九年级数学相似三角形知识点及习题

九年级数学相似三角形知识点及习题相似三角形是初中几何的重要组成部分，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是解决几何计算与证明问题的有力工具。学好相似三角形，能极大提升我们对图形关系的洞察力和逻辑推理能力。本文将系统梳理相似三角形的核心知识点，并通过精选习题帮助同学们巩固应用。一、相似三角形的定义与表示我们把对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。*相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。注意，相似比具有顺序性，若△ABC与△A'B'C'的相似比为k，则△A'B'C'与△ABC的相似比为1/k。*表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。例如，△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，在书写时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，以明确对应关系。二、相似三角形的判定方法判定两个三角形相似，主要有以下几种方法：1.预备定理（平行线法）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。*如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。（这是最基本、最常用的判定方法之一，常需构造平行线来应用）2.判定定理1（AA或AAA）：两角分别对应相等的两个三角形相似。*若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'。（由三角形内角和定理，只要有两个角对应相等，第三个角必然相等）3.判定定理2（SAS）：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。*若AB/A'B'=AC/A'C'，且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'。（注意必须是“夹角”相等，若为其中一边的对角相等，则不一定相似）4.判定定理3（SSS）：三边对应成比例的两个三角形相似。*若AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则△ABC∽△A'B'C'。对于直角三角形，除了上述一般三角形的判定方法外，还有其特殊的判定方法：*直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。三、相似三角形的性质如果两个三角形相似，那么它们具有以下性质：1.对应角相等：即相似三角形的对应角大小相等。2.对应边成比例：即相似三角形的对应边的比值等于相似比（k）。3.对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高，则AD/A'D'=k。中线、角平分线同理。4.周长比等于相似比：即相似三角形的周长之比等于相似比k。5.面积比等于相似比的平方：即相似三角形的面积之比等于相似比k的平方。*若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则S_△ABC/S_△A'B'C'=k²。6.对应线段成比例：除了高、中线、角平分线外，其他对应线段（如对应中位线、对应三等分线等）的比也等于相似比。四、相似三角形的应用相似三角形的知识在实际生活和几何综合题中有着广泛的应用，例如：*测量物体的高度（如利用标杆、影子、镜子反射等）。*计算不可直接到达的两点间的距离。*证明线段成比例或角相等。*解决与几何图形面积、周长相关的计算问题。*在动态几何问题中，探究图形的变化规律及变量之间的关系。五、相似三角形常见基本图形掌握相似三角形的基本图形，有助于快速识别和解决问题。常见的基本图形有：1.“A”型（或“正A”型）：如图1，DE∥BC，则△ADE∽△ABC。2.“X”型（或“8”字型）：如图2，AB、CD相交于点O，且∠A=∠C（或∠B=∠D），则△AOB∽△COD。3.“母子”型（或“共角共边”型）：如图3，∠ACD=∠B（或∠ADC=∠ACB），则△ACD∽△ABC。（常见于直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个与原三角形相似的小直角三角形）4.“一线三垂直”型：如图4，一条直线上有三个直角顶点，通常可构造出两个相似的直角三角形。（此处应有图形示意，但文本中无法直接绘制，请同学们自行在脑海中构建或查阅课本相关图形）---六、习题演练（一）基础巩固1.下列条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A.∠A=∠D，∠B=∠EB.AB/DE=AC/DF，∠A=∠DC.AB/DE=BC/EF=AC/DFD.AB/DE=AC/DF，∠B=∠E2.若△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为______，面积比为______。3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC的长为______。（假设这是一个“正A”型图，D在AB上，E在AC上）4.已知两个相似三角形的面积比为4:9，其中较小三角形的周长为12，则较大三角形的周长为______。（二）能力提升5.如图，在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高。求证：（1）△ACD∽△ABC；（2）AC²=AD·AB。6.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED=∠B。若AE=3，AB=5，AD=4，求AC的长。7.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠ADE=∠B。（1）求证：△ADE∽△ABD；（2）若AB=5，BC=6，BD=2，求BE的长。（三）综合应用8.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，当△EFC为直角三角形时，求BE的长。（提示：折叠后点F的位置需分情况讨论，结合相似三角形知识求解）---七、习题答案与解析（一）基础巩固1.答案：D解析：选项A符合“AA”判定；选项B符合“SAS”判定；选项C符合“SSS”判定；选项D中，∠B与∠E不是对应成比例的两边的夹角，故不能判定相似。2.答案：2:3；4:9解析：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。3.答案：1.5解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。∴AD/AB=AE/AC。AB=AD+DB=5，设EC=x，则AC=AE+EC=1+x。∴2/5=1/(1+x)，解得x=1.5。4.答案：18解析：面积比为4:9，则相似比为2:3，周长比也为2:3。设较大三角形周长为x，则12/x=2/3，解得x=18。（二）能力提升5.证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=∠ACB=90°。又∵∠A=∠A（公共角），∴△ACD∽△ABC（AA）。（2）由（1）知△ACD∽△ABC，∴AC/AB=AD/AC。∴AC²=AD·AB。6.解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A（公共角），∴△AED∽△ABC（AA）。∴AE/AB=AD/AC。即3/5=4/AC，解得AC=20/3。7.（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠C。又∵∠DAE=∠CAD（公共角），∴△ADE∽△ACD（AA）。（原题求证△ADE∽△ABD，若题目图形中D在BC上，E在AB上，∠ADE=∠B，则∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD（公共角），则△ADE∽△ABD（AA）。请同学们根据实际图形核对条件。此处按修正后的“△ADE∽△ABD”进行。）∴∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD，∴△ADE∽△ABD。（2）解：由（1）△ADE∽△ABD得AD/AB=AE/AD。∵AB=AC=5，BC=6，过A作AH⊥BC于H，则BH=3，由勾股定理得AH=4。设AD=x，则在Rt△ADH中，AD²=AH²+DH²，DH=|BH-BD|=|3-2|=1，∴x²=4²+1²=17，x=√17（负值舍去）。∴AD/AB=AE/AD→AD²=AB·AE→17=5·AE→AE=17/5。∴BE=AB-AE=5-17/5=8/5。（三）综合应用8.解：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AD=BC=8，CD=AB=6。将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，则AF=AB=6，BE=EF，∠AFE=∠B=90°。设BE=EF=x，则EC=BC-BE=8-x。△EFC为直角三角形，分三种情况讨论：（i）若∠EFC=90°，则点F在CD上。∵AF=6，AD=8，∴DF=√(AD²-AF²)=√(64-36)=√28=2√7。∴CF=CD-DF=6-2√7。（但CF=6-2√7≈6-5.29=0.71>0，此时在Rt△EFC中，EF=x，EC=8-x，CF=6-2√7。由勾股定理x²+(6-2√7)²=(8-x)²。此情况计算复杂，且后续发现可能不存在，暂放。）（ii）若∠FEC=90°，则∠AEF=∠AEB=90°，但∠AEF+∠AEB=180°，即点B、E、F共线，此时F与B重合，不符合题意，舍去。（iii）若∠FCE=90°，则点F在AD上。∵∠FCE=90°，∠C=90°，∴点F在AD上。此时AF=6，AD=8，∴FD=AD-AF=2。∵∠AFE=90°，∴∠DFC+∠AFB=90°，又∠DAF+∠AFB=90°，∴∠DFC=∠DAF。∴Rt△AFE∽Rt△DFC？（或△EFC∽△AFD？）更直接：∵∠AFE=∠D=90°，∠FAE+∠AEF=90°，∠FEC+∠AEF=90°，∴∠FAE=∠FEC。又∵∠AFE=∠C=90°，∴△AFE∽△ECF。∴AF/EC=EF/CF。AF=6，EC=8-x，EF=x，CF=CD=6（因为F在AD上，FC垂直BC，所以FC=AB=6？不，F在AD上，FC是连接F和C的线段。此时FD=2，DC=6，在Rt△FDC中，FC=√(FD²+DC²)=√(4+36)=√40=2√10。由△AFE∽△ECF得：AF/EC=EF/CF→6/(8-x)=x/(2√10)→x(8-x)=12√10。此方程解出x非有理数，与（i）类似，可能不是我们要的常见解。重新审视（i），若F在CD上，∠EFC=90°，则∠AFD+∠EFC=180°，点A、F、C可能共线？不，∠AFC=∠AFE+∠EFC=90°+90°=180°，所以A、F、C三点共线！啊，这是关键！∴AC=AF+FC。AC是矩形对角线，AC=√(AB²+BC²)=√(36+64)=10。∵AF=6，∴FC=AC-AF=10-6=4。在Rt△EFC中，EF=x，EC=8-x，FC=4。由勾股定理：EF²+FC²=EC²→x²+4²=(8-x)²展开得：x²+16=64-16x+x²化简得：16x=48→x=3。∴BE=3。另一种情况，当点F在矩形外部时，也可能形成直角三角形。例如，∠EFC=90°，此时FC=AF-AC=6-10=-4（绝对值4），解法同上，x²+4²=(8-x)²，x=3。或者∠FCE=90°，此时F在BC延长线上，AF=6，AB=6，则BF=√(AF²-AB²)=0，即F与B重合，舍去。综上，BE的长为3或（当F在矩形内部AD上时的另一个解，经计算x=6，此时EC=8-6=2，EF=6，FC=√(6²-2²)=√32=4√2，AF=6，AD=8，FD=2，FC