精算师考试计算题专项训练（含详解）

精算师考试计算题专项训练（含详解）1.已知年名义利率为12%，按月度复利计息，则年实际利率为12.55%。2.假设生命表中x岁的生存人数l_x=10000，l_{x+1}=9850，则x岁的人一年期死亡概率q_x=1.5%。3.某财险公司某年度已赚保费为2亿元，已发生赔款为1.2亿元，费用支出为5000万元，则该年度综合成本率为85%。4.一份保额10万元的3年期定期寿险，被保险人投保时年龄30岁，假设30岁、31岁、32岁的年死亡概率分别为0.001、0.0012、0.0015，年贴现率为4%，则该保单趸缴净保费为109.2元。5.已知某损失随机变量服从参数为λ=2的泊松分布，则损失发生次数的方差等于2。6.某保额递增终身寿险，第t年的保额为(1+t)万元，假设年贴现率固定为3%，则该保单趸缴净保费计算时可以拆解为多份不同起始时间的定期寿险现值之和。7.非寿险未到期责任准备金计提采用1/24法时，假设某保单是3月10日生效，保险期间1年，则当年末应计提的未到期责任准备金为该保单保费的17/24。8.已知n年期期末付年金现值系数a_{n|i}=5，i为年实际利率，则n年期期初付年金现值系数为5(1+i)。9.某团体保险计划共有100个独立被保险人，每个人的年度损失期望为1000元，方差为250000，则根据中心极限定理，该团体年度总损失超过103万元的概率约为2.28%。10.假设某再保险合同为溢额再保险，分出公司自留额为50万元，分入公司接受4线责任，则对于保额200万元的保单，分入公司应承担的赔款比例为80%。1.某人存入银行10万元，年名义利率为8%，按半年复利计息，请问5年后的终值约为多少万元？A.14.69B.14.80C.14.90D.15.012.已知生命表中l_25=98560，l_30=97920，假设年利率为3%，则25岁的人存活到30岁时可领取10万元生存保险金的趸缴净保费约为多少元？A.84230B.85710C.86920D.874503.某财险公司2023年已赚保费为5亿元，最终赔付率假设为65%，累计已支付赔款为2.2亿元，已发生未报告赔款准备金（IBNR）计提比例为已赚保费的4%，则该公司2023年末应计提的未决赔款准备金总额约为多少亿元？A.1.05B.1.25C.1.45D.1.654.某损失随机变量X服从参数为α=2，θ=1000的帕累托分布（生存函数为S(x)=(θ/x)^α，x>θ），则P(X>2000)的值为多少？A.1/9B.1/4C.1/3D.1/25.某3年期期初付年金，每年支付1万元，年实际利率为5%，则该年金在第3年末的终值约为多少万元？A.3.15B.3.31C.3.47D.3.626.某寿险公司推出一款2年期两全保险，保额20万元，被保险人投保时年龄40岁，已知40岁、41岁的年死亡概率分别为0.002、0.0022，年实际利率为4%，则该保单的趸缴净保费约为多少元？A.178920B.182640C.185230D.1884507.某非寿险公司采用链梯法计提未决赔款准备金，已知近3年的赔款平均进展因子为0→1年1.4、1→2年1.2、2→3年1.07，3发展年后赔款完全发展，2023事故年年末（仅经历0发展年）已报案赔款为1000万元，则应计提的未决赔款准备金约为多少万元？A.500B.625C.800D.8758.已知某投资组合的年收益率服从正态分布，期望收益率为8%，收益率标准差为12%，则该组合下一年发生亏损的概率约为多少？A.15.87%B.25.14%C.33.33%D.40.12%9.某溢额再保险合同，分出公司自留额为100万元，分入公司接受5线责任，现有一笔保额为400万元的保单，发生赔款120万元，则分入公司应承担的赔款为多少万元？A.60B.75C.90D.10510.已知某终身寿险的年缴净保费为4237元，费用附加按照净保费的比例计提，若年缴毛保费为5000元，则费用附加率约为多少？A.12%B.15%C.18%D.21%1.下列关于利息计算的公式，正确的有：A.实际利率i=(1+r/m)^m-1，其中r为年名义利率，m为每年复利次数B.期初付年金终值=期末付年金终值(1+i)C.贴现率d=i/(1+i)D.n年期复利现值系数为(1+i)^n2.下列关于寿险精算现值的计算，说法正确的有：A.定期寿险精算现值等于各年度死亡给付的现值乘以对应年度死亡概率再求和B.生存保险精算现值等于保额乘以存活到保险期满的概率再乘以期满时的贴现因子C.两全保险精算现值等于定期寿险精算现值加生存保险精算现值D.终身寿险精算现值可以表示为各年度1年期定期寿险精算现值的和3.下列属于非寿险未决赔款准备金计提方法的有：A.链梯法B.案均赔款法C.准备金进展法D.1/24法4.下列关于损失分布的说法，正确的有：A.泊松分布的均值等于方差，适合描述损失发生次数B.负二项分布的方差大于均值，适合描述过离散的损失次数C.伽马分布可以作为损失金额的拟合分布D.正态分布适合描述小额高频的损失金额分布5.下列关于再保险赔款计算的说法，正确的有：A.成数再保险下，分保赔款比例等于分保保费比例B.险位超赔再保险下，分入公司对每次事故中每个风险单位的赔款承担超过自留额的全部责任，无上限C.事故超赔再保险以每次事故的总赔款为基础计算分保责任D.溢额再保险的分保比例随保单保额的不同而变化6.下列属于精算师常用的利率风险度量指标的有：A.久期B.凸性C.风险价值（VaR）D.综合赔付率7.某投保人每年年末缴纳保费5000元，连续缴纳20年，年实际利率为4%，下列关于该年金的计算结果正确的有：A.缴费期满时的终值约为148890元B.年金现值约为67952元C.如果改为期初缴费，终值约为154846元D.如果改为期初缴费，现值约为71270元8.下列关于准备金评估的说法，正确的有：A.寿险责任准备金是保险公司为未来保险责任计提的准备金，等于未来给付现值减去未来保费现值B.非寿险未到期责任准备金是为未到期的保险责任计提的准备金C.法定准备金的评估假设通常比最优估计假设更谨慎D.准备金评估的利率假设越高，计提的准备金金额越高9.下列关于风险度量的计算，正确的有：A.已知某组合的在险价值VaR(95%)为100万元，意味着有95%的概率损失不会超过100万元B.尾部风险价值TVaR是超过VaR的损失的期望值，度量尾部极端风险C.如果两个组合的期望损失相同，方差越小，风险越低D.标准差适合度量所有类型的风险，包括尾部风险10.精算师在计算保险产品定价时，需要考虑的因素包括：A.赔付率假设B.费用率假设C.利率假设D.退保率假设1.某财险公司承保了1000辆同类型家用车，每辆车的年度损失概率为5%，损失发生时的赔付额均为2万元，假设各辆车的损失相互独立。要求：（1）计算该业务年度总赔付的期望和标准差；（2）为了有95%的概率确保能够支付全部赔款，该公司需要额外计提的风险资本金约为多少（已知标准正态分布95%分位数为1.645）。2.某人30岁时投保了一份20年期缴费的终身寿险，保额50万元，死亡给付在死亡年末支付，已知30岁的年缴净保费为8000元，年实际利率为3%。假设被保险人在45岁时仍然生存，此时未来剩余缴费期内净保费的现值为25000元，未来保险给付的现值为320000元。要求：（1）计算该保单在被保险人45岁时的责任准备金；（2）若被保险人在45岁时选择退保，假设退保金为责任准备金的90%，计算退保金金额。3.某财险公司2023年四个季度的保费收入分别为2亿元、3亿元、4亿元、1亿元，所有保单保险期间均为1年，假设保费收入在各季度内均匀发生，采用1/8法计提未到期责任准备金。要求：计算该公司2023年末应计提的未到期责任准备金总额。1.论述精算师在寿险产品定价过程中，利率假设、死亡率假设、费用率假设分别对定价结果的影响，并举例说明不同假设下定价的量化差异。2.对比非寿险未决赔款准备金计提的链梯法和案均赔款法的适用场景、计算逻辑，并说明两种方法分别适合的业务类型，结合计算示例说明两者的计算差异。---标准答案及解析一、判断题答案及解析1.参考答案：错。解析：年实际利率=(1+12%/12)^12-1≈12.68%，题干中12.55%是按季度复利的实际利率，因此错误。2.参考答案：对。解析：q_x=(l_x-l_{x+1})/l_x=(10000-9850)/10000=1.5%，计算正确。3.参考答案：对。解析：综合成本率=（已发生赔款+费用支出）/已赚保费=(1.2+0.5)/2=85%，计算正确。4.参考答案：错。解析：趸缴净保费=100000(0.001/1.04+0.0012/(1.04)^2+0.0015/(1.04)^3)≈340元，题干中109.2元是未考虑贴现的结果，因此错误。5.参考答案：对。解析：泊松分布的均值和方差均等于参数λ，因此方差为2，表述正确。6.参考答案：对。解析：递增保额终身寿险可拆解为1份终身寿险+1份1年后生效的终身寿险+1份2年后生效的终身寿险+…，因此可以拆解为多份定期寿险现值之和，表述正确。7.参考答案：错。解析：1/24法下3月生效的保单，未到期责任比例为5/24，17/24是10月生效保单的未到期比例，因此错误。8.参考答案：对。解析：期初付年金现值系数=期末付年金现值系数(1+i)，因此计算正确。9.参考答案：错。解析：总损失期望=1001000=100万元，总方差=100250000=25000000，标准差=5000元，103万元比均值高6个标准差，对应概率远低于2.28%，2.28%是均值加2个标准差的概率，因此错误。10.参考答案：错。解析：分入公司承保限额为450=200万元，200万元保额的保单，分出公司自留50万元，分入公司承担150万元，赔款比例为150/200=75%，因此错误。二、单选题答案及解析1.参考答案：B。解析：半年利率=8%/2=4%，5年共10个计息期，终值=10(1+4%)^10≈14.80万元，A是按年复利的结果，C是按季度复利的结果，D是按月复利的结果。2.参考答案：B。解析：5年生存概率=97920/98560≈0.9935，5年期贴现因子=1/(1+3%)^5≈0.8626，趸缴净保费=1000000.99350.8626≈85710元，A是用死亡概率计算的结果，C是未乘以生存概率的结果，D是利率按2%计算的结果。3.参考答案：B。解析：预计总赔款=565%=3.25亿元，未决赔款准备金=（3.25-2.2）+54%=1.05+0.2=1.25亿元，A是未加IBNR的结果，C是错误加入费用的结果，D是赔付率按70%计算的结果。4.参考答案：B。解析：代入生存函数，S(2000)=(1000/2000)^2=1/4，A是另一类帕累托参数形式的计算结果，C是α=1的结果，D是θ=2000的结果。5.参考答案：B。解析：期初付年金终值=1(1.05^3+1.05^2+1.05)≈3.31万元，A是期末付年金的终值，C是利率按6%计算的结果，D是利率按7%计算的结果。6.参考答案：C。解析：第一年死亡给付现值=2000000.002/1.04≈384.6元，第二年死亡给付现值=2000000.9980.0022/(1.04)^2≈406元，生存给付现值=2000000.9980.9978/(1.04)^2≈184439元，合计≈185229.6元，接近185230元，A是未计算死亡给付的结果，B是利率按5%计算的结果，D是死亡率多计1倍的结果。7.参考答案：C。解析：最终赔款=10001.41.21.07≈1797.6万元，未决赔款准备金=1797.6-1000≈800万元，A是进展因子按1.5计算的结果，B是进展因子按1.625计算的结果，D是进展因子按1.875计算的结果。8.参考答案：B。解析：亏损即收益率<0，Z值=(0-8%)/12%≈-0.67，对应正态分布累积概率为25.14%，A是Z=-1的概率，C是Z=-0.43的概率，D是Z=-0.25的概率。9.参考答案：C。解析：分保比例=(400-100)/400=75%，分入公司承担赔款=12075%=90万元，A是分出公司承担的赔款，B是分保比例计算错误的结果，D是按5线满额计算的结果。10.参考答案：C。解析：费用附加率=(5000-4237)/4237≈18%，A、B、D均为干扰项。三、多选题答案及解析1.参考答案：ABC。解析：D选项n年期复利现值系数为(1+i)^(-n)，(1+i)^n是终值系数，因此D错误。2.参考答案：ABCD。解析：四个选项的表述均符合寿险精算现值的计算规则。3.参考答案：ABC。解析：D选项1/24法是未到期责任准备金的计提方法，不属于未决赔款准备金计提方法，因此D错误。4.参考答案：ABC。解析：D选项正态分布是对称分布，而损失金额为右偏分布，不适合用正态分布拟合，因此D错误。5.参考答案：ACD。解析：B选项险位超赔再保险有分入责任限额，并非无上限，因此B错误。6.参考答案：ABC。解析：D选项综合赔付率是成本核算指标，不属于利率风险度量指标，因此D错误。7.参考答案：ABC。解析：期初付年金现值=期末付现值(1+i)=679521.04≈70670元，不是71270元，因此D错误。8.参考答案：ABC。解析：D选项利率假设越高，未来现金流现值越低，计提的准备金金额越低，因此D错误。9.参考答案：ABC。解析：D选项标准差仅适合度量对称分布的风险，不适合度量尾部极端风险，因此D错误。10.参考答案：ABCD。解析：四个选项均为保险产品定价需要考虑的核心假设。四、案例分析题答案及评分标准1.参考答案：（1）总赔付期望=10005%2=100万元；总赔付方差=10000.050.95(2)^2=190万元，标准差=√190≈13.78万元。（2）风险资本金=1.64513.78≈22.67万元。评分标准：总期望计算正确得2分，标准差计算正确得2分，风险资本金计算正确得2分，计算过程正确结果偏差不超过5%可酌情给分。2.参考答案：（1）责任准备金=未来给付现值-未来保费现值=320000-25000=295000元。（2）退保金=29500090%=265500元。评分标准：责任准备金计算公式正确得2分，结果正确得2分，退保金计算正确得2分。3.参考答案：1/8法下，各季度保费的未到期责任比例分别为：一季度1/8、二季度3/8、三季度5/8、四季度7/8。未到期责任准备金总额=2(1/8)+3(3/8)+4(5/8)+1(7/8)=38/8=4.75亿元。评分标准：各季度未到期比例判断正确得3分，最终结果计算正确得3分。五、论述题答案及评分标准1.参考答案要点：（1）利率假设：利率是资金的时间价值，利率假设越高，未来给付的现值越低，产品定价越低；反之则定价越高。举例：10万元5年期生存保险，3%利率下趸缴净保费=10/(1+3%)^5≈8.626万元；5%利率下趸缴净保费=10/(1+5%)^5≈7.835万元，两者相差约0.79万元。（4分）（2）死亡率假设：死亡率是寿险产品赔付的核心假设，死亡率假设越高，寿险产品的赔付期望越高，定价越高；反之则定价越低。举例：10万元1年期定期寿险，30岁男性死亡率假设为0.001，趸缴净保费≈1000000.001/1.03≈97元；40岁男性死亡率假设为0.002，趸缴净保费≈1000000.002/1.03≈194元，两者相差约1倍。（4分）（3）费用