2025-2026学年高二年级下册人教A版期末模拟考试数学试卷（五）

2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（五）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分选择题（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数

为（）

A.60B.84C.100D.120

2.从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分,

每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（）

A.1B.2TD.W

333

3.已知随机变量X~N0OO,〃），。（X290）=0.65，则F（9OWX<110）=（）

A.0.15B.0.2C.0.3D.0.35

4.曲线/（力=丁-2工在x=\处的切线方程为（）

A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x-y+2=0D.x+y+2=0

5.已知X~N（3,4）且P（X<〃）=P（X>5）,则二项式的展开式中，常数项为

(）

A.-24B.-6C.6D.24

6.某学校有A,B两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐.如果某天去A餐厅，那

2

么第2天还去4餐厅的概率为：；如果某天去B餐厅，那么第2天还去B餐厅的概率

为之.若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去A餐厅用餐的概

4

率为（）

A.HB.以C.»D.9

2428824288

7.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若%=7必=13,则与=（）

A.100B.11（）C.115D.12（）

8.若函数〃x）=（x+l）/的图像与直线y=恰有两个公共点，则〃的取值范

围为（）

A.a>0或a---\B.a>--

e~e~

C.--V<。<0D.a>0

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.下列说法错误的是（）

A.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1

B.甲、乙两个模型的决定系数A?分别为0.98和0.82,则模型甲的拟合效果更好

C.对于经验回归方程f=2-3不，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量»平

均增加2个单位

D.在回归分析模型中，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好

10.现有4个编号为1,2,3,4的盒子和4个编号为1,2,3,4的小球，要求把4个小

球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）

A.没有空盒子的方法共有*24种

B.可以有空盒子的方法共有256种

C.恰有1个盒子不放球的方法共有288种

D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种

11.已知函数/（耳=寸-3/+（2-。卜+6,则下列结论正确的是（）

A.当〃>7时，有两个极值点

B.当。=2时，/(x)在x=2处取得极大值

C.若满足/(2-x)+/(x)=2,则a2+b2的最小值为g

D.若/(x)存在极大值点x(),且/(%))=/(5)，其中天尸与，则2工()+玉=3

第二部分非选择题(共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.甲将一枚硬币向上抛出10次，每次落下时正面朝上的概率为:，用X表示落下时

正面朝上的次数，则X的期望E(X)=.

13.已知数列｛a,｝的前〃项和为S”，且3s,=4〃“+3〃-6,则数列｛%｝的通项公式

%=------------•

14.已知函数f(x)=ln(ax)+(a-l)x-e\若f(x)存在两个零点，则实数a的取值范

围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人.学校为了解学生的体育锻

炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取1()0人进行问卷调查.

将每天体育锻炼时长>2小时视为锻炼达标，整理出如下列联表：

学段

是否达标合计

初中高中

达标28

不达标24

合计6040100

(1)请完成上面列联表，并依据小概率值a=0.05的独立性检验，分析学生体育锻炼达

标情况是否与学段(初中、高中)有关联.(结果保留小数点后三位)

(2)如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值0.05的独

立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段(初中、高中)有关联.(结果保留小

数点后三位)

附：#2=7~7V7---------\77-7V，其中〃6

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+〃)

a0.10.050.010.0050.001

42.7063.8416.6357.87910.828

16.（15分）在（Y+五）[〃之3,〃EN）的展开式中，第2,3,4项的二项式系数依次

成等差数列.

（1）求〃；

（2）求展开式中二项式系数最大的项.

17.（15分）新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为:

12345,6,7,8）某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下：

年份代码,12345678

科研经费看（单位:百亿元）2361013151821

销售量上（单位:百万辆）1122.53.53.54.56

888

参考数据：》戊=347,£r；=]308,：93,71785^42.25.

=

/=!»=1i=l

/、

X-y

,r--r-

参考公式：相关系数r=11----,b=------,a=y-bx.

位"]

-才£/一而

（1）根据样本数据，计算科研经费人与・销售库与y之间的样本相关系数，并推断它们的

线性相关程度（结果精确到0.01）；

（2）根据样本数据，求销售量y关于科研经费x的线性回归方程（&B用分数表达）.

18.(17分)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲

传给乙和丙的概率分别为1:和2;，乙传给甲和丙的概率分别为1上和3士，丙传给甲和乙

3344

的概率分别为士和二

33

(1)求第1次和第2次传球后球在乙手中的概率；

(2)求第〃次传球后球在乙手中的概率；

(3)记第，次传球时，乙接到的次数为工，则工服从两点分布，且P(Y=1)=0,

£(£工］=£>,«=1,2,…,〃)，设前〃次传球后，乙接到球的总次数为丫，且

</=1/1=1

E(Y)<^m总成立，求实数m的最小值.

19.(17分)已知函数〃x)=ln(x+l)—〃四.

(1)讨论/(力的单调性；

(2)当=1时，设正项数列｛〃“｝满足：4=i,2an+l-an=/(«„).

17

(i)证明：0<二—<1；

(ii)记数列｛na,］的前〃项和为S”，证明：2-^<S„<4-^

2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（五）

数学（解析卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

答案速查表

12345

CCCAC

678910

BBCACDAB

1112131415

（1）没有充分

证据推断学生

体育锻炼达标

情况与学段有

ACD22x47T+1(e,+8)关联（2）有充

分证据推断学

生体育锻炼达

标情况与学段

有关联

16171819

（1）当MKO时，单调

(1)r«(1)第1次递增区间为（-1,+8）;

1第2次：

(1)n=70.98,线当血〉0时，单调递增

性相关程

(2)T4=⑵Pn=[+区间为（一1，三9,单调

度很强递减区间为自,+8）

280X~Z,T5—2k

560/(2)y=

（2）（i）证而见解析

—83X+,—107⑶m=n

340340（ii）证明见解析

第一部分选择题（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数

为（）

A.60B.84C.100D.120

第6页，共18页

【答案】C

【解析】从0,1,2,3,4,5这六个数字中任选3个数字组成无重复数字的三位数，由于首位不

能为0,可分步进行：

第一步，确定百位数字，从1,2,3,4,5中任选1个，有底=5种选法；

第二步，确定十位和个位数字，从剩下的5个数字中任选2个进行排列，有飕=20种选法.

根据分步乘法计数原理，共有5X20=100种.

【点拨】本题考查排列组合的基础应用.处理含“0”的排数问题时，“首位不为0”是核心限制条

件，优先安排受限元素(首位)是常用策略.

2.从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分,

每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为()

A.-B.2C.-D.-

333

【答案】C

【解析】设取出2个球所得分数为X,则X的可能取值为2(两白)，3(一白一红)，4(两

红).

P(X=2)=:号/

P(X=3)=警=.

P(X=4)=口=表.

l八八c2,「8.4112+24+4408

E(vX7)=2x5-+3x15—+4x1—5=---1-5----=—15=3

【点拨】本题考查超几何分布的数学期望.也可利用期望的线性性质求解：每次摸取红球的概率为

：，白球的概率为|,每次得分的期望为2x：+lx|=3两次摸取的总期望即为2x3=*

DJADD*3

3.已知随机变量X〜N(100《2),p(x>90)=0.65.则P(904X4110)=()

A.0.15B.0.2C.0.3D.0.35

【答案】C

【解析】•・•随机变量X〜N(100,02),.••正态曲线的对称轴为〃=100.

•••P(X>90)=0.65,・•・P(X<90)=1-0.65=0.35.

由正态曲线的对称性可知，P(X>110)=P(X<90)=0.35.

•••P(90<X<110)=1-P(X<90)-P(X>110)=1-0.35-0.35=0.3.

【点拨】本题考查正态分布曲线的对称性.利用〃为对称中心，将所求区间的概率转化为已知区间

的概率是解题关键.

4.曲线/(x)=/-2x在％=1处的切线方程为()

A.%—y—2=0B.x+y—2=0C.x—y+2=0D.x+y+2=0

第7页，共18页

【答案】A

【解析】由/(%)=/-2%，得f(1)=l3-2xl=-l,即切点坐标为(1,一1).

求导得/'(X)=3x2-2,

，切线的斜率k=f'(1)=3x12-2=1.

由点斜式可得切线方程为y-(-1)=1•(%-1),即％-y-2=0.

【点拨】求曲线在某点处的切线方程，需严格遵循“三步曲”：一求切点坐标(代入原函数)，

二求导函数，三代入横坐标求切线斜率.

5.已知X〜N(3,4)且P(X<Q)=P(X>5),则二项式(：一QX)’的展开式中，常数项为

()

A.-24B.-6C.6D.24

【答案】C

【解析】•・・X~N(3,4),・••正态曲线关于％=3对称.

又P(X<a)=P(X>5),由对称性可知Q与5关于3对称，即等=3,解得a=1.

二二项式为(］一%)4.

r2r4

其展开式的通项为Tr+1=以(》4T(一切支=C：(-l)x-.

令2r-4=0,解得r=2.

・•・展开式中的常数项为戏(-1/=6x1=6.

【点拨】本题综合考查了正态分布的对称性与二项式定理.确定参数Q后，写出二项展开式的通项

公式，分离系数与变量是求特定项的标准流程.

6.某学校有48两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐.如果某天去4餐厅，那

么第2天还去/餐厅的概率为今如果某天去B餐厅，那么第2天还去8餐厅的概率为未

若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去A餐厅用餐的概率为

()

A.iiB.区ClD.2

2428824288

【答案】B

【解析】设第71天去力餐厅用餐为事件4小去B餐厅用餐为事件

由题意知，PG4i)=jP(&)="

且P(4+l历)=*P(Bn+i|4)=%P(Bn+ll%)=京P(An+1\Bn)=^.

第2天去4餐厅的概率为：

P(4)=尸(4)P(&Ml)+P(Bi)尸如⑸)=；x|+；x：=3+；/

第2天去B餐厅的概率为：

第8页，共18页

P(£?2)=l-PM2)=l-^=^.

第3天去A餐厅的概率为：

r»/“、c/"、r»/4IAX.nzn、r>/”ic、H2,13122,1388,39127

P(a)=P(42)P(&142)

+P(B2)^3I^2)=^X-4--X-=-+-=—+—=—

【点拨】本题考查全概率公式在马尔可夫链模型中的应用.画出树状图，理清每天状态转移的条件

概率，逐层递推计算是避免出错的有效方法.

7.已知等差数列｛册｝的前几项和为%,若Q3=7,QJ=13,则Sn=()

A.100B.110C.115D.120

【答案】B

【解析】在等差数列中，由等差数列的下标性质可知：

。3+=2。6.

。3=7,Qg=13,/.2a6=74-13=20,解得Q6=1°.

由等差数列前九项和公式得：

Su==lla6=11x10=110.

【点拨】本题考查等差数列的性质与前几项和公式.熟练运用“若m+〃=p+q,则am+Q〃=

他+%”这一性质，可大幅减少计算量.

8,若函数/(x)=(x+l)e*的图像与直线y=a(awR)恰有两个公共点，则Q的取值范

围为()

A.Q'O或Q=—2B.a>一2

e2e2

C.—<Q<0D.aNO

【答案】c

【解析】由/(%)=(%+l)e”,得((x)=e"+(x+l)e"=(x+2)e”.

令尸(x)=0,解得x=-2.

当“<-2时，/(x)<0,/(x)单调递减；

当%>—2时，/'(%)>0,/(x)单调递增.

.・./(%)在工=-2处取得极小值，且极小值为/(一2)-(-2+l)e-2=-%

又当XT-8|J、j,/(%)T0且/(%)V0；当XT+8时，，/(%)T+8.

画出/(%)的大致图像，可知要使直线y=Q与/(X)的图像恰有两个公共点，

需满足—■VQV0.

ez

【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值与图像.处理方程根的个数问题，通常转化为两个函数

图像的交点问题，准确画出函数草图(特别是注意极限趋势)是关键.

第9页，共18页

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.下列说法错误的是（）

A.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1

B.甲、乙两个模型的决定系数中分别为0.98和0.82,则模型甲的拟合效果更好

C.对于经验回归方程夕=2-3刈当解释变量x每增加一个单位时，预报变量夕平

均增加2个单位

D.在回归分析模型中，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好

【答案】ACD

【解析】对于A,两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数厂的绝对值|r|越接近于1,

而不是r越接近于1（r可能接近-1）,故A错误；

对于B,决定系数改越大，模型的拟合效果越好.・•・0.98>0.82,・••模型甲的拟合效果更好，故

B正确；

对于C,对于经验回归方程9=2-3%,回归系数6=-3,表示当解释变量又每增加一个单位时,

预报变量夕平均减少3个单位，故C错误；

对于D,在回归分析模型中，残差平方和越小，决定系数产越大，模型的拟合效果越好，故D错

误.

本题选错误的，故选ACD.

【点拨】本题考查统计学中的基本概念.需准确区分相关系数丁（符号表示正负相关，绝对值表示

相关强弱）与决定系数R2（越接近1拟合越好）的统计意义.

10.现有4个编号为1,2,3,4的盒子和4个编号为1,2,3,4的小球，要求把4个小

球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）

A.没有空盒子的方法共有24种

B.可以有空盒子的方法共有256种

C.恰有1个盒子不放球的方法共有288种

D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种

【答案】AB

【解析】对于A,没有空盒子，意味着4个小球分别放入4个盒子，即4个小球的全排列，共有

Ai=24种方法，故A正确；

对于B,可以有空盒子，即每个小球都有4种选择，共有44=256种方法，故B正确；

对于C,恰有1个盒子不放球，说明另外3个盒子都有球.由于共有4个球，则必然有1个盒子放2

个球，其余2个盒子各放1个球.先从4个盒子中选1个作为空盒，有盘种；再从4个球中选2个

第10页，共18页

捆绑在一起，有废种；最后将捆绑后的球和剩下的2个球放入选定的3个盒子中全排列，有心

种.共有盘x盘xa=4x6x6=144种方法，故C错误；

对于D,恰有一个小球放入自己编号的盒子，先选定这个小球和对应的盒子，有盘=4种方法；

剩下的3个小球放入剩下的3个盒子且均不能放入自己编号的盒子(即3个元素的错排)，错排

数为2种.共有4X2=8种方法，故D错误.

【点拨】本题综合考查排列组合的经典模型.“恰有空盒”对应分组分配问题(先分组后分配)，

“放入自己编号”对应错排问题.

11.已知函数//一3/+(2-a)x+b,则下列结论正确的是()

A.当。>一1时，f(x)有两个极值点

B.当a=2时，/(%)在％=2处取得极大值

C.若/(X)满足/(2-x)+/(X)=2,则+b2的最小值为1

D.若/(%)存在极大值点％o,且/Go)=/(0)，其中％0右％1，则2&+工1=3

【答案】ACD

【解析】由f(x)=X3-3x2+(2-a)x+b,得f<x)=3x2-6%+2-a.

对于A,/(x)有两个极值点等价于尸(x)=0有两个不相等的实数根，即△=(-6)2-4X3X

(2-a)>0,化简得12+12Q>0,解得。>一1,故A正确；

对于B,当a=2时，f'(无)=3x2-6x=3x(x-2).令f'(x)=0得％=0或%=2.当xG(0,2)

时，r(x)<0；当xe(2,+oo)时，/。)>0.二/。)在久=2处取得极小值，故B错误；

对于C,若/•(2-曾+〃幻=2,则函数/(乃的图像关于点(1,1)对称.又三次函数的对称中心横

坐标为％=—7^~=1，A/(1)=l.WI3—3xI2+(2-a)x14-/)=1,化简得匕一。二1.二

OXJ.

Q2+坟=Q2+(Q+1)2=2Q2+2a+1=2(Q+3.当Q=—1时，小+户取得最小值故

C正确；

对于D,若fO)存在极大值点工0，设极小值点为0，则是/'(%)=0的两根，且刀0<%2,

巧+%2==2.由/(No)=且H石，结合三次函数图像的性质(极值点与交点的横坐

标关系，即“1:2”切线定理)，可知与一必=2(孙一%o),BPXj=3X2-2x0=3(2-x0)-

23

2x0=6-5%o.整理得5x0+与=6.或者利用代数法：/(%)-/(x0)=(%-x0)(x-与)=x-

(2%o+%i)/+…,对比原函数％2的系数得2%o+%]=3,故D正确.

【点拨】本题考查三次函数的综合性质.需熟练掌握三次函数的导数与极值的关系、对称中心坐标

公式、以及极值点与函数值相等的另一交点横坐标之间的比例关系.

第11页，共18页

第二部分非选择题(共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.甲将一枚硬币向上抛出10次，每次落下时正面朝上的概率为：，用X表示落下时正

面朝上的次数，则X的期望E(X)=.

【答案】2

【解析】由题意可知，甲抛掷硬币10次，每次正面朝上的概率均为p=g且各次抛掷相互独立.

因此，落下时正面朝上的次数X服从二项分布，即X〜

根据二项分布的数学期望公式，可得E(X)=np=10x1=2.

【点拨】识别出随机变量服从二项分布模型是解题的关键，直接套用公式E(X)=np即可快速求

解.

13.已知数列｛即｝的前几项和为Sn，且3sli=4an+3九一6,则数列｛即｝的通项公式

%=•

【答案】2x471-1+1

【解析】已知3Sn=4%+3九一6①.

当九=1时，3al=4al4-3-6,解得％=3.

当九N2时，3S”_i=4册_1+3(n-1)-6②.

①-②得：3Q.〃=4an-4。时1+3,整理得厮=4。八—1一3.

将其变形为an-l=4(a〃T-1).

••,Qi—1=3-1=2/0,

・•・数列｛an-1｝是以2为首项，4为公比的等比数列.

n-1

an-1=2x4〃T,即4=2x4+1.

【点拨】本题考查由Sn与Qn的关系求通项公式.利用an=Sn-Sn_^n>2)转化为递推式，再通

过构造辅助数列转化为等比数列是常规套路.

14.已知函数/(X)=ln(ax)+(a-l)x-/，若/(%)存在两个零点，则实数Q的取值

范围为.

【答案】®+8)

［解析］由/(%)=0得In(ax)+(a—l)x—ex=0,即Ina+Inx+ax-x—ex=0.

变形为In(ax)4-ax=x+ex,即ln(ax)+ax=ln(ex)+ex.

设9(t)=1玳+£(亡>0),则/(£)=：+1>0,・・・9(£)在(0,+8)上单调递增.

由g(ax)=g(e")可得QX=ex.

第12页，共18页

/(X)存在两个零点，二方程a-?有两个不相等的正实数根.

设h(x)=9Q>。)，则〃(盼=安=竽・

当工£(0,1)时，九'(%)<0,九(%)单调递减;

当K6(1,+8)时，/lz(x)>0,h(x)单调递增.

•••h(x)的最小值为h(1)=e.

又当XT0+时，h(x)->4-00；当XT+8时，h(x)->+O0.

二要使直线y-a号y-h(x)的图像有两个交点，需满足a>e.

艮］实数Q的取值范围为(e,+8).

【点拨】本题考查利用导数研究方程的根.通过同构法构造相同结构的函数g(£),利用其单调性将

复杂方程转化为Q久=e"再分离参数构造新函数求导是解题的核心技巧.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.

某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人.学校为了解学生的体育锻炼习惯，米用

按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查.

将每天体育锻炼时长>2小时视为锻炼达标，整理出如下列联表：

学段

是否达标合计

初中高中

达标28

不达标24

合”6040100

(1)请完成上面列联表，并依方居小概率值Q=0.05的独立性检验，分析学生体育锻炼达

标情况是否与学段(初中、高中)有关联.(结果保留小数点后三位)

(2)如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值a=0.05的

独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段(初中、高中)有关联.(结果保留

小数点后三位)

附2=——n(ad-bc^——其中n=a+b+c+d

04(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)丁*

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

【答案】(1)列联表见解析；没有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联

：2)有充分证据推断学生体育锻炼达标情况与学段有关联

【解析】解：(1)依题意，抽样比例为2400:1600=3:2.

在100人中，初中抽取100x：=60人,高中抽取100x：=40人.

第13页，共18页

初中达标人数为60-24=36人；高中不达标人数为40-28=12人.

完成的2x2列联表如下：

学段

是否达标合计

初中另1中

达标362864

不达标241236

合计6040100

....................2分

根据列联表，计算得:

100X(36X12-28X24)2_100x(432-672)2

«1.0425分

60X40X64X36-E529600

v1.042<3.841,

・•・根据小概率值。=0.05的独立性检验，没有充分证据推断％不成立，因此可以认为学生体育

锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关.....................7分

12）将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍,

1000X(360X120-280X240)2

则f=x10.41711分

600x400x640x360

•••10.417>3.841,

・•・根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断％不成立，即认为学生体育锻炼达标情况与

学段（初中、高中）有关联.....................13分

【点拨】本题考查分层抽样与独立性检验.完善列联表时需注意抽样比例的计算，代入公式计算z2

时要细心，最后需将计算结果与临界值比较得出规范的统计推断结论.

16.

在（/+专产（心$九EN*）的展开式中，第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列.

（1）求九；

（2）求展开式中二项式系数最大的项.

【答案】（1）n=7

4

（2）T4=280xT,Ts=560r

【解析】解：（I）由题意得，展开式中第2,3,4项的二项式系数依次为盘，叱，%.

•・•它们成等差数列，.•・2鬣=禺+党....................2分

g]2xn(n-l)=n+n(n-l)(n-2)....................4分

26

化简得n2—9n+14=0,解得几=2或几=7.

n>3,/.n=7.....................7分

第14页，共18页

：2）由（1）知几=7,展开式共有8项，

二项式系数最大的项为中间两项，即第4项或第5项.....................9分

第4项为：

3T3

T4=C兴%2）4（专）3=35•—.8X-=280转.....................12分

第5项为：

62

T3=秋》2）3（专）4=35-X•16x-=560/.....................15分

【点拨】本题考查二项式定理为通项公式与二项式系数的性质.注意区分“二项式系数”与“项的

系数”，二项式系数最大项仅由指数n的奇偶性决定.

17.

新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为：1,2,345,6,7,8）

某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下：

年份代码112345678

科研经费看（单位:百亿元）2361（）13151821

销售量%（单位:百万辆）1122.53.53.54.56

参考数据：EF=I%%=347,2L*=1308,£?=iW=93,V1785«42.25.

参考公式：相关系数r=//匕（勺_?（加一?），石=黑吗「字,a=y-bx.

（1）根据样本数据，计算科研经费汇与销售量y之间的样本相关系数，并推断它们的线

性相关程度（结果精确到0.01）；

（2）根据样本数据，求销售量y关于科研经费x的线性回归方程（6$用分数表达）.

【答案】⑴r土0.98,线性相关程度很强

f、入83,107

、2）V=—X+—

J340340

【解析】解：（I）由题中数据可得:

_2+3+6+10+13+15+18+2188「〜

=-=11.......................2

x=-------------8-------------8

_1+1+2+2.5+3.5+3.5+4.5+624.

=—=3.......................4

,y=--------8------------8-------

88

W（占一元）（%一刃=WA%-8冲=347-8x11x3=347-264=83

1=11=1

88

2（勺_无）2=w*-8x2=1308-8xll2=1308-968=340

i=li=l

空=i（%-y）2=—8歹=93-8x32=93—72=21.......................6分

・•・相关系数厂=83_83_83

V340X21-'7140-2V1785

第15页，共18页

•••V1785x42.25.，r«「0.98.........................................8分

2X42.2584.5

由丁|r|、0.98接近1,・••科研经费与销售量之间线性相关，且线性相关程度很

强.....................9分

：2）由（1）可得:

r_£」1(&-元)("一刃_83

2-12分

S?=1(Xi-X)340

1320-913107

a=y-bx=3-—xll=14分

340340

・♦・销售量y关于科研经费%的线性回归方程为y=黑工+黑.....................15分

【点拨】本题考查一元线性回归方程的求解与相关系数的计算.熟练运用公式的变形形式

元）（%-9）=力访-nxy可大大简化运算过程.

18.

甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概

率分别为［和j乙传给甲和丙的概率分别为:和：，丙传给甲和乙的概率分别为［和"

334433

（1）求第1次和第2次传球后球在乙手中的概率；

（2）求第九次传球后球在乙手中的概率；

（3）记第i次传球时，乙接到的次数为匕，则匕服从两点分布，且P（匕=l）=pj,

E（%T）=£%Pi（=1,2，…,n）,设前n次传球后,乙接到球的总次数为匕且E（Y）4

2+M总成立，求实数机的最小值.

4

【答案】（1）第1次j第2次］

«5Y

⑶m=^

【解析】解：（1）设第九次传球后球在乙手中的概率为pK.

第1次由甲将球传出，甲传给乙的概率为%・・・Pi=：.........................................2分

第2次传球后球在乙手中，说明第1次传球后球不在乙手中.

若第1次传球后球在甲手中，甲传给乙的概率为全若球在丙手中，丙传给乙的概率也为

，第2次传球后球在乙手中的概率P2=（1-Pl）xg=（1xg=：.........................................5分

：2）由（1）的分析同理可得，第几+1次传球后球在乙手中，必然是第〃次传球后球不在乙手

中（即在甲或丙手中），且甲、丙传给乙的概率均为去

Ax

Pn+1=（1-PJI）|+PnX。=-1Pn+1.......................................8分

将其变形为Pn+1~\=-|（Pn-^）-

第16页，共18页

又一=」"

43412

，数列｛Pn-；｝是以看为首项，一[为公比的等比数列.....................10分

艮JPn=；+^(-1)n-1..........................................12分

⑶由题意,以丫)=£%口=£匕区+"(一0-1]

=n+±lZ<4：=n+±[1_(_l)n]........................................]4分

41241GLi3,」/

•••E(Y)<^+m总成立，・•・^[1-(一旷]<m恒成立.

设与=表[1一(一去”]，只需要。之Sn)max・