2026年中考数学：尺规作图（知识解读+例题讲义）（解析版）

第29讲尺规作图

3"知识导航

知识点1：尺规作图

M知识梳理

尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图.

五种基本作图:

五种基木尺规作图

类型图示步骤作图依据

圆上的点到圆心

1.作•条线段等「已a<1）㈣射线0P

的距离等于半径

知线段O~欢------P<2>作射>OPL截取。A=d

（1）以点0为圆心,任意长为半径面弧,分别■:边分别相等的

交OA,0B于点C,D两个三角形全

<2）画一条射线P0,以点P为圆心,0C长为半等；全等三角形

径血瓠,交P0于点C'的对应角相等;

<3）以p为用心，CDK为¥.径画弧，与第两点确定一条直

2.作•个角等f•己知44。

（2）步中所画的弧相交于点D'线

用

<4）过点P、PifM射线PB',则NB'P0=

ZBOC

A（1）以点0为留心，适当长为半径面弧，交

%OA于点M,交OB于点N.

（2）分别以点M、N为国心，大于gMN的

/K-B

3.作一个角的平分线长为半径画孤，两弧在NA0B的内部交r点

C.

（3）画出射线0C,射线0C即为所求

到线段两个端点

1.分别以点A、B为圆心，以大于-.45的长

2题国相等的点在

为半径作菰，两弧相交于C、D两点；

2.作直线CD,CD为所求直线这条线段的垂H

4.作一条垂直平分线平分线匕两点

确定•条内线

点在直（1）以。为圆心，适当长为半径画弧，交直线等腰三角形“三

P.

线上线合一”；两点

于点A、B两点；

确定一条直线

»

（2）分别以点A、B为圆心，大于LAB的长为

2

卡径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点P、C；

5.过一个点作已知直

（3）作直线PC,百线PC即为所求作的垂线

线的垂线

点在区（1）在直线另一•侧去点M；

线外

（2）以点P为国心，PM氏为半径画孤，交比

线1于点A、B两点；

（3）分别以点A、B为留心，大于」AB的长

2

为半径画瓠,两弧相交广点Q；

（4）作亘纭PQ,亘线PQ即为所求作的垂线

西题型精讲—*

【题型1尺规作图-作线段】

【典例1】如图，在△/£（；中，乙1=30。，48=90°.

⑴在斜边/C上求作线段力。，使4。=8。，连接。B：

（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

（2）若。8=2,求4B的长.

【答案】（1）图见详解

（2）AB=2V3

【分析】（1）以力为圆心，BC长为半径画弧，交4c于点。则问题可求解；

（2）根据含30度直角三角形的性质可得AC=2BC,则有0C=A0,进而问题可求解.

【详解】（1）解：所作线段力。如图所示：

（2）解：•.24=30。.Z.ABC=90°.

-AC=2BC,

-AO=BC,

-AC=2AO,

•M=AO,即点。为力C的中点，

••OB=2,

•AC=2OB=4,

:BC=2,

：.AB=>/AC2-OB2=2V3.

【点睛】本题主要考杳含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理,

熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键.

【变式1】在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断48与4c大小关系的是（）

A.B.

【答案】D

【分析】利用基本作图“J直接对由A选项和B选项中47和48的长，再根据基本作图和

线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较”和48的长，可判断C,不能比较4c

和4B的长，可判断D.

【详解】解：A.由作图痕迹，在AC上截取线段等于AB,则所以A选项不符

合题意；

B.由作图痕迹，在AB匕延长线上截取线段等于力C,则所以B选项不符合题

息；

C.由作图痕迹，作BC的垂直平分线，可知4?=40+G）=40+80,根据三角形三边

关系得力。+8。>力8,^AC>AB,所以C选项不符合题意：

D.由作图痕迹，作AC的垂直平分线,仿照C,可知BC>4B,不能说明作。和AB的大小,

所以D选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主耍考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也

考查了线段垂直平分线的性质.

【变式2】尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知线段〃?，n,求作△力BC,使N/1=90。用8==n.

m

n

【答案】见解析

【分析】作直线/及，上•点4；过点力作/的垂线；在/上截取48=m；=九；

即可得到△48C.

【详解】解：如图所示：△48C为所求.

注：（1）作直线/及！上一点/；

（2）过点4作/的垂线；

（3）在/上截取43=m；

（4）作8。=加

【点睛】本题考查作图一一及杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于•中考

常考题型.

【题型2作一个角等于已知角】

【典例2】如图，已知△J8C,AC>AB,ZC=45°.请用尺规作图法，在4C边上求作一点

P，使乙P3C=45。.（保留作图痕迹.不写作法）

【答案】详见解析

【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在4C边上求作一点P,使NP4C=45。

即可.

【详解】解：作法：（1）以点。为圆心，以任意长为半径画弧交4C于。，交8C于E,

（2）以点4为圆心，以CO长为半径画弧，交BC于F,

（3）以点尸为圆心，以。石长为半径画弧，交前弧于点M,

（3）连接8W,并延长8M与力。交于点P,则点。即为所求.

如图，点P即为所求.

【点睛】本题考查了作图一一基本作图.解决本题的关键是掌握基本作图方法.

【变式1】如图，用尺规作出乙OBF=iAOB,所画痕迹丽是（）

A.以点B为圆心，0D为半径的弧

B.以点C为圆心，DC为半径的弧

C.以点E为圆心，0D为半径的弧

D.以点E为圆心，DC为半径的弧

【答案】D

【详解】分析：根据题意，所作出的是WOBFEAOB,,

根据作一个角等「己知角的作法，丽是以点E为圆心，DC为半径的弧.

故选D.

【变式2】如图，。中，Z.ACB>Z-ABC.

（1）用直尺和圆规在乙1C4的内部作射线CW,使乙1CM=乙44C（不要求写作法，保留

作图痕迹）；

（2）若（1）中的射线交48于点。，AB=9,AC=6,求力。的长.

【答案】（1）作图见解析；（2）4.

【详解】试题分析：（1）根据尺规作图的方法，以4C为一边，在乙4C4的内部作

UCM"ABC即可；

（2）根据△力CO与相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可.

试题解析：解：（1）如图所示，射线CM即为所求；

ADACAD6

（2）;CD=UBC,乙CAD=cBAC,〜△/8C,••.三二而，即百=5，二力力=4.

点睛：本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两

角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例.

【变式3】如图，4。=35。，观察尺视作图的痕迹，4/RC的度数为.

【答案】70。/70度

t分析】本题考查基本作图一作角，根据作图可知，乙4BC=2乙。，求解即可.

【详解】解：由作图可知：（ABC=2",

•.2。=35。，

：.Z.ABC=2Z-0=70°；

故答案为:70°.

【题型3尺规作角的和、差】

【典例3】如图，在正方形48CQ中，£为力。的中点.

⑴在C。边上求作一点£使得乙CFB=22BE；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若48=BC=4,求8/的长.

【答案】（1）作图见解析

（2）5

【分析】（1）根据作一个角等于己知角的方法，作出乙出£的等角乙臼"'即可；

（2）连接EF,过点七作EH_LBF,垂足为“，由角平分线的性质可得4E=HE,由

RtADEFeRtAHEF,Rt△ABEmRt△HBE可彳号DF=HF,BH=AB=4,设DF=X、

则HF=x,CF=4-x,BF=4+x，Rt△BCF中由勾股定理建立方程求得x,再计算线

段和即可；

【详解】（1）解：如图，①以点8为圆心，适当长为半径画弧，分别交A4、BE于点

G、N；②以点N为圆心，NG长为半径画弧，在4EBC内交前弧于点〃；③作射线8M

交CD于点F；

根据作图可得AABE=^EBF,

由ABHCD,

贝“乙CFB="JB尸=2乙/IBE；

（2）解：如图，连接EF,过点七作£7/18凡垂足为从

DC

•••四边形力BCD是边长为4的正方形，

：.AB=BC=CD=AD=4/A==ZD=90°,

由作图可知：Z-EBF=/.ABE,

.-.AE=HE,

・：E为AD的中点.

.'-AE=DE=2.

:.HE=DE=2,

在Rt和/?£△“£产中，

(EF=EF

IDE=HE，

.­./?t△DEF^Rt△HEF(HL),

:.DF=HF,

-AE=HE,BE=BE,

：.Rt△ABE^Rt△HBE(HL),

.-.BH=AB=4,

设。尸二x,则〃F=x,CF=4-x,FF=4+x,

在RtaBCF中，Z.C=90°,

：.BC2+CF2=8产，

42+(4-X)2=(4+XI2,

解得：x=1,

即DF=HF=1,

••.8/=H/+B”=l+4=5.

【点睛】本题考查了正方形的性质，作一个角等于二倍角，角平分线的性质，全等三角

形的判定和性质，勾股定埋等知识；正确作出辅助线是解题关键.

【变式1】如图，已知上0,利用尺规作44使,4=240.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】本题主要考直了作一个角等于已知角的2倍，熟练掌握作一个角等于已知角的

基本作图方法,是解题的关键.根据作一个角等于已知角的基本作图方法，作出NA=24。

即可.

【详解】解：如图所示,乙4即为所求.

【变式2】如图，己知，1,Z2.求作乙4。8,使乙4。8=△1+42（用尺规作图，不要求写

作法，但要保留作图痕迹）.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了尺规作图一一作一个角等于两角的和，解题的关键是掌握尺规

作一个角等于已知角的步骤.

利用作角的和的步骤，即先作NA0C=41,再进行叠加,作WBOC=42即可.

【详解】解：如图,即为所求.

【题型4过直线外一点作这条线的平行】

【典例4】尺规作图：如图，点P在直线，外，过点P作与直线，平行的直线.

p

【答案】见解析

【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关

键.利用同位角相等，两直线平行作出图形即可.

【详解】解：如图，直线PA即为所求.

作NBPD=NEQF,利用同位角相等,两直线平行可知力PII2.

【变式1】如图，已知三角形48C,在边A8上求作一点在边AC上求作一点M使MN|BC.

A

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵

活运用所学知识.

根据同位角相等，两直线平行，先以点5为圆心任意长为半径画弧如B于点D,交BC

于点尸，在48上取一点再以点M为圆心，以BD为半径画弧，交AB于点E,然后

以点E为圆心，以0/^为半径画弧，交弧于点G,连接MG,交力C于点N,可知

421MN=4B,即MN||8c.

【详解】解：如图，直线MN即为所求.

【题型5作角平分线】

【典例5】如图，四边形48CD中，AB||DC,AB=BC,A。10C于点0.

⑴用尺视作乙48C的角平分线，交C。于点E,交AC于点。（不写作法，保留作图痕迹）；

⑵连接/E，四边形4BCE是什么特殊的四边形？请加以证明.

【答案】⑴见解析

⑵四边形A8CE是菱形，证明见解析

【分析】本题考查了基本作图一作角平分线，角平分线的性质、平行线的性质、菱形的

判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键.

⑴利用基本作图作角平分线即可；

⑵由BE平分Z4BC,则N4BE=NEBC,再根据平行线的性质得幺BE=ZBEC,故有

BC=CE,然后利用菱形的判定方法证明即可.

【详解】（1）解：如图，〃"的角平分线即为8E；

以点B为圆心，任意长度为半径画弧，分别与A8,BC相交，再以两交点分别为圆心，

大于这两个交点的距离的•半作弧线，相交于•点，连接3点与此交点并延长，分别交

CD于点E,交AC于点0即可：

（2）解:四边形HBCE是菱形,证明如下:

•••8E平分乙4BC,

">LABE=Z.EBC.

-AB||DC,

.,./.ABE=乙BEC.

"EBC=乙BEC.

••.BC=CE.

-AB=BC,

•AB=CE.

又"5||CE,

.•.四边形4BCE是平行四边形.

乂：AB=BC,

•••四边形48CE是菱形.

【变式1】如图，在△A8C中，力8=/C,点。在力C上，连接BD,并延长至点£连接力E,

使=AB.

⑴作乙E4C的平分线/凡4打交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；；

（2）在（1）的条件下，连接CF,求证：/.ABE=Z.ACF.

【答案】（1）图见解析

（2）证明见解析

【分析】本题考查了基本作图一角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质,

等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关健.

（1）作出NEAC的平分线即可；

（2）利用等腰三角形的性质得到乙E二，4BE,再证明三△&4F得出

zF=AACF,进而即可得证.

【详解】（D解：如图，AF即为所求：

E

A

D

X

B匕---------C

(2)证明：连接CF,

vAB=AC,AE=AB,

•••AC=AB=AE,乙E=Z-ABE^

由(1)知：力尸平分，E4C,

LEAF=4CAF,

在和△心!户中,

AE=AC

^.EAF=Z-CAF

AF=AF

.••△£4尸三△口!尸(SAS),

ZE=Z.ACF,

Z.ABE=Z.ACF.

【变式2】如图，四边形48CD是平行四边形.

⑴用尺规作图作乙48c的平分线交AD于用保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）

⑵求证：AB=AE.

【答案】⑴作图见解析

⑵证明见解析

【分析】本题考杳尺规作图和平行四边形的性质，熟练掌握"等边对等角"是解题的关键.

（1）利用尺规作图作乙4BC的平分线，以点8为圆心，任意长为半径画弧，交力8和

于两点，再分别以这两点为圆心，大于2两点的距离为半径画弧，在N4BC内交于一点

0,作射线8。交ROJE即可：

（2）rh（1）可得乙"E="BC,根据力。||BC得到乙4E8="BC,进而得到

/-ABE=乙AEB,根据等边对等角证明AB=AE即可.

【详解】（1）解：以点8为圆心，任意长为半径面弧，交为8和BCf两点，

再分别以这两点为圆心，大于3两点的距离为半径画弧，在乙48c内交「一点。，作射线

B0交AD于E,如图所示：

(2)证明：•••〃£•平分乙4BC

/.Z.ABE=Z.EBC

•••四边形力BC。是平行四边形

.-.AD||RC

•••Z.AEB=乙EBC

Z.ABE=Z.AEB

AB=AE.

【变式3】如图，△48。中，乙。=90。.

⑴基本尺规作图：作乙1BC的角平分线80交力。于0,过点。作。£，/18于£（保留作图

痕迹，不写作法和结论）

⑵若4c=6,BC=8,48=10,求△力DE的周长.

【答案】（1）见详解

（2）8

【分析】该题考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定等知识

点，解题的关键是正确作图.

（1）根据题意作图即可.

（2）根据题意4C=乙0E8=NDE4=9OO/C8D=ND8E,从而得出CO=OE,证明

△CDB空△EDB,求出8C=BE=6,AE=2,解答即可.

【详解】（1）解：如图，BD,DE即为所求.

工

(2)解：根据题意NC=4DEB=乙DEA=90°^CBD=乙DBE,

••.CD=DE,

△CD8三△EDB(AAS),

:BC=BE=6,

：.AE=AB-BE=10-8=2,

•••△力OE的周长=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=6+2=8.

【题型6尺规作图-作三角形（含特殊三角形）】

【典例6】如图，被墨迹污染了，请你重新作一个△4%Ci,使△"BC三△4凡的.（要

求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）

A

BC

【答案】见解析

【分析】本题主要考查限定工具作图，三角形全等的判定;；根据已知三角形,利用ASA

进而得出全等三角形即可.

【详解】解：如图所示:即为所求.

A

首先画一条射线并在其上截取81cl=BC,再分别以以和。1为顶点作=乙B,乙Ci

=4C,则乙/与4C］另一边的交点即为&点，则即为所求作.

【变式1】如图，在△ABC中，点。是线段BC延长线上的点，点£是线段AC延长线上的

点.请利用无刻度直尺和圆规作△OEC,使△A8C三（不写作法，保留作图痕

迹）

【答案】见解析

【分析】本题考查的是全等三角形的判定及尺规作图，掌握全等三角形的判定方法及作

一条线段等于已知线段是解题关键，在BC延长线上截取CD=C4在AC延长线上截取

CE=CB,连接DE即可得出.

【详解】解：如下图，即为所求作.

【变式2】已知：线段。和，a,求作：△ABC,使得BO=a,CA=LC=La.

A«

结论：

【答案】图见解析，结论：△48C为所求作三角形

【分析】本题考查了作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，以及垂直平分线

作图，先画一条线段，用圆规在线段上取BC=a,再画CC=NQ,以及线段。垂直平分

线，取。4=》,连接8C所作△48C即为所求.

【详解】解:所作△ABC如下图所示:

【变式3】如图，已知线段〃、b.求作RtAABC,并使两直角边BC=a,AC=b.

b

【答案】见详解

【分析】本题主要考查了尺规作图-作三角形.先画一条直线，在直线上任取一点B,

截取C8=a,然后过点。作已知直线的垂线CB=a,截取CA=4连接48,则△力BC为

所求作的三角形.

【详解】解:如图:

b

如图所求为所求作的三角形.

【题型7尺规作图-作三角形的中线与高】

【典例7】如图，中，Z-B=90°.

⑴尺规作图：作4C边上的中线8。（保留作图痕迹，不写作法）：

（2）在（1）所作的图中，将中线B。绕点。逆时针旋转180。得到0。，连接AD,CD.求证:

四边形A8CD是矩形.

【答案】（1）作图见解析

（2）证明见解析

【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,

旋转的性质；

（1）作出线段4c的垂直平分线ER交"广点O,连接B。，则线段8。即为所求；

（2）先证明四边形ABC。为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论.

【详解】（1）解：如图，线段8。即为所求；

（2）证明：如图,

•••由作图可得：4。=C。，由旋转可得:BO=DO,

二四边形为平行四边形，

-Z.ABC=90°,

••・四边形48CD为矩形.

【变式1】如图，已知直线/和/外一点儿请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC,

使得顶点B和顶点。都在直线/匕（作出符合题意的•个等腰直角三角形即可，保

留作图痕迹，不写作法）

A

■

【答案】见解析

【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图.过点力作A81I,垂足为8,

再在直线/上截取点C,使=连接AC,则AABC是所求作的等腰直角三角形.

【详解】解：等腰直角△力8C如图所示：

A

【变式2】如图，AB=AE,BC=ED,乙B=LE.

（1）求iF：AC=AD：

（2）用直尺和圆规作图：过点力作4F_LCD,垂足为F.（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据边角边证明三△4E0即可证明结论成立；

（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可.

【详解】（1）证明：•・•/2=/£",乙B=£E,BC=ED,

••・△ABCwA4ED（SAS）,

•.AC=AD^

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以直线外一点向直线最垂线的作法,

熟练记忆正确作法是解题关键.

【题型8尺规作图-作垂直平分线】

【典例8】如图，B。是矩形4BCD的对角线.

⑴作线段80的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；

⑵设80的垂直平分线交千点E.交BC千点、F.连接FE,DF.

①判断四边形8EDF的形状，并说明理由；

②若力B=5,BC=10,求四边形BEDr的周长.

【答案】⑴图见详解

⑵①四边形BEDr是菱形，理由见详解：②四边形BEDF的周长为25

【分析】（1）分别以点4、。为圆心，大J%0为半径画弧，分别交于点M、M连接

MN,则问题可求解.；

（2）①由题意易得NE。。="80,易得△E0D三八FOB（ASA）,然后可得四边形BEOF

是平行四边形，进而问题可求证；

②设BE=ED=x,则4E=10-X,然后根据勾股定理可建立方程进行求解.

【详解】（1）解：所作线段8D的垂直平分线如图所示:

（2）解：①四边形BEDF是菱形，理由如下：如图,

由作图可知：OB=0D,

•••四边形48co是矩形，

：.AD||BC,

：.LED0=乙FBO,

“EOD=乙FOB,

AE0D=AF05（ASA）,

:.ED=FB,

四边形BEDr是平行四边形，

♦••EF是BD的垂直平分线，

•BE=ED,

•••四边形8EDF是菱形；

②•••四边形力BCD足矩形，BC=10.

.Z=90。/。=BC=10,

由①可设BE=ED=%,则4E=10

•••AB=5,

：.AB2+AE2=BE2,即25+（10-%）2=/，

解得：％=6.25,

四边形8EDF的周长为6.25x4=25.

【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的

性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是

解题的关键.

【变式1】如图，AC为正方形力BCD的对角线.

⑴尺规作图：作为D的垂直平分线I交4D于点E,在，上确定点心使得点F到NB4C的两边

距离相等：（不写作法，保留痕迹）

（2）在（1）的条件下，求土E/M的度数.（请直接写出乙EFA的度数）

【答案】（1）画图见解析

（2）22.5°

【分析】本题主要考杳了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质,

熟练掌握相关知识是解题的关键.

（1）由题意先作AD的垂直平分线2,再根据点F到MAC的两边距离相等可知点尸在ZB4C

的角平分线上，据此作图即可.

（2）根据正方形的忤.质和角平分线的定义求得然后由48"+上£所=90。和

Z.EFA4-Z.EAF=90°,得到乙E凡4=匕84人即可求解.

【详解】（1）解：如图，直线，，点户即为所求.

：7

木I

（2）解：•••四边形力BCD是正方形，AC是对角线，

：.Z.BAC=乙CAD=45°,乙BAD=乙BAF+LEAF=90°,

•••力厂平分N84C,

•■•Z.F/1F=\L.BAC=；x45c_22.5°,

•••直线，1AD,即“EF=90。，

：^EFA+LEAF=90。，

：.z.EFA=Z.BAF=22.5°.

【变式2】如图，在中，△4=45。，AC>BC.

⑴尺规作图：作线段AB的垂直平分线/,分别交48.AC于点D,E：（要求：保留作图

痕迹，不写作法，标明字母）

⑵在（1）所作的图中，连接8E,若48=8,求BE的长.

【答案】（1）见详解

（2）4衣

【分析】（1）分别以力、8为圆心，大于%8为半径画弧，分别交4C于点Q,E,

作直线DE,则直线/即为所求.

（2）连接BE,由线段垂直平分线的性质可得出BE=AE,由等边对等角可得出

4E8力=乙4=45。，力三角形内角和得出/BEA=9O。，则得出△4BE为等腰直角三角

形，再根据正弦的定义即可求出BE的长.

【详解】（1）解：如下直线/即为所求.

（2）连接8E如下图:

•「DE为线段4B的垂史平分线，

•BE=AE,

：.LEBA==45°,

"BEA=90°,

.•.△/18E为等腰直角三角形，

BEV2

•'sinA=^=T>

••.BE=折乎=8x9=4衣

【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形

的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义.掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关

键.

【变式3】如图，4c是菱形4BCD的对角线.

⑴作边的垂直平分线，分别与A8,AC交于点E,F（尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹）：

⑵在（T）的条件下，连接「氏若乙。二140。求乙C8F的度数.

【答案】⑴见解析

（2）120°

【分析】（1）分别以点4点8为圆心，大于%B的长为半径作弧，交于点M，点N,

作直线MN交4B于点E,交ACr点F,连接E尸即可；

（2）连接尸丛由菱形的性质得到N4BC=ZD=140。,48=CB,则4B4C=乙BCA=20°,

由线段的垂直平分线的性质可得4F=B凡故得到的8尸=乙84?=20。,则

乙CBF=乙ABC—乙ABF=120°.

【详解】（1）解:

（2）解：连接F8,

•・•菱形4BCD,

乙ABC=U）=140°,AB=CB.

Z.BAC=Z-BCA=1（180°-140°）=20°,

•••MN垂直平分AB.

AF=BF,

^ABF=^BAC=20°,

•••乙CBF=LABC-LABF=120°.

【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线

的性质.按照要求作出边的垂直平分线是解题的关键.

【题型9尺规作图-过圆外一点作圆的切线】

【典例9】如图，线段AB长为8,。是A8上一点，且OA=3,以。为圆心，。4为半径作圆

在48的上方求作点P使得BP相切于O0.

【答案】见解析

【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线.以OB为直径作圆，与。。在4BI.方的交

点即为所求点P.

【详解】解：如图，点2即为所作.

【变式1】如图，。。与48相切于点4且经过08的中点C.

⑴利用无刻度的直尺和圆规过点B作出。。的另外一条切线，切点为D.（保留作图痕

迹，不写作法）

⑵若。B=4,求力。的长.

【答案】（1）见解析

喈

【分析】本题考查过圆外一点作圆的切线，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形,

三角形全等的判定与性质及弧长公式.

（1）根据题意得。。=8C，以点。为圆心，^08为半径画圆交。。「点4。两点，由。。

与A8相切于点4则乙048=90。，根据直径所对圆周角为90。得4008=90。，即可解

答；

（2）解直角一角形求出乙48。=30。，进而求出乙40c=60。，根据切线的性质证明Rt

△OABwRtAODB,推出4800=4BOA=60°,求出440。=120°,再利用弧长公

式即可解答.

【详解】（1）解：如图1，直线8。即为所求作的切线;

(2)解：与。。相切于点4

Z.OAB=90%

•.•点。为OB的中点,

•••OA=OC=goB=2，

s\nz.AB0=^=2,

・"80=30°,

:.Z.A0C=60°,

■:BD与。。相切于点。，

：.0DLBD.

?ERt△OAB^Rt△0DB^tOA=0D,0B=OB,

•••Rt△OAB=Rt△ODB,

Z.B0D=Z.B0A=60°,

Z,A0D=120°；

120X1TX241T

而=一而—=T-

【变式2】如图是6x6的正方形网格，网格边长为1,△48c的顶点均在格点上.已知△48C

的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹.

(1)作△的外接圆的直径40：

⑵过点5作△48。的外接圆的切线BE.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，三角形的外接圆，圆周角定理，切线的性质，

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

（1）根据直径所对圆周角为90。，结合网格的特征，取格点P,Q,则NAPQ=90。，即PQ

交圆于点连接AD即可；

（2）由（1）知力。为的外接圆的直径，利用网格的特征，取4。中点。，即为△48C

的外接圆的圆心，连接08,再利用网格的特征，取格点E,作直线BE,可得

Z.OBE=90°,即可解答.

【详解】（1）解：如图，直径力。即为所求.

（2）解：如图，切线BE即为所求.

【题型10尺规作图-作外接圆】

【典例10］如图，在△4BC中，ADLBC,垂足为D

⑴尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△4BC的外接圆0。,作宜径力£连

接BE；

（2）证明：

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查尺规作图一作圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握三角

形的外心为三角形三边中垂线的交点，是解题的关健：

（1）根据三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，作/1C/8的中垂线，两条中垂线

的交点即为圆心。，再以。为圆心，0A的长为半径面圆，延长A0交。。于点E,连接

BE,即可：

（2）根据圆周角定理得到乙48E=NADC=90WC8=N<EB,即可得证；

【详解】（1）解：由题意，作图如下：

(2)ME为直径,

：.^ABE=90°,

,'AD1BC,

：.Z.ADC=90°=乙ABE,

又••NAEB=匕ACB,

△4DC.

【变式1】如图，在△4BC中，ADLBC,垂足是D.

⑴作△力BC的外接圆。（尺规作图）；

（2）若力8=8,AC=6,AD=5,求△4BC的外接圆。半径的长.

【答案】（1）见解析

（2仔

【分析】（1）根据三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，先作线段力B和AC的

垂直平分线确定点。的位置，再以。为圆心，以OB的长为半径画圆即可；

（2）如图所示，连接40并延长交。。广七，连接EE,由直径所对的圆周角是直角得

AB

至叱ABE=90。，再由圆周角定理得到NE=4C,进而证明

4E

斤，由此代入数值计算求出力E的长即可得到答案.

【详解】（1）解：如图所示，。。即为所求;

A

B

E

（2）解：如图所示，连接AO并延长交o。r£,连接8E,

.-./.ABE=90°,

'：ADIBC,

：./-ABE=^ADC=90°,

又“E=乙C,

.'.AABE^^ADC,

ABAE8AE

’而=恭5=Tf

48

-'-AE=y,

124

：OA='/IE=­.

24

△ABC的外接圆。半径的长为彳.

【点睛】本题主要考查了画三角形外接圆，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正

确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

【变式2】如图，已知AZBC为等腰三角形，点E为BC的中点，请用尺规作图法，作△48C

的外接圆。。（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题

的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.作线段力C的垂直平分线交直线4EF

O,以。为圆心，。4为半径作。。，。。即为所求.

【详解】解：作线段AC的垂直平分线交直线4EJ。，以。为圆心，。4为半径作。0.

O。即为所求.

【题型11尺规作图-作内切圆】

【典例11】已知，如图，在△4BC中，乙4c8=90。，请根据下列要求解决问题:

⑴利用尺规作出△ABC的内切圆。。：(不写作法，保留作图痕迹)

(2)若SfBC=6,内切圆O。的半径为1，求△A3C的周长.

【答案】⑴见解析

(2)12

【分析1本题考查了三角形内切圆，作角平分线，作垂线等知识.热练掌握三角形角平

分线的交点为三角形的内切圆的圆心是解题的关键.

(1)根据三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心，确定圆心，然后作垂线确

定半径，最后作圆即可；

(2)如图1,连接OC,则SAABC=S&408+S^AOC+S4BOC，用」6=^ABx1+^ACx14-

IfiCxl,计算求解即可.

【详解】(1)解：如图1,作上CA8、乙CB4的平分线，交点即为圆心0,过。作。。_1力8

TD,以。为圆心，OD为半径画圆，。。即为的内切圆；

c

(2)解：如图1,连接OC,

•・・$△48。=S4AOB+S^AOC+Szs8oc，乜。6=\ABx1+x1+\BCx1,

解得，AB+AC+BC=12,

••.△HBC的周长为12.

【变式1】如图，已知△ABC,请用尺规作图法作出△ABC的内切圆。。.(只保留作图痕

迹，小写作法和证明j

【答案】见解析

【分析】作24BC和乙4cB的平分线，它们相交于点。，过。点作0”_L8CfH点，再以。

点为圆心，。”为半径作圆，则。。为△48C的内切圆.

【详解】解：作N4BC和乙4c8的平分线，它们相交于点0.过。点作0H1BC于H点，再

以0点为圆心，0H为半径作圆，如图，

则。。为所作.

【点睛】本题主要考查了复杂作图、三角形的内切圆与内心等知识点，熟悉基本几何图

形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键.

【变式2】如图，是等腰直角三角形，乙4=90。，AB=AC.

（1）尺规作图：作的内切圆。0（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）若。。的半径为1,求4C的长.

【答案】（1）图见解析；（2）2日+2.

【分析】（1）作N股C的平分线40,再作乙48c的平分线交力。于。，然后以。点为

圆心，为半径画圆即可；

（2）过。点作OELAB于E,OFLACTF,连接0C,如图，根据切线的性质得到OD

=OE=OF=1,利用四边形力为正方形得到。4=遮。£=遮，然后根据等腰直角

三角形的性质得到8c=24D

【详解】解：（1）如图，0。为所作；

（2）过。点作OELAH于E,0FA.AC于F,连接0C,如图,

•••OO为△/AC的内切圆，

：.OD=OE=OF=1,

易得四边形4E。产为正方形，

：.（乂=五（兄=近,

^AD=AO+OD=V2+1,

-AD为等腰直角三角形斜边上的角平分线，

••,AD为斜边上的中线，

：.AD=BD=CD,

:.BC=2AD=2近+2.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,

•般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图

形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

【题型12尺规作图-作圆内接正多边形】

【典例12】作图并填空：

⑴在下图中，利用尺规作图，作出已