人教版高中数学必修第二册 平面几何中的向量方法【原卷+答案】

第六章学习单元4平面向量的应用

6.4.1平面几何中的向量方法

6.4.2向量在物理中的应用举例

A级必备知识基础练

1.在RtAABC中,NABC=9（）°4B=8,BC=6,D为AC中点，则cosZBDC=（）

A.—B.-

2525

D.~

C.O2

2.（多选题）下列说法正确的是（）

A.已知ei和e2是两个互相垂直的单位向量,a=2ei+3e2,b=kei-4e2且a_Lb,则实数k=6

B.非零向量ei和e?不共线，若而二ei-e2j?=2ei+e2,而=3e卜6ez,贝ij4B,。三点共线

C.若四边形ABCD满足方+CD=^（AB-而）•尼=0厕该四边形一定是正方形

D.若△A8C是直角三角形则有而•阮二0

3.（多选题）在日常生活中,我们会看到两个人共提一个行李包的情境，假设行李包所受重

力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为Fig,且|FI|=|F2|,FI与F2的夹角为火笈

（0,九）,下列结论正确的是（）

A.e越小越省力越大越费力

B.|F1|的最小值为泉G|

C当外丹时,|Fi|二|G|

•5

D.当。q时,|Fi|二|G|

4.一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为50m,且力F所做的

功W=250y[2J,则F与s的夹角等于.

5.已知A（3,2）,8（-1,-1）,若点P（x,-3在线段AB的垂直平分线上，求x的值.

6.如图所示，在等腰直角三角形ACB中，乙4C5=90°0,0为BC的中点,E是AB上

的一点，且求证:4/)J_CE.

7.某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶，感觉到风从正南方向吹来，而当其速度变为

40km/h时，他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.

B级关键能力提升练

8.0是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若(而-~PC\(OB+OC)=(PC-

~PA\(dA+沅)=0,贝ijO为△ASC的()

A.内心B.外心

C.重心D.垂心

9.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小

船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，正确的是()

A.绳子的拉力不断增大

B.绳子的拉力不断变小

C.船的浮力不断变小

D.船的浮力保持不变

10.在直角梯形48co中,A8〃CDND48=900/8=24。=2。04,点尸是8c边二的中

点.

⑴若点E满足尻=2正,且前二7四+〃而，求z+/z的值；

⑵若点。是线段A尸上的动点(含端点)，求而•方的取值范围.

11.已知两恒力FI=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点4(20,15)移动到点8(7,0).

(1)求Fi,F2分别对质点所做的功的大小；

⑵求FI,F2的合力F对质点所做的功的大小.

12.如图，在正方形ABCD中方是4B的中点,F是边上靠近点B的三等分点工F与DE

交于点M

⑴设前=xBA而，求x+)的值;

(2)求NAME的余弦值；

⑶求DM：ME和AM:MF.

答案：

1.B解析如图建立平面直角坐标系，则8(0,0)人(0,8),C(6,0),0(34).

・,•丽=(-3,-4),反=(3,-4).

又N3QC为丽，反的夹角,

DBDC

cosZBDC=-9+16__7_

\DB\\DC\SxS-25*

2.AB解析已知ei和e2是两个互相垂直的单位向量，设ei=(I,0),e2=(0,l),

又因为a=2ei+3e2,b=keL4e2,所以a=(2,3),b=(Z,-4),

又因为a_Lb,所以2Z=12,解得k=6,故A正确；

非零向量ei和e2不共线,,5荏一玩=3eb6e2;而「5方5-前十而-丽

又直线AB、BD有公共点A所以A,B,D三点共线，故B正确；

AB+而=0=四=反=四边形A8co为平行四边形，

(AB-而)•元=0=砺1ACM角线互相垂直的平行四边形为菱形，故C错误;

LABC中无法确定哪个角是直角，故D错误.故选AB.

3.AC解析对于A,依题意,G=FI+F2,又此|二啊，

2222

W|G|=|FI|+|F2|4-2|FI||F|COS6>=2|FI|(1+COS。),解得|FI|2二0°二.

22(l+cosw)

而。£(0,兀)时,y=cos。单调递减，因此。越小越省力，。越大越费力,A正确；

对于B,0<l+cos。<2,则OF=£：>-IGF,即|Fi|，|G|,B错误;

2(l+C0St/)42

对于C,当0=4时，由此|2二石袅不得|R|2二|G|2,因此|F||二|G|,C正确；

32(l+cosy)

对于D,当日时，由啊2弓名乔得|F代%因此IF1I峥G|,D错误.

22(1+COS0)22

故选AC.

4.-解析设F与s的夹角为a由W=F-s,得25()72=l()x5()xos仇

4C

・nV2

.・COS6=—2.

又。引0,兀］,・・・。二1

4

5.解设AB的中点为M则而=81,-1),由题意可知而二(4-3),而_L方，

贝丽•荏二0,

所以・4(41)+(・1»(・3)=0,

解得x=-.

4

6.证明AD-CE=(AC+~CD)-(CA+AE)

二(而+；而).(。+|右)

=(AC+lCB).(CA+lCB-lCA)

=(AC+逆)•(河+|阿

=卡两2+》画2

因为C4=C8,所以」|石铲+」而F=0,

33

故AO_LCE.

7.解设vi表示20km/h的速度，在无风时，此人感觉到的风速为-vi,实际的风速为v,那么

此人所感觉到的风速为V+(-Vl)=V-V1.

如图，令48二-VI,AC=-2VI,实际风速为v.

8fC

9：DA+AB=两

.*.DB=y-v\.

这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.

a：DA+AC=玩,

DC=v-2vi.

这就是当车的速度为40km/h时，骑车人感觉到的风速.

由题意，得NDG4=45°

：.〉DCA为等腰直角三角形,。4二。。,/。4。=/。。4=45°,

：.DA=DC=V2BC.

：.|v|=20V2km/h.

・•・实际风速的大小是20V2km/h,为东南风.

8.B解析因为（而-PC）（OB+沆）=（）,则（而-0C\（6B+无）=0,所以而2_反2=（）,

所以I加1=1沆I.同理可得1万1=1万即I65|=1而1=1沆I,所以o为AABC的外心.

9.AC解析设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳A8与水平方向夹角为。（（）＜分｝）,则|F|cos

2

•・•当。增大时,cosr减小,

・・.|F|增大.

•・・|F|sin。增大，

・••船的浮力减小.

10.解（1）如图.

由屁二2比,可得前=郎,

所以加=沅+而=河+海=3荏+*荏-而）$而后而,

又EF=/L4B+〃AD,可得见4,〃二・今

所以z+//=--.

(2)(方法一)以A为坐标原点,分别以AB所在直线为x轴,AO所在直线为)，轴建立平面直

角坐标系，

则4(0,0),50,2)网4,0)0(2,2),则刈3,1),

由P是线段Ab上的动点(含端点),可令而力而"e[0,l],

所以而二施二(3⑺，则方=AP-而=(31-2),

所以而­DP=10/2-2r,/e[0,1].

由二次函数性质可得当/=上时取得最小值-白；

当r=l时取得最大值8;

可得丽•加W[--,8

(方法二)取AO的中点M,作MG_LAE垂足为G,如图,

则而-~DP=~PA-~PD=(PM+丽•(而+MD)=PM2+丽•两+MD)+AM•丽=

PM2-AM2=PM2-1,

显然当点P位于点”时,PM取到最大值3,当点。位于点G时,PM取到最小值誓.

可得而•而£[卷8].

11.解⑴荏=(7,0)-(20』5)=(・13,・15),

IVI=FI^=(3,4)«(-13,-15)=3X(-13)+4X(-15)=-99,

M=F2•宿=(6,-5)・(-13,-15)=6x(-13)+(-5)x(-l5)=-3.

・••力F।,F2对质点所做的功的大小分别为-99和-3.

⑵卬二F•荏二(F1+F2)•通

=[(3,4)+(6,-5)]-(-13,-15)=(9,-l)(-13,-15)=9x(-13)+(-l)x(-15)=-117+15=-102.

・•・合力F对质点所做的功的大小为・102.

12.解（1）由题意知，前=而+而屈+：而而+：近，

又加二而+）菽，所以x=-；），=3

23

故x+y=~-+

’236

（2）如图，过点E作EN//BC交A尸于点N,过点A作AH上DE于点、H,

设正方形ABCD的边长为区则AE=BE=ki,BF=ki,

由EN〃BC,得EN/