【浙江三轮】2026年中考数学复习：一次与二次方程

【浙江三轮】2026年中考数学知识点・考点一遍过专题2一次与二次方程

一、中考中的“一次方程”

1.已知关于X的一元一次方程3x-ax+4a=0,当方程的解为x=l时，a的值为.

2•解方程组：｛汇北7

3.我国古代《算法统宗》里有这样的记载：“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多六客，

一房八客一房空后两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8

人，那么就空出一间客房.若设该店有房客x人，客房y间，则下列二元一次方程组正确的是()

(7y+6=x|7y+6=x

(8(y-1)=x(8y-1=%

(7y-6=x(7y-6=x

(8y-1=xu.18(y-l)=x

4.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，大意是：“五只雀、六只

燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只

x两，燕每只y两，则可列出方程组为()

A/5x+6y=16(5x4-6y=16

,15x+y=6y+%'(4x+y=5y+x

Cf6x+5y=16Df6x+5y=16

,(6x+y=Sy+x'(5x+y=4y+%

5.某校九(1)班部分学生参加社会实践活动，实践基地有宿舍若干间.如果每间宿舍住4人，那么

有2人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，那么会空出一间宿舍.设宿舍有x间，学生有y人，则可

列出方程组为()

(4x=y-2(4x=y-2

(6(x-l)=y*(6(x+l)=y

f4x=y+2(4x=y+2

(6(%-1)=y(6(x+l)=y

6.2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武8。7》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难

度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形

机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率.秋购买A、8两种型号智能机器人进行快

递分拣.若买1台4型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台4型机器人、2台8型机器

人,共需360万元.

(1)求4、8两种型号智能机器人的单价.

(2)该企业现计划用960万元采购A型和8型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用

完.请列出所有可能的购买方案.

二、中考中的“一元二次方程”

7.下列方程是一元二次方程的是()

A.3%4-2y—1=0B.—5=0C.2x4-6=0D.%2—1=0

8.若x=1是一元二次方程，一+m=0的一个根.则m=()

A.-2B.4C.—4D.2

9.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是()

A.x2=0B.r2+1=0C.%2—%=0D.x2—6%+9=0

10.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件,第三天揽件242件，设该快递店揽件口平均增长

率为x,根据题意，下面所列方程正确的是()

A.200(1+x)2=242B.200(1-x)2=242

C.200(1+2x)=242D.200(1-2x)=242

11.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次

降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是()

A.144(1-%)2=121B.144(1+%)3=121

C.144(1-2XY=121D.144(1+2%)=121

12.在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六I四

步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步?''也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方

步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步?”设长为x步，则下列方程正确的是

()

A.x(x-12)=864B.x(x+12)=864

C.x(12-x)=864D.2(x+x+12)=864

13.若m,九是方程产+5%—3=o的两个根，则m2九+m九2-14=.

14.若关于x的一元二次方程/—3x—c=0有实数根，则最小整数c=.

15.若m是方程%2一%一1=o的较大根，求加+工的值.

m

16.若a,b是方程/一3%-1=0的两个根，则层+呈的值等于.

17.使得方程炉+3x+c=0有实数根的最大的整数。=.

18.解方程：3(%4-4)=(%+4)(x+1).

19.在用配方法解方程x2一2x-1=0时，小颖的解法如图：

第一步：移项，得%2—2%=1.

第二步：配方,得12-2%+2?=1+22,

即（x-2）2=5.

第三步：两边开平方，得不一2=±而.

=

第四步：所以，％i=2+而,%22—V5

请回答：

（1）小颖的解答过程从第步开始出现错误；

（2）请给出这道题的正确解答过程.

20.解方程：

小江同学：

解一元二次方程好一2%=3时，小江同学的解法如图所示:

小江同学；

解：x（r—2）=3

所以x=ISRx—2=3

所以A=1或x?=5

（I）你认为%i=1是原方程的解吗?请检验（写出检验过程）：

（2）请选择合适的方法解原方程.

21.小李与小王两位同学解方程2（x-2）=（x-27的过程如下框:

小王：

小李：

解：移项，得2(%—2)—(x—2)2=0,

解：两边同除以。一2）,得

提取公因式,得(％—2)(2——-2)=0.

2=%-2,

则％-2=0或2-工-2=0,

则工=4o

解得％1=2/2=0。

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打7”;若错误请在框内打“X”，并写出正确的解答

过程。

22.已知小b为整数,方程3炉一3（。+份x+4H?=0的两个实数根满足服夕满足a（a+l）+40+1）

=®+1）0+1）.试求所有的整数对（小b）.

23.利用以下素材解决问题.

莲藕定价问题

2025年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达2.33米、9节9孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸

引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食.某餐饮店主打莲藕

素

汤，其成本为5元/份，当售价为25元/份时，平均每天可以卖出120份.

材

1

素

经市场调研发现：售价每上涨1元/份，每天要少卖出5份；售价每下降1元/份，每天可多

材

卖出10份.

2

任

若涨价2元/份，则平均每天的销售量为▲份;若设降价3元/份，则平均每天的

务

销售量为▲份（用含X的代数式表示）.

1

任

务若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到2415元？

2

任

“元旦''假期，为保证藕汤的最住口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每

务

天的利润最高？

3

答案解析部分

1.【答案】-1

【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数；解系数含参的一元一次方程

【解析】【解答】解：把X=1代入原方程，得：3-a+4a=0,

解得：a=-l

故答案为：-1.

【分析】首先根据方程的解的意义，可得出3-a+4a=0,进而接关于a的方程，即可求得a的值。

2.【答案】解：[?一"=理

[3x-y=5（2）

①一②x5得4x-15x=3-25,

解得x=2,

把x=2代入①得8-5y=3,

解得y-L

・.・方程组的解为

【知识点】加减消元法解二元一次方程组

【辞析】【分析】先根据①一②x5消去y,求出x的值，然后代入①求出y的值解答即可.

3.【答案】A

【知识点】列二元一次方程组

【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，

根据题意得：优+：）7/，

（“X—L）—y

故选：A.

【分析】设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房八客一房空”得出方程组即可.

4.【答案】B

【知识点】列二元一次方程组

【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：

（5%+6y=16

（4x+y=5y+%

故选：B.

【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式

求出答案.

5.【答案】A

【知识点】列二元一次方程组

【解析】【解答】解：设宿舍有X间，学生有y人，可列方程组二：)：2y,

故答案为：A.

【分析】根据两种住宿安排的描述，分别找出宿舍间数、学生人数的等量关系，从而列出方程组.

6.【答案】(1)解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，

俎(x+3y=260

(3x4-27=360,

解得：宜案

答：A型智能机器人的单.价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元

(2)解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：80a4-60b=960,

la、b为正整数,

・..此方程的解为:｛：=?,RU，r=三.

答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8

台；③A型机器人3台，B型机器人12台

【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-请售问题

【解析】【分析】(1)设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据单

价乘以数量等于总价及“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器

人、2台B型机器人，共需360万元”列出方程组，求解即可；

(2)设购买A型机器人a分，B型机器人b台，根据单价乘以数量等于总价及“购买a台A型机器

人的费用+购买b台B型机器人的费用=960万元”列出关于字母a、b的二元一次方程，求出该方程

的正整数解即可得出结论.

(1)解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，

徨［x+3y=260自得产=80

(3x+2y=360，解得：ty=6(T

答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；

(2)解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：80a+60/?=960,

Ta、b为正整数，

・•・此方程的解为：得=?,得

3=43=83=12

答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8

台：③A型机器人3台，B型机器人12台.

7.【答案】D

【知识点】一元二次方程的定义及相关的鼠

【解析】【解答】解：A.3%+2y—1=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误.

B.=0含有根号，不是整式方程，不是一元二次方桂，故B错误.

C.2%+6=0最高次数为1,不是一元二次方程，故C错误.

D./—1=0只含一个未知数》,最高次数为2,且为整式方程，故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据一兀二次方程的定义分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.

8.【答案】D

【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数

【解析】【解答】解：・.”=1是一元二次方程%2-3x+m=0的一个根，

1-3+m=0,解得：m=2.

故答案为：D.

【分析】根据％=1是一元二次方程%2—3x+m=0的一个根，列方程1一3+租=0,解出即可得答

案.

9.【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【辞析】【解答】解：A：%2=0,解得：x=0,不符合题意；

B：%2+1=0,△=0-4=-4<0,无解，不符合题意；

C：x2-x=0,A=l>0,有两个不相等的实数根，符合题意；

D：X2-6X+9=0,△=36-36=0,有两个相等的实数根，不符合题意；

故答案为：C

【分析】根据判别式A=b2-4ac>0,可得方程有两个不相等的实数根，逐项进行判断即可求出答

案.

10.【答案】A

【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【解答】解：•・•第一天揽件2()()件，第三天揽件242件，日平均增长率为x,

贝IJ200(1+x)2=242.

故答案为：A.

【分析】因为平均增长率为x,则第三天揽件量二第一天揽件量x(l+平均增长率)2,依此列出等

式，即可解答.

1L【答案】A

【知识点】一元二次方程的实际应用•百分率问题；列一元二次方程

【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为X,根据题意得：

方程为：144(1一%)2=121.

故答案为：A.

【分析】设平均每次降价的百分率为x,根据基期量x(l士平均增长率p=末期量即可列方程.

12.【答案】A

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：由题意可列方程为x(x—12)=864.

故答案为：A.

【分析】设长为工步，则宽为12)步，利用矩形面积公式列方程解答即可.

13.【答案】1

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)；求代数式的值-整体代入求值

【解析】【解答】解：・・・m,九是方程%2+5%一3=0的两个实数根，

.5—3

+n=—j=-5»mn=—=—3.

/.m2n+mnz—14

=mn(m+n)—14

=(-3)x(-5)-14

=1.

故答案为：1.

【分析】利用根与系数的关系得到巾+几=-5,mn=-3,然后把所求代数式因式分解，再整体代

入求解即可.

14.【答案】-2

【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数

【解析】【解答】解：解：•・♦关于x的一元二次方程X2-3%一。=0有实数根，

・•・这个方程根的判别式4=(-3)2-4x1x(-c)>0,

解得CN-2/

・••最小整数c=-2.

故答案为：-2.

【分析】根据方程根的情况得到4N0,代入数值求出c的取值范围，再找出最小整数解即可.

15.【答案】解：一%—1=0,

・•・由求根公式，得不=甘叵.

・・・m是方程工2一%一1=0的较大根，...抽=苧.

11+V52

m21+75

1+A/5/5-1

=-2-+-2-

=V5.

【知识点】公式法解•元二次方程：求代数式的值-直接代入求值

【解析】【分析】根据公式法求出一元二次方程的根，得到方程的较大根，然后代入代数式计算即可.

16.【答案】11

【知识点】完仝平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)；求代数式的值-整体代入

求值

【解析】【解答】ft?：Va,b是方程X2-3X-1=0的两个根，

a+b=3,ab=-1,

•'»a24-b2=(a+b)2—2ab=9+2=11,

故答案为：II.

【分析】根据根与系数的关系得到a+b=3,ab=-l,然后根据完全平方公式的变形得到(a-b)2-

2而，再整体代入解答即可.

17.【答案】2

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元一次不等式的特殊解

【解析】【解答】解：••・关于”的一元二次方程d+3》+。=0有实数根，

21=3Z-4C=9-4C>0,

解得c<I

所以满足c<X的最大整数值为2.

故答案为：2.

【分析】由题意，先求得b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式”①当b2-4ac>()时，方程有两

个不相等的实数根.②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4acV0时，方程没有实数

根’可得关于C的不等式，解这个不等式即可求解.

18.【答案】解：3(%+4)=(x+4)(x+1),

3(r+4)-(x+4)(x+l)=0,

(x+4)(3-x-1)=0,

解得必=-4,X2=2.

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】先移项，然后提取公因式因式分解解一兀二次方程即可.

19.【答案】(1)二

(2)解：x2-2%-1=0

x2-2x=1

x2-2x+l2=1+12

(x-1)2=2

X-1=鱼或X-1=-y/2

•*»Xi=1+V2»%2=1一企

【知识点】配方法解一元二次方程

【解析】【分析】(1)根据解答过程逐步检验解答即可；

(2)先移顶，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式，再开平方解方

程即可.

20.【答案】⑴解:不是原方程的解，

当x=l时，左边二lx(1-2)=-1；

右边=3

•・•左边彳右边

Ax=l不是原方程的解

(2)解：x2-2x+1=4

(x—I)2=4

x-l=2或x-l=-2

=3,亚=-1

【知识点】配方法解一元二次方程；判断是否为一元二次方程的根

【释析】【分析】(1)根据题意，将X=1代入方程进行计算即可；

⑵先添加一次项系数一半的平方，然后左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解答口J可.

21.【答案】X;X

解：2(X-2)-(X-2)2=0

(x-2)[2-(x-2)]=0

(x-2)(2-x+2)=0

(x-2)(4-x)=0

/.3=2,%2=4

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】本题是解方程的步骤。从解题步骤上口J以看出，小李和小王的解题步骤都有错误，

其中小李的错误，主要是没有考虑当x-2=0时的情况，因此不能在方程两边同时除以x-2；而小王的

错误，主要是在“提取公因式”这一步做减法计算的时候没有变号，正确答案应该是。-2)[2-(工-

2)]=0o因此在解方程的时候要格外注意这两点。

22.【答案】解：因为M+a+/+夕=。6+0+夕+j,

所以M+/一