绩记录丢失，但记得这4次的平均成绩是14.25s,方差是0.75,求他

这一天10次训练成绩的平均值和方差.

【答案】（1）13.8；

91

(2)

216

(3)均值7=141,方差$2=0.745.

【解析】

【分析】（1）将数据由小到大排列，然后由中位数定义求解可得；

（2）根据上午的成绩，由频率估计概率的方法求出用时小于13s的概率，然后由相互独立事件的概率乘法

公式和对立事件的概率公式求解可得；

（3）利用分层平均数和分层方差公式求解即司;

【小问1详解】

将这6次成绩从小到大排列为：12.9、13.3、13.7、13.9、14.9、15.3,

这6次成绩的中位数为：13.7：13.9=]38：

【小问2详解】

用时小于13s的概率为：P]=-,所以该同学训练100米短跑3次至少有一次用时小于13s的概率为：

3_91

尸=1_(1_城=1

-216

【小问3详解】

13.7+13.9+14.9+15.3+12.9+13.3…

上午六次的成绩平均数为：（--------------------------------=14,

6

上午六次的方差为:

s；='[(12.9-14)2+(13.3-14『+(13.7-14『+(13.9-+(14.9-14)2+(15.3-14)1=焉

设下午四次成绩平均数为兀=14.25,下午四次的方差为=0.75,

6x14,4x14.25

总的平均数为：x==14J>

10

总的方差为:

八部:+6硝+如"6可]*S+(14.1-14)'+—^+(14.1-14.25)'=0.745

20.已知双曲线「：--歹2=1,直线/过点M（叽0）,nieR,且与「的右支交于P、0两点，与「的两

条渐近线分别交于4、4两点，其中力、尸在第一象限，B、0在第四象限.

3）求「的两条渐近线的夹角；

（2）若M为「的右焦点，求△。彳8的面积的最小值；

（3）若|4「目「。|=|。例,求刑的取值范围.

【答案】⑴90°：

R/?

（2）2（3）

4

【解析】

【分析】（1）求得渐近线方程，得到倾斜角即可求解；

（2）设直线/方程为：x=ty+五,联立渐近线方程求得48坐标，结合直角三角形面积公式即可求解;

（3）由14PHp2HQ8|,得到|明二3|P0|,即以一阖二3|乃，一⑷，结合韦达定理即可求解.

【小问1详解】

由双曲线方程可得渐近线方程为J=±工，

两条渐近线的倾斜角分别为45。,135。，

所以两条渐近线的夹角为90。；

【小问2详解】

由题意直线/斜率不为0,故设方程为：x=（y+V2,/€（-1?1）

广0

x、

正

/应

C=小

JX=w+(

——

联

解得

立

，

1、M

=，

正

y〕T

1yX=V/

:〕

r近

X

后>

=再Kr_

伊V2_

一2

——

联

得

解

，

、

整14-r/

一7

y=

i〕

所以当r=0时，|1-叶取最大值，此时面积最小,

m

x=ty+mX~mm

联立解得：即力

y=xmJ77'R

尸匚7

m

x=---

x=ty+nt1+'即8m-m

联立解得：9

-m(1.+r9.\+t)I

y=—

1+z

联立,：二；:，消去x得：(『-1)>2+2〃?夕+(〃/-1)=0,

由72mtw2-1

所以》+〉0=_鼻，歹/>歹0=^7^

由14Pl=|尸0|=|081，得|4邳二3|尸0|,

所以|力一力|=3|4-%|

"7-〃？-E\2；-\(2mtY,m2-1

所以口—777=3,(力+为)-4^=3^-^-4x7TrJ

(2mV(2mtYni2-1

I.\-t2)\t2-\t2-\

即4m2=9(4〃?2+4『一町.

即〃尸=2(1-r)，因为所以0<加2«2,

乂P、。两点在「的右支上，所以，m>1,

所以1v〃7W3。.

4

21.已知函数y=/(x)的定义域为R,对于Xo^R,若3/'(')«/[)}二(-8，/]，且

｛x/(x)>/(x0)｝=[x0,+oo),则称/为y=/(x)的一个点”,记M/为y=/(x)的所有“A/点”构

成的集合.

0,x=0

(1)若/(x)=,1八，分别判断OeMf与leMf是否正确；

一，"0

(2)证明："."£//”的一个充要条件为“当工工/时，八?]，“)

(3)已知/(x)=(a-l)|x-b|+(Q+l)|x+b|,g(x)=ax4+2x3-3(b+l)x2+6bx+2b,其中。、

beR,记4=｛歹|歹=/(%),戈0€4//｝。0,8=｛川y=8(%),与£MJ工R.若月口8=4,求a+6

的取值范围.

【答案】(l)OwM/.,正确；IC%不正确：

(2)证明见解析(3)[1,1)U(1,3].

【解析】

【分析】(1)由题意可知，当工工0时，/(x)=L,根据“M点”的定义即可判断；

X

(2)分别从充分性和必要性讨论x>/,x<%的情况即可得证；

(3)分类讨论〃>0,〃<0下的g(x)不存在“财点”，得出。=0,再分类讨论，b<0,b=0,b>0

下的/(%)的““点”的情况,得出/二(一2仇26)=3,求出g'(x)=6(x-l)(x—b),从而求出B,即

可求出力，从而求出。+/7的取值范围.

【小问1详解】

由题意可知，当xwO时，/(x)=一,