2026七年级数学下册期末试题分类汇编（北师大版） 三角形（解析版）

专题04三角形

心大高频考点概览

考点01三角形的分类

考点02三角形的三边关系

考点03等腰三角形的性质及其求解

考点04与三角形高或角平分线有关的计算

考点05全等三角形的性质

考点06添加条件使三角形全等

考点07证明三角形全等

考点08倍长中线模型

考点09全等三角形的性质与判定综合

考点01三角形的分类

1.（24-25七年级下•上海金山•期末）在A/IBC中，若4=92。，则△力8c是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的识别.

根据4=92。，结合钝角三角形的定义即可判断.

【详解】解：://=92。,

・・・78。是钝角三角形.

故选:C.

2.（23-24七年级下•河北秦皇岛•期末）如图，N48M是锐角，点C从点B出发沿8M方向运动，连结/C.关

于的形状变化情况，下列说法正确的是（）

A.钝角三角形T锐角三角形T钝角三角形

B.钝角三角形T直角三角形T钝角三角形

1

C.钝角三角形T直角三角形T锐角三角形T钝角三角形

D.以上说法都不对

【答案】D

【分析】本题考查三角形的分类，根据点。运动路线，分段进行讨论即可.

【详解】解：点C从点8出发后至力C_L4C前，ZJCB>90°,△48C是钝角三角形;

当点C运动至4C_L3C时，4c4=90。，是直角三角形；

点C继续向右运动，NA4C由小变大，

当NB4C<90。时，△力4C是锐角三角形；

当/胡。=90。时，△/8c是直角三角形；

当/比1。>90。时，是钝角三角形；

因此变化情况为：钝角三角形一直角角三形一锐角三角形一直角三角形一钝角三角形,

故选D.

3.（23-24七年级七•浙江•期末）如图，在RLU8。中，ZJ=90°,Z5=30°.动点P从点。出发，沿边

CB,切向点力运动.在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（）

A.直角三角形一等边三角形T直角一:角形一等边三角形一直角三角形

B.等腰三角形T直角三角形T等边三角形一直角三角形T等腰直角三角形

C.直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰直角三角形一直角三角形

D.等腰直角三角形T等腰三角形T直角三角形一等腰直角三角形一直角三角形

【答案】C

【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键.

【详解】解：在点尸运动过程中，△口（?可能成为的特殊三角形依次是直角三角形一等边三角形一直角三

角形一等腰直角三角形一直角三角形，

故选C.

4.（24-25七年级下•全国•期末）已知△力BC的边长b,c满足（。-2）2+M-4|=0,若。为偶数，则A/IBC

的形状为_____________三角形.（按边分类）

【答案】等腰

2

【分析】本题考杳平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类.由(。-2)2+|6-4|=0可得。=2,

〃=4,根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状.

【详解】解：V(«-2)2+|6-4|=0,

.1.(a-2)2=0,\b-4\=0,

「.〃-2=0,8—4=0,

.,.a=2,b=4,

/.2+4>c,4-2<c,

2<c<6,

由，为偶数，可得c=4,

.-./)=c=4,

的形状为等腰三角形.

故答案为：等腰.

5.(24-25七年级下•河南周口•月考)已知△力8c的三边长分别为a,b,c.

(1)比简：\a-b-c\+^-c-a\+)p+b-c\-

(2)若a=2,6=5,第三边。的长为奇数，判断△力8c的形状.

【答案】(l)a+b+c

(2〃48。是等腰三角形

【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整

式的加减运算，绝对值的意义，三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键，

(1)根据三角形的三边关系可得。+、>c/+c>QM+c>b,然后可去绝对值，进而问题可求解：

(2)根据三角形的三边关系可得3<cv7,则有。=5,然后问题可求解.

【详解】(1)解：的三边长分别为①b,c,

/.a+b>c,h+c>a,a+c>b,

；..一6一c|+|b-c—4+|a+6-6|

=b+c-a+c+a-b+a+b-c

=a+b+c；

(2)解：a=2,b=5,

・•・根据三角形三边关系可得3<c<7,

•・•第三边。的长为奇数，

・・・c=5,

b=c=5,

3

・••&力AC是等腰三角形.

二二、考点02三角形的三边关系

6.（24-25七年级下•吉林长春•期末）已知某三角形的三边长分别为3、9、〃?，则〃?的值可以是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出〃?的取

值范围，再对应选项判断即可.

【详解】解：.,•三角形三边长为3,9,〃？，

..・根据三角形三边关系得9-3<机<9+3,

即6<小<12t

选项中只有9满足该范围，

・•・答案选C.

7.（24-25七年级下•陕西咸阳,期末）已知一个三角形的两边长分别为4cm和9cm,则第三边的长度可能是

（）

A.5cmB.7cmC.13cmD.15cm

【答案】B

【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的原则.设

第三边长为xcm,根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，可得4+9>一9-4<x,

求出x的取值范围.逐项分析选项即可解答.

【详解】解：设第三边长为xcm,

•••三角形两边之和大于第三边，

/.4+9>x,即x<13,

乂•••三角形两边之差小于第三边，

9-4<x,即x>5,

5<x<13>

选项中只有7cm在此范围内,

故选：B.

8.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）已知mb,c是△48c的三边，其中。=2,b=5,且c为奇数，则

c的值为.

【答案】5

【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键.根据三角形三边关系,

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出。的取值范围，再结合。为奇数的条件，确定。的值.

4

【详解】解：由三角形三边关系，得6-a<c<〃+6,

°：a=2,b=5,

3<c<7,

•・・c为整数且为奇数，

c=5.

故答案为：5.

9.（24-25七年级下•重庆•期末）已知一个三角形一边长为7缈?，另一边长为35?，第三边是最长边且为偶

数，则此三角形的周长为c〃？.

【答案】18

【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的

三边关系是解题的关键.设第三边为"6，根据三角形三边关系求出工的取值范围，由此得到偶数x的值，

再计算周长即可.

【详解】解：设第三边为X。”?，

•・•三角形一边长为7c7〃，另一边长为3c〃?，第三边是最长边，

A?<x<7+3,即7Vx<10,

•・•第三边是偶数，

/.x=8,

，此三角形的周长为3+7+8=18.

故答案为：18

10.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）在△力4c中，AB=4,BC=7,且力。的长为奇数，求力。的长.

【答案】4。=5或7或9

【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，首先根据三角形的三边关系定理可得7-4</。<7+4,再根

据4c为奇数确定4C的值.

【详解】解：由题意得：7-4<^C<7+4,

即：3<AC<l\f

IOC为奇数,

・・・4。=5或7或9.

考点03等腰三角形的性质及其求解

11.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）已知一个等腰三角形的一边长为3,另一边长为7,那么它的周长为

()

A.13B.13或17C.17D.12或16

【答案】C

5

【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义及分类讨论是解题的

关键.

分两种情况讨论，当等腰三角形的腰长为3,当等腰三角形的腰长为7,再分别得到三角形的三边，结合三

角形三边的关系，从而可得答案.

【详解】解：当等腰三角形的腰长为3,则三边分别为：3,3,7,

3+3<7,故围不成三角形；

当等腰三角形的腰长为7,则三边分别为：3,7,7,

3+7>7,能围成三角形；

・•・它的周长为3+7+7=17.

故选：C.

12.（24-25七年级下•辽宁鞍山・期末）若a,6为等腰A/IBC的两边，且满足（〃-4『+卜-8|=0,则

的周长为（）

A.16B.18C.20D.16或20

【答案】C

【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类

讨论，利用三边关系进行验证是解题关键.

根据非负数的性质求出〃和b的值，再结合等腰三角形的性质和三:角形三边关系确定周长.

【详解】解：由题意，（«-4）2+|/>-8|=0,

a—4=0

因平方和绝对值均非负，故AQ八，解得。=4,6=8,

等腰的两边为4和8,需分情况讨论:

1.若腰为4,则三边为4、4、8。此时4+4=8,不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法

构成三角形，

2.若腰为8,则三边为8、8、4,此时8+8〉4,8+4>8,满足三边关系，周长为8+8+4=20.

综上，A/BC的周长为20,

故选：C.

13.（24-25七年级下•四川乐山・期末）已知等腰三角形/48C的周长为18cm,一条边的长为4cm,则它的

腰长为cm.

【答案】7

【分析】本题考杳了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角三边关系是解决本题的关犍.

根据题意分为一条边的长为4cm为腰长时或一条边的长为4cm为底边时进行分类讨论即可.

【详解】解：根据题意得，当4cm的边为等腰三角形的腰时，

6

，此时的三边为4418-2x4=10,

又・,・4+4V10,

・•・此情况的三边不能组成三角形，

当4cm的边为等腰三角形的底边时，

18-4

・•・此时等腰三角形的腰为二一二7,

・•・此时的三边为7、7、4,

V7+4>7,7-4<7,

・•・此时的三边能组成三角形，

故答案为：7.

14.（24-25七年级下•广东河源•期末）在A/BC中，AB=5,AC=2,若A/AC是等腰三角形，求8C的

长.

【答案】8c=5

【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系.解题的关键是分情况讨论等腰三角膨的腰长,

并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立.

分AB=BC、4C=8C两种情况讨论，结合三角形三边关系（两辿之和大于第三边）排除不成立的情况，得

出符合条件的8c长度.

【详解】根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：

若AB=BC,则8。=5,三边为5,5,2,满足5+2>5,5+5〉2,成立.

若,4C=BC,则4。=2,三边为5,2,2,2+2=4<5,不满足三边关系，不成立.

/.2C=5.

15.（24-25七年级下・甘肃天水•期末）【代数推理】设△44。的三边长是。、b、%周长是工，其中1=4,

b=6.

（1）直接写出c及x的取值范围；

（2）当。为奇数时，求x的最大值和最小值.

（3）若x小于18的偶数，判断△力8。的形状.

【答案】（l）2<c<10,12<x<20；

（2户最大为19,最小为大

（3）△44C是等腰三角形，理由见解析过程.

【分析［本题考查r三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

（1）利用三角形三边关系进而得出。的取值范围，进而得出答案：

（2）根据奇数的定义和X的取值范围，可求解；

（3）根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求c•的值，利用等腰三角形的定义得出即可.

7

【详解】（1）解：因为。=4,6=6,

所以2<c<10.

故周长x的范围为12Vx<20.

（2）•「4=4,b=6,c为奇数，

0/12<x<20,

二•/最大为19,最小为13.

（3）二•周长为小于18的偶数，

二.x=16或x=14.

当I为16时，c=6；

当I为14时，e=4.

当。=6时，/>=c,△/8c为等腰三角形;

当。=4时，a=c,A/IAC为等腰三角形.

综上所述，△48。是等腰三角形.

与三角形高或角平分线有关的计算

11.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）已知一个等腰三角形的一边长为3,另一边长为7,那么它的周长为

A.13B.13或17C.17D.12或16

【答案】C

【分析】本题考查的是等腰三角形的定义,三角形三边关系,掌握等腰三角形的定义及分类讨论是解题的

关键.

分两种情况讨论，当等腰三角形的腰长为3,当等腰三角形的腰长为7,再分别得到三角形的三边，结合三

角形三边的关系，从而可得答案.

【详解】解:当等腰三角形的腰长为3,则三边分别为：3,3,7,

3+3<7,故围不成三角形；

当等腰三角形的腰长为7,则三边分别为：3,7,7,

3+7>7,能围成三角形；

・•・它的周长为3+7+7=17.

故选：C.

12.（24-25七年级下•辽宁鞍山胡末）若a,b为等腰A相。的两边，且满足（a-4『+|6-8|=0,则"BC

的周长为（）

A.16B.18C.20D.16或20

8

【答案】C

【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类

讨论，利用三边关系进行验证是解题关键.

根据非负数的性质求出。和人的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长.

【详解】解：由题意，（”4『+|/>-8|=0,

a-4=0

因平方和绝对值均非负，故八.八，解得"4,力=8,

等腰。的两边为4和8,需分情况讨论：

1.若腰为4,则三边为4、4、8o此时4+4=8,不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法

构成三角形，

2.若腰为8,则三边为8、8、4,此时8+8>4,8+4>8,满足三边关系，周长为8+8+4=20.

综上，△力8c的周长为20,

故选：C.

13.（24-25七年级下•四川乐山•期末）已知等腰三角形力〃。的周长为18cm,一条边的长为4cm,则它的

腰长为cm.

【答案】7

【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角三边关系是解决本题的关键.

根据题意分为一条边的长为4cm为腰长时或一条边的长为4cm为底边时进行分类讨论即可.

【详解】解：根据题意得，当4cm的边为等腰三角形的腰时，

,此时的三边为4.4,1g—2x4=10,

又1・4+4<10,

・•・此情况的三边不能组成三角形，

当4cm的边为等腰三角形的底边时，

・••此时等腰三角形的腰为18--^4一=7,

，此时的三边为7、7、4,

V7+4>7,7-4<7,

・•・此时的三边能组成三角形，

故答案为:7.

14.（24-25七年级下•广东河源•期末）在△48C中，/也=5,AC=2,若△48C是等腰三角形，求8c的

长.

【答案】BC=5

【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系.解题的关键是分情况讨论等腰三角形的腰长,

9

并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立.

分AB=BC、4C=8c两种情况讨论，结合三角形三边关系（两力之和大于第三边）排除不成立的情况，得

出符合条件的BC长度.

【详解】根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：

若4B=BC,则叱=5,三边为5,5,2,满足5+2>5,5+5>2,成立.

若=则3c=2,三边为5,2,2,2+2=4<5,不满乃三边关系，不成立.

/.8C=5.

15.（24・25七年级下•甘肃天水•期末）【代数推理】设△ABC的三边长是b、c,周长是x.其中。=4,

b=6.

（1）直接写出c及x的取值范围；

（2）当c为奇数时，求x的最大值和最小值.

（3）若》小于18的偶数，判断△力的形状.

【答案】（l）2<c<10,12Vx<20；

（2）x最大为19,最小为大

是等腰三角形，理由见解析过程.

【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；

（2）根据奇数的定义和％的取值范围，可求解；

（3）根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求c的值，利用等腰三角形的定义得出即可.

【详解】（1）解：因为a=4,b=6,

所以2<c<10.

故周长x的范围为12Vx<20.

（2）b=6,c为奇数，

vl2<x<20,

・•»最大为19,最小为13.

（3）•・•周长为小于18的偶数,

x=l6或x=14.

当I为16时，c=6：

当工为14时，c=4.

当c=6时，b=c,△48C为等腰三角形；

当。=4时，Q=c,18C为等腰三角形.

综上所述，△力4c是等腰三角形.

16.（24-25七年级下•福建福州•期末）如图，在△/4C中，4）是△/出C的总线，力£是“8C的角平分线,

10

ZBAC=\02°,ZC=28°,则ND4E的度数为

【答案】11。

【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线以及直角三角形两锐角互余定理的应用，熟练掌握相关

定理是解题的关键.先根据4£是△[4。的角平分线，得到N8/1E=50。，再由4。是△力的高线，得到

/皿。=40。，再由角的和差即可解答.

【详解】解：•・♦/胡。二102。,/。=28。,

二4B=180°-ABAC-NC=50°,

VAE^L^ABC的角平分线，

ZBAE=Z.CAE=-ABAC=5F,

2

•••40是△//BC的高线，

ZADB=9（T,

NBAD=90°-NB=90°-50°=40°,

NDAE=/BAE—/BAD=51°-^0°=11°.

故答案为：11。

17.（24-25七年级下•湖南永州•期末）在。中，乙4=90。，AB=3,AC=4,8c=5,则点力到8C的

距离是（）

16C18〃12c14

A.-B.——C.——D.一

5555

【答案】C

【分析】在直角三角形中，点力到斜边8c的距离可以通过面积法求解：利用两种不同的面积表达式建立方

程，解出高即可.

【详解】解：•••△力8。为直角三角形，直角边44=3,4c=4,

5=—xABxAC=-x3x4-6

22

・・,设点N到的距离为3

5=—xBCx/?=—x5x/?

22

・・.6=孚，解得：A=—

25

故选：C.

18.（24-25七年级下•山东枣庄期末）在直角△44。中4C8=90。，CQ是48边上的高线，且

AB=5fAC=4,BC=3,则。的长为.

11

12

【答案】

【分析】本题考查了三角形的面积计算、一元一次方程的应用等知识点，利用等面积法列出方程成为解题

的关键.

由直角三角形的面枳公式得到Z8・CO=8C・/1C,然后代值求解方程即可.

【详解】解：如图：

VAB=5,JC=4,BC=3,4cB=90°,

；・SAR「=LAB・CD=LBC・AC,即4B・CD=BC・4C,

422

:.5CD=3x4,

12

解律CD=y.

故答案为1;2.

19.（24-25七年级下•四川达州•期末）如图，在△XBC中，49JL5C于点E,AB=9、BC=8,AE=1,P为

48边上一动点，连接“，则CP的最小值为.

【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作CQ_L/A于点。，利用等积法求出CO

长.根据垂线段最短，得出当。尸_L48时，即点〃与点。重合时，PC最小.

【详解】解：在A/18。中，4E1BC于点E,4B=9,BC=8"E=7,如图，过点C作CD14B于点D,

：.ABCD=BCAE,

：.9CQ=8x7,

12

解得：CD=y,

•・•垂线段最短，

・•・当点P与点。重合时，PC最小，即PC最小值为?，

故答案为：.

20.（23-24七年级下•河南开封期末）如图，“8。中，力。是角平分线，“是高，4BC=700,ND4C=25。,

求NC3E的度数.

【分析】本题主要考查了先平分线的定义，求一个角的余角，根据角平分线的定义可得出

NDAC=/BAD=25。,由三角形的高可得出=90。，由余用的定义可得出N/3E=40。，最后根据角

的和差关系即可得出答案.

【详解】解：・・・力。平分

・•・^DAC=ZBAD=25°,

•・•8七是三角形力3C的高，

:.£AEB=900,

:./ABE=90°-2ZDAC=40。，

VZJ5C=70°,

:.ZC5£，=70°-40°=30°.

21.（25-26七年级下•山东烟台•期末）如图，点儿B,D,E在同一条直线上，△ABCWADEF,BE=3,

DE=7；则的长是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等.

13

先根据三角形全等得到＜8=OE=7,再求得AE的长度即可.

【详解】解：

/.AB=DE=7,

vBE=3,

AE=AB-BE

=7-3

=4,

故选：C.

22.（24-25七年级下•贵州毕节•期末）如图，“BC4DBE,若4B=7,BE=3,则CZ）的长为（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等.

根据全等三角形的对应边相等可知8C=8E=3,AB=BD=7,进而可求解.

【详解】解:V4ABe4DBE,

:.BC=BE=3,AB=BD=7,

：.CD=BD-BC=l-3=4.

故选：C.

23.（24-25七年级F・陕西咸阳・期末）如图，在△力8C中，BC=8,延长CB至点D,点E在4B边上,连

接D£、CE,"BC4DBE.若=96,则图中阴影部分的面积为.

【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键.

由A/f8C9Z）8£得到8£=8C=8,乙ABC=4DBE=,得到乞灰石二;4c"“二？？，

==

SABDE=SdCDE一S'8CE=8，从HUS"BC=^BDE»再由^△/IC£2,48C一&8CE即可求解•

【详解】解：OBCmOBE,

14

:,BE=BC=8,/ABC=NDBE,

VZJ5C+ZD5£=180°,

・•・乙4BC=/DBE=90。

:.S=-BCBE=-X8x8=32,

AO8CCnF22

•**S"DE=S&CDE—S&8C£=96-32=64，

•・•"BC当DBE,

,•S^ABC=S&BDE~,

：•S“C£=S“3C-S.8c£=64-32=32・

故答案为：32.

24.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）如图，△ABCQDAE,若NC=30。，ND4E=45。，则NC48的

度数是.

B

【答案】105。/105度

【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.

根据△XBC乌△D4E，得到N8=ND4E=45。，再根据三角形内角和等于180。，即可求解.

【详解】解：•••△48。纭。花，

/.NB=NDAE=45。,

18（T-ZC-Z5=180°-30°-45°=105°.

故答案为：105。.

25.（24-25七年级下•陕西西安•期末）如图，&ABC知ADE,若NB4E=120°,ZBAD=40°,求/历/C的

【答案】800

【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据/加七=120。，NBAD=40°,求出/D4E的度数

15

为80。，再根据全等三角形对应角相等可得ABAC=/DAE=80°.

【详解】解：vZ5JE=120°,ZBAD=40°,

NDAE=/BAE-/BAD=120°-40°=80°,

“BCg^ADE,

ZBAC=ADAE=^0Q.

霏r考点06添加条件使三角形全等

26.（24-25七年级下•山东济南•期末）如图，在四边形力88中，连接力C,4c平分NB/D,添加一个条

件后，不能证明。的是（）

A.BC=CDB./BCA=NDCAC.ZB=ZDD.AB=AD

【答案】A

【分析】根据三角形全等的判定定理逐一判断即可.

【详解】解：•.FC平分N8/。，

/.ZBAC=ZDAC,

VAC=AC,

当添加=m时,不能判定“ArsA/。。，A选项符合题意：

当添加4。=/。。1时・，"8Cg"OC（ASA）,B选项不符合题意；

当添加N3=N力时，△力8c空△4Z）C（AAS）,C选项不符合题意；

当添加力8=力。时，判定△48C&A/1QC（SAS）,D选项不符合题意.

27.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）如图，48与。。相交于点E,且七是力8的中点，添加下列条件,

不能说明△/。“0△2力E的是＜）

A.ZC=ZZ)B.NA=NBC.CE=DED.AC=BD

【答案】D

16

【分析】已知E是中点，可得力E=且/AEC=NBED（对顶角相等）.根据全等三角形判定定理

（AAS、ASA、SAS）,逐一分析添加各选项条件后能否判定ICEgABOE.本题主要考查了全等三角形

的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（AAS、ASA、SAS）是解题的关键.

【详解】解：•・・£是48的中点，

AE=BEt

又YNAECuNBED（对顶角相等）.

若添加ZC=ZZ）

vZC=ZD,AE=BE,NAEC=4BED,

.•.△4C%A8QE（AAS）,故A项正确，不符合题意.

若添力口ZA=/B

♦;NA=/B,AE=BE,ZAEC=/BED,

.•."CE%8Z）E（ASA）,故B项正确，不符合题意.

若添加CE=DE

•/CE=DE,AE=BE,/AEC=/BED,

.•.△4CE%8QE（SAS）,故C项正确，不符合题意.

若添加4C=B。

此时是“边边角”的情况，不能判定“CE丝△8DE,故D项错误，符合题意.

故选：D.

28.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）如图，/ABC=ZDCB,添加一个条件,使A/BC0ADCB.（不

添加辅助线和点）

【答案】N4CB=NDBC或ZA=4D或AB=DC

【分析】本题考杳添加个条件使两个.三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全

等的判定定理ASA、AAS和SAS是解决问题的关键.由图可知。与△OC8有公共边4C,再由

/ABC=NDCB,结合ASA、AAS和SAS判定即可得到答案.

【详解】解：如图所示：

AD

/XX\与△OC8有公共边8C,

H

17

v4BC=/DCB,

当AACB=/。8c时，由两个三角形全等的判定定理ASA即可得证△/8C丝△QC8：

当乙4=N。时，由两个三角形全等的判定定理AAS即可得证AABCdDCB；

当AB=0c时，由两个三角形全等的判定定理SAS即可得证AABCdDCB；

故答案为：N力CB=NDBC或ZA=ND或力B=QC.

29.（24-25七年级下•广东深圳•期末）如图，N4CB=NC4D,要使&CB会△C4D,还需要添加一个条

件是________（添加一个即可）

Ar^---------------

C

【答案】AD=CB或/CAB=NACD或NB=/D（添加一个即M）

【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

根据全等三角形的判定定理，结合已知的相等关系，求解即可.

【详解】在△/1C4和△。。中，AC=CAfNACB=NCAD,

添加/Q=C4,用边角边证△JCB0ZXC/l。；

添加NC48=4C'Q,用角边角证△4C8gZ\C4。；

添加N4=NQ,用角角边证

故答案为：AD=CB或NCAB=ZACD或/B=ND.

30.（24-25七年级下•湖北武汉•期末）如图，在△48c和中，4B=4DEF,48=。£,现添加一个

条件证明下列符合要求的条件有个（填个数）.

©ZJ=ZZ）®AC//DF③BE=CF®AC=DF

【答案】3

【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用.根据全

等三角形的判定方法，利用ASA、AAS、SAS即可得出答案.

【详解】解：'：4B=/DEF,AB=DE,

・••当4=/。时，由ASA可得△力8。02\。成"故①符合题意；

当力C〃。产时，则//CB=NF,由AAS可得△48cg△。石尸，故②符合题意；

当8七=。/时，则=E产，由SAS可得△力故③符合题意；

当4。=。/时，不能得出△力8c尸，故④不符合题意；

18

，符合要求的条件有3个.

故答案为：3

证明三角形全等

31.(24-25七年级下•全国•期末)已知：如图，点8、。、C、E在同一条直线上，NACB=NFDE,4A=/F,

BD=CE,求证：AC=DF.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查根据全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.由4。=虚易得

BC=DE,再由=NA=NF,可证明△/ACg△产EO（AAS）,即可证明4C=D”.

【详解】证明：=BD=CE,

BD+CD=CE+CD,

即BC=DE,

在公/lBC与AFED中,

ZCB=/FDE

Z=NF,

BC=DE

△ABCdFED®附,

AC=DF.

32.(24-25七年级下•全国•期末〕如图，△/BC中，4。是8C边上的中线，E,产为直线力。上的点，连

接6E,CF,nBE//CF.JE=13,JF=7,求OE的长.

E

【答案】3

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用中点性质可得40=。。，由平行线性质可得

“BE-DCF,再由对顶角相等可得/加比=/8尸，可证且ACOnASA),由全等三角形性质可得

19

DE=DF,然后根据£产=4月-4/求出£^的长，进而可求出DE的长.

【详解】解：•.•/£)是8c边上的中线，

/.BD=CD,

•・•BE//CF,

/.Z.DBE=ZDCF,

在ABOE和A。。〃中，

4DBE=/DCF

BD=CD,

ZRDE=ZCDF

.・.A5Z）£^ACZ）F（ASA）,

:,DE=DF，

AE=13,AF-7,

.\EF=AE-AF=\3-7=6,

•;DE+DF=EF=6,

:.DE=3.

33.（24-25七年级下•重庆江北•期末）如图，在Rt△力8c中，NC=90。,点Z）在C彳的延长线上，BELDF

于点E,AB=DF,BC平分/4BE•

(I)求证：AC=CFi

(2)若产是3C的中点，OA=OF,S»M=5,求△力8c的面积.

【答案】(1)见解析

⑵15

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是

解决问题的关键.

(1)根据ZEBF+Z.EFB=900,3+4DFC=9(T,NEFB=ZDFC得/EBF=NO,再根据BC平分ZABE

得418c="BF=NQ,由此可依据“AAS”判定MBC和XFDC全等，然后根据全等三角形的性质即可得出

结论:

20

（2）连接。。，根据点尸是8C的中点得S4i=S"丽=5,依据“SSS”判定△/CO和/CO全等得

Srco=5,0=5,由此即"J得出△ABC的面积.

【详解】(1)根据NE8尸+NEF6=90。，ZD+ZDFC=9(P,AEFB=ZDFC

得/EBF=ND,

vBC平分

NABC=NEBF,

;ZBC=ND,

在JBC和AFDC中，

NABC=ND

<zc=zc,

AB=DF

：.△J5C^AFDC(AAS),

：.AC=CF；

(2)连接OC,如图所示:

△"CO(SSS),

S&ACO~SaFCO-5,

S、ABC=S.BQF++S-优0=15.

34.(23-24七年级下•全国•期末j如图，点力，F,C,。在同一直线上，AF=DC,ABDE,AB\\DE,求

证：△力8cg△。石厂.

21

A

FE

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据4〃=。。，得出力。=。“，又因为4B〃DE,则

4=/。，故。且△OM(SAS),即可作答.

【详解】证明：・・・/r=。。，

JAF+FC=CD+FC,

/.AC=DF,

VAB//DE,

:.ZJ=NO,

在右48。和ADE/中，

AC-DF

<NA=ND,

AB=DE

・•・△力8cg△QEQ(SAS).

35.（25-26七年级下•山东泰安期末）如图，已知，点儿B,C,尸在一条直线上，BC=ED,AE=CF,

AACH=/FED.

（1）求证：AB//DF,

（2）若力/=18,EC=6,求4c的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）12

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定

与性质是关键.

（1）先证明4C=EF,再根据全等三角形的判定证明△力BC也△尸。£,可得//=/尸，最后根据平行线

的判定，即可证明结论：

（2）根据线段的和差，即可求得答案.

22

【详解】（1）证明：♦.•4E=b：

/.AE+EC=EC+CF,

:.AC=EF,

BC=ED

在/BC和"DE中,，乙4cB="ED,

AC=EF

.,△ABCgAFDE(SAS),

NA=NF,

AB//DF；

(2)解：vJF=18,EC=6,

AE+CF=12,

•;AE=CF,

AE=CF=6,

：.AC=AE+CE=6+6=\2.

倍长中线模型

36.（24-25七年级下•上海松江•期末）如图，在△4鸟。中，4。是3C边上的中线，如果求证:

ZDAC>NBAD.

证明：延长力。至点E,使DE=AD,连接49（请完成后续证明）

【答案】见解析

【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长4。至点E,

使DE=4D,连接8E,根据三角形中线定义得3。=。。，进而依据SAS判定△8OE之△CD4得=

4E=ZDAC,再由48>/fC得4B>8E,继而根据“大边对大角”得NE>NR4O,由此即可得出结论.

【详解】解:延长力。至点E,使DE=AD,连接4E,如图所示：

23

A

\/

E

。是5c边上的中线,

，BD=CD,

在&4。石和△84中，

DE=AD

ZBDE=Z.CDA,

BD=CD

.••△3OE%CO/(SAS),

BE=AC,ZE=^DAC,

VAB>AC,

；・AB>BE,

：.ZE>/.BAD,

・•・ZDAC>ZBAD.

37.（24-25七年级下•河北保定•期末）方法探索

数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：

如图1,在14C中，［4=9,"=5,。是8c的中点，求5c边上的中线力。的取值范围.

（1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题.延长/。到点£,使DE=AD,

连接6E.可以判定得出/C=8E,这样就能把线段月8、AC.24。集中在中，利

用三角形三边的关系，即可得出中线40的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决

（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：

如图2,在△力4C中，点。、E在8C上，且OE=OC,过E作印〃月8与力。相交于点八且E户=/C.求

证：力。平分NB4C.

【答案】（1）见解析

24

(2)见解析

【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系

等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题.

(1)延长力。到点E,使DE=4D,连接8E.可以判定△力。得出力。=4£,这样就能把线段

AB、AC、240集中在△4中，利用三角形三边的关系，即可得出中线力。的取值范围，

(2)延长力。到点使“。=力。，连接EM.证明△/1£)。且,得出ND4C==ME,得

出由EF〃力B可得NEFM=NB/1D,从而可得NB力D=NC/D,故可得力。平分NB4C.

【详解】(1)解：♦.•。是5c的中点，

BD=CD,

在ZX/IO。和△瓦）8中,

AD=DE

<ZADC=ZEDB,

BD=CD

:."DC处EDB（SAS）,

BE=AC=5,

在dBE中，

AB-BE<AE<AB+BE,

即9-5<24）<9+5,

「•中线40的取值范围是：2<JD<7；

（2）证明：延长力。到点M,使MD=AD,连接

M

在△4OC与AMOE中,

AD=MD

<NADC=ZMDE,

DC-DE

25

:4ADC经△MDE,

...ZDAC=ZM,AC=ME,

EF=AC,

:.EF=ME,

ZEFM=AM,

•/EF/7AB,

...NEFM=ZBAD,

：.NDAC=/BAD,

即,4。平分/A4C.

38.(24-25七年级下•广东梅州・期末)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中

线法.

图⑴图⑵图⑶

【问题解决】

(1)如图1,力。是△HBC的中线，且/出＞力。，延长力。至点E,使£7)=力。，连接4E,可证得

△ADC必EDB,其中判定全等的依据为：

【问题应用】

(2)如图2,NO是A/IBC的中线，点K在8C的延长线.匕4C平分/D4E,NE=/历1。，试探究线段力七

与力。的数量关系.

【拓展延伸】

(3)如图3,力。是△力8C的中线，AB=AE,AC=AFtNBAE=/FAC=90。,试探究线段4。与EE的

数量关系和位置关系，并加以说明.

【答案】(1)SAS

(2)AD=^-AE,证明见解析

2

(3)AD^-EF,EF1AD,证明见解析

2

【分析】本题主:要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键.

(1)根据中线的定义得8力=C