指向核心素养的小学五年级数学‘小数除法’单元整体教学设计与实施

指向核心素养的小学五年级数学‘小数除法’单元整体教学设计与实施

  一、设计理念与理论框架

  本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于小学五年级学生的认知发展规律与数学学习心理，深刻理解数学核心素养——数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识——在具体知识载体上的落实路径。除法，尤其是小数除法的学习，是整数除法意义的自然扩展，是运算能力发展的关键节点，更是培养学生数感、推理意识和模型意识的绝佳场域。传统的除法教学往往局限于竖式算法的机械训练，将“如何算”置于“为何算”、“算什么”之上，导致学生虽能操作算法却不理解算理，虽能解答习题却无法迁移解决真实问题，核心素养的培养流于表面。

  因此，本设计跳出单一课时、孤立知识点的窠臼，采用“单元整体教学”的视角，对“小数除法”单元内容进行结构化重组与主题化整合。以“理解除法意义的一致性”为核心观念，以“计数单位细分与运算”为逻辑主线，将除数是整数的小数除法、除数是小数的小数除法、商的近似值、循环小数等内容有机融合。设计强调在真实、复杂、有意义的问题情境中引发认知冲突，驱动学生主动建构；通过具身操作、多元表征、合作探究、思辨论证等深度学习活动，促进算理与算法的深度融合；借助数字化学习工具与跨学科项目，拓展数学学习的深度与广度，最终实现从掌握除法技能到形成除法观念、发展数学思维的根本性跨越。

  二、教学前端分析

  （一）教学内容深度剖析

  本单元隶属“数与代数”领域，核心是理解小数除法的算理并掌握其算法。其知识逻辑链条为：整数除法意义（包含除、等分除）及竖式算理->小数意义（十进制计数法，计数单位的细分）->除数是整数的小数除法（直接进行计数单位细分）->商不变性质->除数是小数的小数除法（转化为除数是整数的除法）->在现实情境中认识商的近似值与循环小数的必要性。教学的关键突破点在于：其一，理解小数除法本质上是“计数单位”的运算，当被除数更低位的计数单位不够除时，需要将其转化为更小的计数单位继续除，这一过程在竖式中体现为“添0继续除”或“点小数点”；其二，理解利用商不变性质将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法，其数学本质是在保持两个量倍数关系不变的前提下，对计数单位体系进行整体缩放，从而实现运算的标准化。这不仅是运算技巧，更是深刻的数学变换思想。

  （二）学情精准诊断

  五年级学生已牢固掌握整数乘除法的算理算法，具备初步的小数意义和性质知识（小数的读写、基本性质、大小比较），并学习了小数加减法。然而，通过前测与教学经验分析，学生可能存在以下认知节点与潜在障碍：1.思维定势：整数除法中“余数必须比除数小”的强认知可能干扰对小数除法中“继续除”过程的理解，部分学生会误认为“算完了”。2.意义断层：容易将小数除法视为全新的、与整数除法无关的运算，难以将“平均分”的意义自然迁移到非整数量情境中。3.算理模糊：对竖式中“商的小数点与被除数的小数点对齐”这一规则多停留在记忆层面，不理解其源于“相同计数单位上的数相除”。4.转化困难：对商不变性质的应用可能流于形式（如机械地移动小数点），不理解为何可以这样转化，以及转化前后算式意义的一致性。5.应用僵化：面对真实情境中关于“取舍”或“无限”的问题时，缺乏基于情境灵活选择运算策略（精确值、近似值、进一法、去尾法）的意识和能力。

  三、单元整体教学目标

  （一）素养导向的核心目标

  1.运算能力：能理解小数除法的算理，掌握除数是整数和小数的小数除法竖式计算方法，并能正确、熟练、合理地进行运算。能根据具体情境灵活选择口算、估算、笔算或计算器等策略，并对运算结果的合理性进行判断。

  2.推理意识：能基于整数除法的经验、小数的意义和商不变性质，通过观察、操作、类比、演绎，自主探索并合理论证小数除法的计算法则。能清晰表述探索过程中每一步的依据，发展逻辑推理与数学交流能力。

  3.模型意识与应用意识：能从包含“平均分”或“求倍数”关系的真实情境中抽象出小数除法算式，理解其现实意义。能运用小数除法解决生活中的实际问题（如购物、测量、配比、速度等），并能根据问题背景对商进行恰当处理（取近似值、认识循环现象），体会数学模型的普适性。

  4.数感：通过丰富的小数除法运算活动，进一步加深对十进制计数法和小数意义的理解，增强对运算结果大小、范围的估计和直觉判断能力。

  （二）具体的知识与技能目标

  1.理解并掌握除数是整数的小数除法的计算方法，能正确计算，并理解商的小数点定位的算理。

  2.理解并掌握除数是小数的除法的计算方法，能正确地将除数转化为整数进行计算，并理解其转化的依据（商不变性质）。

  3.认识循环小数、有限小数和无限小数，会用简便记法表示循环小数。

  4.能结合具体情境，用“四舍五入法”或根据实际需要求商的近似值，理解“进一法”和“去尾法”的意义并会应用。

  5.能梳理小数除法与整数除法的内在联系，形成对除法运算意义和方法的整体性认知。

  四、教学重难点

  教学重点：理解小数除法的算理，特别是计数单位细分在竖式中的体现，以及利用商不变性质将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。

  教学难点：跨越整数除法到小数除法的认知鸿沟，真正理解“继续除”的过程与本质；在具体问题情境中，灵活、合理地选择和处理商的形式（精确值或近似值）。

  五、单元整体结构规划

  本单元将重组为三个紧密联系、层层递进的教学主题模块，预计用时12-14课时。

  模块一：意义的延展与算法的初探（约4课时）。主题：“细分计数单位，解决平均分新问题”。聚焦除数是整数的小数除法，从具体情境（长度、钱币、质量等均分）入手，通过实物模型（如方格纸、货币模型、长度测量）、数学工具（计数器、面积模型）的多元表征，深度理解“当分到整数个位后仍有剩余时，如何通过将剩余单位转化为更小单位继续平均分”的过程，从而自主建构算法，理解算理。

  模块二：思想的转化与算法的统整（约4-5课时）。主题：“巧用商不变，化新为旧促统整”。聚焦除数是小数的小数除法。创设“单价不同但总价可成比例”等对比情境，引发认知冲突。引导学生利用商不变性质，通过自主探究将除数转化为整数，沟通新旧知识联系，实现算法的统一与简化，深刻体会转化思想的价值。

  模块三：结果的解构与现实的对接（约4-5课时）。主题：“结果无涯，应用有径——当除法遇见真实世界”。聚焦商的近似值与循环小数。在“求速度”、“购物预算”、“材料裁剪”等复杂真实问题中，让学生自然遭遇“除不尽”和“结果位数过多”的现实困境，从而主动建构求近似值的必要性，认识循环小数，并学会根据具体情境选择“四舍五入”、“进一”或“去尾”等策略，实现数学运算与现实需求的辩证统一。

  六、教学资源与技术赋能设计

  1.具身认知材料：定制化的十进制方格纸（可代表1、0.1、0.01）、小数计数器、钱币模型（元、角、分）、长度测量工具（米尺，可细分至厘米、毫米）。

  2.数字化互动工具：利用GeoGebra或类似动态数学软件，制作小数除法竖式过程的可视化交互模型。学生可通过拖动滑块，直观观察被除数计数单位逐级细分、商每一位数字产生的动态过程。利用智慧课堂系统，进行实时答题反馈、小组作品投屏与对比分析。

  3.真实问题素材库：收集与小数除法相关的跨学科问题，如科学实验中的浓度配比（克/升）、家庭水电费计算（元/吨，元/度）、运动心率计算（次/分钟）、地图比例尺换算等，形成项目学习资源包。

  4.思维可视化工具：提供思考单、论证模板、单元知识结构图绘制工具，帮助学生梳理思路、表达观点、构建知识网络。

  七、核心教学过程实施详案（以模块二“除数是小数的除法”关键探究课为例）

  课时主题：揭秘“转化”的力量——当除数戴上“小数点面具”

  （一）情境冲突，任务驱动（预计用时：12分钟）

  活动一：真实问题对比呈现。

  情境A：“妈妈带了9.6元去超市买鸡蛋，鸡蛋价格是每千克4.8元，她能买多少千克鸡蛋？”

  情境B：“妈妈带了96元去超市买牛肉，牛肉价格是每千克48元，她能买多少千克牛肉？”

  教师引导学生快速口答情境B的算式和结果（96÷48=2千克），并说明用的是整数除法。接着聚焦情境A，列出算式9.6÷4.8。教师提问：“这个算式和我们以前学的除法有什么不同？（除数是小数）你能直接口算出结果吗？估计一下，结果大约是多少？你是怎么想的？”引导学生估算（因为9.6大约是4.8的2倍，所以结果大约为2），建立初步数感。

  活动二：认知冲突与初步尝试。

  教师：“估算能帮助我们判断范围，但我们需要知道精确的数量。能用我们学过的除数是整数的小数除法来计算9.6÷4.8吗？为什么不能？（除数是小数，我们还没学过算法）请同学们先独立思考，尝试用自己的方法解决，可以画图，也可以联系已有的知识。把你的想法记录在探究单上。”

  学生独立尝试。教师巡视，搜集典型方法（可能有：将元转化为角计算9.6元=96角，4.8元=48角，96÷48=2；或用线段图表示倍数关系；或凭直觉写2但说不出道理；或尝试模仿竖式但卡住）。

  设计意图：通过对比性情境，制造认知冲突——问题本质一致（求倍数），但形式不同（除数有整数与小数之分）。估算活动激活数感。开放性的尝试任务，旨在暴露学生的原始认知和潜在思维，为后续的探究提供真实起点。

  （二）多元探究，共析算理（预计用时：20分钟）

  活动一：策略分享与初步联通。

  教师选择具有代表性的学生方法进行全班分享。

  分享1（单位换算）：“我把9.6元看成96角，4.8元看成48角，问题就变成了96角÷48角=2，所以能买2千克。”教师追问：“你把‘元’换算成‘角’，实际上是把以‘元’为单位的小数，转化成了以‘角’为单位的（整数）。这样做的依据是什么？（1元=10角，所以9.6元=96角，4.8元=48角）换算前后，妈妈带的钱和鸡蛋的单价之间的关系变了吗？（没有，钱和单价同时扩大了10倍，能买的千克数不变）”

  分享2（画图表征）：学生展示用两条长度不同的线段分别表示9.6和4.8，通过倍比关系看出9.6包含2个4.8。教师引导学生思考：“从图中看，9.6÷4.8的商，和96÷48的商一样吗？为什么？（因为9.6是96的0.1倍，4.8是48的0.1倍，两者缩小的比例相同，所以商不变）”

  活动二：聚焦共性，抽象规律。

  教师引导学生对比两种方法：“这两种不同的方法，有没有共同点？”引导学生发现，无论是“元化角”，还是从线段图中观察，本质上都是“把被除数和除数同时乘10（或扩大10倍），把除数变成整数，但商不变”。

  教师板书核心发现：9.6÷4.8=（9.6×10）÷（4.8×10）=96÷48=2。

  追问：“为什么要‘同时’乘10？只把除数4.8变成48行不行？为什么？”学生通过讨论或举例（如只变除数，9.6÷48=0.2，结果错误），理解“商不变性质”的条件——被除数和除数必须“同时”乘或除以同一个不为零的数。

  活动三：动态演示，深化理解。

  教师利用动态数学软件（GeoGebra），呈现一个可视化的“除法转化器”：输入原算式9.6÷4.8，有两个滑动条分别控制被除数和除数乘的倍数。当学生单独拖动除数倍数条使其变为10时（除数变为48），算式值（商）立刻改变，不再是2。只有当学生将两个倍数条同步拖到10时，算式值才稳定为2，直观验证“同时”变化的重要性。软件同时动态展示数轴上被除数、除数同步伸缩但其倍数（商）保持不变的过程。

  设计意图：本环节是算理建构的核心。通过分享、对比不同的学生生成性策略，引导他们自己发现不同方法背后统一的数学思想——利用商不变性质进行转化。教师的追问旨在将学生的生活化解释（元化角）和直观感知（线段图）提升到数学原理（商不变性质）的层面。动态软件的介入，将抽象的“同时变化”和“商不变”变得可视、可操作，极大地促进了概念的理解。

  （三）算法建模，沟通联系（预计用时：15分钟）

  活动一：从算理到算法。

  教师：“我们发现了可以把9.6÷4.8转化为96÷48来计算。这个过程在竖式计算中如何简洁地体现呢？请同学们尝试写出9.6÷4.8的竖式计算过程。”

  学生尝试。教师展示规范竖式，并引导学生口述计算过程：

  1.写竖式：先写成除数是小数的标准形式。

  2.看除数：除数是4.8，是一位小数。

  3.做转化：根据商不变性质，要把除数变成整数，需要把它的小数点向右移动一位（相当于×10）。为了商不变，被除数的小数点也必须向右移动一位（相当于×10）。

  4.点新点：在被除数的新位置上点上小数点（如果位数不够，用0补足）。

  5.算整数：然后按照除数是整数的小数除法进行计算（96÷48）。

  教师强调：“移动小数点”是“同时乘10、100、1000……”的简便操作。这个过程可以用一句口诀概括：“除数变整数，向右移小数点；被除数跟着移，位数不够0来补。”

  活动二：举一反三，抽象概括。

  出示一组练习，要求学生先说清楚如何移动小数点及其理由，再计算：0.546÷0.06，4.5÷0.25，7÷0.125。

  重点讨论“7÷0.125”：被除数7是整数，小数点在哪里？移动除数小数点时，被除数需要补几个0？为什么？（除数0.125要变成整数125，需向右移动三位，相当于×1000；被除数7也要×1000，变为7000，所以需要在7后面补上三个0）。

  引导学生小结除数是小数的除法计算法则：“先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。”

  设计意图：此环节实现从直观算理到形式算法的过渡。引导学生将“同时乘一个数”的算理，对应到竖式中“同步移动小数点”的操作步骤，实现算理与算法的无缝对接。通过变式练习，特别是被除数是整数、需要补0的情况，巩固和深化对法则的理解，确保算法的普适性。

  （四）迁移应用，分层巩固（预计用时：10分钟）

  活动一：基础巩固层。

  完成教材配套的基础练习题，重点巩固移动小数点的正确操作和计算准确性。采用智慧课堂系统即时反馈，针对错误率高的题目进行集中讲评。

  活动二：思维拓展层。

  问题1：“计算12.6÷0.28，小明的竖式第一步写成了126÷28；小红的竖式第一步写成了1260÷28。他们谁做对了？为什么？”（都对了，但移动的位数不同。小明是将除数和被除数同时乘了100，小红是同时乘了1000，只要保证“同时”，且除数变整数即可，但通常移动除数小数点到整数为止最简便。）

  问题2：“一个数除以0.5，相当于把这个数（）；一个数除以0.25，相当于把这个数（）；一个数除以0.125，相当于把这个数（）。你能发现什么规律？”（引导学生发现除以一个小于1的小数，结果比原数大，并联系“乘一个数的倒数”为后续学习做铺垫，发展推理意识。）

  设计意图：分层练习满足不同学生的学习需求。基础层确保全体掌握核心技能。拓展层问题1深化对“转化”本质的理解——实现转化的方式可以有多种，但必须遵循“商不变”原则；问题2引导学生探寻计算背后的规律，将运算与数的大小关系、运算规律联系起来，培养推理能力和数感。

  （五）总结反思，结构内化（预计用时：3分钟）

  教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

  知识：我们今天学会了除数是小数的除法，其计算法则是……

  方法：我们是通过“转化”的方法，利用（商不变性质），把（除数是小数的除法）转化成了（除数是整数的除法）来解决的。

  思想：这是一种非常重要的“化归”或“转化”思想，它能把新的、复杂的问题变成旧的、简单的问题。在我们以前的学习中，哪些地方也用过这种思想？（如：小数乘法转化为整数乘法，异分母分数加减法转化为同分母分数加减法等）

  最后，布置一个简短的反思性作业：请你画一张思维导图或写一段数学日记，说明“整数除法”、“除数是整数的小数除法”和“除数是小数的小数除法”三者之间有什么联系和区别。

  设计意图：总结不局限于知识点的复述，而是引导学生上升到数学思想方法的层面进行反思，并与已有的知识经验建立广泛联系，促进认知结构的优化与整合。反思性作业旨在推动学生进行元认知活动，将零散的知识点编织成网络，实现深度学习。

  八、单元评价设计

  本单元评价坚持“素养立意、过程为主、多元多维”的原则，贯穿于教学全过程。

  （一）过程性评价（占比60%）

  1.课堂观察与即时反馈：通过教师巡视、提问、聆听小组讨论，使用课堂互动系统的实时投票、抢答、随机挑人等功能，评估学生的参与度、思维活跃度、合作交流能力以及对核心概念的理解程度。重点关注学生在探究活动中能否提出有见地的问题、能否清晰表达算理、能否倾听并回应同伴观点。

  2.探究单与学习作品分析：对学生在各模块探究活动中完成的“探究单”、绘制的思维导图、数学日记、项目报告等进行分析，评价其数学思考的过程、问题解决的策略、表征能力及反思深度。

  3.小组合作表现评价：设计小组合作评价量规，从任务分工、协作效率、成果质量、汇报展示等方面进行小组互评与教师评价。

  （二）阶段性纸笔测评（占比30%）

  测评题目设计超越单纯的计算熟练度考查，强调在情境中考查理解与应用。例如：

  情境题：“学校手工小组准备用一根6.4米长的彩带做中国结，每个中国结需要用彩带0.85米。这根彩带最多可以做多少个这样的中国结？还剩多少米彩带？（请写出你的思考过程和竖式计算）”——考查在实际问题中应用小数除法，并理解“去尾法”和“余数”的现实意义。

  推理题：“小明在计算一个数除以2.5时，看成了乘2.5，结果得数是16.25。正确的得数应该是多少？”——逆向考查对乘除法互逆关系和运算意义的理解。

  开放题：“请你自己编一道用‘12.5÷0.5’解决的实际问题，并解答。再想一想，这个算式还可以解决哪些不同情境的问题？”——考查数学建模能力和对除法意义的多元理解。

  （三）总结性项目评价（占比10%）

  单元末，开展“我是家庭CFO”微型项目学习。学生需要完成一项家庭财务小调查与规划任务，例如：记录一周家庭某项开支（如水电费、买菜），计算日均花费；或规划一次家庭短