高一数学周测卷7 （范围：第八章第六节）

周测卷7（范围：§8.6）

（时间：50分钟满分：100分）

一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

1.设a,b,c•是三条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则能使〃成立的是

（）

b.LcB.a_L夕，aua,buB

C.aA-a、b〃aD.〃J.a,b±_a

答案C

解析由a,4c是三条不同的直线，«,夕是两个不同的平面，得:

在A中，,.•a_Lc,/?JLc,，访b相交、平行或异面，故A错误;

在B中，・・・a_LAau。，buB、：,a,8相交、口行或异面，故B错误;

在C中，・・・a_La,b〃a,・,・由线面垂直的性质定理得。_L〃，故C正确；

在D中，・・・〃_La,b_L”，・,・由线面垂直的性质定理得。〃仇故D错误.

2.如图，把等腰RtAABC沿斜边上的高AO折成直二面角8一4。一。，则直线AC

与平面ABD所成角的正弦值为（）

答案A

解析由题意知，67）1平面AB7）,

：.ZCAD为直线AC与平面AB。所成的角,

又CD=AD,/.sinNC4O=拳

3.如图，若历CJ"菱形ABC7）所在的平面，则M4与B。的位置关系是（）

M

AB

A.平行B.垂直相交

C.垂直但不相交D.相交但不垂直

答案C

解析因为四边形ABCO是菱形，所以8OJ_AC.

因为MCJ•平面ABC。，BCu平面ABC。，

所以BDLMC.

因为ACGMC=C,所以平面AMC

因为MAu平面AMC,所以MAJ_8D

显然直线MA与直线3D不共面，

因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.

4.若。为△48C所在平面外一点，分别连接以，PB,PC,则所构成的4个三角

形中直角三角形的个数最多为（）

A.lB.2C.3D.4

答案D

解析设△ABC为直角三角形，过一锐角顶点A作玄，平面ABC,则构成的4

个三角形都是直角三角形.

5.如图，四棱锥尸一A8CQ的底面A3C。为梯形，AB//DC,则在平面P8C内

A.一定存在与CE）平行的直线

B.一定存在与4。平行的直线

C.一定存在与AD垂直的直线

D.不存在与C。垂直的直线

答案C

解析由题意知，选项A中，・.・con平面PBC=C,・••在平面尸BC内没有直线

与CQ平行，故A错误；

选项B中，・・•底面为梯形，・・・A。与BC相交，即与平面尸BC相交，，在

平面PBC内没有直线与A。平行，故B错误；

选项C中，・.・A。与平面P3C相交，，在平面P8C为一定存在与A。垂直的直线，

故C正确；

选项D中，・・・con平面PBC=C,・••在平面PBC内一定存在与C。垂直的直线，

故D错误.

6.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AD=AB,NBCD=45。,NBAD=900.

将△AB。沿8Q折起，使平面A8ZU平面BCD,构成三棱锥A-8CD,则在三棱

锥A—8CQ中，下列结论正确的是()

A.平面平面A8C

B.平面AOC_L平面BDC

C.平面A8C_L平面BDC

D.平面AOC_L平面48c

答案D

解析因为AD〃8C,NBAO=9()。，AD=AB,

所以ZABD=NADB=NDBC=45。.

又因为NBCO=45。，

所以NCO3=90。，gPCDLBD.

又因为平面平面BCD,

平面ABOn平面BCD=BD,

CDu平面BCD,CD1BD,

所以CO_L平面ABD.

若平面ABCJ_平面ABD,那么CDu平面ABC,

显然不成立，故A错误；

因为CO_L平面AB。，ABu平面AB。，

所以CO_LA8.

又A8_LAO,ADOCD=DiA。，COu平面AOC,

所以A8_L平面AOC.

又因为ABu平面ABC,

所以平面ABC_L平面4£）C,故D正确;

因为平面4〃。，平面"C。，如图，

过点A作平面BCD的垂线AE,垂足落在BZ）上，

显然垂线不在平面ABC内，

所以平面ABC与平面B。。不垂直，

故C错误，同理B也错误.

二、多选题（本题共2小题，每小题6分，共12分）

7.已知a,。是两个不同的平面，〃2,〃是两条不同的直线，则下列说法正确的有

（）

A.如果/〃_!_〃，〃z_La,〃_L夕，那么aJ■尸

B.如果机ua,a//0,那么m//p

C.如果aA夕=/,〃7〃a,〃夕，那么〃2〃/

D.如果加_!_〃，〃〃夕，那么1_1_4

答案ABC

解析如果〃?_!_〃，mla,〃_!_/?,那么由面面垂直的判定定理可得故A正

确；

如果mua,。〃£，那么由面面平行的性质可得〃?〃£,故B正确；

如果anB=l,m//a,mg那么由线面平行的性质定理可得〃z〃/,故C正确；

如果团_L〃，n/邛、那么平面a,£平行或相交，故D错误.

8.在正方体A6C"—AMC'Q中，下列结论正确的有（）

A.A\C\.LBD

B.异面直线BiC与BD所成的角为60°

C.二面角A\-BC-D的大小为45°

D.AC1与平面ABCD所成的角为45。

答案ABC

解析如图，对于A,连接AC,则4CJ_BD

・.・4Ci〃AC,：.A\CilBD,故A正确.

对于B,连接4。，AR-：B\C//A\Df

：.ZAiDB即为B\C与BD所成的角（或其补角）.

「△AiOB为等边三角形，

.・・BC与8。所成的角为60°,故B正确.

对于C,平面AABBi,A山u平面

：.BC±A]B.

VAB1BC,・・・/484是二面角Ai—BC—O的平面角.

•••△AiAB是等腰直角三角形，

・・・NA84=45。,故C正确.

对于D,,.,CiC_L平面ABC。，

・・・NCMC是AG与平面ABCD所成的角.

VAC^CiC,・・・NCiACW45。，故D错误.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

9.如图,平面a_L平面'，9£a,B-AV_L4B,3B_LAE,且A4=3,BB1

=4,49=2,则三棱锥A—AB9的体积V=_______.

答案4

解析・・・a_L£,A4'u。，AA'_LA'B',

・•・■_L£.

V=|SA4WAT4,=|X||A,B,-B^-A4/=|X|X2X4X3=4.

10.如图，在直三棱柱ABC—中，底面是以NA8C为直角的等腰直角三角

形，AC=2afBB\=3a,。是4G的中点，点厂在线段A4i上.当

时，CF_L平面囱OF.

答案ci或2a

解析连接CZ）（图略）.

由已知得△AiBG是等腰直角三角形，。是4c的中点，

：.B\DA.A\C\,

・・・平面Ai5iGJ_平面41ACC1,平面4B】Cm平面AiACCi=4Ci,

・・・B£）_L平面A\ACC\.

又・・・CTu平面AiACG,：.B\DLCF,

若C匚L平面囱。尸，则C匚LOE

设AF=x（0WxW3。），

则。/=炉+4次，

DF2=序+（3a-x）2,CD2=10。\

在RtACDF中，10，=』+4，+，+（34—人）2,

解得或x=2〃.

11.如图，四棱锥S—ABCO的底面是边长为2的正方形，侧面都是等边三角形,

动点P在表面上运动，并且总保持PBJ_SC,则动点户从点8出发再回到点B,

其路程为.

答案2事+2小

解析四棱锥S-A5C。的底面是边长为2的正方形，侧面都是等边三角形,

则AB=BC=CD=AD=SA=SB=SC=SD=2,

如图，取SC的中点E,连接BE,DE,

则有8E_LSC,

DELSC,

又BECDE=E,BEu平面BDE,DEu平面BDE,

所以SCJ_平面BDE.

因为动点P在表面上运动，并且总保持PB_LSC,

所以点P的运动轨迹为线段BE,DE,DB.

在正方形ABC。中，AB=2,则BO=26，

在等边三角形SBC中，BE=小,同理。后=市，

故动点P从点B出发到再回到点B,

其路程为BE+DE+BD=2小+2吸.

四、解答题（本题共3小题，共43分）

12.（13分）如图，在正方体A5cABGOi中，P,Q分别为AC,CD\的中点.

求证：

（1）PQ〃平面AQQIAI；

（2）PQJ_4C.

证明（1）连接AOi,如图所示.

■:P,Q分别为AC,CDi的中点，

：.PQ//AD\,

又平面AQDIAI,AOiu平面A。。山,

・・・PQ〃平面ADDiAx.

⑵连接4。.

平面A。。/1，AOiu平面A。。小,

：.CDLAD\f

又4OJ_AOi,AiDCCD=D,

・・・AD】J_平面CDAi,

又ACu平面CQ4,AAiClADi.

由⑴知,PQ//AD1,故尸0_L4C

13.(15分汝J图所示，AABC为正三角形，ECJL平面ABC,BD//CE,且CE=CA

=28。，M是E4的中点.求证：

(\)DE=DA；

(2)平面8OM_L平面ECA；

(3)平面DE4_L平面ECA.

证明(1)设80=4,如图,

作DF//BC交CE于F,

则CF=DB=a.

因为CEJ_平面ABC,BCu平面A8C,

所以8CJ_CE,所以OF_LEC,

所以七4+。尸=小。

又因为BD//CE,

所以O8J_平面ABC.

因为ABu平面ABC,

所以DBLAB,

所以0A={5西而=小〃，

所以DE=DA.

⑵取CA的中点N,连接MN,BN,

则MN统gcE统DB.

所以四边形MNBD为平行四边形,

所以MQ〃用V.

又因为ECJ_平面ABC,BNu平面ABC,

所以EC_LBN,所以EULMD

又DE=DA,M为E4的中点，

所以。

因为AE,£Cu平面AECAEQEC=E,

所以。M_L平面AEC,

又QMu平面BDM,

所以平面8QM_L平面ECA.

(3)由(2)知OM_L平面AEC,

又DWu平面DEA,

所以平面QE4_L平面ECA.

14.(15分)如图，已知四棱锥P—ABC3的底而A8CO是菱形，ZABC=60°,PAL

平面ABC。，AB=2,PO与平面ABC。所成的角为45。，M为PC的中点.

(1)求证：平面出C_L平面8DW：

(2)求二面角C-MD-B的正切值.

⑴证明因为底面A8CO是菱形，

所以AC_L8D

又因为必_L平面ABC。，BOu平面ABC。,

所以PA1BD.

又因为MA4C=A,周