高考数学一模试题分类汇编：空间向量与立体几何5个考点（福建专用）原卷版

专题。5空间向量与立体几何

'二5大考点概览

考点01空间几何体的表面积与体积

考点02点线面的位置关系

考点03空间向量及其运算

考点04求线面角二面角与点到平面的距离

考点05空间向量中的范围与最值问题

,•考点1

1.（2026•福建福州•模拟预测）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,PA,PB为圆锥的母线,Z.A0B=120°,

且二面角P-AB-。为60。.若4P4B的面积等于6石，则圆锥的体积为.

2.（2026•福建泉州•二模）现有•个半径为6的球状容器（不考虑容器厚度），在容器内放置8个半径相同

的实心小球，若这8个小球的球心恰为某个正方体的8个顶点，则小球半径的最大值为.

3.【多选题】（2026•福建漳州•模拟预测）在正三棱锥S-4BC中，底面△48。的边长为2百，恻面与底面所

成的角为60°,则（）

A.SA1BC

B.SA=y[7

C.点A到平面SBC的距离为日

D.该三棱锥的外接球表面积为等

4.（2026・福建泉州•二模）已知正三棱台ABC-ABC的高为百，A8=34出=3两则该棱台的侧面积

为（）

A.2475B.12V3C.18D.473

5.【多选题】（2025.福建福州.模拟预测）正方体48CD-4B1G5的棱长为1，则下列四个命题中正确的是

（）

A.直线与平面ABGDi所成的角等于:

B.四棱锥。一力8。1劣的体积为；

C.两条异面直线D】C和8G所成的角为三

D.二面角C—8G-0的平面角的余弦值为苧

6.（2025•福建漳州•模拟预测）一个高为36cm,上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器

壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（）

A.—Kcm2B.16Kcm2C.yTTCmzD.27Trcm2

7.12025•福建福州•模拟预测）已知圆锥的底面半径为V5,其侧面展开图为半圆，则该圆锥的表面积为（）

A.3TTB.6TTC.97rD.12n

8.（2025•福建泉州•模拟预测）如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2

倍,容积为28mL厚度忽略不计.当倒入14ml茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（）

9.（2025・福建福州•模拟预测）在平面四边形中，△回（?是边长为百的等边三角形，是以点。为

直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线力。折成四面体8-4CD,在折起的过程中，四面体的外

接球体枳最小值为（）

A.也B.4nC.如D.国

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10.（2025•福建泉州•模拟预测）四棱锥P-4BCD中,AD//BC,AD=BC=2,AB=2瓜PB=PC=V13,

PA=PD=V3,若P、4、B、C、。均在同一球面上，则该球的表面积等于（）

A.4TTB.等C.16TTD.64TT

11.（2025•福建漳州•模拟预测）在菱形/BCD中，4B=2®乙BAD=60。,将△4BO沿对角线BO翻折至△PBD,

则当三棱锥P-BC。表面积最大时，三棱锥P—BCD外接球的体积为（）

A.9>/2TTB.18TTC.8\Z6TTD.24TT

■•考点2

1.【多选题】（2026•福建龙岩•一模）如图，左8为圆锥S。的底面圆的直径，N为母线54的中点，点为底

面圆周上异于48的两个动点，且%=48=2,则（）

s

A.•定存在点M,使/1M_L平面SSC

B.不可能存在点M,使MN||SC

C,过点N且与母线SA垂直的平面截圆锥所得的截线上任意两点间距离的最大值为百

D.过点N与底面垂直的平面截圆锥所得截线的离心率为平

2.【多选题】（2025•福建泉州•模拟预测）在直三棱柱4BC-44U中,Z.ABC=90%BB'=&AB=&BC,

M为8夕的中点，则（）

A.A'CIICMB.AC7/平面力MC

C.AM1B'CD.平面力MC1平面AMC'

3.【多选题】（2025•福建泉州•模拟预测）在边长为2的正方体48。。-48停1。1中,M为边CC1的中点，N

为边力4的中点.则（）

A.D]N〃平面ABM

B.ON1平面力BM

C.直线GM与平面力BM所成角的余弦值为安

D,直线与平面48M所成角的余弦值为誓

4.【多选题】（2025•福建漳州•模拟预测）在正方体中,E,4分别为和4也的中点,

下列说法正确的是（）

A.平面力尸Bi〃平面BDE

B.ByE1BF

C.EF与平面力BCD所成角的正切值为?

D.Vc-CyDF=^C-BDE

,•考点3

1.【多选题】（2026•福建芾出•二模）已知正三棱台ABC-481cl的所有顶点都在球。的球面上，且48=

348i=3,点P满足衣=£ffi+y就+z国，贝ij（）

A.当P为棱BiQ的中点时，x+y+z=g

B.41cl•AiB=1

C.若直线BP〃平面ACC14,则％=1

D.若=V2,则球。的表面积为18n

2.【多选题】（2025•福建福州•模拟预测）在校长为1的正方体A5C。一为8传1。1中，点P是底面为优的外

内的动点，贝1J<）

A.|而+丽|的最小值为2

B.PA+的最大值为1+V5

C.PA+的最小值为灰

D.PA+|PC|的最小值为3

3.【多选题】（2025•福建•模拟预测）如图,在三棱柱ABC-AiTG中,M,N分别是线段&8,以《上的点,

且BM=24M,GN=28iM设丽=G,AC=b,q=3且均为单位向量，若=903，/.BAAr=

乙C44=60。，则下列说法中正确的是（）

A.而与丽的夹角为60。

B.而二豹+箭+家

C.|而|=当

D.MWl^C

4.（2025•福建南平•一模）己知正方体4BCD-&BiGDi的棱长为4,点P,Q分别为线段GD,8iC上的动点,

则PQ的最小值为,此时GP=

考点4求线面角二面角与点到平面的距离

1.（2026•福建福州•模拟预测）如图1,圆内接四边形4BCD中，ABCD为等腰直角三角形，且ZBCD=90。,

AB=V6,AD=V2.

AA

图1

(1)求AC的K；

(2)如图2,将△48。沿80翻折，形成四面体力BCD,当4C=历时,

(i)求直线4。与平面BCD所成角的正弦值;

(i:)找出一组依次排列的四个相互平行的平面的，%，的，。4使得力6%，DEa2^CEa3,BEa4,且

其中每相邻两个平面间的距离都相等，并求出相邻两个平面间的距离.

2.(2026•福建龙岩•一模)如图,在正四棱台力BCD-ABiGDi中，AB=2AlB1=272,E是BC的中点，其

外接球的表面积为167T.

(1)求证：4E〃平面CC15D；

⑵若平面与81cl交于点F,求直线EF与平面〜也。所成角的正弦值.

3.(2026.福建漳州.模拟预测)如图，在三棱柱力中，底面△48。是边长为2的等边三角形，侧

面为菱形,且N8/L4I=60°.交4道于点D,E为棱CC1中点

(1)证明：DE//平面ABC；

(2)证明:C814C；

(3)若平面平面力力181氏求直线力也与平面8当。1。所成角的正弦值・

4.(2026•福建・一模)如图，在圆锥S-。中，48为底面圆的直径，点C为质的中点，点D在劣弧而上，线

段B。，0C交于点E,且0E=D£

s

(1)证明：SD1AE；

(2)若NOSO=2乙CBD,求直线SC和平面SDB所成角的正弦值.

5.【多选题】(2025•福建泉州•模拟预测)在长方体力BCD-&81GD1中，底面48。。是边长为3的正方形,

高为4,点M、N分别在线段CD、CG上.已知力M=AN=回,则()

A.4G〃平面ACN

B.81c1平面HMN

C.直线AM与平面A8N所成角的余弦值为三票

D.平面HBM与平面力8N所成角的余弦值为嘤

6.(2025・福建三明•模拟预测)如图，等腰梯形A8C。中，AB//CD,CD=2AB=4,AE1CD,垂足为E,

将ZiADE沿AE翻折，得到四棱锥P-力BCE.在四棱锥P-A8CE中，点M,N分别在线段P8,ACI：,且空=

(1)求证：MN〃平面PCE；

(2)若二面角P-4E-C为120°,求直线MN与平面P4E所成角的余弦值.

7.(2025・福建三明•模拟预测)在直三棱柱力8C-4B1G中，ABIBC,BB1=V2AB=V2BC,M,N分别

是BiG，&Bi的中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值()

A.B.亚C.在D.延

1313515

8.(2025•福建漳州•模拟预测)如图,点P为正方形A8CD所在平面外一点，M为PA中点，方=ADP(O<A<1).

c

(I)求证：PC〃平面60M;

(2)若、F面力BCD1'F面/BP,AB=BP=2,AB1BP.

(i)当;l=|时.，求证：PD1平面BEM；

(ii)当二面角D-BM-E的正弦值为当时，求义的值.

9.(2025•福建福州・模拟预测)如图，在三棱柱ABC-中,9cli平面福8C,8C的中点为M,AC1

AB.AB=AC=AC1=2.

(1)证明：〃平面4GM；

(2)在平面;48C内，动点Q在以A为圆心，为半径的劣弧死上(不含端点B,C),若直线&Q与平面AG/所

成的角为?证明：4M,Q三点共线.

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,•考点5空间向量中的范围与最值问题

1.(2025•福建泉州•模拟预测)已知正方体力BCD-&BiGDi的棱长为2.

(1)证明：当。_1平面力1BQ；

⑵动点尸满足公尸一占6十;W[0,1])，且点P，&，G，/在同•球面上.设该球面的球心为。，半

径为r.

①求r的取值范围：

②当r最大时，求二面角4一8P-。的余弦值.

2.(2025•福建福州•模拟预测)如图,在四棱锥P-4BCD中,CD1平面用O,PA1AD.

(1)证明：P41平面48CQ；

(2)若底面A8CO是正方形，AP=AB=2,E为P8中点，点方在棱户。上，且异面直线A尸与户8所成的角

为60。.

(i)求PF的长度：

(ii)平面AE产交PC于点G,点M在线段PB上，求EG与平面M4D所成角的正弦值的取值范围.

3.(2025•福建泉州•模拟预测)直三棱柱ABC-