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文档简介

专题21双变量不含参不等式证明方法之换元法

【方法总结】

双变量不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何消元，构造合适的一元函数．

整体换元法：若两个变量存在确定的关系，可以利用其中一个变量替换另一个变量，直接消元，将两

个变量转化为一个变量．若两个变量不存在确定的关系，有时可以将两个变量之间的关系看成一个整体（比

x

如1等策略将两个变量划归为一个变量整体换元，化为一元不等式．

，x1x2，x1x2，x1x2)

x2

[例1]已知函数f(x)＝ax2＋xlnx(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＝0垂直．

(1)求实数a的值；

mn

(2)求证：当n＞m＞0时，lnn－lnm＞－．

nm

2(x－1)

[例2]已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝xlnx－m(x2－1)(m∈R)．

x＋1

(1)若函数f(x)，g(x)在区间(0，1)上均单调且单调性相反，求实数m的取值范围；

a－ba＋b

(2)若0＜a＜b，证明：ab＜＜．

lna－lnb2

[例3]已知f(x)lnx,g(x)f(x)ax2bx，其中g(x)图像在(1,g(1))处的切线平行于x轴．

(1)确定a与b的关系；

设斜率为的直线与的图像交于，求证：11．

(2)kf(x)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)k

x2x1

[例4]已知函数f(x)xlnx．

(1)求f(x)的单调区间和极值；

f(x)f(x)xx

设，且，证明：2112．

(2)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))x1x2f()

x2x12

【对点训练】

a(x－1)

1．已知函数f(x)＝lnx－．

x＋1

(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

2(m－n)

(2)设m>n>0，求证：lnm－lnn>．

m＋n

1－x

2．已知函数f(x)＝＋lnx在(1，＋∞)上是增函数，且a>0．

ax

(1)求a的取值范围；

1a＋ba

(2)若b>0，试证明<ln<．

a＋bbb

3．设函数f(x)＝xln(ax)(a>0)．

1

(1)设F(x)＝f(1)x2＋f′(x)，讨论函数F(x)的单调性；

2

11

(2)过两点A(x1，f′(x1))，B(x2，f′(x2))(x1<x2)的直线的斜率为k，求证：<k<．

x2x1

4．已知函数fxlnxaxb，a,bR．

(1)讨论fx的单调性；

fxfxxx

当，为两个不相等的正数，证明：1212．

(2)a0x1,x2

2x1x2

1

5．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R．

2

(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；

5－1

(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，证明：x1＋x2≥．

2

－

6．已知函数f(x)＝λlnx－ex(λ∈R)．

(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；

1x21x1x2

(2)求证：当0<x1<x2时，ee1．

x1

a

7．已知函数f(x)＝lnx＋

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