第7节 勾股定理-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）

第七讲勾股定理

【学习目标】

1.掌握勾股定理的作用：

(I)已知直角三角形的两边求第三边。

(2)已知直角三角形的一边，求另外两边的关系。

2.根据情境或条件构造出直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题，充分体现数学学以

至用的特点。

【基础知识】

1.如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么

a2+b2=C2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理是数形结合的典范，当三角形有一个直角这一“形”的特征时，就可以得到三边

的数量关系.

3.运用勾股定埋进行计算时，除了掌握公式c♦az+b?外，还应掌握它的几种变式，即a2=c2

一b2;b?=c2—a?.总之，己知直角三角形的两条边的长，就可以第三边的长.

【考点剖析】

考点一：勾股定理的简单应用

例1.(1)在△ABC中，ZC=90°,BC=2,AC=2g,则A8=.

【答案】2百

【详解】

解：在AABC中，ZC=90°,BC=2,AC=2&,由勾股定理得：AB=7AC2+BC7=

P+Q夜产=26.

故答案是：25/3.

(2)已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和3,则斜边长为.

【答案】历

【详解】

解：•・•直角三角形的两直角边长分别是1和3,

斜边=712+32=Vfo，

故答案为：Vio.

(3)直角坐标系中有一点尸(-2,3),。为坐标原点，则0尸=.

【答案】V13

【详解】

解：1(-2)2+32=岳,

故答案为：历.

(4)如图，AABC中，ZACB=90°,分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为Si,

S2,若Si=2,S2=5,贝!)BC2=.

【答案】3

【详解】

解.：VZACB=90°,

工AC2+BC2=AB2>

2

S,+BC=S2,

2

BC=S2—S1=5-2=3,

故答案为：3.

考点二：勾股定理的证明

例2.三国时代东吴数学家赵爽(字君卿，约公元3世纪)在《勾股圆方图注》一书中用割

补的方法构造了“弦图”(如图1,并给出了勾股定理的证明.已知，图2中涂色部分是直角

边长为a，b,斜边长为。的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理.

b

（图1）（图2）

【答案】见解析

【分析】

根据总面积二以C为边的正方形的面积+2个直角边长为〃泊的三角形的面积;以b为上底、

(a+b)为下底、高为b的梯形的面积+以a为上底、(a+b)为下底、高为a的梯形的面积，据止匕

列式求解.

【详解】

证明：总面积S=<?+2xgaZ?=+〃+£>)•/?+g(〃+a+/?)•〃

:.c2=a2+b2

考点三：勾股定理与折叠问题

例3.如图，将等腰直角三角形A3C(NA3C=90。)沿£尸折叠，使点4落在3。边的

中点A处，BC=6,那么线段AE的长度为

【答案】D

【详解】

解：由折叠的性质可得AE=AE,

:△ABC为等腰直角三隹形，BC=6,

AAB=6,

「Ai为BC的中点,

.'.A|B=3,

设AE=AiE=x,则BE=6-x,

在RsAiBE中，由勾股定理可得32+(6-x)Lx?,解得x二:，

故选：D.

例4.己知，如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边A。使点。落在BC

边的点E处，已知A8=8c7〃，BC=10cm,求EC的长.

【详解】

VAF=AD=10

•••由勾股定理得8户=〃^^4^=6，FC=BC-BF=4.

设EC=x,则£F=OE=8—x.

•••由勾股定理得

EC2+CF2=EF2

/.x2+4?=（8-x）2

解得工=3

・・・EC的长为3.

【真题演练】

1.在△A3。中，ZA、DB、NC的对应边分别是。、b、c,若NA+NC=90。，则下列

等式中成立的是（）

A.a2+b2=c2B.b2+c2=a2C.a2+c2=b2D.c2-a2=b2

【答案】C

【详解】

解：•・・在△ABC中，Z4+ZC=90°,

AZB=90°,

・•・△ABC为直角三角形，

则根据勾股定理得：a2+c2=b2.

故选：C.

2.在平面直角坐标系中，点。（3,4）到原点的距离是（）

A.3B.4C.5D.7

【答案】C

【详解】

解：•・•P（3,4）,

・•・点P到原点的距离二732+42=5

故选：C.

3.如图所示，在等腰Rt&43C中，NA8C=90。，BA=BC=\0,直线/过点从分别过点A、

。作直线/的垂线，垂足分别为七、F,若A£=8,则CF的长为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【详解】

,?ZABC=90°,

：./ABE+NC8Q90。.

•・・AE_L/,CF_U,

ZAEB=ZBFC=90°,

・•・NA8E+N8AE=90。，

；・/BAE=/CBF,

在AARE和aBC尸中，

NAEB=NBFC

•ZBAE=ZCBF,

AB=BC

:.△ABEmABCF(AAS),

，AE=8r=8,

・•・CF=<BC?-BF?=7102-82=6，

故选：B.

4.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，ADLBC

于点。，则AD的长为()

37

A.1B.2C.-D.-

23

【答案】B

【详解】

解：由勾股定理得：BC=A/43*S7+3?=5>

SMBC=4x4-^xlx2--1x4x3-^-x2x4=5,

：.-BCAD=5,

2

・•・AO=2，

故选；B.

5.有一根长33厘米的木棒（粗细忽略），木箱的长、宽、高分别为24厘米、18厘米、16

厘米，这根木棒理论上（填“能''或"不能”）放进木箱.

【答案】能

【详解】

解：由题意得当木棒斜放在木箱上时，如图所示：

，AB=24cm,BC=18cm,CG=16cm,CG±AC,ZABC=90°,

•••在Rt/kABC中，AC=xlAB2+BC2=30cm，

・•・在R（AACG4'，AG=VAC2+CG2=34cm，

V34>33,

••・这根木棒理论上能放进木箱；

故答案为能.

7.在△A8C中，NC=90>,若c=3,则〃+〃+/=.

【答案】18

【详解】

解：在“8C中,ZC=90°,

：,a2+b2=c2,

:.cr+^+c2=（r+c2=2c2,

Vc=3,

：.a1+b2+c2=2x32=lS.

故答案为：18.

8.已知一个直角三角形的两边长分为4和3,则它的斜边长为.

【答案】5或4

【详解】

解：当4是直角边时，斜边长=庐不=5,

当4是斜边时，斜边长=4,

故答案为：5或4.

9.町“13。中，/。=90。,47=5,8。=12,。为8。边上的一点，将aABC沿AD折

叠，使点C落在边的点石处，则△£>£》的面积为.

【答案】y

【详解】

解•：由折叠的性质得：AC=AE=5,ZBED=90°,

AB=dAC、BC2=6+122=13,

..BE=AB-AE=13-5=8,

设CT>=x,贝lJ2D=l2-x,DE=x,

在△3QE中，BE2+DE2=BD1.

则82+V=(i2-x)2,

解得：x=—,

3

・•・DE=—,

3

G1,、L"110o40

…S=-DE・BE=-x—x8=—，

WLB2233

40

故答案为：y.

10.如图，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为S,S2,S3,

【详解】

解：VZACB=90°r

，勾股定理得.AH^AC^HC2.

・・.S3=SI+S2=9+16=25,

故答案为：25.

11.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则下列关于面板的等

式：①SA=S8+SC；②S.=S「+SG+S8；@SB+SC=SD+SE+SF+SG,其中成立

的有（写出序号即可）.

【答案】①②③

【详解】

解：由勾股定理和正方形的性质可知：SA=SB+SC,SB=SD+SE，Sc=SF+SGt

:.SA=SB+Sc=SF^-SG+SBtSB+Sc=SD+SESF+SG,

故答案为：①②③.

12.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△A3C如图折叠，使点A与点8重合,

则DE的长是________.

【答案】—

4

【详解】

解：,直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,

/.AB=10,

又根据折叠的性质，

：.AD=DB=5,AE=BE,ZADE=90°,

设=则=CE=8-x^

25

在RtZ\C8E中，BE2=BC2+CE2，即f=6?+(8-,解得x=一

4

在中，DE=>IBE2-BD2=—,

4

故答案为：一.

4

13.如图，在4x5的网格中，最小正方形的边长为1,4均为格点（最小正方形的

顶点）.

T---1

1D:

♦一T

II

5

I

图2

（1）如图1,在网格中画出一个以48为一边且与△A3C全等的格点三角形，3c的

面积为.

（2）如图2,在线段A3上画出一点P，使CP।最小，其最小值为.

【答案】（1）画图见解析，3；（2）5

【详解】

解：（1）如图1中，△AZ?。，A4用7，AAA/y即为所求，

△A3C的面积为』x3x2=3.

2

（2）如图2中，点乃即为所求.

PC+PD的最小值=巧邛=5.

图2

14.如图，某斜拉桥的主梁4D垂直于桥面MN与点D主梁上有两根拉索分别为A8、AC.

（1）若拉索ABJ.AC,AB、8C的长度分别为10米、26米，则拉索AC=米；

（2）若48、AC的长分别为13米，20米，且固定点仄C之间的距离为21米，求主梁4。

的高度.

【详解】

解：（1）VAB1AC,AB、8C的长度分别为1。米、26米,

••AC=yjBC2-AB2=Ajf262-102=24（米），

故答案为：24米；

（2）VBC=21,

：.BD=2\-CD,

•?ADA.BC,

工AB2-BD2=AC2-CD\

A132-B£）2=202-（21-BD）2,

：.BD=5,

：・AD=1AB2_Blf="132_52=12（米）•

【过关检测】

1.两个直角三角形拼成如图所示的图形，则/的值为（）

A.6B.3C.y/5D.5

【答案】B

【详解】

解：在直角边都是1的直角三角形中，设斜边为y,则由勾股定理得：

产=[2+]2=2,

同理可得：x2=r+l2=2+l=3.

故选：B.

2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是宜角三角形

若正方形A、B、C、Dflt面积分别为3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（）

【答案】B

【详解】

解：设中间两个正方形的边长分别为x、y,最大正方形E的边长为z,由勾股定理得：

x2=3+5=8；

y2=2+3=5；

z2=x2+y2=13.

故最大正方形E的面积是Z2=13.

故选：B.

3.一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3,另一直角边长为9,则斜边长为（）

A.15B.12C.10D.9

【答案】A

【详解】

解：设斜边长为x,则一直角边长为x-3,

根据勾股定理得92i（x-3）2=x2,

解得x=15.

故选：A.

4.直角三角形的两条直角边的长分别为6和8,斜边上的高是（）

A.10B.2.4C,4.8D.1.2

【答案】C

【详解】

•・•直角三角形的两条直角边的长分别为6和8,

•••斜边为56?+82=10・

设斜边上的高为〃，

—x6x8=-x10/2,

22

/z=4.8,

故选：C.

5.如图是2002年8月在二匕京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与

中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm,每个直角三角形较短

的一条直角边的长是5cm,则小正方形的边长为()

B.5cmC.6cmD.7cm

【答案】D

【详解】

解：设大直角三角形的两直角边分别是acm、bcm(a>b),斜边是ccm,那么有a2+b?=c2,

•・•大正方形的边长是13cm,每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm,

a2+52=132,

解得a=±12(舍去负值)，即a=12cm,

，小正方形的边长为:a-b=12-5=7cm.

故选：D.

6.如图，长方形纸片A8CO中，AB=6cm,BC=8cm,现将其沿Eb对折，使得点C

与点A重合，则Ab的长为()

23

D.—

4

【答案】A

【详解】

解：设AF=xcm,则DF=(8-x)cm,

•••矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得点C与点A重合,

・・・DF=DF

在RSAD'F中，VA^AD^+DT2,

/.x2=62+(8-x)2,

解得：X=—,

4

故选：A.

7.如图，在三角形纸片ABC中，ZC=90°,AC=18,将NA沿DE折叠，使点A与点B

重合，折痕和AC交于点E,BC=12,则EC的长为.

【详解】

解：・・,心18,

：.BE=AE=\S-EC,

工可得反;2+122=(18-石。「

解得：EC=5,

故答案为：5.

8.在aABC中NC=900,a=6cm,b=8cm,则c=cm.

【答案】10.

【详解】

解：在AA3c中，ZC=90°»a=6cm,b=Scm,

c=&i2=Jb2+82=1()•

故答案是：10.

9.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289,中间所夹三角形为直角三角形，见字母

A所代表的正方形的面积为.

【答案】64

【详解】

解：•・•正方形PQED的面积等于225,

:.即Pg2=225,

•・•正方形PRGF的面积为289,

・"心=289,

又APOR为直角三角形，艰据勾股定理得：

PR2=PQ?+QR2,

QR?=PR-PQ1=289-225=64,

则字母A所代表的正方形的面积为64.

故答案为：64.

10.如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要

沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是.

【答案】25

【详解】

解：由题意得：

①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示:

/.BD=I5,AD=20,

•••在RtZkADB中，AB=dBD?+AD2=25；

②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示:

，BD=25,AD=10,

・••在Rt/kADB中，AB=+=4725•

•・,V725>25，

•••一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是25,

由长方体的特征可得其他途径必定比①@两种更远，故不作考虑；

故答案为25.

II.如图，已知在RSABC中，ZACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆，面

积分别记为，，S2,则S|+S2等.

【答案】271

【详解】

解：在R3ABC中，ZACB=90°,则由勾股定理知，AC2+BC2=AB2.

VS,=1^-(—)2=-TTAC\S.=-7TBC2,AB=4,

122828

222

・•.5,+52=-^(AC+BC)=-7TAB=2^

88

故答案为：27c.

12.如图，四边形ABC。是正方形，AE_LM：于点E，且AE=5,BE=T2,则阴影部

分的面积是.

BC

【答案】139

【详解】

解：・・・AE_L属于点£

/.ZAEB=90°

在RSABE中，AE=5,BE=12,

,AB二疹芯=13，

21

**«Sw=S正力形ABCD-SAABE=13-------x5x12=139.

2

故答案为：139.

13.如图,在△ABC中，AC=13cm,AB=\5cmtBC=14an