解直角三角形之12345模型-浙教版数学九（下）知识点训练（含答案）

解直角三角形之12345模型一浙教版数学九（下）知识点训建

阅卷人

一、选择题

得分

1.如图，在3x3的正方形网格中标出了乙1和乙2,则乙1+42=（）

A.45°B,30℃.60°D.9O0

2.如图在梯形ABCD中，AD〃BC,AD1CD,BC=CD=2AD,E是CD上一点，ZABE=45°,则

tanZAEB的值等于（）

A.3B.2C.1D.1

3.如图，在等腰直角△ABC中，ZC=90°,D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折

痕，则sinNBED的值是（）

A店R3rD2

A--35~2713

4.如图，四边形ABCD内接于。O,AB为直径，AD=CD,过点D作DEJ_AB于点E,连接AC交DE于

点F.若sinNCAB=1,DF=5,则BC的长为（）

_____C

B

E0

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A.8B.10C.12D.16

阅卷入

二、填空题

得分

5.如图，正方形ABCD中，AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点

6.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A,B,C,D都在格点处，AB与CD相

交于O,则tan/BOD的值等于

阅卷入

三、解答题

得分

7.如图，PA为。。的切线，A为切点，过A作0P的垂线AB,垂足为点C,交。0于点B,延长B0与

。。交于点D,与PA的延长线交于点E.

（1）求证：PB为。O的切线;

(2)若tan/ABE=：,求sinE.

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答案解析部分

1.【答案】A

【解答】连接CD,DE,如期所示:

根据题意可得:CD2=l2+22=5,CE2=I2+32=10,ED2=l2+22=5,

.\CD2+DE2=CE2,

•••△CDE是直角.三角形，

VCD=DE=V5,

/.ZDCE=ZDEC=45°,

AZ1+N3=90。-ZDCE=45°,

VAB//CD,

r.Z2=Z3,

.-.Zl+Z2=45°,

故答案为：A.

【分析】先利用勾股定理的逆定理证出△CDE是直角三角形，再结合CD=DE=V5,可得

ZDCE=ZDEC=45°,再利用角的运算和等量代换可得N1+N2=45。.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M,在DM的延长线上取MN=CE.

N3/A________D

则四边形MDCB为正方形，易得△MNBgACEB,

・・・BE=BN..\ZNBE=90o.

VZABE=45°,AZABE=ZABN,

/.△NAB^AEAB.

设EC=MN=x,AD=a,则AM=a,DE=2a-x,AE=AN=a+x,

VAD2+DE2=AE2,

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a2+(2a-x)2=(a+x)2

；X=”

AtanZAEB=tanZBNM=篇=3.

故答案为：A.

【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M,在DM的延长线上取MN=CE.则四边形MDCB为正

方形，易得AMNB之ACEB,根据全等三角形对应边相等得出BE=BN,根据全等三角形对应角相等及角的

和差得出NNBE=90。，进而得出NABE=NABN=45。，利用SAS判断出△NABgZ\EAB,根据全等三角形

对应角相等得出NAEB=NBNM；设EC=MN=x,AD=a,则AM=a,DE=2a-x,AE=AN=a+x,在

RSADE中，根据勾股定理建立方程，求解得出*=1a,根据等角的同名三角函数值相等，由正切函数的

定义，ftltanZAEB=tanZBNM=歌即可得出答案。

3.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•△DEF是△AEF翻折而成,

.*.△DEF^AAEF,ZA=ZEDF,

•••△ABC是等腰直角三角形,

・•・ZEDF=45°,由三角形夕卜角性质得NCDF+45o=NBED+45。,

设CD=1,CF=x,则CA=CB=2,

ADF=FA=2-x,

・••在RQCDF中，由勾股定理得,

CF2+CD2=DF2,

即x2+l=(2-x)2,

解得:

•••sin/BED:sin/CDF嗡=|.

故答案为：B.

【分析】利用翻折得到△DEF9AAEF,即可得到/BED=NCDF,设CF=x,在为△CDF中，利用勾股定理

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求出X的值，再根据正弦的定义解答即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：连接BD,如图，

VAB为直径，

.\ZADB=ZACB=90°,

VAD=CD,

AZDAC=ZDCA,

ffi]ZDCA=ZABD,

Z.ZDAC=ZABD,

VDEIAB,

.\ZABD+ZBDE=90°,

而NADE+NBDE=90。，

AZABD=ZADE,

.\ZADE=ZDAC,

/.FD=FA=5,

在RSAEF中,VsinZCAB==|>

・・・EF=3,

/.AE=^52-32=4,DE=5+3=8,

VZADE=ZDBE,ZAED=ZBED,

.*.△ADE^ADBE,

ADE：BE=AE：DE,B|J8：BE=4：8,

ABE=16,

・・・AB=4+16=20,

在RSABC中,VsinZCAB=^=|»

.\BC=20x|=12.

故答案为：C.

【分析】连接BD,如图，先利用圆周角定理证明NADE=/DAC得到FD二FA=5,再根据正弦的定义计算出

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EF=3,则AE=4,DE=8,接着证明AADEs^DBE,利用相似比得到BE=16,所以AB=20,然后在

RSABC中利用正弦定义计算出BC的长.

5.【答案】2

【解析】【解答】解：如图所示，连接AE,

D

BGC

•・•四边形ABCD为正方形，

.\AB=BC=CD=AD=6,ZB=ZC=ZD=90°

•・・G为BC的中点

.\BG=GC=3

由折叠的性质可得AF=AB=6,BG=GF=3,

在RtAADE和RtAAFE中，

VAE=AE,AF=AD=6

/.RtAADE^RtAAFE(HL)

ADE=EF

设DE=EF=x,贝l」EC=6-x

在RtACEG中，GC2+EC2=GE2,即324-(6-%)2=(3+%)2

解得x=2

故答案为：2.

【分析】连接AE,根据正方形和折叠的性质可得RsADEgRtAAFE(HL),再设DE=EF=x,则EC=6-x,

最后利用勾股定理求解即可。

6.【答案】3

【解析】【解答】解：方法一：平移CD到CD，交AB于0、如右图所示，

、

、

*

、、

*♦

0»

D

则NBOD=NBOD,

，tan/B0D=tanNB0'D',

设每个小正方形的边长为a,

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则O'B=Jq2+(2a)2=yfSa»O'D'=J(2a)2+(2a)2=2四a,BD，=3a,

BD0有_3a・2a_3&a

OD2<2a2

，0'E=y/o'B2-BE2=(佩-仕穿)二号a，

3、3

BE-2-_o

tanBO*E=3

OEF

AtanZBOD=3,

故答案为：3.

方法二：连接AM、NL,

在aCAH中，AC=AH,

则AM1CH,

同理，在AMNH中，NM=NH,

则NL1MH,

；・ZAMO=ZNLO=90°,

VZAOM=ZNOL,

・•・△AOM^ANOL,

.AM_0M

,,而二m’

设图中每个小正方形的边长为a,

则AM=2V2a,NL=V2a,

,AM242a_

,,而=诲=2o,

・OM_0

•,瓦=2，

.OL_1

,,LM=3'

VNL=LM,

・NL_、

••瓦二J'

.\tanZBOD=tanZNOL=黑=3,

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故答案为：3.

方法二：连接AE、EF,如右图所示,

则AE〃CD,

/.ZFAE=ZBOD,

设每个小正方形的边长为a,

则AE=，AF=2V5a，EF=3\/2a,

\/2a

222

,**(yj2a)+(3yj2d)=(2V5a)»

・•・△FAE是直角三角形，NFEA=90。，

/.tanZFAE=黑=±区=3,

即tanZBOD=3,

故答案为：3.

【分析】平移CD到CD，交AB于O,作BE_LOTT于点E,由平移的性质可得tan/BOD=tarNBCHT,根据

锐角三角函数即可求解。

•；PA为。。的切线，

.\OA_PA

AZPAO=90°,

VOA=OB,OPJ_AB于C,

/.ZAOP=ZBOP,

・•・△PAO^APBO(SAS),

/./PRO=/PAO=9()°,

・・・PB为。O的切线；

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(2)解：连接AD,

•・・BD为直径，

.\ZBAD=90°,

VABIOP,

.\ZBCO=90°,

.\ZBCO=ZBAD=90°,

AAD//OP,

・•・△ADE^APOE,

.EA_AD

，9EP=OP'

丁点C为AB的中点，O为BD的中点，

・・・AD=2OC,

VtanZABE=l,

.OC1

设OC=t,则BC=2t,AD=2t,

VZPBO=ZBCO=90°,

.\ZBOC+ZCBO=90°,ZCBO+ZCBP=90°,

AZBOC=ZCBP,

・•・△FBC^ABOC,

.BC_0C_1

''CP~BC~T

.\PC=2BC=4t,OP=5t,

.EA_AD_2

，9EP~OP~S'

可设EA=2,EP=5,则PA=3,

VPA=PB,

・・・PB=3,

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.g_PB3

••sinE—=B

EP5

【解析】【分析】（1）连接OA,根据切线的性质得NPAO=90。,利用“SAS”证明△PAOgAPBO,