2027年高考数学模拟试卷1（新高考Ⅰ）

2027年高考数学模拟试卷1（新高考I）

一.选择题（共8小题）

I.已知等差数列{如},正项等比数列{/?〃},则是“存在正整数No,当〃〉M）时，加>"'的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.若命题“对任意的%>0,%+：-771>0都成立"为真命题，则小的取值范围为（）

A.{机依22}B.{/川〃?>2}C.{词加W2}D.{/»|w<2}

3.已知,f（x）为偶函数，当x20时，/（X）=1+机J”-1,若关于x的方程/（%）-（a+8）/（x）

,3—2x,0<x<l

+8〃=。恰有4个不同的实根，则实数。的取值范围为（）

A.（3,+8）B.（3,+8）U{1}

C.（3,8）U（8,+8）D.（3,8）U（8,+«>）U{1}

4.在△ABC中，ZABC=30a>AB=百,BC=3,则然•启=（）

93

3-c3a

A.B.2-2-

5.要得到函数），=g（x）的图象，只需先将函数），=/（.丫）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的万（纵坐

标不变），再将所得图象上的所有点（）

C.向左平移g个单位D,向右平移£个单位

66

6.在等差数列｛〃〃｝中，42+47+412=21,则45+49=()

A.7B.IIC.14D.16

7.已知圆锥FO的母线长为2,衣面积为3ir,O为底面圆心，A台为底面圆直径，C为底面圆周上一点,

N8OC=60°,M为PB中点,则△MOC的面积为（）

代/151515

A.——B.-----C.—D.—

8448

8.用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位数的个数为（）

A.120B.60C.48D.100

二,多选题（共3小题）

（多选）9.已知a、p表示不同的平面，〃人〃表示不同的直线，则下列命题中正确的有（）

A.若机_1_仇机ua,则。_10

B.若/〃_La,〃_La,则/〃〃〃

C.若加〃〃，〃_La,a_L0,贝J〃?〃廿

D.若加〃a,〃〃0且a_L0,则m//n

（多选）10.己知AABC的内角A、3、。所对的边分别为。、力、c,下列说法正确的是（）

A.若siM>sin4,则A>4

B.若次+川-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形

C.若acosB-bcosA=cf则△4EC一定为直角三角形

D.若acosA=bcosB,则△ABC一定是等腰三角形

（多选）11.将25个数排成5行5列：

«12a13a14«15

a21a22a23a24a25

a31a32a33a34a35

a41a42a43a44a45

051a52a53a54Q55

已知第一行ail,412,413,an,〃I5成等差数列，而每一列"U，叫,（I3j，〃4j,asj（都成公比

为9的等比数列.若424=2,441=-1,443=5,则下列结论一定正确的是（）

A.。44=5。42B.q=±2

厂_8n_11

C.a22,O44-2D・。1「。55一一彳

三.填空题（共3小题）

12.若乙404=120。，直线。〃。4,。与06为异面直线，则〃和03所成的角的大小为

13.椭圆4Cx-a>2+）?=4与抛物线）,2=2x有公共点，则。的取值范围是.

14.已知函数/（x）=，・2lnx在点、（1,7（I））处的切线方程为.

四.解答题（共5小题）

15,已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,。为锐角，满足。=acosC+csinC.

（1）求8的大小；

373

（2）在线段4。的延长线上取一点人使得BF=3,CF=\旦△BCF的面积为一，求线段八。的长度.

4

X2y2

16.已知椭圆C：/+言=l（Q>b〉O）,以C的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过

点、D（1,0）作直线/与C相交于P,Q两点，与y轴交于点E.

（1）求C的方程及离心率；

（2）若而+访=0,求直线/的方程.

17.某公司在一种传染病毒的检测试剂叩上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型4和

23

B.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂A和8合格的概率分别为和二，第二次枪测时两类试

35

32

剂4和8合格的概率分别为I和不已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格.

（1）设经过两次检测后两类试剂A和8合格的种类数为X,求X的分布列；

（2）若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对

其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高

危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为〃（OVpVl）且相互独立，该家庭至少检测了3个人

才可以确定为“感染高危户”率为了（〃），若该家庭被确定为“感染高危户”，且当p=p。时，/（〃）最

大，求网的值.

18.如图，在三楂台A/6C-4/力Ci中，CCi_L平面A/3C,AA\=A\C=BB\=BiC=2,CCi=l.

（1）若4CL8C,求三棱台的体积.

V6

（2）若直线A\C与平面所成角的正弦值为二，

（i）求cosNACB.

（ii）三棱台ABC-MByC\的顶点中，同在一个球面上的点最多有几个？请任选一个包含最多顶点的

球面，计算该球的表面枳S.

（注；若选择多个球面分别计算，按第一个结果给分〉.

19.已知函数/（x）2的部分图象如图所示.

(1)求/(X)的解析式；

(2)若/(x)+f(2A)>6x+m对xWR恒成立,求机的取值范围.

2027年高考数学模拟试卷1（新高考I）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案ADDDDCAD

二.多选题（共3小题）

题号g1011

答案ABACBD

一.选择题（共8小题）

I.已知等差数列｛如｝,正项等比数列｛d｝,则“IV切”是“存在正整数M）,当〃〉M）时，仇>“〃”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】等差数列与等比数列的综合；充分条件必要条件的判断.

【专题】分类讨论：函数思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解.

【答案】A

【分析】由"〈历，可得q>l,根据指数函数增长速度大于一次函数，可判断充分性，举反例判断必

要性不成立，即可得答案.

【解答】解:由题意可得（n-1）d=dn+a\-d,

即当“WO时.〃“是关干〃的一次函数.

当d=0时，m是常数函数；

又因为正项等比数列｛加｝,

当〈机”时，则有,/>1（q为公比），

所以bn=b\cfl'\

即从是关于q有指数函数，

当4>1时，瓦单调递增，

又因为指数函数增长速度大于一次函数，

所以存在正整数M,当时，bn>an,即充分性满足；

当。〃是单调递减的一次函数，OVgVl时，

n

如：an=2~n,bn=(1),

当n>2时，加恒成立，

也满足存在正整数Nu,当〃>Nu时，brl>afl,

此时b\>b2,

所以必要性不满足，

所以“bl〈b2”是“存在正整数M),当〃,M)时，bn>anf，的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查了等比、等差数列的性质，考查了充分性、必要性的判断，属于中档题.

2.若命题”对任意的工>0,%+"-机>0都成立"为真命题，则机的取值范围为()

A.B.C.{川〃?<2}D.{加|阳<2}

【考点】全称量词命题真假的应用.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象.

【答案】D

【分析】本题转化为V%>0,+3根据基本不等式求出的最小值即可.

【解答】解：由命题“对任意的%>0,%+：-加>0都成立"为真命题，

可得当x>0时，恒成立，

即mV(x+1)min，

因为％+=当且仅当x=l时等号成立，

所以m<2.

故选：D.

【点评】本题主要考查了全称审词命题的真假关系的应用，属于基础题.

3.已知f(x)为偶函数，当“20时，/(x)=1+lnXf"'1,若关于x的方程/CO-(a+8)/(x)

.3-2x,0<x<l

+8a=O恰有4个不同的实根，则实数q的取值范围为()

A.(3,+8)B.(3,+8)U{1}

C.(3,8)U(8,+8)D.(3,8)U(8,+~)U{1}

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算

求解.

【答案】D

【分析】先解方程/(x)-1〃+8)f(x)+8〃=0,得到/(x)=8或/(x)=小方程/Cr)=8有两

根，问题转化为方程f(x)=。有两个不同于方程/(x)=8的两根，数形结合，可求。的取值范围.

【解答】解：因为/(x)-(a+8)/(x)+8a=0,

所以|/(x)-8]*|/(x)-0=0,

解得/(x)=8或/(x)=a,

当OWxVI时，3-2,rG(1,31，

此时方程/(x)=8无解；

当时，令/(x)=1+/心=8,

即/心=7,解得x=/,

因为f(x)为偶函数，所以f(x)=8有两解，分别为/和-J.

又方程/(x)-(。+8)/(£+8。=0恰有4个不同的实根，

所以/(X)=4也有两个不同于/和■/的两根.

要使/(x)=〃有两个不同于J和的两根，则。=1或G>3且

所以实数。的取值范围为(3,8)U(8,+8)U{1}.

故选：D.

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，属于中档题.

4.在△A8C中，ZABC=30°>AB=遮,BC=3,-AC=()

93

3-c3--

A.B.2D.2

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】首先根据余弦定理的推论求出AC的值，再利用向量的数量积定义求解即可.

【解答】解：在△ABC中，NABC=30°,AB=陋,BC=3,

所以AC=>/AB2+BC2-2AB-BCcos300=V3,

所以AB=4C,NABC=NACB=30°,

所以NA4C=12O°,

所以应-AC=\AB\•\AC\-cosA=V3xV3x(-i)=-

故选：D.

【点评】本题考查/余弦定理，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题.

1

5.要得到函数y=g(x)的图象，只需先将函数y=/(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的5(纵坐

标不变)，再将所得图象上的所有点()

C.向左平移J个单位D.向右平移J个单位

【考点】函数y=Asin(3x+(p)的图象变换.

【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质：运算求解..

【答案】。

【分析】根据三角函数图象求得/⑺=2sinv,g(x)=2s出0-勃再判断函数图象的平移过程，即

可得答案.

【解答】解：由题图知：f(x)=2sin.v,g(x)=2sin(a)x+(p)且

对于g(x)；7=生=竽一(一电=万，故3—2,贝1|g(x)—2sin(2x+(p),

又g电=2sin(,+*)=0,则三+©=k兀，k£Z,故3=611—&kwZ,

由图知：，是x轴正半轴上第一个零点且在增区间内，不妨令*:一条故g(x)=2s»(2x-冬,

所以，y=f(A)所有点的横坐标缩短到原来的;，则.y=2sin2i,

再将j=2sin2x右移2个单位,y=2sin2(x-/)=2sin(2x-专)=g(%).

故选：D.

【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，属于基础题.

6.在等差数列｛〃〃｝中，02+07+412=21,则45+49=()

A.7B.11C.14D.16

【考点】等差数列的性质.

【专题】计算题：方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解.

【答案】C

【分析】根据题意可得2+。7+山2=3。7=21,即47=7,进一步利用3+。9=2而进行求解即可.

【解答】解：・・・｛如｝是等差数列，

/.ai+ai+a12=3«7=21,解得“7=7,

，〃5+。9=2〃7=14.

故选：C.

【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查学生基本的数学运算能力，属于基础题.

7.已知圆锥P0的母线长为2,表面积为3n,O为底面圆心，A8为底面圆直径，C为底面圆周上一点,

N8OC=6()°,M为P8中点，则△MOC的面积为()

V15V151515

A.---B.---C.-D.一

8448

【考点】圆锥的结构特征.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解.

【答案】4

【分析】先由圆锥的表面积公式求出底面半径，在40。'中由余弦定理求出CN,然后在RtZXMNC中,

由勾股定理求出MC,最后由余弦定理和三角形的面积公式求出结果即可.

【解答】解:设0B=r,PB=l,

由题意可得n/J2+nr/=3ir,

BP-nr2+2Trr=3n,解得r=1或r=-3(舍)，

连接OM,

P

〃为。8中点，/.OM=^PB=OB=1,

过用作MN_LO/3于N,连接CM

则MN=痴=噂,

12+(1)2-CA/2

在△OCN中，cosNCON二°C：”微谭之,即cos60°=

zXuCXt//V2x1x1

解得CN=字

在RtZXMNC中，MC='MN?+NC2=

1

./-OC2+OM2-MC2_1+1-5-

..cosZMOC-20coM-2x1x14

.*.sinZA/OC=V1—cos2Z.MOC=

.'△MOC的面积为2xOMxOCxsinNMOC=1x1x1x-^=半.

故选：A.

【点评】本题考查圆锥的表面积公式、余弦定理、勾股定理、三角形的面枳公式等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题.

8.用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位数的个数为（）

A.120B.60C.48D.100

【考点】简单排列问题.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】D

【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解.

【解答】解：由题意，用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位数，

根据分步计数原理，可得5X5X4=100个无重复数字的三位数.

故选：。.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于基础题.

二,多选题（共3小题）

（多选）9.已知a、0表示不同的平面，川、〃表示不同的直线，则下列命题中正确的有（）

A.若机_L0,则a_L0

B.若机_La,〃_La,则/〃〃〃

C.若机〃〃，〃_La,a_L0,贝J〃?〃0

D.若tn//a,〃〃0且a_L0,则in//n

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.

【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；空间想象.

【答案】AB

【分析】结合空间点、线、面的位置关系逐一判断即可.

【解答】解：已知（X、0表示不同的平面，相、〃表示不同的直线，

对于A,若〃」0,〃?ua,

则a_LB，

即A正确；

对于8,若"?_La,

则m//n,

即8确；

对于于若用〃〃，〃_La,a±p»

则〃?〃B或阳u（3,

即。错误；

对于。，若m〃a,〃〃0且。_10,

则m//n或m与“相交或m与n异面,

即。错误.

故选：AB.

【点评】本题考查了空间点、线、面的位置关系，属基础题.

（多选）10.已知aABC的内角A、8、。所对的边分别为a、b、c,下列说法正确的是（）

A.若sin>4>sin8,则

B.若/+后-J>0,则AABC一定是锐角三角形

C.若acosB・Z?cosA=c,则△ABC一定为直角三角形

D.若acos4=/>cosB,则△ABC一定是等腰三角形

【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据正弦定理和“大边对大角”，可判断4由余弦定理及三角形内角和定理判断&边化角，

运用两角差的正弦公式化简，得到角A,B,C的关系，再借助内角和为TT计算即可判断C；由正弦定

理结合三角形中的边角关系判断D.

【解答】解：因为sinAAsinB.所以所以4>8,故A正确；

若次+庐・0〉（）,由余弦定理可得c°sC=2需卫>0,则角C为锐角，

但△A8C不一定是锐角三角形，故8错误；

由正弦定理边化角得sinC—sinAcos/^-sm4cosA=sin（A-4）,则C=A-4或C+A-4=ir（舍），

则A=8+C=n-A,即4=冬，则△ABC一定为直角三角形，故C正确；

若acosA=hcosB,则由正弦定理得sin2A=sin24,则2A=24或2A+26=180",

即A=B或A+B=90°,则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故。错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正余弦定理，属于中档题.

（多选）11.将25个数排成5行5列:

«12al3a14«15

a21a22a23a24a25

a31a32a33a34a35

a41a42a43a44a45

«51a52Q53a54a55

已知第一行411,412,413,414,415成等差数列，而每一列“1）,叫,（I3j,&4j,“5j（lW/W5）都成公比

为q的等比数列.若424=2,441=-1,443=5,则下列结论一定正确的是（）

A.。44=5。42B.q=±2

【考点】数列求和的其他方法.

【专题】转化思想：综合法；等差数列与等比数列；运算求解.

【答案】BD

【分析】首先利用等差数列和等比数列性质，列方程组求出公比外公差4进而求出第一行的值，再

分类讨论计算，逐个判定即可.

【解答】解：第一行411,412,413，414,415成等差数列，而每一列41j,42),碍/,。4卜的(IW/W5)

都成公比为q的等比数列.

右424=2,(741=-1»443=5.

设公差为乩每列成等比数列，设公比为

_333

则d24=2=ai4£/=(an+3d)q,a4i=1=flnQ＞、=5=a13q=Qi+2d)g,

后两个联立得到-1+2幽3=5,即dg3=3；(*)

前两个联立得到2=-/+3阳，即2/=・1+34/3；(**)

联立得到的式子，可解得2/=-"9=8,即“=±2.故B正确.

将夕=±2代入前面式子，

3115

当q2d--a-%1%11

-=8,1=-812=4一3=84=/5=

«18t

此时=。乂。：'=1x23=8,5a42=5ai2q：*=5x4x2?=10,则。44#5。42；

x8=4;

a22=即2^=4X2=2，则。22­«44=2*3

a55~a15^4=~Q'X2，=22,则・。55=-gX22=^-：

_3_11511

iq=-2,a=­Q,Qii=g，^12=-4/。13=一g，。14二一Lai5=一~g~»

333

此时。44=。乂勺？=-1x(―2)=8,5a42=5a12g=5x(-^)x(-2)=10.贝ij444产5加2：

1118

贝H

-X84工

天U=

42-T

。55==一普x(-2)4=-22,则•Qss=豆X(-22)=-半故AC错误,D正确.

故选：BD.

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

三,填空题(共3小题)

12.若NAOB=I2()。，直线〃〃。人，。与08为异面直线，则”和0B所成的角的大小为60°.

【考点】异面直线及其所成的角.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；运算求解.

【答案】600.

【分析】由题意可得NAO8的补角为。与。8所成角，结合补角的概念求解即可.

【解答】解：'：a//OA,根据等角定理，又异面直线所成的角为锐角或直角，

所以乙408的补角为a与08所成先，

又/408=120°,

所以〃与所成角的大小为为0°-120。=60。，

・•・♦与。B所成的角为60°.

故答案为：60°.

【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题.

17

13.椭圆4a-4)2+r=4与抛物线y2=2x有公共点，则。的取值范围是(-1，~1.

-O

【考点】抛物线的焦点与准线.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

17

【答案】［7,—1.

8

【分析】联立方程，将椭圆4(x-〃)2+)，2=4与抛物线)2=2、有公共点，转化为方程2『-(4a-I)

x+2『-2=0至少有一个非负根，求出两根皆负时，实数〃的取值范围，即可求得结论.

【解答】解：椭圆4(X-a)2+尸=4与抛物线『=21・联立可得2%=4-4(x-a)2,

Alx2-(4«-1)x+2a2-2=0.

:椭圆4(x-a)2+),2=4与抛物线),2=2X有公共点，

工方程21-(4a-1)x+2a2-2=0至少有一个非负根.

AA=(4d-1)2-16(d2-1)=-8a+l720,工三圣

又•两根皆负时，由韦达定理可得2/>2,4a-1V0,・"<-1或且aV/,即“V-I.

，方程21-(4。・1)x+2/-2=0至少有一个非负根时，・KS容

17

・"的取值范围是［-1,—］.

8

17

故答案为：［-1,—］.

8

【点评】本题考查椭圆与抛物线的位置关系，考查学生分析转化问题的能力，考查计算能力，正确合理

转化是关键，属中档题.

14.已知函数/(x)=，・2/内在点(1,/(I))处的切线方程为v=l.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】y=l.

【分析】根据/（X）求出切点的坐标，由/（A）得出了（X）在该点处切线的斜率，根据点斜式即可写

出切线方程.

【解答】解：由/（X）得f（D=1-2历1=1,即切点坐标为（1,1）,

/z（x）=2x-1，则/•'（1）=2x1-申=0,

人X

所以/（x）在点（1,1）处的切线的斜率为0,

所以/Q）在点（1,1）处的切线方程为）一l=OX<A-1）,即J=l,

故答案为：y=\.

【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于基础题.

四,解答题（共5小题）

15.已知△A8C的角A,B,。的对边分别为小b,c,。为锐角，满足〃=acosC+csinC.

（1）求8的大小；

（2）在线段4c的延长线上取一点F,使得B尸=3,CF=\且△BC/的面积为三更，求线段AC的长度.

4

【考点】解三角形.

【专题】转化思想：综合法；解三角形：运算求解.

【答案】⑴£

（2）14.

【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及和角公式得到皿滔=加冶-C），从而得到力+C=今

即可得解：

（2）由面积公式求/尸，再由余弦定理求出BC,正弦定理求出sin/8c凡最后在为△/WC中利用锐

角三角函数计算可得.

【解答】解：（1）因为6=acosC+csinC,

由正弦定理可得sinB=sirL4cosC+sinCsinC,

又sin8=sin[n・（4+C）]=sin（A+C）=siiL4cosC+cosAsinC,

所以cosAsinC=sinCsinC,又C为锐角，所以sinOO,

所以cosA=sinC»即cosA=cos（^—C）,

,、江TC

又AW（0.IT）,——CE（0^—）,

所以即A+C=*,

所以B=g：

(2)因为8尸=3,CF=\,且△BCF的面积为‘一,

4

所以，8CF=\BF-CFsinF='x3xIsinZ-F=孥，

所以siTi/F=坐，

乂46(0,分所以4=号

由余弦定理BC=>JBF2+CF2-2BF-CFcos/-F=J324-12-2x3x1x1=V7,

BCBFV73

由正弦定理二—-=———即y=——――»

sinz.FsinZ-BCFxlsin^BCF

2

解得sizi/BC/7=3；j,

所以s讥Z4C8=sin(n-ZBCF)=sinZBCF='今，

则cos/4cB=V1-sin2^ACB=备

在RtA/lBC中cosZlCB=第=条而

所以AC=14.

【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题.

%2y2

16.已知椭圆。：》+言=l（a>b>0）,以。的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过

点0（1,0）作直线/与C相交于P,Q两点,与），轴交于点E.

（1）求。的方程及离心率:

（2）若茄+切=0,求直线/的方程.

【考点】直线与椭圆的综合；根据椭圆的几何特征求标准方程.

【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

・案】⑴？+与=1，离心率为6/=祟

(2)x±V2y-1=0.

【分析】（1）由题意，得到b=c=V5,再根据离心率公式进行求解即可;

（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据向量的坐标运算求解.

【解答】解：（1）因为椭圆。的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形,

所以匕=c=专=V2,

111

又a=b+cf

解得。=2,

则椭圆C的方程为；~+J=1，离心率为e=5=*；

42aL

（2）设/：x=inyr+\,P（xi,y\）；Q（X2，”），

联立悍十¥=1,

(x=my+1

消x得(#+2)y2+2my-3=0,

MrI2m3

故力+丫2=一而'力力=一而，

据题意知mH02E(0,

所以CP=（占一1，%），EQ=（x?,%+♦），

TTT]

由DP+EQ=0,得丫1+丫2=一而，

所以等；=工，

m2+2m

解得m=±V2,

所以直线I的方程为X±V2y-l=0.

【点评】本题考查椭圆方程的应用，属于中档题.

17.某公司在一种传染病毒的检测试剂叩上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型A和

23

民现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂A和8合格的概率分别为和二，第二次枪测时两类试

35

32

剂A和8合格的概率分别为已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格.

(1)设经过两次检测后两类试剂A和8合格的种类数为X,求X的分布列；

(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对

其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高

危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为〃(0<pVI)且相互独立，该家庭至少检测了3个人

才可以确定为“感染高危户”率为/(p),若该家庭被确定为“感染高危户”，且当p=p。时，fCp)最

大，求po的值.

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望)；离散型随机变量及其分布列.

【专题】综合题；对应思想；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由题意，分别求出两类试剂A和8检测合格的概率，再求出所有可能取值的概率即可得

分布列；(2)根据题意可得f(p)=(1-p)2P(2-p),利用换元法构造函数解析式根据OVpVl,

利用基本不等式即可求出/(p)最大时的网的值.

231

【解答】解：(1)易知试剂A检测合格的概率为:x-=一,

342

322

试剂B检测合格的概率为Ax-=

OOD

而X的所有取值范围为0,I,2,

此时P(X=O)=(1(1-6=\，

P(X=l)=(l-11)x2|+|1x(l-12)=11,P(X=2)=11x2|=|1,

所以X的分布列为：

X012

p_3_11

1025

(2)易知检测3个人可以确定为“感染高危户”的概率为(1-p)2p,

检测4个人可以确定为“感染高危户”的概率为(1-p)y

所以/(P)=(1-P)"+(1-p)3p=(1-p)2P(2-p),

令x=l-p,0<p<L

所以.隹(0,1),

此时函数g(x)=JC(1-x2).0<x<1,

因为第2(1一/)4(#±1二g)=?当且仅当Y=1・『，即％=考时，等号成立,

此时/(p)的最大值为上

4

解得p=1-苧，

故Po=1-孝.

【点评】本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力.

18.如图，在三棱台ABC-AIAICI中，CC1J"平面ABC,AA\=A\C=BB\=B\C=2,CC1=I.

(1)若4cLBC,求三棱台4BC-AIBICI的体积.

V6

(2)若直线4c与平面AERNi所成角的正弦值为?，

(i)求cosZACB.

(ii)三棱台ABC-A\B\C\的顶点中，同在一个球面上的点最多有几个？请任选一个包含最多顶点的

球面，计算该球的表面积S.

(注：若选择多个球面分别计算，按第一个结果给分).

【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；棱锥的体积；球的表面积.

【专题】对应思想；综合法；立体几何；运算求解.

7

【答案】(1)

2

1

(2)(z)cosZACB=1；

(/7)5个；①若选A,B,Bi,Ai,C所在的球面：5=4n/?:=22n；

1077T

②若选4B,Bi,Ai,Ci所在的球面：S=4nR2=

2

【分析】(1)由台体的体积公式求解;

(2)(/)建立如图所示的空间直角坐标系，设。4=08=2〃(a>0),0C=2b(。>0)由线面角求出a

的值，即可求解：

(n)利用平面几何知识计算可知等腰梯形ABBIAI的外接圆圆心即点。，外接圆半径为2,即可求解.

【解答】解：(1)因为CCi_L平面ABC,ACu平面A8C,所以CCi_LAC,

又AC〃4Ci,所以CC11&G，4©=722一£=V5,AC=2AICI=2V3,

同理，81cl=V5,BC=2V3,

又/IUL8C,所以△人8c与△AIBICI都是等腰直角三角形，

故三棱台ABC-A\B\C\的体积为V=1x1x[|x(V3)2+|x(2A/3)2+1XV3X2何=；；

(2)设AB的中点为。，连接0C,

由(1)可知AC=8。=28，所以0C_LA8,

故以0为坐标原点，OB,6b的方向分别为x,y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

(/)设OA=OB=2a(a>0),OC=2b(b>0),

由。A'OCNMAC2,得J+/=3,

所以A(-2a,0,0),B(2a,0,0),C(0,2b,0),Ai(・a,b,