导数与函数的单调性、极值、最值-2026年高考数学二轮复习

微专题4导数与函数的单调性、极值、最值

高考定位利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择、

填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.

【真题体验】

1.(2023・新高考H卷)已知函数段)=会一出不在区间(1,2)上单调递增，则。的最

小值为()

A.e2B.e

C.e-1D.c-2

答案C

解析因为函数/(x)=ae，-Inx,

所以/(刈=〃8—1.

x

因为函数_/(x)=4e'—Inx在(1,2)上单调递增，

所以7(x)2。在(1,2)上恒成立，

即a廿一120在(1,2)上恒成立,

易知4>0,贝UovWxe•'在(1,2)上恒成立.

a

设g(x)=xe*则g'(x)=(x+l)e\

当x£(l,2)时，g，a)>0,g(x)单调递增，

所以在(1,2)±,g(x)>g(l)=e,

所以1We,即《2l=e-i,故选C.

ae

2.(多选)(2023・新高考H卷诺函数/)=。1g+6+：(4工0)既有极大值也有极小值,

x片

则()

A.Z?c>0B.ab>0

2

C./)+8tzc>0D.ac〈0

答案BCD

解析因为函数/a)=alnx+"+；(aWO),

xx

所以函数危)的定义域为(0,+8),尸尔一(一2c

因为函数/(X)既有极大值也有极小值，

所以关于x的方程ax2—bx—2c=0有两个不等的正实根xi,X2,

"+8ac>0,

>0,">0,

I+%2>0,即a

|X2>0,-2c>o,

Ea

Z?2+8t/c>0,

所以ab>0,故选B,C,D.

ac<0,

bc<0,

3.(2022•全国乙卷)函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间[0,2句的最小值、最大

值分别为()

A.—兀，nB.-3n,71

2222

C.」，7c+2D-3n,K+2

2222

答案D

解析/(x)=cosx+(x+l)sinx+l,x£[0,2TT],

则/'(x)=—sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,[0,2K].

令/(1)=0,解得工=一1(舍去)，或

因为X3=cos；+(；+l)sin；+1=2+1

八3兀、37cI/3兀I[、.37r■.3兀

A)=cos+(+l)sin+1=一,

八22222

又/(0)=cos0+(0+l)sin0+1=2,

/(27C)=COS2兀+(2兀+l)sin2兀+1=2,

所以/Wmax=/(：)=2+：,

/Wmin=/(')=——.故选D.

4.(多选)(2024・新高考I卷)设函数«v)=(x—l)2・(x—4),则()

A.x=3是的极小值点B.当0~<1时，段)</')

C.当1<32时，一4勺(M—1)<0D.当一1<x<0时，J(2-x)>J(x)

答案ACD

解析因为7(x)=(x-l)2(x-4),

所以/(工)=2(工一1)(工一4)+。-1)2=3(工一1)(汇一3),

令/(x)=0，解得X=1或x=3,

当xvl或x>3时，/(x)>0；

当l<x<3时，/(x)v0.

所以函数/(X)的单调递增区间为(一8,1),(3,+8),单调递减区间为(1,3),

故工=1是函数/(x)的极大值点，x=3是函数/(X)的极小值点，所以A正确；

当0Vx<1时，x—x2=x(\—x)>0,

即0<x2<x<\,

又函数段)在(0,1)上单调递增，

所以所以B错误；

当1<X<2时，l<2x—1<3,函数｛X)在(1,3)上单调递减，

所以-4=人3)勺(法―1)勺(1)=0，所以C正确；

当一140时，,A2-X)-AX)

=(2~x—1)2(2—x—4)—(x—l)2(x—4)

=(x-l)2(-x-2)-(x-1)2(A--4)

=(x-1)2(-2X+2)=-2(X-l)3>0,

所以人2-x)》U),所以D正确.

【热点突破】

热点一利用导数研究函数的单调性

I核心归纳

利用导数研究函数单调性的关键

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.

(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.

(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.

考向1求函数的单调区间

1

例1己知/(x)=〃(x-lnx)+,,oER.讨论儿的单调性.

X2

解ZU)的定义域为(0,f(x)=a-a-\^\=(a/_2)(X_1)

XX1XiXs

若4<0,当XG(O,1)时，/(x)>0,於)单调递增,

当。£(1,+8)时，/a)vo,火X)单调递减;

7

①当0<〃<2时，>1,

a

当x£(0,Du!a+E)时，/(x)>0,{x)在(0,1)和［a上单调递增，

当x^l1,1时，/(A)<0,/)单调递减.

9

②当。=2时，'=1,在x£(0,+8)内，/Xr)20,/(x)单调递增.

a

③当〃>2时，0<<1,

a

当xwP，Ju(l,+8)时，/Q)>O,大外在J和(1,+8)上单调递增，

当xj4’1时，以)单调递减.

综上所述，当QWO时，人工)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减；

当0v〃v2时，犬外在(0,1)内单调递增，在I，J内单调递减，在1a内

单调递增；

当。=2时，/)在(0,+8)内单调递增;

当。>2时，/(外在［81内单调递增，在(；”内单调递减，在(1,+8)内

单调递增.

考向2单调性的应用

（n兀

例2（1）（2024•浙江名校协作体联考）已知函数＜x）=sinx+acosx在区间14,2」上是

减函数，则实数。的取值范围为（）

A.(2-1,+8)B.[l,+8)

C.(l-2,+8)D.[-l,H-oo]

（2）（2024•苏锡常镇四市调研）已知/（X）是定义在R上的偶函数，当时，儿Y）=

ev+sinx,则不等式/（2x一l）ve"的解集是（）

11+兀1+兀、

A.[2

2，

1Gl+e]p—兀1+完]

C.I2JD.I22J

答案(1)B(2)D

解析(1)由题意，/(x)=cosx—osinxSO在h'2)上恒成立,

(n叫

即a»cosx=1在[屋2)上恒成立.

smxtanx

因为y=tanx在［4，2）上单调递增,

所以y=tanx＞\,

所以当2）时，（X1＜1,

tanx

所以。21.故选B.

（2）当工。0时，/（x）=ex+cosx,

因为cosx^［—1,1］,

所以，（x）=e*+cosx20在［0,+8）上恒成立,

所以凡丫）在［0,+8）上单调递增.

又因为儿丫）是定义在R上的偶函数，

所以人¥）在（一8,0）上单调递减.

因为X—兀）=/E）=e”，

所以由y（2x—l）＜e呵得一兀＜2%—1（兀，

解得22J.

规律方法1.讨论函数的单调性一般可以归结为参数对不等式解集的影响进行分

类讨论.

2.函数/(X)在区间。上单调递增(或递减)，可转化为/(x)20(或/(x)WO)在上

恒成立.

3.若函数y=/(x)在区间(〃，8)上不单调，则转化为/(x)=0在(小力)上有解(需验证

解的两侧导数是否异号).

4.函数/(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为/(幻>0(或/(x)vO)在

上有解.

训练1(1)(2024・三明调研)函数次x)=x—ln(2x+l)的单调递增区间为()

°]BH3

+T於+T

(2)已知函数/(x)=eW一3,若。=/(ln4),^=7^e2J>则a,b,c的大

小关系为()

\.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

(3)(2024•苏州模拟)已知函数双力=2r+lnx-°在区间[1,2]上不单调,则实数。

X

的取值范围是.

答案(1)D(2)D(3X-10,-3)

解析(1VU)的定义域是〔一I'+8),/(])=]_2=2x：l,

2x+12x+1

令/(x)>0,得

故外)的单调递增区间是+8),故选D.

(2)因为/(-X)=-(—x)2=e,x|—x2=J(x),

所以函数为偶函数，

当x20时，则/(工)=1一/,可得/(%)=——2x,

构建3(x)=/(x)，则8'(x)=e*—2,

令”(*0,解得0Wx〈ln2；

令如)>0,解得x>ln2,

所以9(x)在［0,In2)上单调递减,在(In2,+8)上单调递增,

可得9(x)2s(ln2)=2(1—In2)>0,

即了。)>0在［0,+8)上恒成立,

故/(%)在［0,+8)上单调递增，

又因为e2J=/(-2)=y(2),

K2,J>2>ln4>0,

所以/(2i1)>/(2)>/(ln4),即c>b>a.

(3)g,(x)=2+l+1=*+：+"

XX-XL

・・•函数g(x)在区间[1,2]上不单调,

・・・g，(x)=0在区间(1,2)内有解，且1—8aW0,即。工：，

8

则4=—2「户一2卜+}+；在(],2)内有解,

O

易知函数y=-2x2—x在(1,2)上是减函数,

・\y=-2X2—x的值域为(-10,—3),

因此实数。的取值范围为(-10,-3).

热点二利用导数研究函数的极值

I核心归纳

由导函数的图象判断函数y=/(x)的极值，要抓住两点

(1)由y=/(x)的图象与了轴的交点，可得函数y=/U)的可能极值点.

(2)由y=/(x)的图象可以看出y=/a)的函数值的正负，从而可得到函数y=(r)的

单调性，进而确定极值点.

例3(2024・新高考H卷节选)已知函数/(x)=e、一帆一〃.若危)有极小值，且极小值

小于0,求4的取值范围.

解易知函数/(x)的定义域为R,f(x)=e~a.

当。W0时，/(x)>0,函数/(x)在R上单调递增，无极值；

当々>0时，由/(x)>0,得x>lna,由/(x)<0,得x<]ua,

所以函数7W在区间(-8,In”)上单调递减，

在区间(Ina,+8)上单调递增，

所以/(x)的极小值为/(Ina)=a—a\na—a3.

由题意知a—a\na—a3<0(a>0),

等价于1—Ina—a2<0(a>0).

令鼠。)=1—Ina—a2(a>0),

则g'⑷=」-2。<0,

a

所以函数g(。)在(0,+8)上单调递减，

又现i)=o，故当0<。<1时,g伍)>o；

当时，g(a)<0.

故实数。的取值范围为(1,+8).

易错提醒1.不能忽略函数的定义域.

2/(xo)=0是可导函数J(x)在x=xo处取得极值的必要不充分条件，即/(x)的变号

零点才是/(x)的极值点，所以判断(丫)的极值点时，除了找/(x)=0的实数根xo外,

还需判断,/W在xo左侧和右侧的单调性.

3.函数的极小值不一定比极大值小.

训练2(1)(2024・聊城质检)函数,/)=(2"-1叶》的极值点的个数为()

A.OB.1

C.2D.3

(2)(2024•成都诊断)若函数/U)=X(X+Q)2在x=l处有极大值，则实数。的值为

()

A.lB.-1或一3

C.—1D.—3

答案(1)A(2)D

解析(1)由题意知/(幻=；已'+(2，"e'+；=；e(x—1)+1],

,x

令1)+1,则g(x)=xef

令g'(x)=O,解得x=0,

则函数g(x)在区间(一0%0)上单调递减，在区间(0,+00)上单调递增，

所以g(x)2g(0)=0,

由此可知/(x)20在R上恒成立，函数/(X)在R上单调递增，

所以函数/*)不存在极值点.故选A.

(2)因为/(x)=x(x+〃)2,

所以/(工)=(x+〃)(3x+a),

由函数/Cr)=x(x+〃)2在x=1处有极大值,可得/(l)=(l+a)(3+0=o,

解得a=-1或a=-3.

当a=~\时，/(x)=(x-l)(3x-l),

当时，/a)vo,

当x£(l,+8)时，/(工)>0,

凡Y)在1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以大外在X=1处有极小值，不符合题意.

当Q=-3时，7(x)=(x-3)(3x-3),

当(—8,1)时，/(力>0,

当x£(l,3)时，/(x)<0,

{x)在(一8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减：

所以{刈在x=i处有极大值，符合题意.

综上可得，〃=-3.

热点三利用导数研究函数的最值

I核心归纳

求函数/(X)在[。，句上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(。，6)内的极值；

(2)求函数在区间端点处的函数值次幻，火6)；

(3)将函数共制的各极值与负〃)，大力)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个

为最小值.

例4(2024・武汉测试)已知函数/(x)=o?-4。/+〃，x£[l,4],/(x)的最大值为3,

最小值为-6,则。+人的值是.

答案1f或-？

33

解析由题意可得/。。=朱^用工一3）,l〈rW4,

当。=0时，人工）=6,显然不合题意，舍去；

当6/>0时，令/（x）>0,得3<rW4,

令/㈤<0,得1<〈3,

故人x）在［1,3）上单调递减，在（3,4］上单调递增，且。3）=6—27m川）=力一3a,

44）=瓦即/⑴</（4）,

_1

b-27a=-6,a~|（）

故解得’3则。+人=>.

B=3，|/尸3,3

当。<0时，令/（1）>0,得lWx<3,

令/（1）<0,得3〃W4,

故贝x）在（3,4］上单调递减,在［1,3）上单调递增,

且｛3）=6—27。,J（l）=b-3af44）=仇即｛1）刃（4）,

_1

故27。=3,解j得"—―3a'则,。+6=—?IQ.

b=-6，%=—6,3

综上所述，白+6=1；或-；

易错提醒1.求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小

才能卜结论.

2.当已知函数的最值求参数的值或范围时，要对参数的范围进行讨论求解.

训练3（1）（2024南宁适应测试）已知函数9）=0一1户+加的最小值为一1,则实

数。的取值范围为.

（2）（2024•河南名校大联考）若函数儿丫）=》3—121在区间（〃，。+4）上存在最大值，则

实数a的取值范围是.

答案（1）［0,4-oo）（2）（-6,-2）

解析（1）因为y（x）=（x—1）守十级2,

所以./'（X）=xev+2Qx=Me*+2〃）,

①若心0,则当不£（一8,0）时J（x）〈0,故人x）在（一8,0）上单调递减;当xE（0,

+8）时，/（x）>0,故/（X）在（0,+8）上单调递增；当x=0时，/（X）有最小值/（0）

②若"0,则当—。。时，/(X)-*—8,不符合题意.

故实数〃的取值范围为[0,+°°).

⑵由/(x)=x3-12.r,

得/'㈤=3^-12=3(x-2)(x+2),

令/(x)>0,得xv—2或x>2,

令/a)v0,得一24<2,

则/(%)在(一8,—2)和(2,+8)上单调递增，在(-2,2)上单调递减，

所以/(x)在X=一2处取得极大值，在x=2处取得极小值，

a<-2,

要使函数/(工)=炉一12x在区间(〃，。+4)上存在最大值，则有，

一2<。+4,

解得一6v〃v—2,即实数。的取值范围是(一6,—2).

【精准强化练】

一、单选题

1.(2024♦烟台模拟)函数/(x)=-21nx-x-3的单调递增区间是()

x

A.(0,4-oo)B.(-3,1)

C.(l,+8)D.(0,1)

答案D

缶力+二、2.-3—x2—2x+3—(x—I)(x+3)八

解析f\x)=~—1+=,=,,x>0.

XxzX2

由/a)>0,得O0Y1,・・・/(x)的单调递增区间是(0,1).故选D.

2.(2024•三湘名校联考)已知函数./(幻=33+伍一1)炉+工+1没有极值，则实数

的取值范围是()

A.[0,1]B.(—8,O]U[1,4-oo)

C.[0,2]D.(—8,0]U[2,4-oo)

答案C

解析由/(X)=卜+5-1.2+x+],

得/a)=f+2伍-i.+i.

根据题意得[2(4—l)]2-4W0,解得0W〃W2.

3.(2024・无锡质检)当x=2时，函数/(x)=V+以2一⑵取得极值，则/㈤在区间［一

4,4］上的最大值为()

A.8B.12

C.16D.32

答案C

解析f(x)=3/+2bx—12,

・・・儿丫)在x=2处取得极值，

/./(2)=12+46-12=0,：.b=0t

则人幻二%3—12x,

由/(x)=0,得.丫=±2,加)在［-4,-2］上单调递增，在(-2,2)上单调递减，在［2,

4］上单调递增，

又义—2)=-8+24=16,/4)=64-48=16,

，儿：)max=16,选C.

4.(2024・西安调研)已知函数/(x)=3x4-8x3+6x2,则./(x)()

A.有2个极大值点

B.有1个极大值点和1个极小值点

C.有2个极小值点

D.有且仅有1个极值点

答案D

解析由题知/'(x)=1Zv3-24x2+12x=12x(x2-2x+1)=12x(x-I)2,

因为(x—1)2>0(当且仅当x=l时取等号)，

则当x<0时，/(x)<0,当x>0时，/(x)^0,

所以函数/(X)的单调递增区间为(0,+8),单调递减区间为(一8,0),

所以函数./(X)的极小值点为0,没有极大值点，即函数(丫)有且仅有1个极值点.

5.(2024•宜春调研)若函数gCOnlnx+lN-S—l)工存在单调递减区间，则实数力

的取值范围是()

A.［3,+8)B.(3,+8)

C.(—8,3)D.(—8,3］

答案B

解析函数g(x)=lnx+!x2一3一］)x的定义域为(0,十8),g，a)=l+x—(6—1).

由g(x)存在单调递减区间知gG)<0在(0,+8)上有解，即1+x—(6—1卜0有解.

x

因为函数g(x)的定义域为(0,+°°),

所以x+l22.

x

要使1+工一(〃-1)<0有解，只需2〈6-1,即b>3,所以实数力的取值范围是(3,

x

+°°).

6.已知〃=ln2,力=T，。=1,则下列结论正确的是()

3e

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<b<cD.c<a<b

答案C

解析设危I」“％,。)，

x

Lx-Inxi_inY

则1(x)=x=；,

X2T

当x£(0,e)时,/(x)>0,/U)单调递增；

当x£(c,+8)时，/(»<(),段)单调递减.

121

a=\n2=21n2=Jn2=Jn4=44),

又力」?=/(3),c=l=/(e),e<3<4,

3e

且於)在(e,+8)上单调递减，

所以/(4)J(3)v/(e),所以

7.(2024・长沙调研)若函数g(x)=I"”在区间上+。。)”£1<)上存在极值，则/的最

x-r-1

大值为()

A.2B.3

C.4D.5

答案B

一Inr]+Tnx

解析函数鼠x)=।的定义域为(0,+°°),g'(x)=%，

x+1(x+1)2

令於)=1+1一Inx,

x

由于函数g(x)在区间[Z,+8)(/£N")上存在极值.

则函数/U)在[z,+8)(fWN*)有可变号零点,

由于x>0,则f(x)=-1—1V0.

Jrx

所以加)在(0,+8)上为减函数,

d4.9Ine4—In27〃5..Ine5—In256In243—In256

又火3)=-足3=>0,/(4)=Tn4=<<0.

33444

所以存在唯一xo&(3,4),使得｛xo)=O,

所以当x£(O,xo)时，大丫)>0,当xWQo,+8)时，火X)〈O,

所以函数g(x)在(0,xo)上单调递增，在(xo,+8)上单调递减，所以要使函数g(x)

在区间/，+8)«£N")上存在极值，则，的最大值为3.

1

二、多选题

8.(2024•新高考II卷)设函数儿丫)=2%3—3收+],则()

A.当a>\时，火X)有三个零点

B.当。<0时，x=0是4丫)的极大值点

C.存在a,b,使得x=6为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在〃，使得点(1,川))为曲线>=小)的对称中心

答案AD

解析由题可知，/(x)=6x(x—〃).

对于A,当。>1时，由/。)<0得

由/(x)>0得x<0或x>a,

则/(X)在(-8,0)上单调递增，在(0,4)上单调递减，在5，+8)上单调递增，

且当X->—8时，/(x)->—8,y(o)=1,J(a)=—«3-|-KO,

当Xf+8时，/(x)f+8,故/(x)有三个零点，A正确；

对于B,当。<0时，由/(x)<0得a<x<0,

则/(x)>0得x>0或x<a.

则/(X)在(-8,4)上单调递增，在Q0)上单调递减，

在(0,+8)上单调递增，故x=0是人工)的极小值点，B错误；

对于C,当+8时，/(x)f+8,当工->—8时，/(x)f—8,故曲线必

不存在对称轴，c错误；

对于D,/(x)=2v3-3^2+1=2[Y-2]3-^2[X-I+1-a^,

令尸“一；

则/㈤可转化为g«)=2户一:岛+1一1

由y=2t3—\2t为奇函数，

且其图象关于原点对称，

可知g(。的图象关于点卜一力对称，

则段)的图象关于点I)1—；)对称，

故存在。=2,使得点(1,火1))为曲线y=/(x)的对称中心，D正确，故选AD.

9.(2024佛山二模)已知函数/(》)=已'—32—1,对于任意的实数〃，b,下列结论一

定成立的有()

A.若。+力>0,则/(〃)+/(〃)>()B.若。+力>0,贝(/(〃)一/(一力)>0

C.若/(〃)+/®>0,贝iJ〃+3>0D.若/(a)+/S)<0,则a+XO

答案ABD

x2x

解析,/W=e—*x—1,则f(x)=e—xf

令跃x)=er—x,则g*(x)=er—1.

令g'(x)v。，得x〈0,令g'(x)>0,得x>0,

所以g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，故g(x)2g(0)=1,即

rw>o,

所以大外在R上单调递增，且/(0)=0.

若。+6>0,则心一乩所以/(〃)>/(一刀，故B正确；

15一所一1

人份+负-6)=心一；〃-1+12J=9+eP_〃_2,

令h(b)=d+ef—a—2,则1(6)=e〃一e—"一2b,令u(b)=l(b),则〃@=心+片

「220,

当且仅当9=。"，即6=0时，等号成立，

所以”3)在R上单调递增，而〃(0)=〃(0)=0,

故〃3)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,故/7(b)2M0)=0,

所以大与+人一份20,即负〃)+人份刃(〃)一八一切>0,故A正确；

若人。)+/3)<0,则如0<一处)勺(一3,所以。<一儿即。+6<0,故D正确；

设7(c)=-/S),若C<a<一b,则/(c)=-/S)v/(a)满足/(4)+/S)>0,

但。+*0,故C错误.

三、填空题

10.(2024・泰安质检)设〃WR,若函数y=e'+at,x@R有大于零的极值点，则〃

的取值范围是.

答案(一8,-1)

解析,•y=^-\-ax,/.y=ev+a.

由题意知ev+a=0有大于0的实根，

由5'=-4,得4=-e\

Vx>0,/.er>1,Aa<—\.

11.(2024•开封二模)已知函数於)=ex+x,g(x)=31，且/(〃?)=g(〃)，则〃一〃z的最

小值为.

7

答案^(1-ln2)

解析由/(〃7)=g(〃)，得呼+口=3〃,

化简整理得3〃一3〃?=d"—2m.

令〃(〃?)=ew—2m(m£R),则h\m)=em—2,

令1—2=0,解得加=ln2.

当加£(—8,In2)时，(⑼<0,

即力(〃7)在(-8,In2)上单调递减；

当wG(ln2,+8)时，h\m)>0,

即僦加)在(In2,+8)上单调递增.

即〃(〃?)min=〃(ln2)=2—21n2,

2

故(〃一m)min=3(l—In2).

12.已知函数/(x)=xlnx+〃2有两个极值点，则用的取值范围是.

皿f-1,ol

答案IeJ

解析由题意，令/(1)=1+111%+〃7守=0,

即一加=1+由“有两个不相等的正实根，

ev

i-|-|ny,-1-Inx

所以y=?与g(x)=在(0,+8)上有两个交点，则g，(x)=x,

e'o'"

记力(x)——Inx—1,则〃(x)在(0,十但)上单调递减，且力(i)—o,

X

当x£(0,1］时人(x)20