高考数学-函数的概念及其表示方法 （学生版）

基本初等函数

函数的概念及其表示方法

1.下列图象表示函数关系y=/(x)的是()

2.(教材经典题改编)(多选)下列各组函数是同一个函数的是()

A./(r)=x2—2r—1与g(s)=—-2s-1

1一

B.Ax)=x-\与g(x)=—_l

C.与g(x)=(/)4

D.7(x)=x2与g(#=在

3.(教材经典题改编)函数＞=上二的定义域为______

x—1

4.那么/(1)+/(—3)=

5.(教材经典题改编)给定函数/(x)=-x+l,g(x)=(x-1)2,x£R,〃G)=

min{/(x),g(x)},则相(x)=.

聚焦知识

1.函数的概念及表示

设4B是两个________的实数集，如果按某个确定的对应关

系/,使对于集合力中的每一个元素x,在集合8中都有—的

概念元素J和它对应，那么称/：4-*8为从集合力到集合8的一个

函数，记作y=/(x),其中将所有的输入值x组成的集合

A叫他函数y=/(Y)的,将所有的输出值y组成的集合叫做

龙考檄号

函数的一

(1)函数的三要素：_______、_______、_____.

三要素(2)如果两个函数的________相同，并且________完全一致，

那么这两个函数为同一个函数

表示方法(1)解析法(2)列表法(3)图象法

注意：

(1)直线与函数y=/(x)的图象至多有1个交点.

(2)在函数的定义中，有两个非空实数集力，B,力即为函数的定义域，值域

为B的子集.

2.定义域的求法

(1)分母不为0;偶次根式被开方数非负；零指数塞底数不为0;实际问题

有意义；对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.

(2)复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全

相同.

题型突破思维拓展

举题说法

目标B1对函数概念的理解

例1(1)(2026・潍坊期初)已知集合4=&1,

2‘B=

/-b0,1,2,4〃若则下列对应关系为力上的一个函数的是()

1

A.y=------B.y=log2XC.y=x2D.y=2x

X—1

(2)已知集合/={x|0WxW4},集合8={x|0Wx<2},下列图象能建立从集

合4到集合8的函数关系的是()

龙考檄号

变式1(1)已知集合N={x|0WxW2},8={x|0WxWl},下列能表示从4

到B的函数的是()

A./：B./：x-y,y=2x

C.xy,y=2xD./：x尸产x

(2)(多选)下列说法正确的有()

|x|小x>0,

A.函数o(x)=」与〃(x)=(0,x=0,表示同一个函数

x|-1,x<0

B.函数v(x)=x2-2x+2与〃(/)=於一2z+2是同一个函数

C.函数歹=/(x)的图象与直线上=2026至多有一个交点

D.已知函数/(x)=|x—1]—x,则彳g))=0

目帧⑸函数的定义域

x+1

例2(1)函数;(%)=^=+(》一1)。的定义域为

\3x~2

(2)若函数—的定义域为R,则实数。的取值范围是()

ylaj^-4ax-\-2

(3)已知函数人x+1)的定义域为(-5,0),则火2工一1)的定义域为()

A.(-4,1)

C.(-9,1)

<总结提炼》

函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式j，=/a),而没

有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数X的取

龙考檄号

值集合.

变式2(1)若函数/(》)=上二的定义域为则历=()

恸一3

A.[2,4-oo)B.(3,+8)

C.[2,3)D.[2,3)U(3,+«>)

.心)

(2)(2025•太原一模)已知函数歹=大统-1)的定义域是[-1,3],贝幼=

由+2

的定义域是()

A.(-2,5]B.(-2,3]

C.[-1,3]D.[0,2]

(3)已知函数的定义域为R,则实数。的取值范围是()

加+依+2

A.[0,8]B.[0,8)

C.(0,8]D.(0,8)

目帧闺函数的解析式

例3(1)已知/f+lj=lgx,求.危).

(2)已知4r)是一次函数，且满足3/a+l)—2/(x—1)=2工+17,求•/).

(3)己知/(x)+2/(一1)=3/—x,求/(x).

，总结提燎A

龙考檄号

方法一「IIfill巨如豕丽/））=冗",而■蒋元5友营'

配藻6二I1:成关于以外的解析式.然后以X替代g（x）.

〔便彳I抓X）的解析式

）存弦还拓X）面苗丽喃送,*常:

「方法二一）1g（x），从中求出X=9⑺，然后代入解析式:

［向短一］j求出《）•再将/换成X,得到/（X）的解析I

:式，要注意新元的取值范围

先设出含有待定系数的解析式.再利用

方法，，

待定系数宸I恒等式的性质,或将已知条件代入.建

立方程（组）.通过解方程（组）求出相应

的待定系数

已知关于佝与/由或A-X）的云析决行

1方法四1

〔解函程组法〕：根据已知条件再构造出另外一个等式

组成方程组,通过解方程组求;16X）

变式3（1）已知二次函数4丫）满足y（2x）+Wx—D=10N—7X+5,求大川））.

（2）已知儿丫）+2毛

=3x—2,求人x).

目标句分段函数

例4（1）设函数/（'）=不；；：0三°，若/（0=1,则。=

（2）已知函数段）的定义域为（0,+8）,Vx,yE（0,4-00）,=Ax)

一/什）+1,且=2,则/(1024)=()

A.-10B.-9

龙考檄号

C.-7D.-6

<总结提炼A

(1)根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其

次选定相应的解析式代入求解.

(2)抽象函数求函数值，要合理赋值.

,+2,xW0,

变式4(1)已知函数次x)=I1若.烦0)=2,则。=()

xH--，x>0,

x

A.0或1B.-1或1

C.0或一2D.一2或一1

(2)设函数=则不等式/(x)+./(x+2)>2的解集为

随堂内化

\'4-x2

1.函数/(x)=的定义域为()

A.[-2,2]B.(-oo,-1)U(-1,2]

C.[-2,-1)U(-1,2]D.(-2,2)

设加烂青？力”,

2.则/(9)的值为()

A.9B.11

C.28D.14

3.若函数y=/U)的定义域为[-8,1],则函数g(x)='"+1)的定义域是

x+2

4.设./(X)为一次函数，且/(/(x))=4x—1.若/(3)=-5,则/(x)=

5.已知若贝IJ实数的取值范围是

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

龙考檄号

1.下列选项中表示同一个函数的是()

A.火幻二^0与g(x)=1

B♦/(x)=x与g(x)=—

x

c./(x)=>(x—l)2与g(x)=x—l

x

立小)=口：六、与四)=(忖7°'

1x=0

2-若函数危尸宸则心尸()

A.2B.9

C.65D.513

3.若函数｛x)=lg(a/—2'+编的定义域为R,则实数。的取值范围为()

A.(-1,0)B.[-1,1]

C.(0,1)D.(1,+8)

4.设函数/(x)的定义域为。，若/(/(x))=x,则称/㈤为“循环函

数”.下列函数中，不是“循环函数”的是()

A.J(x)=5-xB.J(x)=5-\-x

1x+1

C・Ax)=~~D.Ax)=

x2x-l

二、多项选择题

5.(2025•龙岩模拟)己知函数/(五+l)=x+2亚则()

A.Hx)=N—l(x£R)

B.7(x)的最小值为一1

C.火2工一3)的定义域为[2,+8)

D.J的值域为[0,+8)

6.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之

函数/(%)=心:翁懿，称为狄利克雷函数，则下列说法正确的是()

A./⑴的值域为[0,1]

龙猪檄等

B.火x)的定义域为R

C.VX^R,y(/(x))=1

D.任取一个非零有理数r,/(x+C=/(x)对任意xER恒成立

三、填空题

7.若函数.信)=工一1的定义域为[0,4],贝!函数丁=/2)+[/(切2的值域为

8.已知函数./U)的定义域为(一%—2)，则函数g(x)=/(x—l)+正五的定义

域为.

9.已知函数,1-1)=炉+!，则)=_m_；若函数式¥)满足2g(x)+

g£广则以2)=一•

四、解答题

10.