2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义：函数的值域与最值（学生版+解析）

专题03函数的值域与最值(一题多变)

■优质典例*展示

【典例展示】(1)已知关于x的函数=的定义域为。，若存在区间

使得的值域也是［4句，则当［变化时，的最大值是.

(2)已知x20,yNO,且X+gy=l,求Z=/+y2的最值.

【思路分析】

解答(1)题，应通过确定函数的值域，结合已知条件，确定匕-。的表达式，进一步求其最

值.具体的，由于函数的单调性较为明确，故根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得

出满足的方程.此方程有两个相异实根，由△>()且20得出/的取值范围，由韦达定

理得到(〃-a)2关于，的二次函数，运用配方法求最值.

对于第(2)题，求二元函数的最值，常用消元法化归为一元函数来处理.思路一，利用代入

法，将Z=/+y2转化成二次函数在指定范围的值域；思路二，利用数形结合思想，把石可

看作线段x+1=l(0"Kl)上的点与原点的距离，

【精细解析】(I)”x)=(lT)-f是(F，。)，(0,+8)上单调递增函数，有［a,以口(YO,0)

或句q(0,+oc).

由单调性及题设得，，彳［；'即。、〃是方程(lT)-f=x在(-8,。)或(0,+e)上的两个不相

等的实数根.

即丁+(r-i)x+r2=0满足/\>0且/注0,得一1V，vg且wo,

:.(b-a)2=(b+a)2-4ab=(\-i)2-4r=-3(/+1］

I3；3

当z=_Q时，S-a)2取得最大值，"-。)\=可，又〃-a>0,故仍-4)2=16

JJJ

(2)解法一由x+—y=l=>y=2(l-x)>0=>0<x<l.

414

AZ=X2+/=X2+4（I-X）2=5X2-8A+4=5-d--9

4~|「414

在xw0,-内递减，在xw三』内递增，显然有45=4,zmin=^.

解法二（几何法）正可看作线段x+]=l（0«x«l）上的点与原点的距离，

易得A"G"2,故Znwx=4,Zmin=g.

【题后反思】本题均与“二次”问题相关，易于使人联想配方法、判别式法，但对于11）

题，需首先根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出。、人满足的方程.再由△＞（）且

“0得出/的取值范围，由韦达定理得到（/"“『关于/的二次函数，运用配方法求最值.

对了第（2）题，从数的角度出发，易「想到代入消元法.而对「解法二，则需牢固树“数形

结合的转化意识，从“形”的角度出发，化数的问题为“形”的问题，化抽象为直观.

【追根溯源】

一、在函数V=/（x）中，自变量x对应的函数值的集合｛/（x）及e邛叫做函数的值域.

二、函数），=/（“在・”处的函数值是/5），如果对于定义域内任意x,不等式/（“2/（厮）

恒成立，那么/（内）就是函数丁=/（力的最小值，记作为^=/（无）；如果对于定义域内任意

X,不等式〃灯工〃毛）恒成立，那么/（X。）就是函数y=/（x）的最大值，记作）』=/（%）.

三、求函数的值域与求函数的最值是有其内在联系的，解法也是相通的.这类数学问题的技

巧性较强，且常常可以一题多解，解题的关键在「变更问题和构造模型，常用的方法主要有

以下几种：

1.配方法

适用于二次函数或可转化为二次函数型的函数，要特别注意自变量的取值范围.

2.判别式法

适用于可化为关于X的二次方程的函数），=/"）,由△?（）,求出），的取值范围，要检验函数

的这个最值在定义域内是否有相应的人值.

3.均值不等式法

利用均值不等式求函数值域或最值时，一定要注意满足“一正二定三相等”的原则.

4.换元法

根据函数解析式的特点常用三角换元、整体代换，常可以使解析式复杂的问题转化为简单易

求解的问题.当然，用换元法求函数值域或最值时，要注意新变量的取值范围.

5.数形结合法

从理解或构造函数的几何意义着手，看能否与距离、斜率及对称问题等相通.

6.函数单调性质法

利用函数在相应区间上的单调性，由于值域或最值是对函数的总体而言.若需对问题分段讨

论，最后必须加以整合.

7.导数法

设），=/（丫）的导数为尸（力，由,（力的符号确定区间上的单调性，由/'（丫）=0可求得极值

点坐标，若函数定义域为句，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小

值.

在实际数学问题中，求函数的最值或值域，提问的角度不同，解答方式也会有所差异，求函

数最值时也要注意函数的定义域，若定义域为开区间，则在区间端点不可能出现最值.

■一题多变"变一

【变化角度】改变函数的表达形式，通过等价变形“构造”二次型函数，应用配方法求解.

x

求函数）=-的值域.

&+2工+2

【思路分析】本题是分式函数，分子分母是“同次”的，因此可以通过分子、分母同除以x,

是分子为常数，只需讨论分母的“值域”，如解法一；另外注意到分母为根式，且可以变形为

X*2+2X+2=（A+1）2+1,联想同角三角函数公式，而运用“三角换元法”，将问题转化成求三

角函数的值域，即解法二,

【详解】解法一（分类讨论法）当x=0时'=0：

1

2（汨）+-!->-!=.・・・0<yW&.

2>/2

综上所述，函数的值域为

解法二(换元法)・・・X2+2X+2=(X+1『+1,

故可设x+l=lan8,

11乃］

于是y=-母0__1=cos，-sin，=垃coseZ+1—.

sec。I4J

TUi

■一题多变*变二Hi

【变换角度】改变所求二元表达式的结构，利用均值不等式求函数的最值.

23

已知x>l,y>0,且—+—=2,求xy的最小值.

【思路分析】根据限制条件，有两种思路，思路一直接从限制条件入手，应用均值不等式,

求得最小值.

思路二，从限制条件出发，应用代入消元的方法，将问题转化成“一元函数分式函数，利

用“分离常数法”，创造应用均值不等式的条件求最值.如果在“分离常数”后，应用“对勾函数”

的单调性，也是一种可行的方法.

思路三，代入消元转化成一元分式函数后，应用判别式法.

【详解】解法一：(均值不等式法)0,「。，丁23丁2丁9产7氐b4，解得

?323

个”6’当且仅当L丁2且即户2,尸3时，孙有最小值6.

233x3x2

解法二：(消元后配凑运用均值不等式)由(+7=2得>'=而不/。)=孙=

2d)

3(x-l+l)2

即f(x)=+2

2(1)21

3I

Vx>l,A/(x)>-x(2+2)=6,当且仅当x-l=-即为x=2时等号成立，此时尸3.

2x-\

解法三：(判别式法)由解法二知=令"善不">1),整理得

2(x-l)2(x-l)

3x2-2zx+2f=0,

此方程有大于1的根的必要条件是△=4〃-24,20.

Vx>l,t>6.反之当年6时，方程3/一2戊+2f=()的两艰都大于1.故，min=6(此时x=2,

y=3).

■一题多变•变三///

【变换角度】改变分式函数分子、分母的次数，应用“化部分分式法”转化求解.

X2+k+\

设k为常数，求函数/@）=的最小值.

\lx2+k

【思路分析】本题分子参数高于分母次数，因此采用“化部分分式法“，转化应用均值不等

式或“对勾函数”的单调性求解.

、x+A+1r~i2~~\一

【详解】/W=-rT==V-v+^+-/==>2,

\Jx'+k\Jx+k

当且仅当GTI=-^=,即J”时等号成立.

V.r+k

当攵<1时，丁=1一&,工=±71^1时，/@)min=2,

当左>1时，/=]_々不成立.此时，令f=&+1N&>1，尸⑺=，+；.由单调性的定义

可以证

明产”）是[4,+00）上的增函数.・・・当『=&,即x=0时,/-（%=«+%.

综上，当」41时,/Wmir=2;当&>1时,+不.

由7

■一题多变,变///

【变换角度】变具体函数为抽象函数关系式，与求函数解析式与求函数值域综合考查.

已知函数/（“满足2/3-/6）+：=0,求/（"的值域.

【思路分析】首先利用函数方程法，将/U）作为一个未知数来考虑，通过给自变量“赋值”，

建立方程（组），消去另外的未知数得到接下来可采用判别式法或基本

不等式法求其值域.

(1A1

【详解】2/*)—/—=--.①

工

用工替代,，得=②

X\XJ

2，八1(2\

①x2+②，得3/(x)=---x=-x+—,整理得/。)=-彳x+-.③

xkX)31X)

I(2、

(i)用判别式法求③的值域：令丁=-彳x+-=>/+3/+2=().VXGRMX^O.

3kx)

Q

®A>0=>/>-.

“手或—半’/⑶的值域为-*十U十收

（ii）用基本不等式求③的值域：当x>0时，Vx+->2V2,•・・_』（x+2]4_aZ,即

x31xj3

当x<0时，一x>0,（一幻+]—1）之？^，则2夜.・・.一；（x+2）2苧，即）亚举

，/（X）的值域为-8，-二1D二丁，+8

JJ

・综合训练★提高///

（2024高三・全国•专题练习）

1.函数/（x）=2x-1+«^的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

（2024.湖南岳阳•三模）

ev4-//r<✓/

2.已知函数/（1）={2:，/*）不存在最小值，则实数。的取值范围是（）

x~+lax,x>a

C.(-l,0)U(|,±oo（一京卜1，十心）

A.（—1,0）B.十8D.

（22-23高一上•陕西西安•期末）

3.已知正实数x，y满足丹=丁+9_12,则X+），的最大值是（）

A.24B.12C.4百D.273

（2024高三・全国・专题练习）

4.（多选）若函数），=/-3*—4的定义域为[0,〃小值域为[一书，-4],则实数〃?的取值范

围可以是（）

3

A.[0,4]B.[-,2]

8

C.2JD.[1,2]

（2024高三・全国・专题练习）

5.已知函数/(”=%+曰0<〃06)在上的最大值比最小值大则〃=

•A

(2021高三•全国•专题练习)

6.若x,y为实数且满足./+)1+2冷，+工一)，=0,试分别求x、y的最值.

专题03函数的值域与最值（一题多变）

・优质典例•展示

【典例展示】（1）已知关于犬的函数/“）=鱼土士。£用的定义域为。，若存在区间

X

恒力仁Q，使得/（X）的值域也是可，则当，变化时，4的最大值是_____.

（2）已知xNO,”0,且工+；y=l,求z=Y+y2的最值.

【思路分析】

解答（1）题，应通过确定函数的值域，结合已知条件，确定人-。的表达式，进一步求其最

值.具体的，由于函数的单调性较为明确，故根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得

出八。满足的方程.此方程有两个相异实根，由得出，的取信范围，由韦认定

理得到（〃-〃『关于，的二次函数，运用配方法求最值.

对于第（2）题，求二元函数的最值，常用消元法化归为一元函数来处理.思路一，利用代入

法，将z=V+y2转化成二次函数在指定范围的值域；思路二，利用数形结合思想，把〃可

看作线段x+］=l（O«xG）上的点与原点的距离，

【精细解析】（I）f（x）=（lT）-匚是（7,0），（。，〜）上单调递增函数，有［4句a（7o,0）

或可£(0,~K»).

%)=。，

由单调性及题设得即。、》是方程（1->卜x在（F0）或（0，+e）上的两个不相

f(b)=b.

等的实数根.

即/+（/一］）x+/=0满足人>o且，=o,得一|</<Q且，=0,

•••(b-a)~=(。+。)2—4(ib=(1—/)2—4t~=-3(tH—H—4.

I3J3

当,二T时，8―4取得最大值，仍-4）-=:又b-a>0,故（方一编修二,石

JJJ

(2)解法一由x+；y=ln)，=2(17)20=。WE.

2

z=x2+y2=x2+4(1-x)-=5x2-8x+4=5x——十一,

k5/5

41「414

在xe(X-内递减，在工三-J内递增，显然有Za=4,zmin=^.

J■JJ

解法二(几何法)正可看作线段x+1=l(O<x〈l)上的点与原点的距离，

易得故Zn1ax=4，zmin-.

【题后反思】本题均与“二次''问题相关，易于使人联想配方法、判别式法，但对于(I)

题，需首先根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出4、〃满足的方程.再由△>()且

30得出/的取值范围，由韦达定理得到eif关于f的二次函数，运用配方法求最值.

对于第(2)题，从数的角度出发，易于想到代入消元法.而对于解法二，则需牢固树立数形

结合的转化意识，从“形”的角度出发，化数的问题为“形”的问题，化抽象为直观.

【追根溯源】

一、在函数y=/(x)中，自变量X对应的函数值的集合｛/W|xe3叫做函数的值域.

二、函数y=/(x)在/处的函数值是/(M),如果对于定义域内任意工，不等式/(X)之/(%)

恒成立，那么/(小)就是函数y=/。)的最小值，记作加n=/E)；如果而于定义域内任意

X，不等式/(“4/($)恒成立，那么/(小)就是函数y=/(x)的最大值，记作人=/(%).

三、求函数的值域与求函数的最值是有其内在联系的，解法也是相通的.这类数学问题的技

巧性较强，且常常可以一题多解，解题的关键在于变更问题和构造模型，常用的方法主要有

以下几种：

1.配方法

适用于二次函数或可转化为二次函数型的函数，要特别注意自变量的取值范围.

2.判别式法

适用于可化为关于X的二次方程的函数)，=/%),由△？()，求出y的取值范围，要检验函数

的这个最值在定义域内是否有相应的x值.

3.均值不等式法

利用均值不等式求函数值域或最值时，一定要注意满足“一正二定三相等''的原则.

4.换元法

根据函数解析式的带点常用二角换元、整体代换，常可以使解析式复杂的问题转化为尚单易

求解的问题.当然，用换元法求函数值域或最值时，要注意新变量的取值范围.

5.数形结合法

从理解或构造函数的几何意义着手，看能否与距离、斜率及对称问题等相通.

6.函数单调性质法

利用函数在相应区间上的单调性，由于值域或最值是对函数的总体而言.若需对问题分段讨

论，最后必须加以整合.

7.导数法

设），=/（x）的导数为r（x）,由r（x）的符号确定区间上的单调性，由/'（力二。可求得极值

点坐标，若函数定义域为可，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小

值.

在实际数学问题中，求函数的最值或值域，提问的角度不同，解答方式也会有所差异，求函

数最值时也要注意函数的定义域，若定义域为开区间，则在区间端点不可能出现最值.

■一题多变•变一

【变化角度】改变函数的表达形式，通过等价变形“构造”二次型函数，应用配方法求解.

【思路分析】本题是分式函数，分子分母是“同次”的，因此可以通过分子、分母同除以X,

是分子为常数，只需讨论分母的“值域”，如解法一；另外注意到分母为根式，且可以变形为

X2+2X+2=（X+1）2+1,联想同角三角函数公式，而运用“三角换元法”，将问题转化成求三

角函数的值域，即解法二.

【详解】解法一（分类讨论法）当％=0时，=0；

综上所述，函数的值域为(-1,正］.

解法二(换元法)•・・42+2工+2=(X+1)2+1,

故可设X+I=tan<9,Oe

Xz，

于是y=-1a"O~~-=cos-sin=V2cos0+—

seee14

7f3兀、,7T\

由吒G,知cos0n+—e

4J李

用

【变换角度】改变所求二元表达式的结构，利用均值不等式求函数的最值.

23

已知0,y>0,且丁12'求xy的最小值.

【思路分析】根据限制条件，有两种思路，思路一直接从限制条件入手，应用均值不等式,

求得最小值.

思路二，从限制条件出发，应用代入消元的方法，将问题转化成“一元函数分式函数，利

用“分离常数法”，创造应用均值不等式的条件求最值.如果在“分离常数”后，应用“对勾函数”

的单调性，也是一种可行的方法.

思路三，代入消元转化成一元分式函数后，应用判别式法.

2393I?

【详解】解法一：(均值不等式法)x>l,y>0,-+-=2,A2=-+->2解得

xyxyy

2323

926,当且仅当一+—=2且一=一，即x=2,y=3时，盯有最小值6.

xyxy,

?33r3r2

解法二：(消元后配凑运用均值不等式)由二十二=2得>，=---，,/(A)="=—.

xy2(x-l)2(x-1)

即小)=¥4?臼1+-4+印

2(1)x-1)

31

Vx>l,A/(x)>-x(2+2)=6,当且仅当x-l=-即为x=2时等号成立，此时尸3.

2x-\

3r23x2

解法三：(判别式法)由解法二知令整理得

2(x7)2(.1)

3x2-2枕+2f=0,

此方程有大于1的根的必要条件是△=4产-24,20.

VA->1,r>6.反之当噂6时，方程3/_2a+2，=0的两艰都大于1.故Ln=6（此时x=2,

y=3).

，嗝11

■一题多变•变三Hi

【变换角度】改变分式函数分子、分母的次数，应用“化部分分式法”转化求解.

x2+k+\

设上为常数，求函数f（r）=的最小值.

x/Y+k

【思路分析】本题分子参数高于分母次数，因此采用“化部分分式法“，转化应用均值不等

式或“对勾函数”的单调性求解.

【详解】/W=-TT==^+^+-TT=^2，

\Jx'+k\Jx+k

当且仅当J==-^=,即J2时等号成立.

+k

当&K1时，X2=\-k,x=时，/“）min=2,

当左>1时，/=]_々不成立.此时，令f=&+1N&>1，尸⑺=/+；.由单调性的定义

可以证

明/⑺是[4,内）上的增函数.，当，=4,即x=o时，/a）min=F（t）min=4k+^.

综上，当」Ml时,/Wmir=2；当」>1时,f（x）*n=a+不.

■一题多变*变四

【变换角度】变具体函数为抽象函数关系式，与求函数解析式与求函数值域综合考查.

已知函数/（X）满足2/3-f6）+T=O,求/（”的值域.

【思路分析】首先利用函数方程法，将八r）作为一个未知数来考虑，通过给自变量“赋值”，

建立方程（组），消去另外的未知数得到人%）=-:口+；）.接下来可采用判别式法或基本

不等式法求其值域.

（1A1

【详解】2/（幻—/—=一一.①

W工

用工替代,，得=②

X\xj

2，八1（2、

①X2+②，得3/（幻=---1=-x+—,整理得/"）=-；x+-.③

i/2)

(i)用判别式法求③的值域：令,'=-7x+—=x-+3yx+2=°.,・，xwR且xwO.

31X)

Q

iftA>O=>y2^-.

:.yN巫或阵—巫,/(x)的值域为(70,-¥]=[¥，+8.

33I3JL3)

（ii）用基木不等式求③的值域：当X>0时，・.・x+2>2忘，A-lLr+-,即

x3（3

当x<0时，-x>(),(—X)+(-：)之2立，则x+；W-2>/2..•・_g(x+2)2半，即,,之竽.

*'•/"）的值域为

mi

・综合训练★提高Hi

（2024高三•全国•专题练习）

I.函数/（x）=2x-l+VT^的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】设/（/对）,则函数〃x）=2x—1+等价于y=2/+/+3,r>0,结

合二次函数的性质即可求解.

【详解】设=此0,则x=/+2,

则函数/（力=2%-1+77^等价于），=2/+/+3,t>0,

•・3=2产+f+3在［0,+»）上是增函数,儿加=2x02+0+3=3.

••・函数〃x）=2x-l+"工的最小值是3.

故选：A.

（2024.湖南岳阳•三模）

e'+〃x<〃

2.已知函数f（x）=,；,/'（X）不存在最小值，则实数。的取值范围是（）

x~+lax,x>a

A.(-1,0)B.C.(T0)U6+8)D.1；,0)11(1,+2)

【答案】C

【分析】分别在。<0，。20条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数/(力的

取值规律，由条件列不等式求。的范围，可得结论.

【详解】(1)当。<0时，若x<a,则/(x)=e'+a,

因为函数/(x)=e'+a在(TO,。)上单调递增，所以a</(x)<e"+a,

^x>a,则/(x)=f+2.="+々)2一/之一々2,当且仅当x=一〃时取等号，

因为/(“不存在最小值，

所以一所以一IvavO,

(2)当aWO时，若x",则〃")=eX|a,

因为函数/(x)=e、+a在(T»M)上单调递增，所以。v/("〈e"+〃，

若则/(x)=d+2仆=(x+〃)2—=当且仅当x=a时取等号，

因为/(“不存在最小值，

所以3a2>〃，所以a>g,

所以实数〃的取值范围是［7,0)

故选：C.

(22-23高一上•陕西西安•期末)

3.已知正实数工)，满足个=/+丁_12,则的最大值是()

A.24B.12C.473D.2G

【答案】C

【分析】设x+y=L则尸代入已知等式，化为关于"勺方程，由判别式非负，解

得/的最大值.

【详解】设x+y=f,则尸f-x,

因为Ay=Y+y2-12,

所以丁+（/—幻2—X（/一外一]2=0,即：3x2-3rx+r-12=0,

所以A二9产—12（——⑵=一3—+14420,

解得：T耳£，£4垂），

又因为大，为正实数，

所以0V/W4Q,

所以x+y的最大值为4G.

故选：C.

（2024高三•全国•专题练习）

25

4.（多选）若函数y=N—3x—4的定义域为[0,机],值域为[——,—41，则实数，〃的取值范

围可以是（）

A