2027高考数学九大专题专项突破第8章 圆锥曲线解析版

§8.1椭圆及其性质1

考点1:椭圆的定义与标准方程3

考点2:椭圆方程的充要条件8

考点3:椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题10

考点4:椭圆上两点距离的最值问题18

考点5:椭圆上两线段的和差最值问题20

考点6:离心率的值及取值范围24

考点7:椭圆的简单几何性质问题52

考点8:利用第一定义求解轨迹56

§8.2双曲线及其性质61

考点1:双曲线的定义与标准方程63

考点2:双曲线方程的充要条件67

考点3:双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题69

考点4:双曲线上两点距离的最值问题75

考点5:双曲线上两线段的和差最值问题77

考点6:离心率的值及取值范围83

考点7:双曲线的简单几何性质问题115

考点8:利用第一定义求解轨迹118

考点9:双曲线的渐近线123

考点10:共焦点的椭圆与双曲线127

§8.3抛物线及其性质131

考点1:抛物线的定义与方程133

考点2:抛物线的轨迹方程136

考点3:与抛物线有关的距离和最值问题139

考点4:抛物线中三角形，四边形的面积问题148

考点5:焦半径问题152

考点6:抛物线的性质164

§8.4圆锥曲线离心率题型全归纳170

考点1:建立关于a和c的一次或二次方程与不等式170

考点2:圆锥曲线第一定义176

考点3:圆锥曲线第二定义183

考点4:圆锥曲线第三定义(斜率之积)184

考点5:利用数形结合求解187

考点6:利用正弦定理189

考点7:利用余弦定理192

考点8:内切圆问题198

考点9:椭圆与双曲线共焦点203

考点10:利用最大顶角θ207

考点11:基本不等式210

考点12:已知PF1⋅PF2范围212

考点13:PF1=λPF2213

考点14:中点弦215

14

博观而约取厚积而薄发

考点15:已知焦点三角形两底角216

考点16:利用渐近线的斜率217

考点17:坐标法224

考点18:利用焦半径的取值范围231

考点19:四心问题233

§8.5曲线的轨迹方程238

考点1:直接法238

考点2:定义法240

考点3:相关点法244

考点4:交轨法247

考点5:参数法256

考点6:点差法257

考点7:立体几何与圆锥曲线的轨迹260

考点8:复数与圆锥曲线的轨迹264

考点9:向量与圆锥曲线的轨迹266

考点10:利用韦达定理求轨迹方程269

§8.6直线与圆锥曲线的位置关系277

考点1:直线与圆锥曲线的位置关系278

考点2:中点弦问题281

考点3:弦长问题294

考点4:面积问题300

§8.7弦长问题320

考点1:弦长问题320

考点2:长度和问题325

考点3:长度差问题329

考点4:长度商问题331

考点5:长度积问题344

考点6:长度的范围与最值问题350

考点7:长度的定值问题365

§8.8面积问题384

1

考点1:三角形的面积问题之S=⋅底·高385

△2

考点2:三角形的面积问题之分割法391

考点3:三角形、四边形的面积问题之面积坐标化396

考点4:三角形的面积比问题之共角、等角模型406

考点5:三角形的面积比问题之对顶角模型413

考点6:四边形的面积问题之对角线垂直模型419

考点7:四边形的面积问题之一般四边形422

§8.9垂直弦问题437

考点1:椭圆内接直角三角形的斜边必过定点437

考点2:双曲线内接直角三角形的斜边必过定点443

考点3:抛物线内接直角三角形的斜边必过定点446

考点4:椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点451

考点5:双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点457

考点6:抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点460

考点7:内接直角三角形范围与最值问题467

考点8:两条互相垂直的弦中点范围与最值问题471

考点9:斜率题型全归纳473

24

考点10:斜率和问题473

考点11:斜率差问题486

考点12:斜率积问题493

考点13:斜率商问题508

§8.10存在性问题的探究519

考点1:存在点使向量数量积为定值519

考点2:存在点使斜率之和或之积为定值524

考点3:存在点使两角度相等530

考点4:存在点使等式恒成立536

考点5:存在点使线段关系式为定值543

§8.11切点与切点弦552

考点1:切线问题552

考点2:切点弦过定点问题559

考点3:利用切点弦结论解决定值问题564

考点4:利用切点弦结论解决最值问题575

考点5:利用切点弦结论解决范围问题586

§8.12双切线问题591

考点1:定值问题591

考点2:斜率问题595

考点3:交点弦过定点问题601

考点4:交点弦定值问题610

考点5:交点弦最值问题615

考点6:交点弦范围问题620

§8.13定点、定值问题626

考点1:面积定值626

考点2:向量数量积定值632

考点3:斜率和定值637

考点4:斜率积定值642

考点5:斜率比定值645

考点6:线段定值648

考点7:直线过定点657

考点8:动点在定直线上663

考点9:圆过定点669

考点10:角度定值674

§8.14参数范围与最值681

考点1:弦长最值问题681

考点2:三角形面积最值问题687

考点3:四边形面积最值问题694

考点4:弦长的取值范围问题700

考点5:三角形面积的取值范围问题707

考点6:四边形面积的取值范围问题714

考点7:向量数量积的取值范围问题720

考点8:参数的取值范围723

§8.15圆锥曲线中的圆问题731

考点1:蒙日圆问题731

考点2:内圆与外圆问题740

考点3:直径为圆问题746

34

博观而约取厚积而薄发

考点4:四点共圆问题756

§8.16阿基米德三角形763

考点1:定点问题764

考点2:交点的轨迹问题770

考点3:切线垂直问题776

考点4:面积问题781

考点5:外接圆问题786

考点6:最值问题789

考点7:角度相等问题794

考点8:圆锥曲线拓展题型一799

考点9:定比点差法799

考点10:齐次化801

考点11:极点极线问题803

考点12:蝴蝶问题808

考点13:圆锥曲线题型拓展(二)820

考点14:仿射变换问题823

考点15:非对称韦达问题828

考点16:椭圆的光学性质836

考点17:双曲线的光学性质848

考点18:抛物线的光学性质859

考点19:三点共线问题868

44

§8.1椭圆及其性质

知识点一：椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点

叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：

P||PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c>0)

注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a<2c时，点的轨迹不存在．

知识点二：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示．

焦点的位

焦点在x轴上焦点在y轴上

置

图形

x2y2y2x2

标准方程+=1a>b>0+=1a>b>0

a2b2a2b2

统一方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)

x=acosθx=acosθ

参数方程，θ为参数(θ∈[0,2π])，θ为参数(θ∈[0,2π])

y=bsinθy=bsinθ

第一定义到两定点F1、⬝F2的距离之和等于常数2a，即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)

范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a

Α1-a,0、Α2a,0Α10,-a、Α20,a

顶点

Β10,-b、Β20,bΒ1-b,0、Β2b,0

轴长长轴长=2a，短轴长=2b长轴长=2a，短轴长=2b

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c

LaoFan1

222

焦距F1F2=2c(c=a-b)

c2222

离心率e==c=a-b=1-b(0<e<1)

aa2a2a2

a2

准线方程x=±

c

点和椭圆>1外>1外

x2y2y2x2

0+0=1⇔点(x，y)在椭圆上0+0=1⇔点(x，y)在椭圆上

a2b200a2b200

的关系<1内<1内

xxyyyyxx

0+0=1((x，y)为切点)0+0=1((x，y)为切点)

a2b200a2b200

切线方程22

对于过椭圆上一点(x0，y0)的切线方程，只需将椭圆方程中x换为x0x，y换为y0y

可得

切点弦所

xxyyyyxx

在的直线0+0=1(点(x，y)在椭圆外)0+0=1(点(x，y)在椭圆外)

a2b200a2b200

方程

2b2

①cosθ=-1，θmax=∠F1BF2，(B为短轴的端点)

r1r2

c|y|,焦点在x轴上

②12θ0

SΔPF1F2=r1r2sinθ=btan=(θ=∠F1PF2)

22c|x0|,焦点在y轴上

焦点三角

形面积

2

当P点在长轴端点时,(r1r2)min=b

③2

当P点在短轴端点时,(r1r2)max=a

焦点三角形中一般要用到的关系是

|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)

S=1|PF||PF|sin∠FPF

ΔPF1F221212

222

|F1F2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2

左焦半径：MF1=a+ex0上焦半径：MF1=a-ey0

焦半径又焦半径：MF1=a-ex0下焦半径：MF1=a+ey0

焦半径最大值a+c，最小值a-c

b2

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2(最短的过焦点的弦)

a

设直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，kAB=k，

弦长公式

222

则弦长AB=1+kx1-x2=1+k(x1-x2)-4x1x2

2LaoFan

2Δ

=1+1(y-y)-4yy=1+k2

k21212|a|

(其中a是消y后关于x的一元二次方程的x2的系数，Δ是判别式)

【解题方法总结】

2

(1)过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为2b．

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．

距离的最大值为a+c，距离的最小值为a-c．

(2)椭圆的切线

22

xyx0xy0y

①椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x，y)处的切线方程是+=1；

a2b200a2b2

22

xyx0xy0y

②过椭圆+=1(a>b>0)外一点P(x，y)，所引两条切线的切点弦方程是+=1；

a2b200a2b2

x2y2

③椭圆+=1(a>b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c2．

a2b2

考点1:椭圆的定义与标准方程

2

1(2024·高二课时练习)已知椭圆C上任意一点Px,y都满足关系式x-1+y2+

2

x+1+y2=4，则椭圆C的标准方程为．

x2y2

【答案】+=1

43

【解析】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为1,0，-1,0，2a=4，

x2y2

故a=2，c=1，b2=3，所以椭圆C的标准方程为+=1．

43

x2y2

故答案为：+=1．

43

1

2(2024·山东青岛·统考三模)已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线y=x2的焦点

4

重合，则椭圆C的标准方程为．

y2x2

【答案】+=1

43

【解析】抛物线方程化为标准方程得x2=4y，焦点坐标为F0,1，

∵抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y轴，

y2x2

设椭圆方程为+=1，(a>b>0)，

a2b2

LaoFan3

则由焦点坐标和长轴长知c=1，2a=4，∴a=2，

∴b2=a2-c2=3，

y2x2

∴椭圆C的标准方程为+=1．

43

y2x2

故答案为：+=1．

43

x2y2

3(2024·全国·高二专题练习)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点为F(-1,0)，F

a2b212

3

(1,0)，且过点P1,，则椭圆标准方程为．

2

x2y2

【答案】+=1

43

【解析】由题知：c=1，①

3

又椭圆经过点P1,，

2

9

14

所以+=1，②

a2b2

又a2-b2=c2，③

联立解得：a2=4，b2=3，

x2y2

故椭圆的标准方程为：+=1．

43

x2y2

故答案为：+=1．

43

x2y2

4(2024·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测)已知椭圆E：+=1(a>b>0)，F是E的左

a2b2

焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B．若直线AB的斜率为-3，△ABF的面积为

3

，则E的标准方程为．

13

x2y2

【答案】+=1

11

416

【解析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：

由题意知：AB⊥AF，直线AB的斜率为-3，即kAB=-3，

所以∠ACF=60°，∠AFC=30°．

a3a

由椭圆的性质知：OA=b，OF=c，则AF=a，所以OA=，OF=，

22

aa

则A0,，故直线AB的方程为y=-3x+．

22

4LaoFan

2y2

x+=1

2243a

abx=0x=

a13

联立y=-3x+，解得：a或，

2y=y=-11a

226

b=a

2

43a11a2283a

所以B,-，故AB=0-43a+a+11a=，

1183a31

则S=AF⋅AB=×a×=，解得：a2=．

△ABF2213134

1a1x2y2

又a>0，所以a=，即b==，则E的标准方程为+=1．

22411

416

x2y2

故答案为：+=1．

11

416

x2y2

5(2024·全国·高二专题练习)已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆+=1有相同离心率且经过

43

点2,-3，则椭圆标准方程为．

x2y2

【答案】+=1

86

x2y2ca2-b221

【解析】椭圆+=1的离心率为e===1-b=1-3=，

43aaa242

x2y2

设所求椭圆方程为+=1m>n>0，

m2n2

n21n23n3

则1-=，从而=，=，

m4m4m2

43

又+=1，∴m2=8，n2=6，

m2n2

x2y2

∴所求椭圆的标准方程为+=1．

86

x2y2

故答案为：+=1．

86

6(2024·北京·高二北大附中校考期末)与双曲线4y2-3x2=12有相同焦点，且长轴长为6的椭

圆标准方程为．

x2y2

【答案】+=1

29

y2x2

【解析】4y2-3x2=12即-=1，焦点为0,±7，

34

22

2xy

椭圆长轴2a=6，即a=3，故短半轴b=32-7=2，故椭圆方程为+=1．

29

x2y2

故答案为：+=1．

29

x2y2

7(2024·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末)已知椭圆E：+=1a>b>0的

a2b2

1

左、右焦点分别为F，F，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF⊥FQ，且S=a2，

1222△PF2Q2

PF2+F2Q=8，则E的标准方程为．

LaoFan5

x2y2

【答案】+=1

168

【解析】连接PF1，QF1，因为OP=OQ，OF1=OF2，

所以四边形PF1QF2是平行四边形，

所以PF1=F2Q，PF2=QF1，

又∵PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形，

设PF1=m，PF2=n

m+n=2a=8

222a=4

则由题意得m+n=4c，解得，

c=22

1mn=1a2

22

x2y2

则b2=a2-c2=8，则标准方程为+=1，

168

x2y2

故答案为：+=1．

168

x2y2

8(2024·山东青岛·高二青岛二中校考期中)过点5,-3，且与椭圆+=1有相同的焦

259

点的椭圆标准方程是．

x2y2

【答案】+=1

204

x2y2

【解析】由题意设椭圆的方程为+=1，0<λ<9，

25-λ9-λ

53

将点5,-3代入，+=1，

25-λ9-λ

整理可得：λ2-26λ+105=0，

得λ=5或λ=21(舍)，

x2y2

所以椭圆的方程为：+=1，

204

x2y2

故答案为：+=1．

204

9(2024·浙江丽水·高三校考期中)我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相

x2y2

似椭圆”．若椭圆E：+=1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为

1612

．

6LaoFan

x2y2

【答案】+=1

43

1

【解析】∵椭圆E的离心率为e=16-12=，

162

x2y2

且设椭圆F的标准方程为+=1a>b>0，则a=16-12=2，

a2b2

x2y2

∴椭圆F的c=1，b2=a2-c2=3，即椭圆F的标准方程为+=1．

43

x2y2

故答案为：+=1．

43

x2y2

10(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，

a2b212

左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为43，且

2

直线AM与AN的斜率之积为-，则椭圆C的标准方程为．

3

x2y2

【答案】+=1

32

【解析】由△AF1B的周长为43，可知AF1+AF2+BF1+BF2=4a=43，解得a=3，

2b22

由直线AM与AN的斜率之积为-，可得-=-⇒b2=2，

3a23

x2y2

所以椭圆C的标准方程为+=1，

32

x2y2

故答案为：+=1

32

11(2024·高二课时练习)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(-3，-2)和B(-23，1)两

点，则椭圆C的标准方程为．

x2y2

【答案】+=1

155

【解析】设所求椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)将A和B的坐标代入方程得：

1

3m+4n=1m=

，解得15，

12m+n=1n=1

5

x2y2

所求椭圆的标准方程为：+=1．

155

x2y2

故答案为：+=1．

155

【解题方法总结】

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列

出a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而求得标准方程．

注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)．

x2y2x2y2

②与椭圆+=1共焦点的椭圆可设为+=1(k>-m,k>-n,m≠n)．

mnm+kn+k

x2y2x2y2

③与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆，可设为+=k(k>0，焦点在x轴

a2b2a2b211

LaoFan7

x2y2

上)或+=k(k>0，焦点在y轴上)．

a2b222

考点2:椭圆方程的充要条件

12(2024·全国·高三对口高考)若θ是任意实数，方程x2sinθ+y2cosθ=5表示的曲线不可能是

()

A.圆B.抛物线C.椭圆D.双曲线

【答案】B

2

【解析】对于A，当cosθ=sinθ=时，由x2sinθ+y2cosθ=5得x2+y2=52，方程表示圆，故A

2

正确；

对于B，当θ是第一象限角时，cosθ>0，sinθ>0，x2sinθ+y2cosθ=5不会是抛物线方程；

当θ是第二象限角时，cosθ<0，sinθ>0，x2sinθ+y2cosθ=5不会是抛物线方程；

当θ是第三象限角时，cosθ<0，sinθ<0，x2sinθ+y2cosθ=5不成立，不会是抛物线方程；

当θ是第四象限角时，cosθ>0，sinθ<0，x2sinθ+y2cosθ=5不会是抛物线方程；

当θ的角的终边落在x轴正半轴上时，cosθ=1，sinθ=0，得y2=5，不是抛物线方程；

当θ的角的终边落在y轴正半轴上时，cosθ=0，sinθ=1，得x2=5，不是抛物线方程；

当θ的角的终边落在x轴负半轴上时，cosθ=-1，sinθ=0，得-y2=5不成立；

当θ的角的终边落在y轴负半轴上时，cosθ=0，sinθ=-1，得-x2=5不成立；故B错误；

πx2y2

对于C，当θ=时，由x2sinθ+y2cosθ=5，得+=1，方程表示焦点在y轴上的椭圆，

3232

3

故C正确；

2πx2y2

对于D，当θ=时，由x2sinθ+y2cosθ=5，得-=1，方程表示焦点在x轴上的双曲

3232

3

线，故D正确；

故选：B．

13(2024·上海徐汇·位育中学校考三模)已知m∈R，则方程2-mx2+m+1y2=1所表示的

曲线为C，则以下命题中正确的是()

1

A.当m∈,2时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆

2

B.当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是2,+∞

C.当m=2时，曲线C表示一条直线

D.存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线

【答案】A

13311

【解析】对于A，当m∈,2时，0<2-m<，<m+1<3，∴0<<，

222m+12-m

x2y2

∴+=1表示焦点在x轴上的椭圆，即曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，A正确；

11

2-mm+1

对于B，若曲线C表示双曲线，则2-mm+1<0，解得：m<-1或m>2，

即实数m的取值范围为-∞,-1∪2,+∞，B错误；

3

对于C，当m=2时，曲线C:3y2=1，即y=±，

3

即曲线C表示两条直线，C错误；

8LaoFan

2-mm+1<0

对于D，若曲线C为等轴双曲线，则，解集为∅，

-2-m=m+1

∴不存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线，D错误．

故选：A．

14(2024·全国·高三专题练习)已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，其中A≥B≥C

≥D≥E≥F．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：

甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；

丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．

其中，真命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】因为方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，

所以当A=B=1≥C=D=E=0≥F=-1时，方程为x2+y2-1=0，即x2+y2=1是圆的方

程，故方程可以是圆的方程；

当A=1≥B=C=D=0≥E=-1≥F=-2时，方程为x2-y-2=0，即y=x2-2是抛物线的

方程，故方程可以是抛物线的方程；

x2

当A=2≥B=1≥C=D=E=0≥F=-1时，方程为2x2+y2-1=0，即y2+=1是椭圆的

1

2

标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；

若方程为双曲线的标准方程，则有AB<0，C=D=E=0，F<0，这与A≥B≥C≥D≥E≥F

矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；

所以真命题有3个．

故选：C．

15(2024·全国·高三专题练习)“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲线为椭圆”的

()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】[解法一]

方程ax2=1-by2即方程ax2+by2=1，表示椭圆的充分必要条件是a>0，b>0，a≠b，

显然“0<a<1，0<b<1”是“a>0，b>0，a≠b”既不充分也不必要条件，

故“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，

[解法二]

1

当a=b=时，满足“0<a<1，0<b<1”，此时题中方程可化为：x2+y2=4，表示的曲线是圆

4

x2y2

而不是椭圆，当a=1，b=4时，不满足“0<a<1，0<b<1”，只是题中方程可化为：+=1，

1212

2

1

表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为的椭圆，

2

故：“0<a<1，0<b<1”是“方程ax2=1-by2表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，

故选：D

LaoFan9

x2y2

16(2024·云南楚雄·高三统考期末)已知曲线C：+=1，则“a>0”是“曲线C是椭圆”

4a3a+2

的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

4