2027高考数学九大专题专项突破第4章 平面向量与复数解析版

§4.1平面向量的概念与坐标运算2

考点1:平面向量的基本概念5

考点2:平面向量的线性表示7

考点3:向量共线的运用10

考点4:平面向量基本定理及应用15

考点5:平面向量的直角坐标运算20

考点6:向量共线的坐标表示24

§4.2平面向量的数量积及运算27

考点1:平面向量的数量积运算29

考点2:平面向量的夹角33

考点3:平面向量的模长35

考点4:平面向量的投影、投影向量38

考点5:平面向量的垂直问题39

考点6:建立坐标系解决向量问题42

考点7:平面向量的实际应用46

§4.3三角形四心及奔驰定理50

考点1:奔驰定理51

考点2:重心定理56

考点3:内心定理62

考点4:外心定理70

考点5:垂心定理73

§4.4向量中的隐圆77

考点1:数量积隐圆77

考点2:平方和隐圆82

考点3:定幂方和隐圆84

考点4:与向量模相关构成隐圆89

§4.5复数96

考点1:复数的概念97

考点2:复数的运算98

考点3:复数的几何意义100

考点4:复数的相等与共轭复数101

考点5:复数的模102

考点6:复数的三角形式103

考点7:与复数有关的最值问题104

11

§4.1平面向量的概念与坐标运算

知识点一．向量的有关概念

(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．

(2)向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作|AB|．(3)特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

②单位向量：长度等于1个单位的向量．

③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．

④相等向量：长度相等且方向相同的向量．

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．

知识点二．向量的线性运算和向量共线定理

(1)向量的线性运算

运算定义法则(或几何意义)运算律

①交换律

求两个向量和a+b=b+a

加法

的运算②结合律

(a+b)+c=a+(b+c)

三角形法则平行四边形法则

求a与b的相反

向量-b的和的

减法a-b=a+(-b)

运算叫做a与b

的差

三角形法则

(1)|λa|=|λ||a|

求实数λ与向λ(μa)=(λμ)a

(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ

数乘量a的积的运(λ+μ)a=λa+μa

<0时，λa与a的方向相同；

算λ(a+b)=λa+λb

当λ=0时，λa=0

【注意】

(1)向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．

LaoFan1

(2)两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重

合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．

(3)要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重

合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须

首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．

(4)向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA-OB=BA，AM-AN=NM，OA=OB+

CA⇔OA-OB=CA⇔BA-CA=BA+AC=BC．

知识点三．平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果a=λb(λ∈R)，则a⎳b；反之，如果a⎳b且b≠0，则一定存在唯一的实数λ，使a=λb．(口诀：数

乘即得平行，平行必有数乘)．

2、平面向量基本定理

如果e1和e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对

实数λ1,λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记

为e1,e2，λ1e1+λ2e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式．

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量e1与e2不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如a

=λ1e1+λ2e2的形式，并且这样的分解是唯一的．λ1e1+λ2e2叫做e1，e2的一个线性组合．平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．

推论1：若a=λ1e1+λ2e2=λ3e1+λ4e2，则λ1=λ3,λ2=λ4．

推论2：若a=λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0．

3、线段定比分点的向量表达式

AB+λAC

如图所示，在△ABC中，若点D是边BC上的点，且BD=λDC(λ≠-1)，则向量AD=．在

1+λ

向量线性表示(运算)有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟

练掌握．

4、三点共线定理

平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数λ,μ，使OC=λOA+μOB，其中λ+μ=1，O为平

面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．

A、B、C三点共线

2LaoFan

⇔存在唯一的实数λ，使得AC=λAB；

⇔存在唯一的实数λ，使得OC=OA+λAB；

⇔存在唯一的实数λ，使得OC=(1-λ)OA+λOB；

⇔存在λ+μ=1，使得OC=λOA+μOB．

5、中线向量定理

1

如图所示，在△ABC中，若点D是边BC的中点，则中线向量AD=(AB+AC)，反之亦正确．

2

知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示．

在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，那么由平面

向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x,y使a=xi+yj，我们把有序实

数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)．

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

一一对应一一对应

向量(x,y)向量OA点A(x,y)．

(3)设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2)，即两个向量的和与

差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．

若a=(x,y)，λ为实数，则λa=(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应

坐标．

(4)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=OB-OA=(x1-x2,y1-y2)，即一个向量的坐标等于该向量的有向

线段的终点的坐标减去始点坐标．

知识点五．平面向量的直角坐标运算

22

①已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1)，|AB|=(x2-x1)+(y2-y1)

②已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a±b=(x1±x2，y1±y2)，λa=(λx1,λy1)，

22

a⋅b=x1x2+y1y2，|a|=x1+y1．

a∥b⇔x1y2-x2y1=0，a⊥b⇔x1x2+y1y2=0

【解题方法总结】

(1)向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为

多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点

LaoFan3

的向量．

即A1A2+A2A3+⋯+An-1An=A1An．

(2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，当且仅当a,b至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．

(3)特别地：||a|-|b||≤|a±b|或|a±b|≤|a|+|b|当且仅当a,b至少有一个为0时或者两向量共线时，

向量不等式的等号成立．

(4)减法公式：AB-AC=CB，常用于向量式的化简．

(5)A、P、B三点共线⇔OP=(1-t)OA+tOB(t∈R)，这是直线的向量式方程．

考点1:平面向量的基本概念

1(2024·全国·高三专题练习)下列说法中正确的是()

A.单位向量都相等B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量a,b，必有|a+b|≤|a|+|b|D.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b

【答案】C

【解析】依题意，

对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；

对于B，平行向量就是共线向量，故错误；

对于C，若a,b同向共线，|a+b|=|a|+|b|，

若a,b反向共线，|a+b|<|a|+|b|，

若a,b不共线，根据向量加法的三角形法则及

两边之和大于第三边知|a+b|<|a|+|b|.

综上可知对于任意向量a,b，必有|a+b|≤|a|+|b|，故正确；

对于D，两个向量不能比较大小，故错误.

故选：C.

2(2024·全国·高三专题练习)给出如下命题：

①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①，向量AB与向量BA，长度相等，方向相反，故①正确；

对于②，向量a与b平行时，a或b为零向量时，不满足条件，故②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；

4LaoFan

对于⑤，向量AB与CD是共线向量，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，故⑤错误．

综上，正确的命题是①③．

故选：B．

3(2024·全国·高三专题练习)下列命题中正确的是()

A.若a=b，则3a>2bB.BC-BA-DC=AD

C.a+b=a+b⇔a与b的方向相反D.若a=b=c，则a=b=c

【答案】B

【解析】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；

对于B选项，BC-BA-DC=AC+CD=AD，故B对；

对于C选项，a+b=a+b⇔a与b的方向相同，故C错；

对于D选项，若a=b=c，但a、b、c的方向不确定，故D错.

故选：B.

4(2024·全国·高三专题练习)下列说法正确的是()

A.若a>b，则a>bB.若a=b，则a=b

C.若a=b，则a⎳bD.若a≠b，则a,b不是共线向量

【答案】C

【解析】A.因为向量不能比较大小，所以该选项错误；

B.若a=b，则a,b不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；

C.若a=b，则a⎳b，所以该选项正确；

D.若a≠b，则a,b也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选

项错误.

故选：C

5(2024·全国·高三对口高考)给出下列四个命题：

①若|a|=|b|，则a=b,a=-b；

②若AB=DC，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；

③若a=b,b=c，则a=c；

④若a⎳b，b⎳c，则a⎳c；

其中正确的命题的个数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】①若|a|=|b|，只能说明a,b模相等，它们方向不一定相同或相反，错；

②若AB=DC，若AB⎳DC且AB=DC，即A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点，若A,B,

C,D四点共线，不能构成平行四边形，错；

③若a=b,b=c，即a,b、a,c分别为相等向量，故a=c，对；

④若a⎳b，b⎳c，当b为零向量时a⎳c不一定成立，错.

故选：D

6(2024·全国·高三对口高考)若a+b+c=0，则a，b，c()

LaoFan5

A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

B.一定不可能构成三角形

C.都是非零向量时能构成三角形

D.一定可构成三角形

【答案】A

【解析】ACD选项，若非零向量a,b,c共线时，也能满足a+b+c=0，但无法构成一个三角形，A

正确，CD错误；

B选项，当非零向量a,b,c两两不共线时，可构成三角形，B错误.

故选：A

【解题方法总结】

准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有

传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就

是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．

考点2:平面向量的线性表示

7(2024·山东泰安·统考模拟预测)在△ABC中，点D为AC中点，点E在BC上且BE=2EC.

记AB=a,AC=b，则ED=()

11111111

A.-a+bB.-a-bC.-a-bD.a-b

36366336

【答案】B

【解析】如图所示：

由AB=a,AC=b，

所以BC=AC-AB=b-a，

又∵BE=2EC，

11

∴EC=BC=b-a，

33

又因为D为AC中点，

1

∴CD=-b，

2

11

则ED=EC+CD=-a-b，

36

故选：B.

8(2024·河北邯郸·统考三模)已知等腰梯形ABCD满足AB⎳CD，AC与BD交于点P，且AB

=2CD=2BC，则下列结论错误的是()

A.AP=2PCB.|AP|=2|PD|

2112

C.AP=AD+ABD.AC=AD+AB

3333

6LaoFan

【答案】D

【解析】

ABAPPB2

依题意，显然△APB∽△DPC，故有===，

CDPCPD1

即AP=2PC，PB=2PD，则AP=2PC，故A正确；

又四边形ABCD是等腰梯形，故AP=PB，即AP=2PD，故B正确；

1121

在△ABD中，AP=AD+DP=AD+DB=AD+AB-AD=AD+AB，故C正

3333

确；

33211

又AC=AP=AD+AB=AD+AB，所以D错误；

22332

故选：D.

1

9(2024·河北·统考模拟预测)已知D为△ABC所在平面内一点，且满足CD=DB，则()

3

3121

A.AD=AB-ACB.AD=AB+AC

2233

C.AB=4AD-3ACD.AB=3AD-4AC

【答案】C

【解析】如图，

1

因为CD=DB，所以D是线段BC的四等分点，且BD=3DC,

3

3313

所以AD=AB+BD=AB+BC=AB+AC-AB=AB+AC,

4444

故A,B错误；

13

由AD=AB+AC，可得AB=4AD-3AC，故C正确，D错误，

44

故选:C.

10(2024·河北·高三学业考试)化简PA-PB+AB所得的结果是()

A.2ABB.2BAC.0D.PA

【答案】C

【解析】PA-PB+AB=PA+AB-PB=PB-PB=0.

故选：C

11(2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则

EC=()

31133113

A.AB-ACB.-AB-ACC.AB+ACD.-AB+AC

44444444

LaoFan7

【答案】D

【解析】

由D为BC中点，根据向量的运算法则，

1

可得AD=AB+AC，

2

1131

在△ABC中，EC=AC-AE=AC-AD=-(AB+AC)+AC=AC-AB.

2444

故选:D．

12(2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习)已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，

BC的中点，则EF=()

111111

A.AB-ADB.AB-BCC.AB+ADD.AB-BC

222222

【答案】D

【解析】如图所示，由中位线定理和平行四边形的性质得：

111

EF=DB=AB-AD=AB-BC，

222

故选：D

13(2024·山东滨州·校考模拟预测)如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上

靠近点B的四等分点，则AF=()

35537131

A.BA+BCB.BA+BCC.-BA+BCD.-BA+BC

88448844

【答案】C

1313

【解析】AF=AE+EF=AC+EB=AC+(AB-AE)

2424

13313

=AC+AB-AC=AC-BA

24884

1371

=(BC-BA)-BA=-BA+BC.

8488

8LaoFan

故选：C.

14(2024·全国·高三专题练习)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB+

AD=λAO，则λ=()

113

A.B.2C.D.

232

【答案】B

【解析】在平行四边形ABCD中，AC=AB+AD=λAO，所以λ=2．

故选：B．

15(2024·河南·襄城高中校联考三模)已知等腰梯形ABCD中，AB⎳DC，AB=2DC=2AD=

2，BC的中点为E，则AE=()

15151125

A.DB+ACB.DB+ACC.DB+ACD.DB+AC

33363236

【答案】B

1

【解析】∵AB=DB-DA=DB-DC+CA=DB-DC-CA=DB-AB-CA，

2

3

∴AB=DB-CA，

2

22

∴AB=DB+AC，

33

1122115

∴AE=AB+AC=DB+AC+AC=DB+AC．

2233236

故选：B.

【解题方法总结】

(1)两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪

子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．

(2)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首

尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．

(3)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角

形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．

考点3:向量共线的运用

1

16(2024·广东广州·统考模拟预测)在△ABC中，M是AC边上一点，且AM=MC,N是

2

1

BM上一点，若AN=AC+mBC，则实数m的值为()

9

1111

A.-B.-C.D.

3663

【答案】D

LaoFan9

1

【解析】由AM=MC，得出AC=3AM，

2

111

由AN=AC+mBC得AN=AC+mAC-AB=+mAC-mAB

999

1

=+3mAM-mAB，

3

11

因为B,N,M三点共线，所以+3m+-m=1，解得m=.

33

故选：D.

17(2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为

线段AM上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点，AB=

41

xAPx>0，AC=yAQy>0，则+的最小值为()．

xy+1

39

A.B.C.3D.9

44

【答案】B

1

【解析】因为M为线段BC的中点，所以AM=(AB+AC)，又因为AG=2GM，所以AG=

2

21

AM=(AB+AC)，

33

xy

又AB=xAPx>0，AC=yAQy>0，所以AG=AP+AQ，

33

xy

又P,G,Q三点共线，所以+=1，即x+y=3，

33

411411x4(y+1)

所以+=+x+(y+1)=4+++1≥

xy+14xy+14y+1x

14(y+1)9

5+2x⋅=，

4y+1x4

x4(y+1)81

当且仅当=，即x=,y=时取等号.

y+1x33

故选：B.

1

18(2024·山西·高三校联考阶段练习)如图，在△ABC中，D是BC边中点AP=AD，CP的

3

延长线与AB交于AN，则()

10LaoFan

1111

A.AN=ABB.AN=ABC.AN=ABD.AN=AB

4567

【答案】B

【解析】设AB=λAN，

11111λ1

则AP=AD=×AB+AC=AB+AC=AN+AC，

3326666

因为N，P，C三点共线，

λ1

所以+=1，解得λ=5，

66

1

所以AB=5AN，所以AN=AB.

5

故选：B.

19(2024·全国·高三专题练习)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与

11

AB，AC两边交于M，N两点，设xAB=AM，yAC=AN，则+的值为()

xy

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】由题意AG=λAM+(1-λ)AN且0≤λ≤1，而xAB=AM，yAC=AN，

所以AG=xλAB+y(1-λ)AC，

211

又G是△ABC的重心，故AG=×(AB+AC)=(AB+AC)，

323

xλ=1

31111

所以，可得+=1，即+=3.

y(1-λ)=13x3yxy

3

故选：A

20(2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)在△ABC中，E为AC上一点，AC=3AE,

13

P为线段BE上任一点(不含端点)，若AP=xAB+yAC，则+的最小值是()

xy

A.8B.10C.13D.16

【答案】D

【解析】由题意，如下示意图知：AP=λAB+(1-λ)AE，且0<λ<1，又AC=3AE，

LaoFan11

1-λx=λ

所以AP=λAB+AC，故且0<λ<1，

3y=1-λ

3

13191-λ9λ

故+=+[λ+(1-λ)]=10++≥10+21-λ⋅9λ=16，

xyλ1-λλ1-λλ1-λ

1-λ9λ1

仅当=，即λ=时等号成立.

λ1-λ4

13

所以+的最小值是16.

xy

故选：D

21(2024·全国·高三专题练习)已知向量a、b不共线，且c=xa+b,d=a+2x-1b，若c与d

共线，则实数x的值为()

111

A.1B.-C.1或-D.-1或-

222

【答案】C

【解析】因为c与d共线，则存在k∈R，使得d=kc，即a+2x-1b=kxa+kb，

kx=1

因为向量a、b不共线，则，整理可得x2x-1=1，即2x2-x-1=0，

k=2x-1

1

得x=-或1.

2

故选：C.

22(2024·全国·高三专题练习)已知直线l上有三点A，B，C，O为l外一点，又等差数列{an}的

前n项和为Sn，若OA=(a1+a3)OB+2a10OC，则S11=()

111113

A.B.3C.D.

422

【答案】A

【解析】∵点A、B、C是直线l上不同的三点，

∴存在非零实数λ，使AB=λBC⇒OB-OA=λ(OC-OB)⇒OA=(1+λ)OB-λOC；

∵若OA=(a1+a3)OB+2a10OC，

∴1+λ=a1+a3，-λ=2a10；

∴a1+a3+2a10=1；

∵数列{an}是等差数列，

1