初中数学八年级课题学习：最短路径问题教学设计

初中数学八年级课题学习：最短路径问题教学设计

一、教学分析

（一）教材分析与定位

本课选自人民教育出版社八年级上册第十三章“轴对称”之后的课题学习，属于“综合与实践”领域。【课标定位】《义务教育数学课程标准（2022年版）》将“课题学习”视为发展学生模型观念、应用意识与创新意识的核心载体。最短路径问题在教材中承载着从定性几何向定量几何、从静态图形向动态变换过渡的特殊使命。通过对“将军饮马”等经典问题的数学化重构，学生将经历实际问题抽象为数学问题、运用轴对称变换实现线段和最小化的化归过程。【核心价值】本课不仅是轴对称性质的深度应用，更是初中阶段首次系统建立“路径优化”模型，为后续学习函数最值、线性规划乃至运筹学思想奠定直觉基础。

（二）学情研判

八年级学生已掌握三角形全等、轴对称性质、两点之间线段最短等前置知识，具备初步的几何推理能力。然而，【学习痛点】学生往往止步于记住“作对称点、连接交点”的机械操作，对“为何要作对称”“交点为何即为所求”缺乏逻辑闭合意识，在遇到折线多于两段、动点个数增加、背景复杂化时难以迁移。【素养起点】多数学生尚未建立“变化中求不变”的变换视角，对“化折为直”的数学思想停留在感性认知层面。本课旨在通过系列化、结构化的探究任务，帮助学生实现从“模仿操作”到“模型建构”的认知跃升。

（三）教学目标

1.知识与技能

（1）理解并掌握解决“两定点一定线”型最短路径问题的基本策略——轴对称变换法；【重要·基础】

（2）能准确识别“将军饮马”模型及其常见变式，并运用该模型解决相关几何最值问题；【高频考点】

（3）能规范书写最短路径问题的作图步骤与说理论证过程。

2.过程与方法

（1）经历将实际问题抽象为数学线段和问题、借助轴对称实现化折为直、运用两点之间线段最短获得解的完整探究过程；【非常重要·思想方法】

（2）体会转化思想、数形结合思想与模型思想，发展几何直观与逻辑推理能力。

3.情感态度价值观

（1）感受数学与生活实际的紧密联系，增强用数学眼光观察世界的意识；

（2）在变式挑战中培养批判性思维与科学严谨的态度。

（四）教学重难点

教学重点：利用轴对称变换将同侧线段和问题转化为异侧问题，依据两点之间线段最短确定最优位置。【核心内容·高频】

教学难点：对“交点为何即为所求”进行严格的证明（包括任意性说明与唯一性确认），以及当动点位于多条直线或存在定长约束时模型的灵活迁移。【思维难点·热点】

二、教学策略与方法

本课采用“问题链驱动—模型建构—变式进阶”的教学策略，以真实情境激发探究欲，以系列追问推动思维可视化。全程融入【跨学科视野】：从将军行军、管道铺设到城市消防站选址，沟通数学与军事、工程、运筹学的联系。教学方法上交替使用启发式讲授、自主探究与小组思辨，确保每一位学生都能经历“直觉猜想—操作确认—逻辑证明—模型命名—迁移应用”的完整认知闭环。

三、教学准备

教师准备：动态几何课件（几何画板或GeoGebra），预设不同层次变式题的题卡，学生用学习单（含探究记录表、证明框架、评价量表）。

学生准备：尺规作图工具，预习教材中“将军饮马”故事，尝试画出自己认为的最短路线。

四、教学实施过程（核心环节，占整体篇幅80%以上）

（一）情境导入：从历史典故到数学问题（约4分钟）

教师以叙述方式引入“将军饮马”典故：古罗马时代，一位将军从军营A出发，到河边l饮马，再回到帐篷B，欲求最短路线。板书简图。

【问题1】你能直观判断饮马点M大致在何处吗？为什么此时路径最短？

学生凭直觉猜测点在靠近中点或任意位置，产生认知冲突。

教师追问：我们学过的哪个基本事实可以直接判断折线长度？——学生回忆“两点之间线段最短”。

【教师引导】但折线A-M-B并不是一条线段，如何将其“变成”一条线段？由此开启本课核心任务。【设计意图】从历史情境切入，不仅增加文化厚度，更将问题聚焦于“化折为直”这一核心思想，为轴对称登场铺陈必要性。

（二）新知探究：模型建构与论证（约25分钟）

1.基础铺垫：两点在直线异侧（约3分钟）

教师出示异侧图：A、B在直线l两侧，在l上找一点M使AM+BM最小。

学生脱口而出：连接AB，与l交点即为M。【一般·复习性知识】

追问：依据是什么？——两点之间线段最短。

教师板书规范写法：作线段AB交l于点M，点M即为所求。

【重要标记】此处为后续同侧问题的“参照系”，突出转化目标——将同侧化为异侧。

2.核心探究：两点在直线同侧——将军饮马原型（约12分钟）【非常重要】【高频考点】【思维难点】

（1）问题呈现：点A、B在直线l同侧，在l上找一点M，使AM+BM最小。

（2）猜想与操作：

学生独立尝试作图，教师巡视，收集典型做法。

预设生成：①凭经验将M取在靠近中间位置；②尝试度量；③少数学生可能见过对称法。

教师不急于公布答案，而是引导：回忆异侧情形，我们能否“创造”出一个与B有关的点，使得它在l的另一侧，并且到l上任意点的距离等于B到该点的距离？

（3）轴对称介入：

学生自然想到作点B关于l的对称点B′。

追问：为什么想到作对称？——对称保持线段长度相等（BM=B′M）。

此时折线AM+BM转化为AM+B′M。

（4）化折为直：A、B′位于l异侧，连接AB′，与l交点即为M。

（5）严密论证：

教师要求学生以小组为单位完成证明。提供证明框架：

“如图，在l上任取异于点M的一点M′，连接AM′、BM′、B′M′。

由轴对称性质，BM=B′M，BM′=B′M′。

则AM+BM=AM+B′M=AB′。

而AM′+BM′=AM′+B′M′。

在△AB′M′中，AM′+B′M′＞AB′（两点之间线段最短）。

所以AM+BM＜AM′+BM′，故M为所求。”

（6）模型命名与表征：

师生共同提炼：此模型称为“将军饮马”模型。核心要素——两定点、一定线、一动点；核心操作——作对称、连线段、得交点；核心思想——化折为直、以直代曲。

【特别强调】作图时保留对称点、连线的痕迹，结论中必须注明“由轴对称性质得……依据两点之间线段最短得……”。（此为中考尺规作图与说理题评分标准关键点）

3.变式进阶：从一条线到两条线（约10分钟）【重要·热点】

（1）两线一点问题：

如图，A为锐角∠MON内一定点，分别在OM、ON上找点P、Q，使AP+PQ最小。

学生尝试后发现无法直接对称一个点。

教师提示：目标是折线AP+PQ，能否分段处理？

小组讨论后得出：作A关于OM的对称点A′，连接A′Q交OM于P，则AP+PQ=A′P+PQ。

追问：此时P已确定，Q如何选？——将A′视为新“定点”，问题转化为A′到ON的最短路径（垂线段最短）。

【模型升级】由此得到“两次对称+垂线段”策略。

（2）两线两点问题（造桥选址）：

出示教材经典问题：A、B为河两岸定点，河宽不变，桥MN垂直于河岸，建在何处使AM+MN+NB最短？

学生易将MN视为定长，关键是平移变换——将A沿垂直河岸方向平移河宽至A′，连接A′B交河岸于N，再确定M。

【核心思想】平移实现定长段的“消去”。此处渗透等量代换与变换观点。

（3）小结：不同路径问题的共性策略——通过轴对称或平移将折线“拉直”，转化为两点间或点到直线的最短距离问题。

（三）模型归纳与数学思想提炼（约6分钟）【非常重要】

教师引导学生从以下维度系统梳理：

1.知识图谱：

1.2.基本型：两定点、一定线（同侧、异侧）。

2.3.变式型：一定点两定线（垂线段法）；两定点两定线（平移+对称）。

4.思想方法：

1.5.转化思想：同侧→异侧；折线→直线。

2.6.对称思想：保持长度不变，改变位置。

3.7.模型思想：将军饮马是初中最值问题的“种子模型”。

8.解题通法：

1.9.读题：明确动点位置、路径构成。

2.10.变换：用对称、平移将折线中可变部分整合。

3.11.连线：转化为两点间线段或点到直线垂线段。

4.12.定解：找出交点，并验证唯一性（选择性证明）。

（四）分层练习与应用（约12分钟）

1.基础性练习（全体独立完成）【一般·巩固】

（1）如图，正方形ABCD边长为4，E为BC中点，在对角线BD上找一点P，使PE+PC最小。

（直接运用将军饮马模型，E关于BD的对称点即为E本身？——引导学生发现E在BD上时对称点即为自身，实则转化为C到BD的垂线段？不，需具体分析。此题旨在打破“凡同侧必作对称”的思维定势，强调图形特殊性。）

（2）作图题：已知直线l和l外两点C、D，在l上求作一点M，使CM+DM最短（保留作图痕迹并写作法）。

2.拓展性练习（小组合作）【热点·中高难度】

（1）三角形中的最短路径：等边△ABC边长为6，AD是BC边上的高，E为AC中点，在AD上找一点P，使PE+PC最小。

（2）实际应用：某燃气公司需从气站A向位于公路l同侧的两个小区B、C铺设管道，拟在公路上设一接口M，如何选址使管道总长最短？若小区C在公路另一侧，结论如何？

3.挑战性思考（课后延伸）【难点·拓展】

若将军要从A出发，先到草地l1，再到河流l2，最后回到B，如何确定两条路径上的点？

（此为“双动点”问题，需两次轴对称，渗透化归的递归思想。）

（五）课堂小结（约3分钟）

学生畅谈本节课收获，教师从三个层面升维：

1.知识：将军饮马模型及其变式的操作步骤、证明逻辑。

2.观念：数学不只是“算出来”，更是“想出来”——变换是几何的灵魂。

3.文化：两千年前古罗马问题至今仍是数学竞赛、中考的热点，彰显经典问题的生命力。【高频考点标识】

（六）布置作业（约1分钟）

1.必做：完成学习单中基础练习第2、3题，整理将军饮马证明过程。

2.选做：寻找生活中3个可用最短路径解释的现象，写成数学小短文。

3.探究作业：在GeoGebra中拖动动点，观察路径和的变化曲线，思考交点为何唯一。

五、板书设计（过程性生成）

主板书区：左侧呈现将军饮马原型图（含对称点、连线、交点），右侧书写严密的证明格式。

副板书区：自上而下动态记录各组变式的核心示意图及关键操作。

下方保留区：书写本节课提炼的“化归路径”思维导图（文字为主）。

【板书逻辑】从左到右呈现知识发生过程，从下到上体现思维进阶层次。

六、教学反思与预设应对

1.生成点预测：

1.2.学生在证明时可能忽略“任取一点”的任意性，需强调这是证明最小值的规范动作。

2.3.部分学生会将“作对称”机械记忆，面对三角形内点问题时盲目作对称，教师应通过反例引导学生分析图形特征，再选择变换工具。

4.跨学科浸润：

提及城市消防站选址、快递配送路线优化，虽不展开计算，但让学生感知数学模型对社会运作的效率贡献。

5.评价方式：

采用过程性评价，关注学生在小组讨论中提出的不同解法（如有些题目可用“化曲为直”用展开图解决，为后续立体表面路径问题埋下伏笔）。

6.课脉延展：

本课结束后留下悬念——若路径中含有固定长度线段（如造桥问题中桥不一定垂直），是否仍能化直？为下一层次课题（平移变换、相似变换）作铺垫。

七、学业评价设计（嵌入教学过程）

1.课堂观察点：能否独立完成将军饮马作图与简单说理；【重要】

2.学习单诊断：证明过程逻辑链条是否完整，模型识别是否正确；