2026年应用光学习题(含答案)

2026年应用光学习题(含答案)1.一凹面反射镜曲率半径为80mm，物置于镜前60mm处。（1）计算像距并判断像的虚实；（2）若物高10mm，求像高及正倒；（3）若将物移至镜前20mm处，重复（1）（2）。答案：（1）球面反射镜公式：1/l'+1/l=2/r（符号规则：实物l=-60mm，r=-80mm）。代入得1/l'=2/(-80)-1/(-60)=-1/40+1/60=-1/120，故l'=-120mm（负号表示像在镜后，为虚像）。（2）横向放大率β=-l'/l=-(-120)/(-60)=-2，像高h'=βh=-2×10=-20mm（负号表示倒立，绝对值20mm）。（3）物距l=-20mm时，1/l'=2/(-80)-1/(-20)=-1/40+1/20=1/40，l'=40mm（正号表示像在镜前，为实像）；β=-40/(-20)=2，像高h'=2×10=20mm（正立）。2.一玻璃球（n=1.5）直径为40mm，点光源置于球左侧30mm处。（1）计算经左球面折射后的像位置；（2）该像作为右球面的物，计算最终像位置；（3）分析最终像的虚实。答案：（1）左球面：r1=20mm（中心在右侧，正），物距l1=-30mm（实物）。折射公式n'/l1'+n/l1=(n'-n)/r1，n=1（空气），n'=1.5。代入得1.5/l1'+1/(-30)=(1.5-1)/20→1.5/l1'=0.5/20+1/30=1/40+1/30=7/120→l1'=1.5×(120/7)≈25.71mm（像在左球面右侧25.71mm处，位于球内）。（2）右球面：左球面的像作为右球面的物，物距l2=l1'-直径=25.71-40=-14.29mm（虚物，因物在右球面左侧，即球内）。右球面r2=-20mm（中心在左侧，负），n=1.5（球内），n'=1（空气）。公式n'/l2'+n/l2=(n'-n)/r2→1/l2'+1.5/(-14.29)=(1-1.5)/(-20)→1/l2'=0.5/20+1.5/14.29≈0.025+0.105≈0.13→l2'≈7.69mm（像在右球面右侧7.69mm处）。（3）最终像距球右侧7.69mm，为实像（l2'正）。3.一双凸透镜（n=1.6），左表面曲率半径r1=50mm，右表面r2=-50mm（按符号规则，右表面中心在左侧），厚度d=5mm。（1）计算近轴条件下的物方焦距f和像方焦距f'；（2）若物置于透镜左侧100mm处，计算像距l'（需考虑厚度，用矩阵法）。答案：（1）薄透镜近似时f'=1/[(n-1)(1/r1-1/r2)]，但本题厚度d=5mm不可忽略，需用厚透镜公式。物方焦距f=-f'×n/n'（n'=1），f'=1/[(n-1)(1/r1-1/r2)+(n-1)²d/(nr1r2))]。代入数值：(n-1)=0.6，1/r1-1/r2=1/50-1/(-50)=2/50=0.04；(n-1)²d/(nr1r2)=0.36×5/(1.6×50×(-50))=1.8/(-40000)=-0.000045。分母≈0.6×0.04-0.000045=0.024-0.000045=0.023955，故f'≈1/0.023955≈41.75mm（像方焦距），f=-n/n'×f'≈-1.6×41.75≈-66.8mm（物方焦距）。（2）用矩阵法，光线传输矩阵为R2×T×R1，其中R1为左表面折射矩阵[1,0;(n-1)/(nr1),1/n]，T为平移矩阵[1,d;0,1]，R2为右表面折射矩阵[1,0;(1-n)/(r2),1]。计算各矩阵：R1=[1,0;0.6/(1.6×50),1/1.6]=[1,0;0.0075,0.625]；T=[1,5;0,1]；R2=[1,0;(1-1.6)/(-50),1]=[1,0;0.012,1]。总矩阵M=R2×T×R1=[1×1+0×0,1×5+0×1;0.012×1+1×0.0075,0.012×5+1×0.625]=[1,5;0.0195,0.685]。物方光线参数：入射高度y1=h，斜率u1=h/l（l=-100mm），故u1=h/(-100)。出射光线斜率u2'=M21y1+M22u1=0.0195h+0.685×(h/-100)=h(0.0195-0.00685)=h×0.01265。像方焦距f'=y1/u2'=h/(h×0.01265)≈79.05mm（与薄透镜近似不同，因厚度影响）。像距l'=f'×(1+l/f)，但更准确的是由矩阵的物像关系：l'=-M11/M21=-1/0.0195≈-51.28mm（符号表示像在透镜左侧？需核对矩阵法的物像公式：对于厚透镜，物距l（从物到前表面），像距l'（从后表面到像），满足1/l'=(n-1)(1/r2-1/r1)+(n-1)²d/(nr1r2)+(n-1)d/(nr1r2)l。可能更简单的是用近轴光线追迹：设物点发出光线高度h=1mm，斜率u1=1/(-100)=-0.01rad。经左表面折射后，u1'=(nu1-(n-1)h/r1)/n'=(1×(-0.01)-0.6×1/50)/1.6=(-0.01-0.012)/1.6=-0.022/1.6≈-0.01375rad。平移d=5mm后，u2=u1'，y2=h+u1'×d=1+(-0.01375)×5=1-0.06875=0.93125mm。经右表面折射后，u2'=n'u2-(n'-n)y2/r2=1×(-0.01375)-(1-1.6)×0.93125/(-50)=-0.01375-(0.6×0.93125)/50=-0.01375-0.011175=-0.024925rad。像距l'=y2/u2'=0.93125/(-0.024925)≈-37.36mm（负号表示像在右表面左侧，即透镜内部，为虚像）。4.某光学系统由两个薄透镜组成，L1焦距f1'=100mm，L2焦距f2'=50mm，间距d=30mm。（1）计算组合系统的等效焦距f'和主点位置；（2）若物置于L1前150mm处，求像的位置及放大率。答案：（1）组合焦距公式1/f'=1/f1'+1/f2'-d/(f1'f2')=1/100+1/50-30/(100×50)=0.01+0.02-0.006=0.024，故f'≈41.67mm。主点位置：物方主点到L1的距离H1=-f'×d/f2'=-41.67×30/50≈-25mm（负号表示H1在L1左侧25mm处）；像方主点到L2的距离H2'=-f'×d/f1'=-41.67×30/100≈-12.5mm（H2'在L2左侧12.5mm处）。（2）物距l=-150mm（相对于L1），转换为相对于物方主点的物距x=l-H1=-150-(-25)=-125mm。根据牛顿公式xx'=ff'（f=-f'=-41.67mm），x'=ff'/x=(-41.67)×41.67/(-125)≈(1736.11)/125≈13.89mm。像相对于像方主点的位置x'=13.89mm，故像距L2的距离为x'+H2'=13.89+(-12.5)=1.39mm（像在L2右侧1.39mm处）。放大率β=-f/x=-(-41.67)/(-125)=-0.333（倒立，缩小）。5.设计一消色差双胶合透镜，用于可见光（F光λ=486nm，D光λ=589nm，C光λ=656nm），已知冕牌玻璃K9的参数：nD=1.5163，νD=(nD-1)/(nF-nC)=64.17；火石玻璃F2的参数：nD=1.6128，νD=36.67。（1）若组合焦距f'=100mm，求两透镜的焦距f1'和f2'；（2）若第一透镜为凸透镜（正光焦度），第二透镜为凹透镜（负光焦度），验证是否满足消色差条件。答案：（1）消色差条件：φ1/ν1+φ2/ν2=0（φ为光焦度，φ=1/f'），且φ=φ1+φ2=1/f'=0.01mm⁻¹。设φ1=1/f1'，φ2=1/f2'，则φ1/64.17+φ2/36.67=0→φ2=-φ1×36.67/64.17≈-0.571φ1。代入φ1+φ2=0.01得φ1-0.571φ1=0.01→0.429φ1=0.01→φ1≈0.0233mm⁻¹，f1'≈42.9mm；φ2=0.01-0.0233≈-0.0133mm⁻¹，f2'≈-75.2mm。（2）双胶合透镜中，正透镜（K9）提供主要光焦度，负透镜（F2）补偿色差。由于ν1>ν2（冕牌玻璃色散小），正透镜的光焦度φ1需与负透镜的φ2满足φ1/ν1=-φ2/ν2，即两者色散贡献相反，总色差为零，故满足消色差条件。6.某显微镜物镜的数值孔径NA=0.85，工作波长λ=550nm。（1）计算其理论分辨率（瑞利判据）；（2）若目镜焦距f'_目=25mm，求显微镜的总放大率（物镜放大率β物=-40×）；（3）若改用NA=1.25的油浸物镜（n=1.52），其他条件不变，分辨率提升多少？答案：（1）分辨率δ=0.61λ/NA=0.61×550nm/0.85≈393.5nm/0.85≈463nm。（2）显微镜总放大率Γ=β物×Γ目，Γ目=250mm/f'_目=250/25=10×，故Γ=-40×10=-400×（负号表示倒立）。（3）新分辨率δ'=0.61×550nm/1.25≈393.5nm/1.25≈315nm，分辨率提升比例=(463-315)/463≈31.9%（或用分辨率与NA成反比，提升倍数=NA2/NA1=1.25/0.85≈1.47倍）。7.一激光准直系统由物镜和目镜组成，物镜焦距f物'=200mm，目镜焦距f目'=20mm。（1）计算系统的角放大率；（2）若输入激光束直径D1=2mm，求输出光束直径D2；（3）若物镜口径受限于球差，最大可用口径D物=40mm，求系统能准直的最大输入光束发散角θ1（以mrad为单位）。答案：（1）望远镜角放大率Γ=-f物'/f目'=-200/20=-10×（负号表示倒像）。（2）激光束直径与角放大率关系D2=|Γ|×D1=10×2=20mm。（3）物镜口径D物=40mm，对应边缘光线的高度h=20mm。准直系统要求输入光束的发散角θ1满足h=f物'×θ1（近轴近似），故θ1=h/f物'=20mm/200mm=0.1rad=100mrad（实际中需考虑衍射极限，但此处为几何光学近似）。8.一照相物镜的焦距f'=50mm，相对孔径D/f'=1/2（即光圈数F=2），像面尺寸为24mm×36mm（全画幅）。（1）计算物镜的最大口径D；（2）求系统的最大视场角2ω（2ω为对角线视场）；（3）若光圈收缩至F=8，通光量减少多少倍（假设透射比不变）。答案：（1）D=f'/F=50/2=25mm。（2）像面对角线长度l=√(24²+36²)=√(576+1296)=√1872≈43.27mm，视场角满足tanω=l/(2f')=43.27/(2×50)=0.4327，故ω≈23.4°，2ω≈46.8°。（3）通光量与相对孔径的平方成正比，F数从2变为8，相对孔径从1/2变为1/8，通光量减少倍数=(1/2)²/(1/8)²=(1/4)/(1/64)=16倍。9.一平面反射镜以角速度ω=10rad/s绕垂直于纸面的轴旋转，一束平行光以入射角i=30°入射。（1）求反射光线的旋转角速度；（2）若入射光为波长λ=632.8nm的He-Ne激光，反射光经5m外的屏接收，求光点在屏上的移动速度。答案：（1）反射镜旋转θ角时，反射光线旋转2θ角（反射定律），故反射光线角速度ω'=2ω=20rad/s。（2）屏上光点移动速度v=ω'×L×sin(2i)（L为镜到屏的距离），当i=30°时，2i=60°，sin60°=√3/2≈0.866，v=20×5×0.866≈86.6m/s。10.一光纤的纤芯折射率n1=1.48，包层折射率n2=1.46，长度L=1km。（1）计算光纤的数值孔径NA；（2）求最大入射角i0（空气中）；（3）若光以i0入射，计算光在光纤中传输的时间（忽略材料色散，n1为群折射率）。答案：（1）NA=√(n1²-n2²)=√(1.48²-1.46²)=√[(1.48-1.46)(1.48+1.46)]=√[0.02×2.94]=√0.0588≈0.242。（2）