重庆市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷（一）人教版（含答案）

重庆市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷

一.选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）（2025秋•甘肃期中）通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视

野，增强对世界的理解和认识.下面是几个学科的图标，其中是中心对称图形的是（）

2.（4分）（2025秋•扶余市期末）若分式「有意义，则x的取值范围是（）

x+3

A.x^3B.C.x#0D.xW-3

3.（4分）（2024春•莱芜区期末）若aVb,则下列不等式一点成立的是（）

11

A.a-4>b-3B.-a>-bC.-3a<-3bD.3-2a>3-2b

22

4.（4分）（2025秋•温江区校级期中）下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（）

A.m2-n2=（w+/?）（w-〃）B.（w+1）Cm-1）=nr-1

C.in2-3/«-4=m（m・3）-4D.m-1=mil——）

5.（4分）（2025春•胶州市校级月考）“、的1与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（）

2222

A.-%-5>0B.-x-5>0C.-x-5<0D.-x-S<0

3333

6.（4分）（2024春•大渡口区校级期中）下列命题中，是真命题的有（）

①全等三角形的对应边相等：

②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；

③三角形中30°角所对的边是斜边的一半；

④等腰三角形的角平分线和中线相互重合.

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（4分）（2024•德阳模拟）已知/-X-1=0,计算（系一白土室其7的值是（）

x+1x7xz+2x+l

A.2B.-2C.1D.-1

8.（4分）（2023•大连模拟）在平面直角坐标系中，将点M（・4,3）先向左平移3个单位长度，再向上

平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是（）

A.(-7,3)B.(-7,5)C.(-1,5)D.(-1,1)

\—2（x—5-）<*5—Xax—123

9.（4分）若关于％的不等式组2只有2个正整数解，关于x的方程—+—=-5

a十,乙4-xx-4

<~5~-5~x

的解为整数，则符合条件的所有整数。的和是（）

A.10B.13C.16D.19

10.（4分）（2023•花都区一模）如图，在平面直角坐标系中，点/（6,0）,B（0,8）,点C从O出发,

以每秒1个单位长度的速度沿折线。■4・8运动了8.5秒，直线x=：上有一动点轴上有一动点E,

当OD+DE+EC的和最小时，点E的坐标为（）

A.(0,|)B.(0,QC.(0,冷D.(0,：)

二.填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

/一1

11.（4分）（2025秋•大连期末）若分式一的值为0，则x的值为_______

x+1

12.（4分）（2024•海珠区一模）因式分解：3〃y-4“=.

13.（4分）（2024春•左权县期中）如图，将一块含45°角的三角板ABC绕点、A按逆时针方向旋转到△力夕

C'的位置.若NC4B'=15°,则旋转的角度为

14.（4分）（2023春•城阳区期中）已知在同一平面直角坐标系中，一次函数、=枭+箝y=—}+2的

251

图象如图所示，那么不等式4%+->--%+2的解集为__________.

36L

x+2

15.（4分）（2025•竹溪县二模）计算:

16.（4分）如图，△48C为等边三角形，CO垂直平分8E垂直平分4C,CD与BE交于点、O,若BE

=6,则点O到BC的距离为.

17.（4分）如图，在RI△月6c中，Z5JC=90n,//I6C的平分线6。交力C于点。，OE是6c的垂直

平分线，点E是垂足.已知DC=5,AD=3,则图中长为4的线段有条.

A

;

BEC

18.（4分）（1）如果/+a-1）x+9是一个完全平方式，那么k值是；

（2）已知。+33,则次+翔值是——.

三.解答题（共8小题，满分78分）

f-5x+2>3（x-2）

19.（8分）（2025春•锦江区校级月考）（1）解不等式组：无+i5-x；

-1__6-

（2）分解因式：-2xy2+y3.

20.（10分）（2025春•佛山校级期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在

平面直角坐标系中，△48C的三个顶点4（5,2）,8（5,5）、C（1,1）均在格点上.

（1）画出△/IBC向左平移5个单位后的图形△/出（I；

（2）画出△481G绕Ci顺时针旋转90°后的图形△力汨2。；

（3）在（2）的条件下，求线段81。扫过的面积.

21.（10分）（2024春•江阴市期中）（1）计算:

a+1a+1

（2）解方程：器一告

22.（10分）（2023春•盐田区期中）如图，在△48。中，AC=BC,ZC=90°,力。是△48C的角平分线.

（1）过点。作。£_L/8,垂乃为点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

（2）若80=4,在（1）的条件下，求的长.

23.（10分）（2025•沈河区二模）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300

支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，

如果给学校八年级学牛每人购买1支,那么只能按零售价付款,需用120元：如果多购买60支.那么

可以按批发价付款，同样需用120元.设该校八年级的学生总数为x人.

（1）求八年级的学生总数x的取值范围；

（2）如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买30（）支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多

少人？

24.（10分）（2025春•市南区期末）如图，在。中，。为.4C边上一点，AD=BD,AE1BD,交BD

的延长线于点E，DFLBC,垂足为E,HAE-^DF.

（1）求证：CB=CD；

（2）若点。是4c的中点，求/C的度数.

25.（10分）（2025•西山区二模）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰

花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示.

（1）求y与x的函数解析式；

（2）该鲜花店计划购进康乃馨和攻瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于攻瑰

花的数量，求购买这两种鲜花的总费用%的最小值.

26.（10分）（2024春•海淀区校级期中）在△48。中，ZABC=90°,4B=BC,点D为射线BC上一•动

点（不与点心C重合），点力关于直线力。的对称点为£,作射线。足过点C作为8的平行线，与射

线DE交于点F.连接力E,AF.

E

（1）如图1,当点E恰好在线段力。上时，用等式表示。/与8。的数量关系，并证明;

（2）如图2,当点。在线段的延长线上时，

①依题意补全图形；

②用等式表示N4Q4和N力在的数量关系，并证明.

参考答案

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）（2025秋•甘肃期中）通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视

野，增强对世界的理解和认识.下面是几个学科的图标，其中是中心对称图形的是（

【考点】中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】。

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原

来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.

【解答】解：根据中心对称图形的定义逐项分析判断如下:

A.不是中心对称图形，不符合题意;

B.不是中心对称图形，不符合题意;

C.不是中心对称图形，不符合题意:

D.是中心对称图形，符合题意;

故选：D.

【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握该知识点是关键.

2.（4分）（2。25秋•扶余市期末）若分式靠有意义，则x的取值范围是（）

A.xN3B.C.x#()D.xH-3

【考点】分式有意义的条件.

【专题】分式；运算能力.

【答案】D

【分析】根据分式有意义的条件求解即可.

【解答】解：由题意得X+3W0,

解得xW-3.

故选：D.

【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键.

3.（4分）（2024春•莱羌区期末）若a〈b,则卜列不等式一点成立的是（)

11

A.a-4>h-3B.-a>-bC.-3a<-3hD.3-2rz>3-2b

22

【考点】不等式的性质.

【专题】一元一次不等式(组)及应用；推理能力.

【答案】D

【分析】根据不等式的性质逐个判断即可.

【解答】解：A.-：a>b,

・・・a-4>力-3不一定成立，故本选项不合题意；

B、

11

.\-a>-b,故本选项不合题意；

乙乙

C、\fa>b,

，-3a<-34故木选项不合题意；

:.-2a<-2b,

：.3-2a<3-2bf故本选项符合题意;

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键.

4.(4分)(2025秋•温江区校级期中)下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是()

A.加2_„2—(〃?+〃)(w-»)B.)Gn-1)~m2-1

C.m2-3m-4=m(〃？-3)-4D.m—l=[)

【考点】因式分解的意义.

【专题】整式；运算能力.

【答案】A

【分析】把•个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此逐项判断

即可.

【解答】解：〃0-〃2=(m+n)(/〃-〃)符合因式分解的定义，则4符合题意，

(6+1)(“L1)=〃4-1是乘法运算，则B不符合题意，

2

m-3m-4=W(W-3)-4中等号右边不是积的形式,则C不符合题意，

w-1=/„(1-1)中工不是整式，则。不符合题意，

mm

故选：A.

【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题为关键.

2

5.（4分）（2025春•胶州市校级月考）“x的可与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（）

2222

A.—X—5>0B.-x-5>0C.-X—5<0D.-x—5<0

3333

【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】A

【分析】首先表示x的,为|%，再表示与5的相反数的和为|%-5,最后表示是非负数可得答案.

2

【解答】解：-x-5>0,

故选：A.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于

（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号.

6.（4分）（2024春•大渡口区校级期中）下列命题中，是真命题的有（）

①全等三角形的对应边相等；

②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；

③三角形中30°角所对的边是斜边的一半；

④等腰三角形的角平分线和中线相互重合.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】命题与定理：全等三角形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质.

【专题】三角形；应用意识.

【答案】B

【分析】依次判断各个命题的真假，即可得出结论.

【解答】解：①全等三角形的对应边相等；故①为真命题，符合题意；

②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；故②为真命题，符合题意：

③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的•半；故③为假命题，不符合题意；

④等腰三角形的顶角的角平分线和底边上的中线相互重合；故④为假命题，不符合题意；

综上：是真命题的有①②，共两个.

故选：B.

【点评】本题主要考杳了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，等边三角形的判

定，含30度侑的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质.

（分）（•德阳模拟）已知计算（系-）的值是（

7.42024f-x-l=0,八十！•94+X窘।ZX।L

B.-2D.-I

【考点】分式的化简求值.

【专题】分式；运算能力.

【答案】B

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由F-x-l=0,得代入计

算即可.

【解答】解：原式=匕为一三三】+

x（x+l）x（x+l）2（x+l）z

2

X-12（x+l）

-

x（x+l）*_x（x-i）

VA2-X-l=0,

则原式=乳子U=-2,

-x-i

故选:B.

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

8.（4分）（2023•大连模拟）在平面直角坐标系中，将点M（-4,3）先向左平移3个单位长度，再向上

平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是（）

A.（-7,3）B.（-7,5）C.（-I,5）D.（-I,I）

【考点】坐标与图形变化■平移.

【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】B

【分析】根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答即可.

【解答】解：•・•将点M（-4,3）向左平移3个单位长度的坐标是（-4-3,3）,再向上平移2个单位

长度得到点4的坐标为（-7,5）,故8正确.

故选：B.

【点评】本题考查了坐标与图形变化■平移，熟记点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐

标上移加，卜.移减是解题的关键.

f—2（%—77）<5—xax-123

9.（4分）若关于x的不等式组2只有2个正整数解，关于x的方程—+—=-5

卜甯多］

的解为整数，则符合条件的所有整数，的和是（)

A.10B.13C.16D.19

【考点】一元一次不等式组的整数解；分式方程的解：解一元一次不等式组.

【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】C

【分析】先解不等式组，再根据不等式组有且只有2个正整数解确定。的范围，然后解分式方程，再根

据分式方程的解为整数，确定”的值，进行计算即可解答.

-2(x-|)<5-x@

【解答】解:

Q+22台

解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：入W等,

•・•不等式组只有2个正整数解,

，2工警<3,

解得：6W“V11,

•.z为整数,

，a=6,7,8,9,10,

ax-123

-------+------=—5>

4-xx-4

ax-1-23=-5（4-x）,

解得：x=A，

a—D

•・•分式方程的解为整数，

4

/.a-5=±1,±4,±2且—^工4,

a-S

・・・a=6,4,9,I,7,3且a=6,

・•・符合条件的所有整数a的值为:7,9

，符合条件的所有整数。的和为16,

故选：C.

【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分

式方程是解题的关键.

10.（4分）（2023•花都区一模）如图，在平面直角坐标系中，点力（6,0）,B（0,8），点C从O出发，

以每秒1个单位长度的速度沿折线。一4・8运动了8.5秒，直线％=5上有一动点。子轴上有一动点几

当。。3曰EC的和最小时，点E的坐标为（）

O7

6c.（0，-j-p）D.（0,：）

【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.

【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识.

【答案】B

【分析】在x轴的负半轴上取一点“，使得。，=。=6,连接8”,作点。关于直线入=强1对称点「

作点。关于y轴的对称点/连接口，DF,FJ,以交y轴于点,过点J作JLLOH于点、L.由0。

=DF,EC=EJ,推出OD+DE+EC=FD+DE+EJ》FL,当F,D,E,，共线时，OO+O2+EC的值最小.

【解答】解：在x轴的负半轴上取一点〃，使得。〃=0彳=6,连接84,作点。关于直线x=1的对称

点、F,作点C关于y轴的对称点/连接£/,DF,FJ,必交y轴于点£,过点J作JL1OH于点L.

・•・OD+DE+EC=FD+DE+EJ2FL,

・•・当产，D,E,，共线时，OZHQE+EC的值最小,

•；NBOH=90°,OH=6,OB=8,

：.BH=V62+82=10,

,：OF=g7

7

AF（-,0）,

2

•・•点。从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线0-/1-3运动了8.5秒,

，。力+力。=8.5,

yOA=6,

：.AC=HJ=2.5,

54533

:.JL=JH・sh\/BHO=>g=2,HL=JH・3s/OHB=尹g=另

・・・OL=6->3会9

9

.*.«/（—2）,

（―Wk+b=2

设直线E7的解析式为尸质+/>,则%，

日+/?=0

（k=-i

解得17，

^=8

7

:E（0,-）.

故选:B.

【点评】本题考查轴对称最短句题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问

题，属于中考常考题型.

二.填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

x2-l

1L（4分）（2025秋•大连期末）若分式一的值为0,则x的值为1.

x+1

【考点】分式的值为零的条件.

【专题】分式；运算能力.

【答案】1.

【分析】利用分式值为零则有仔二1二八°,然后求解即可.

【解答】解：由条件可知

解得工=1，

故答案为：1.

【点评】本题考查分式值为零的条件，熟知分式值为0时要满足的条件是解题的关键.

12.（4分）（2024•海珠区一模）因式分解：3ay-4ci=a（3y-G.

【考点】因式分解-提公因式法.

【专题】整式：运算能力.

【答案】a（3y-4）.

【分析】利用提公因式法分解.

【解答】解：3少-4。

=a（3y-4）.

故答案为：“（3歹-4）.

【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法是解决本题的关键.

13.（4分）（2024春•左权县期中）如图，将一块含45c角的三角板力3c绕点力按逆时针方向旋转到△月,

C的位置.若NCAB'=15°,则旋转的角度为30°.

【考点】旋转的性质；角的计算.

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】300.

【分析】根据题意算出N8力8'=NCAB-/C4B',即可解题.

【解答】解：由题知，NC4B=45°,ACAB）=15°,

:=ZCAB-ZCAB'=30°,

・•・旋转的角度为30°,

故答案为：30。.

【点评】本题考杳了旋转的性质，以及三角板中的角度计算，正确确定旋转角是解题的关键.

14.（4分）（2023春•城阳区期中）己知在同一平面直角坐标系中，一次函数丫=,工+得与+2的

251

图象如图所示，那么不等式+T>-TX+2的解集为x>l.

362

【专题】常规题型；一次函数及其应用；应用意识.

【答案】工》1.

【分析】根据两函数的交点坐标得出不等式的解集即可.

【解答】解：•・・从图象可知：两一次函数尸|日4与尸一3+2的图象的交点坐标是（I,|）,

:.不等式下+京V-3+2的解集为x>1,

故答案为：x>l.

【点评】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，能了解两一次函数的交点坐标与一

元一次不等式的解集的关系是解此题的关键.

1Y4-2

15.（4分）（2025•竹溪县二模）计算：-=_1_.

x-2xz-4

【考点】分式的乘除法.

【专题】分式：运算能力.

【答案】1.

【分析】根据分式的除法法则计算即可求解.

【解答】解：原式=与八"+鳖；-2］二］

故答案为：1.

【点评】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法运算法则是关键.

16.（4分）如图，△ABC为等边三角形，CO垂直平分48,8E垂直平分4C,CD与BE交于点O,若BE

=6,则点。到8c的距离为2.

【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形：运算能力.

【答案】2.

【分析】过点。作。入L8C,垂足为凡先利用等边三角形的性质可得N/4C=6()°,AB=BC=AC,

从而利用等腰三角形的三线合一性质可得AE平分N48C,CO平分N4C4然后利用角平分线的定义

可得/086=30°,从而可得OB=2OF,再利用角平分线的性质可得OE=OF,从而可得O8=2OE,

最后进行计算即可解答.

【解答】解：过点。作。几L8C,垂足为几

•・•△力8c是等边三角形，

AZJ5C=60°,AB=BC=AC,

•••8七垂直平分4C,CO垂直平分力从

•••8E平分NX8C,CO平分N/C8,

AZOBF=30°,

・•.OB=2OF,

'/OE±AC,OF1,BC,

：・OE=OF,

：.OB=2OE,

，：BE=6,

：,OE=\BE=2,

：.OF=OE=2,

・,•点。到4c的距离为2,

故答案为：2.

【点评】本题考杳了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30度角的直角

三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

17.(4分)如图，在RtZU8C中，ZBAC=90°,N48。的平分线8。交力。于点。，DE是8c的垂直

平分线，点£是垂足.已知。C=5,AD=3,则图中长为4的线段有3条.

A

D

BEC

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角

形：勾股定理.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】3.

【分析】利用/MS证明△月得力再由线段垂直平分线的性质可得成=CE,从而

解决问题.

【解答】解：VZ^JC=90°,N48C的平分线8。交力。于点。，垂直平分8C,

:.AD=DE=3,BE=EC,

VDC=5,ED=3,

:・BE=EC=4,

在△48。与△E8Q中，

Z.A=乙BED

Z.ABD=乙DBE,

BD=BD

:./\ABD经4EBDCAAS）,

:.AB=BE=4,

・••图中长为4的线段有3条，

故答案为：3.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等

知识，属于基础题.

18,（4分）（1）如果/+（hI）x+9是一个完全平方式，那么左值是7或-5:

（2）己知a。=3，则。2+春的值是7.

【考点】分式的化简求值；完全平方式.

【专题】分式；运算能力.

【答案】（1）7或・5；

（2）7.

【分析】（1）利用完全平方公式得到x2+（片-1）x+9=（x±3）2,则左-1=±6,然后解两个一次方程

得到〃的值;

(2)把一知等式两边平方，然后利用完全平方公式展开，从向得到“2+当的值.

Q4

【解答】解：(1)根据题意得，+Ck-1)x+9=(x±3)2,

：.k-1=±6,

解得k=7或-5.

故答案为：7或-5.

(2)Va+i=3,

1

•,*(aH—a)2=9,

••Q2+-^2+2=9,

Q2+-^2=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查r分式的化笥求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果

分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.也考查了完全平方公式.

三.解答题(共8小题，满分78分)

(-5x+2>3(x-2)

19,(8分)(2025春•锦江区校级月考)(1)解不等式组：无+i5r；

-1__6-

(2)分解因式：-2xy2+y3.

【考点】解一元一次不等式组；提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】整式；一元一次不等式(组)及应用；运算能力.

【答案】(1)xW・1；

(2)y(x-y)2.

【分析】(1)解各不等式求得对应的解集后再求得它们的公共部分即可；

(2)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可.

【解答】解：(1)解第一个不等式得：xVl,

解第二个不等式得：xW-1,

故原不等式组的解集为1；

(2)原式=y(x2-Ixy'ry1}

=y(x-y)2.

【点评】本题考查解一元一次不等式组，因式分解，熟练掌握解不等式组及因式分解的方法是解题的关

键.

20.(10分)(2025春•佛山校级期中)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在

平面直角坐标系中，△48。的三个顶点力(5,2),B(5,5)、C(1,1)均在格点上.

(1)画出△4BC向左平移5个单位后的图形△小4C1；

(2)画出△4B1G绕。顺时针旋转90°后的图形汨2。;

(3)在(2)的条件下，求线段小。扫过的面积.

【考点】作图-旋转变换；勾股定理；扇形面积的计算：作组-平移变换.

【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形：平移、旋转与对称：几何直观：推理能力.

【答案】(I)△48C向左平移5个单位后的图形△出8iCi，如图1即为所求；

(2)△小绕C顺时针旋转90°后的图形△加比。，如图2即为所求;

【分析】(1)分别确定△48C的三个顶点力(5,2)、B(5,5)、C(1,1)向左平移5个单位后的对

应点力I，BT，Ci，再顺次连接小，Bi，G即可得解：

(?)分别确定为，C绕。顺时针旋转90°后的对•应点42，C\,再顺次连接力2,Ri，Ci，

即可得解；

(3)线段与。扫过的面积是以Ci为圆心，为。为半径的圆的面积的J计算可得答案.

【解答】解：(1)△力8c向左平移5个单位后的图形△小小。，如图1即为所求；

(2)△小81a绕。顺时针旋转90°后的图形△出比。，如图2即为所求;

・•・线段B\C\扫过的面积为：S=上万•(4企尸=87r.

【点评】本题考查了作图-旋转变换，勾股定理，扇形面积的计算，作图-平移变换，熟练掌握旋转与

平移的性质是解题的关键.

。21

2L分)(2024春・江阴市期中)⑴计算：有一示；

(2)解方程：泊一含二1

【考点】解分式方程；分式的加减法.

【专题】分式；分式方程及应用；运算能力.

【答案】(1)a-1；

(2)分式方程无解.

【分析】(1)根据分式的加法法则进行计算即可;

(2)方程两边都乘(x+2)(x-2)得出G-2)2-16=(x+2)(x-2),求出方程的解，再进行检验

即可.

【解答】解:⑴9-六

a2—1

a+1

_(a+l)(a-l)

Q+1

a-1；

x-216

(2)----~7=1，

x+2xz-4

x-216

-----------------=1，

x+2--(x+2)(x—2)

2

方程两边都乘（#2）（A-2）,得（A-2）16=(xi2)(A-2),

x2-4x+4-16=f-4,

x2-4x-f=-4-4+16»

-4x=8,

x=-2,

检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0,

所以x=-2是」曾根，

即分式方程无解.

【点评】本题考查了分式的加法和解分式方程，能正确根据分式的加法法则进行计算是解：1）的关键,

能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键.

22.（10分）（2023春•盐田区期中）如图，在中，AC=BC,ZC=90<>,力。是△/比?的角平分线.

（1）过点。作。垂足为点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若8。=4,在（1）的条件下，求力E的长.

【考点】作图一基本作图；角平分线的性质；勾股定理：等腰直角三角形.

【专题】作图题；几何直观；推理能力.

【答案】（1）见解答；

（2）4+2V2.

【分析】（1）利用过直线外一点作直线垂线的做法作图即可；

（2）利用勾股定理得：BD=&DE=4,得出。£=2企，继而得出4。=8。=4+2近，再证RtZ\4C£>

和Rt△力EO全等，得出力£=,4。即可得答案.

【解答】解：（1）如图所示;

（2）VZC=90°,AC=BC

，N8=NC/B=45°,ACLBC,

是△ABC的角平分线，DELAB,

：,CD=DE,^AED=90a,

；,/DEB=QO°,/EDB=45'=ZB,

:.DE=BE,

在△OE8中，由勾股定理得：BD=V2DE=4,

••・QE=2或,

：,CD=DE=2>/2,

*：AC=BC=4+2>/2,

在RtA^CD和Rl△nEO中

(AD=AD

。=ED'

ARtAJCD^RtA/lEZ)(HL),

：,AE=AC=4+2V2i

答：4E的长是4+2企.

【点评】本题考查过直线外一点作直线垂线，角平分线性质，勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关

键.

23.（10分）（2025•沈河区二模）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300

支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，

如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么

可以按批发价付款，同样需用120元.设该校八年级的学生总数为X人.

（1）求八年级的学生总数x的取值范围；

（2）如果按批发价购买360文钳笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多

少人？

【考点】一元一次不等式组的应用；分式方程的应用.

【专题】分式方程及应用；--元一次不等式（组）及应用：运算能力；应用意识.

【答案】（1）240VxW300：

（2）这个学校八年级学生有300人.

【分析】（1）根据“凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以

下（包括300支）只能按零售价付款”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论；

（2）根据按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，列出分式方程，解方程即可.

（X<300

【解答】解：（1）依题意得：I>qnn,

I人Ivzvz-OkzvJ

解得：240VxW300,

答：八年级的学生总数工的取值范围为240<xW300：

12012n

（2）依题意得：一x300=-^x360,

xA-t-nu

解得：x=300,

经检验，x=3（）0是原方程的解，且符合题意，

答：这个学校八年级学生有300人.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（I）根据各数量之

间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程.

24.（10分）（2025春•市南区期末）如图,在人片片。中，。为.4。边卜一点,AD=RD.AEIRD,交

的延长线于点E，DF1BC,垂足为足且4E=DF.

（1）求证：CB=CD；

（2）若点。是/C的中点，求NC的度数.

【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线.

【专题】图形的全等；等腰一角形与直角三角形；运算能力：推理能力.

【答案】（1）证明见解答；

（2）NC的度数是60°.

【分析】（1）由彳E_L8O,DFVBC,得/E=/DFB=90°,由4D=DB,根据直角三角形

全等的判定定理证明得N4QE=NQ8凡而/ADE=/CDB,即可证明

ZCDB=ZCBD,则C8=C。；

（2）由点。是力。的中点，得AD=CD,而4D=BD,所以。。=8。，因为CD=CB,所以△8CO是

等边三角形，则NC=60V.

【解答】（1）证明；'：AEA.BD,交8。的延长线于点E,DF±BC,垂足为F,

：,ZE=ZDFB=90c,

在Rt"DE和RtADBF中，

（AD=DB

=。尸

RtAADE^Rt/^DBF（HL）,

：.ZADE=/DBF,

,/NADE=NCDB,

••・ZCDB=NDBF,即ZCDB=NCBD,

：,CB=CD.

（2）解：•・•点。是/C的中点，

:.AD=CD,

•:AD=BD,

:.CD=BD,

由（1）得CD=CB,

：.CD=BD=CB,

•・.△BCD是等边三角形，

AZC=60°,

・・・/C的度数是60°.

【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三:角形的判定、等边三角形的判定与性质等知识,

证明《△/。£'0&/\。4产是解题的关键.

25.30分）（2025•西山区二模）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰

花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示.

（1）求y与x的函数解析式；

（2）该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰

花的数量，求购买这两种鲜花的总费用力的最小值.

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用.

【专题】一元i次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识.

.,(50x(0<x<20)

【合案】(1)尸+100(.020)；

(2)8600.

【分析】(1)按照x的取值范围，分别求出每束康乃馨的价格，从而写出对应y与x之间的函数关系式,

最后写成分段函数的形式即可；

(2)根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，写出/关于x的函数关系式，根据一次函数

的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时匹值最小，求出其最小值即可.

【解答】解：(1)