高一数学：事件的关系和运算

10.1.2事件的关系和运算

课标要求了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算.

【引入】上一节课我们学习了用集合来表示样本空间，事件则被定义为样本空间

的一个子集.我们知道，集合之间有确定的关系，可进行交、并、补等运算，那么

用集合表示的事件之间是否也有这些情况呢？

一、事件的关系

探究1在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：

Ci="点数为广，i=l,2,3,4,5,6；

Ds=“点数不大于3"；Di=“点数大于3”；

E\="点数为1或2"；Ei="点数为2或3”；

F="点数为偶数"；G="点数为奇数”.

用集合的形式表示事件Ci="点数为1”和事件G="点数为奇数”，借助集合

与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

提示G={1|,G={1,3,5},(I){1,3,5).

【知识梳理】

两个事件的关系

定义符号图示

一般地，若事件A发生，则事件8一定发

包含BA

生，称事件B包含事件4或事件A包含于

关系(或AB)----

事件5)

特别地，如果事件区包含事件A,事件A

相等

也包含事件8,即且贝1J称A=B

关系a

事件A与事件8相等

例1在掷骰子试验中，可以得到以下事件：

4：｛出现1点｝;&｛出现2点｝;C｛出现3点1;。：｛出现4点｝;氏｛出现5

点｝;氏｛出现6点｝;G：｛出现的点数不大于1｝；｛出现的点数小于5｝；/：

｛出现奇数点｝;J:｛出现偶数点｝.

请判断下列两个事件的关系：

(1)3_______H;(2)DJ；

⑶石h(4)4G.

答案⑴(2)(3)(4)=

解析因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四

种情况，

所以事件B发生时，事件“必然发生，

故BH；

同理。J,Eh

又易知事件人与事件G相等，即4=&

思维升华判断事件之间的关系，主要判断表示事件的两集合间的包含关系.

训练1掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件:A为“3次正面向上”，

8为“只有1次正面向上”，。为“至少有1次正面向上”，试判断事件48,

C之间的包含关系.

解当事件A发生时，事件。一定发生；

当事件B发生时，事件C一定发生，

因此有AGC,B£C.

当事件A发生时，事件8一定不发生；

当事件8发生时，事件A一定不发生，

因此事件A与事件8之间不存在包含关系.

综上，事件A,B,。之间的包含关系为AGC,BQC.

二、事件的运算

探究2在探究1的掷骰子试验中：

⑴用集合的形式表示事件功="点数不大于3"，事件⑹=”点数为1或2”和

事件员="点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件

之间的联系吗？

⑵事件C2="点数为2"，事件及="点数为1或2”和事件及=”点数为2或

3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

提示(1)DI={1,2,3),Ei={l,2}和及={2,3},{1,2}U{2,3}={1,2,

3},即

(2){1,2}C{2,3)={2},即以0瓦=。2.

【知识梳理】

事件的运算

定义符号图示

一般地，事件A与事件B至少有

一个发生，这样的一个事件中的

并事件（或和

样本点或者在事件A中，或者在408(或4+8)

事件）n

事件8中，则称这个事件为事件

A与事件B的并事件（或和事件）

一般地，事件A与事件8同时发

生，这样的一个事件中的样本点

交事件（或积

既在事件A中，也在事件8中，"8（或他

事件）n

则称这样的一个事件为事件A与

事件3的交事件（或积事件）

例2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件4="3个球中

有1个红球2个白球”，事件〃=“3个球中有2个红球1个白球"，事件C=“3

个球中至少有1个红球”，事件。="3个球中既有红球又有白球”.求：

⑴事件。与A，B是什么样的运算关系？

（2）事件。与A的交事件是什么事件？

解（1）对于事件。，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，

故D=AUB.

（2）对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个

均为红球，故CAA=A

思维升华事件间的运算方法

（1）利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利

用这些结果进行事件间的运算.

⑵利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的

结果，把这些结果在图中列出，进行运算.

训练2(1)甲、乙两人犯立地破译一份密码，设事件"甲成功破译”，事件8

="乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为()

A.AUBB.4PBC.AUBD.AQB

答案A

解析“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一人成功破译密码，而事件

AU8指的就是至少有一人成功破译密码.

(2)在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，事件M

表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件N表示随机事件“两次掷出的

点数和比9大”，用(A力表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，/表

示第二次掷出的点数，则事件MGN=()

A.j(6,6))B.((4,6),(6,6)}

C.{(5,6),(6,6))D.{(4,6),(6,4),(6,6)}

答案D

解析根据题意，事件M={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,

2),(6,4),(6,6)},事件N={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},

所以事件MGN={(4,6),(6,4),(6,6)).

三、互斥事件与对立事件

探究3在探究1的掷骰子试验中，

(1)用集合的形式表示事件。3="点数为3”和事件C4="点数为4”，借助集合

与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

提示C3={3},C4={4},CSAC4=.

⑵用集合的形式表示事件厂="点数为偶数”，事件G="点数为奇数”，借助

集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

提示尸={2,4,6),G={1,3,5},FUG=Q,FDG=.

【知识梳理】

1.互斥事件

一般地，如果事件A与事件3丕能回其发生，也就是说An旦是一个

定义

不可能事件，即AC13=4则称事件A与事件区互斥（或互不相容）

含义A与B不能同时发生

符号表示An

图形表示

2.对立事件

一般地，如果事件A和事件B在任何一次试脸中有且仅有一个发生，

定义既AUB=。，且人03=0,那么称事件A与事件3互为对立，事件A

的对立事件为A

含义A与B有且仅有一个发生

符号表示4G—=0,AU8=O

图形表示

温馨提示（1）对立事件一定互斥；（2）互斥事件不一定对立.

例3（1）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不

对立的两个事件的是（）

A.“至少有1个红球”与“都是黑球”

B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”

C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”

D.“都是红球”与“都是黑球”

答案D

解析从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果有以下三种：

1红1黑、2红、2黑.

“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，与“都是黑球”是对立事件，因此A

不满足题意；

“恰好有I个红球”和“恰好有1个黑球”是同一个事件，因此B不满足题意；

“至少有1个黑球”包括1红1黑、2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑、2

红，这两个事件不是互斥事件，因此C不满足题意；

“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，因此D满足题意.

⑵(链接教材P235练习T1)一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有

一次击中”为对立事件的是()

A.两次均击中B.恰有一次击中

C.第一次击中D.两次均未击中

答案D

解析事件“至少有一次击中“包含“一次击中”和“两次均击中”，与“两次

均未击中“互为对立事件，因此D正确.

思维升华判断互斥事件、对立事件的两种方法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断.不可能同时发生的两个事件

定义法为互斥事件：两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立

事件，对立事件一定是互斥事件

(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；

集合法(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含

的结果组成的集合的补集

训练3如果事件A,8互斥，记无，不分别为事件A,B的对立事件，那么①

是必然事件；②万是必然事件；③了与否一定互斥；④了与否一定不互斥.

其中正确的是_______.

答案②

解析用Venn图解决此类问题较为直观，

如图所示，1U万是必然事件，则②正确，①③错误.

若A与3互斥且对立，则1=3,B=At则④错误.

【课堂达标】

1.甲、乙两个元件构成一并联电路，设事件£="甲元件故障”，事件尸="乙元

件故障”，则表示电路故障的事件为()

I—0—1

A.EUFB.EQFC.EC\~FD.EUF

答案B

解析因为甲、乙两个元件构成一并联电路，

所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事

件为EOF.

2.在含1()件次品的1()0件产品中，抽查1()件产品，记事件A为“至少有2件次

品”，则A的对立事件为()

A.至多有2件次品R至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

答案B

解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9个样本点，

故它的对立事件为含有1或。件次品，

即至多有1件次品.

3.某人射击一次，设事件人为“击中环数小于4”，事件〃为“击中环数大于4”，

事件C为“击中环数不小于4”,事件。为“击中环数大于0且小于4”，则正

确的关系是()

A.A与B为对立事件B.B与。互斥

C.C与D为对立事件D.B与D互斥

答案D

解析在A中，A和6是互斥但不对立事件，故A错误；

在B中，8和C能同时发生，不是互斥事件，故B错误；

在C中，C与力是互斥事件，故C错误；

在D中，8与。为互斥事件，故D正确.

4.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位

数是偶数，事件8表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件AA8用

样本点表示为.

答案{10,20,30,40,50,32,42,52,54)

解析从()，1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数，

所有的样本点为1(),12,13,14,15,20,21,23,24,25,3(),31,32,34,

35,40,41,42,43,45,50,51,52,53,54,共25个，

则事件A={1O12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54),

事件8={10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54},

故事件4G8用样本点表示为{10,20,30,40,50,32,42,52,54).

------------------------课时精练------------------------

一、基础巩固

1.打靶3次，事件4=“击中i发"，其中i=0,1,2,3.那么A=4LM2UA3表

示()

A.全部击中B.至少击中1发

C.至少击中2发D.全部未击中

答案B

解析4U42UA3表示的是4,4,A3这三个事件中至少有一个发生，即至少击

中1发.

2.抛掷一枚质地均匀的骰子，有随机事件A="向上的点数为1或3"，B="向

上的点数为偶数”，则下列说法正确的是()

A.A与8对立巳1与3对立

C.A与B互斥D.4与不互斥

答案C

解析・・・A=”向上的点数为1或3"，B="向一的点数为偶数”，

：.A="向上的点数为2,4,5,6"，B="向上的点数为1,3,5”，

・・・4与B是互斥事件，但不是对立事件.

3.向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10,事件8

表示两次点数之和能被5整除，则事件不AB用样本点表示为()

A.{(5,5)}B.{(4,6),(5,5))

C.{(6,5),(5,5)}D.{(4,6),(6,4),(5,5)}

答案D

解析事件一样本点表示的集合为{(5,5),(6,6),(4,6),(6,4),(5,6),(6,

5)},

事件8样本点表示的集合为{(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(5,5),(4,6),(6,

4)),

所以事件InB表示两次点数之和大于等于10且两次点数之和能被5整除，

用样本点表示为{(4,6),(6,4),(5,5)).

4.(多选)设A,B是两个任意事件，下面关系正确的是()

A.A+B=AB.A+AB=A

C.ABAD.A(4+B)=A

答案BD

解析若A+8=A,则8A,故A错误；

由题意知，ABA,・・・A+A8=A,B正确；

•・•当事件A,B都不发生时，X不发生，但A不发生，

AA再不是A的子集，C错误；

VA(4+B),・・・4(A+8)=A,D正确.

5.设A,3为随机事件，尸为事件出现的概率.下歹J阴影部分中能够表示P(1nB)

的是()

ABCD

答案C

解析对于A,阴影部分表示P((AG万)U(了GZ?)),故A错误；

对于B,阴影部分表示尸(AC1万)，故B错误；

对于C,阴影部分表示P(lG8),故C正确；

对于D,阴影部分表示。（AU8）,故D错误.

6.抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件8为“落地时

向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是4的倍数”，则上述事件

是互斥事件但不是对立事件的两个事件是________.

答案A与C

解析A与C互斥但不对立.

7.生产某种产品需要2道工序，设事件4="第一道工序加工合格”，事件8="第

二道工序加工合格”，事件O=（AG豆）U（lG3）U（了n耳）表示的含义是

答案产品不合格

解析事件0=（ACI方）u（1n3）u（1n豆）表示的是第一道工序和第二道工序

加工中至少有一道加工工序不合格，所以事件。表示“产品不合格”.

8.给出下列说法：

①若事件A与。互斥，则AU3是必然事件；

②《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.现有四大名著各

一本，若甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件石=”甲取到《红楼梦》”,

事件产=”乙取到《红楼梦》”，则E与b是互斥但不对立事件；

③掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A=”向上的点数不大于5”，事件8

=”向上的点数为质数”，则8A；

④10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个

样本点，

其中正确的是________（填序号）.

答案②③④

解析对于①，事件4与8互斥时，不一定是必然事件，故①不正确；

对于②，事件E与厂不会同时发生，所以E与产是互斥事件，但除了事件E与尸

之外还有“丙取得红楼梦”“丁取得红楼梦”，所以E与b不是对立事件，故E

与尸是互斥但不对立事件，故②正确；

对于③，事件A={1,2,3,4,5）,事件8={2,3,5）,所以8包含于4,故

③正确；

对于④，样本空间。=｛正品，次品｝,含有2个样本点，故④正确.

9.某城市有甲，乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”,事件3为“至

少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件。为“一种报纸也不订”.

判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.

⑴人与C;

(2)B与D；

⑶8与C；

(4)C与D.

解事件A="只订甲报纸”；

事件B=“至少订一种报纸”包括“只订甲报纸”“只订乙报纸”和“订甲、乙

两种报纸”：

事件C=“至多订一种报纸”包括“一种报纸也不订”“只订甲报纸”和“只订

乙报纸”；

事件。="一种报纸也不订”.

(1)事件C包含事件A,所以不是互斥事件；

(2)3与。既是互斥事件，也是对立事件；

(3)事件"和事件C可以同时发生，所以不是互斥事件；

(4)事件C包含事件。，所以不是互斥事件.

10.从某大学数学系图书室中任选一本书，设A=“数学书”,B="中文版的书”,

C="2024年后出版的书”，问：

(1)AABAC表示什么事件？

(2)在什么条件下，有4ABnC=A?

(3)C£8表不什么意思？

(4)如果A=B,那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？

解(l)AGBnC="2024年或2024年前出版的中文版的数学书”.

(2)在“图书室中所有数学书都是2024年后出版的且为中文版”的条件下，才有

AC\BQC=A.

(3)CG8表示2024年或2024年前出版的书全是中文版的.

(4)是.A=8意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都

不是数学书，同时A=8又可化成B=A,因而也可解释为图书室中所有数学书都

不是中文版的，而且所有不是中文版的书都是数学书.

二、综合运用

11.(多选)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和

2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出

一个球.设事件R尸“第一次摸到红球"，R="两次都摸到红球”，G="两次

都摸到绿球"，M="两球颜色相同"，N="两球颜色不同”，贝)

A.RiRB.RAG=

C.RUG=MD.M=N

答案BCD

解析从袋中不放回地依次随机摸出2个球的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),

(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3).

由题意得，/?I={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)),

/?={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(3,4),(4,3),(1,2),(2,

1)},N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)).

由集合间的关系可知BCD正确.

12.如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用8,

C,D依次表示“开关I闭合”“开关n闭合”“开关III闭合"，则A=

.(用3,C,。间的运算关系式表示)

H--®-

答案8n(CU。)

解析要使电灯变亮，则开关I必须闭合，且开关I【和III中至少有一个闭合，即

要使“事件3发生”且“事件c发生或事件。发生“，用符号表示为5n(CJ。).

13.连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数，事件4="第一次掷出

1点”；事件6—“第一次掷出1点，第二次掷出/点”，/—I,2,3,4,5,6；

事件8=“2次掷出的点数之和为6"；事件C="第二次掷出的点数比第一次的

大3”.

(1)试用样本点表示事件AAB与AU&

(2)试判断事件A与B,A与C,B与C是否为互斥事件;

(3)试用事件内表示随机事件A

解试验的样本空间为。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,

1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(31),(3,2),(3,3),(3,4),

(3,5),(3,6),(4,1)，(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1)，(5,

2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1)，(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),

(6,6)).

(1)因为事件4="第一次掷出1点”，

所以满足条