小学五年级数学《最大公因数与最小公倍数》期末复习专题教学设计

小学五年级数学《最大公因数与最小公倍数》期末复习专题教学设计一、基本信息与设计理念（一）学科与学段：小学五年级数学（人教版五年级下册）（二）课题名称：考点24：最大公因数与最小公倍数（期末复习每日一练专题）（三）设计理念：依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第二学段（34年级）与第三学段（56年级）的过渡要求，本设计立足于“数与运算”领域的一致性与整体性。教学不再仅仅是孤立知识点的重复记忆，而是致力于构建“概念—算理—算法—应用”的结构化认知体系。通过“每日一练”的形式，将期末复习聚焦于核心素养的达成，特别是数感、运算能力、推理意识及应用意识的培养。本课以“公因数与公倍数”为纽带，沟通因数与倍数的内在联系，引导学生在解决真实情境问题的过程中，深化对“最大公因数”与“最小公倍数”本质的理解，实现从“解题”到“解决问题”的跨越，体现复习课的“梳理—重构—升华”功能。（四）教学背景分析：1.教材分析：“最大公因数与最小公倍数”是人教版五年级下册第四单元《分数的意义和性质》的核心内容，既是因数与倍数知识的延伸与综合，也是后续学习约分、通分以及分数四则运算的基础与前提。教材编排遵循从具体到抽象、从单一到综合的逻辑，先建立概念，再探究方法，最后回归应用。2.学情分析：五年级学生已经掌握了因数、倍数的概念，具备了基本的列举能力和初步的代数思维。然而，在期末复习阶段，学生面临的主要挑战并非单一方法的掌握，而是【难点】“最大公因数与最小公倍数在实际问题中的模型辨别与灵活运用”。学生容易陷入“见数就除，见题就套”的思维定势，无法准确判断问题是属于“等分”模型（求公因数）还是“周期重合”模型（求公倍数）2。此外，对于短除法的算理、互质数及倍数关系的特殊数对的处理，也存在计算失误与方法混淆的现象。二、教学目标与核心素养（一）【基础】知识与技能目标：1.学生能准确陈述最大公因数与最小公倍数的意义，能熟练运用列举法、筛选法、短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。2.学生能正确区分并解决生活中涉及“最大公因数”和“最小公倍数”的实际问题，如“裁剪”、“分段”、“铺砖”以及“相遇”、“排队”、“分糖”等问题。（二）【重要】过程与方法目标：1.通过“每日一练”的梯度式训练，引导学生经历“独立探究—合作纠错—归纳建模”的复习过程，构建“问题情境—数学模型—知识本质”的解题策略。2.培养学生的观察、比较、归纳能力，渗透集合思想与模型思想，体会转化思想在解决问题中的价值。（三）【非常重要】情感态度与价值观目标：1.在解决生活问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，增强应用意识。2.通过“每日一练”的坚持，培养学生严谨、细致的计算习惯和持之以恒的学习品质，在辨析与挑战中获得成功的体验，树立学好数学的自信心。三、【高频考点】教学重难点（一）教学重点：1.熟练掌握求两个数的最大公因数与最小公倍数的基本方法（短除法、分解质因数法）。2.建立清晰的数学模型，能够在具体情境中准确提取关键信息。（二）教学难点：1.【难点】理解短除法的计算模型，明晰“最大公因数是除数相乘，最小公倍数是除数和商连乘”的算理。2.在实际应用中，精准区分“求最大公因数”与“求最小公倍数”的题目特征，避免模型混淆。四、教学准备（一）教师准备：多媒体课件（PPT），包含清晰的例题演示、易错题对比表、“每日一练”题卡（分层设计）、微课视频（短除法算理解析）。（二）学生准备：错题本、不同颜色的笔（用于纠错和标注）、课前自主梳理的关于“因数与倍数”的思维导图（局部）。五、教学实施过程（核心环节）（一）启动阶段：思维导图唤醒，构建知识网络（约8分钟）1.课前展示与评价：教师随机选取几份学生课前绘制的“因数与倍数”思维导图进行投影展示。让学生自己上台讲解，重点关注“公因数”与“公倍数”分支的建构。其余学生进行评价补充，例如：“他的导图中把求最大公因数的方法总结得很全，但我觉得最小公倍数在生活中的应用例子还可以再举一个。”2.核心聚焦：教师根据学生的导图，在黑板上逐步形成核心知识框架。从“因数”引出“公因数”进而引出“最大公因数”；从“倍数”引出“公倍数”进而引出“最小公倍数”。重点在两者之间画上双向箭头并打上“？”，提问：“回顾这个单元，你觉得在复习最大公因数和最小公倍数时，最容易混淆的是什么？”引导学生自己说出“用错方法”和“解错题型”两大痛点。3.揭示课题：基于学生的困惑，教师板书课题《最大公因数与最小公倍数——每日一练专题复习》，明确本节课的任务是“打通算理，精准建模”。（二）重构阶段：短除法算理深究，打通“一除两用”（约15分钟）1.【重要】核心算法回顾——短除法的秘密：教师出示一组数对：12和18。提问：请用短除法求出它们的最大公因数和最小公倍数。学生独立计算，一名学生上台板演：

短除式：2|12

18

3|6

9

2

3

最大公因数：2×3=6

最小公倍数：2×3×2×3=362.深度追问，探寻算理（突破难点）：教师指着板演提问：“为什么最大公因数只需要把旁边的除数（2和3）乘起来？而最小公倍数却要把除数和最后的商（2、3、2、3）全部乘起来？这多出来的‘2和3’（指着最后的商）到底代表了什么？”小组讨论，代表发言。教师利用课件进行动态演示，将12和18分解质因数：

12=2×2×3

18=2×3×3

重叠部分（公有的）：2×3=6（这就是最大公因数，是两数的“公共部分”）。

12独有的部分：2；18独有的部分：3。

最小公倍数需要包含“三者”：两个数的公有部分×12独有的部分×18独有的部分。即(2×3)×(2)×(3)=36。结论归纳：【重要】最大公因数是“取交集”，只取共有的质因数相乘；最小公倍数是“取并集”，既要包含共有的，也要包含各自独有的质因数相乘。短除法中，除数是“共有”的，商是“独有”的，因此“最小公倍数=所有除数×两个商”。3.特殊情况辨析：教师出示练习：直接说出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

5和7

（互质关系）

12和36

（倍数关系）

8和9

（相邻自然数）学生快速抢答，并总结规律：【高频考点】“两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。”（三）应用与辨析阶段：生活情境建模，破解“最大”与“最小”之谜（约40分钟，含“每日一练”核心练习）本环节将传统的“讲练结合”转化为“情境驱动”的“每日一练”综合实践。将全班分成若干小组，以“闯关”形式完成题卡。第一关：【基础】概念辨析关（每日一练A组）设计意图：巩固基本概念，明确“求什么”决定了“用什么方法”。练习1（填空）：a÷b=8（a，b都是非0自然数），那么a和b的最大公因数是（

），最小公倍数是（

）。练习2（选择）：一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米。要把它裁成同样大小的正方形（边长整厘米）且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？这实际是求24和18的（

）。

A.公倍数

B.最小公倍数

C.公因数

D.最大公因数学生独立完成，组内互批。重点讲解第2题，建立“等分”、“裁剪”、“铺砖没有剩余”通常与【公因数】有关，问“最长”就是求【最大公因数】。第二关：【高频考点】模型判断关（每日一练B组）设计意图：针对【难点】进行专项突破，通过对比练习，让学生掌握判断模型的关键词和数量关系。教师引导归纳【非常重要】的判别口诀：“分东西、裁图形，公因数来显神通；大数小数都能整除，最大公因数就求出。遇上了、再相见，下次何时重碰面；周期重合求共倍，最小公倍数记心间。”2对比练习（先判断用公因数还是公倍数，再解答）：1.（铺砖模型）小明家的储藏室地面长16分米，宽12分米。如果用边长是整分米数的正方形地砖将储藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块），可以选择边长多少分米的地砖？边长最大是多少分米？

分析：这是将大平面分成若干相等小正方形，属于“等分”问题。要求地砖的边长既是16的因数，又是12的因数，因此是求公因数，最大边长就是最大公因数。（16和12的最大公因数是4）2.（相遇模型）一路公交车5分钟发一班，二路公交车6分钟发一班。两路公交车早晨6：00同时发出第一班，下一次两路车同时发车是几分钟后？这时是几点？

分析：两车同时发车的时间间隔必须是5的倍数，也是6的倍数，因此是求公倍数。下一次同时发车的时间间隔就是最小公倍数。（5和6的最小公倍数是30，30分钟后是6：30）3.（分组模型）五（1）班同学参加植树活动，按6人一组分，正好分完；按8人一组分，也正好分完。五（1）班至少有多少人？

分析：总人数是6的倍数，也是8的倍数，所以是求公倍数。“至少有多少人”就是求最小公倍数。（6和8的最小公倍数是24）小组讨论：为什么第一题用“因数”，第二、三题用“倍数”？引导学生关注问题中的动词和名词：第一题是在“分”一个整体（地面），求的是部分的大小（边长）；第二、三题是在找多个独立个体（车、人）的“共同时间”或“共同总数”。第三关：【热点】变式拓展关（每日一练C组）设计意图：引入稍复杂的“同余”问题和“实际问题取整”问题，训练高阶思维。1.（同余问题）有一些糖果，如果平均分给5个小朋友，还剩2块；如果平均分给6个小朋友，也还剩2块。这些糖果至少有多少块？

分析：引导理解“去掉2块后，糖果总数既是5的倍数，又是6的倍数”。所以糖果总数比5和6的公倍数多2。求至少多少块，就是求最小公倍数再加2。（5和6的最小公倍数是30，30+2=32块）72.（实际取整问题）用长5厘米、宽3厘米的小长方形拼成一个正方形（不重叠、无缝隙），正方形的边长至少是多少厘米？至少需要多少个这样的小长方形？

分析：此题极易与“铺砖”混淆。教师引导学生画图感知：这里是用小长方形“拼”成大正方形，求大正方形的边长。正方形的边长必须是长的倍数，也是宽的倍数，所以是求最小公倍数。边长：［5,3］=15（厘米）。数量：（15÷5）×（15÷3）=3×5=15（个）。（四）巩固与内化阶段：错题诊断沙龙（约10分钟）1.呈现典型错题：教师利用投影展示课前收集的学生作业中的典型错误，如：

错误1：求24和36的最大公因数时，短除到最后商是4和6，没有除到互质，就直接用除数相乘。

错误2：解决“用边长3分米的正方形地砖铺一个长18米，宽12米的长方形会议室，需要多少块砖？”时，直接用18和12的最小公倍数去算。2.小组“会诊”：请学生以小组为单位，分析错因，提出修改建议，并说出正确解法。3.规范答题指导：结合错题，教师再次强调“三步答题法”：第一步圈画关键词（如“最长”、“至少”、“正好分完”、“没有剩余”）；第二步判断模型并选择方法（短除法、列举法）；第三步回顾检验，特别是答案是否符合生活实际（如地砖块数应为整数）。（五）总结与作业：结构化梳理（约2分钟）1.课堂总结：请学生用一句话总结今天的收获。教师升华：最大公因数和最小公倍数就像一对双胞胎，表面相似但本质不同。区分它们的关键不是死记硬背，而是深入理解情境中的数量关系。2.【每日一练】分层作业布置：

基础必做题（面向全体）：完成题卡A组、B组剩余习题，用短除法规范书写过程。

拓展挑战题（面向学有余力）：寻找生活中3个可以用最大公因数或最小公倍数解释的现象，并记录下来。如：家里地板砖的铺设、小区路灯的间隔等。六、教学评价设计（一）过程性评价：观察学生在小组讨论中的参与度、对错题的分析深度，能否清晰表达自己的解题思路。通过“闯关”题卡的完成情况，实时掌握各层次学生的达成度。（二）结果性评价：通过“每日一练”的专项检测，评估学生对两类问题的区分能力和计算准确率。重点关注学生是否从“模糊模仿”走向“清晰建模”。七、板书设计最大公因数与最小公倍数（专题复习）一、算理（短除法）

公有质因数（除数）×公有质因数