提优点11 概率与数列（含马尔科夫链问题）-2026年高考数学二轮复习

提优点11概率与数列(含马尔科夫链问题)

【知识拓展】

1.概率统计与数列的交汇涉及面广，内涵丰富，是近几年高考追逐的热点，主要

是概率统计与数列的证明、求通项、求和等.

2.马尔科夫链

(1)性质：对于随机变量序列已知第〃小时的状态X,,如果弱+1的随机变化

规律与前面的各项X,X”…，X”」的取值都没有关系，那么称随机变量序列M

具有马尔科夫性.称具有马尔科夫性的随机变量序列｛%｝为马尔科夫链.

(2)原理：利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导

经典的一维随机游走模型，即设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时

刻/=0时，位于点X=溟£N")一个时刻，它将以概率a或者以a£0,1),a+夕=1)

向左或者向右平移一个单位.若记状态•表示在时刻f该点位于位置¥=i(i£N"),

那么由全概率公式可得

产(“卜].)=尸(%,,_1)0(人/+]・,固」一)+2(％~+1)・尸(％+]-因3+1)

另一方面，由于0(X+i|XdD=夕，

P(X+\=i\Xl=j+i)=a,

代入上式可得Pi=aPi+i+£Pi

【类型突破】

类型一概率与数列

例1甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人

都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得

一1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为JI

43

(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E(X)；

⑵假设该团队连续答题〃轮，各轮答题相互独立.记p〃表示“没有出现连续三轮

每轮得1分”的概率，p〃=w〃_i+如i+cp〃-3(〃24),求小b,c；并证明：答

题轮数越多(轮数不少于3),出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.

解(1)由题意可知，X的取值为一1,0,1.

卜-1。寸=1

尸(X=7)=

12

3

P(X=O)=；X2_5

T+Tx3~12

32_1

P(X=\)=X

43~2,

故X的分布列如下:

X-101

151

P(B

12122

则E(A)=-1X1+0X5+1X1=5.

1212212

rn13

(2)由题意可知，pi=l,P2=l,P3=l一

P4=1-3X(2J4=^;

16

经分析可得:

分，则p”=；Xp“」；

若第〃轮没有得1

若第〃轮得1分,且第〃一1轮没有得1分，则P，，=；X；Xp〃_2；

若第〃轮得1分,且第〃一1轮得1分，第〃一2轮没有得1分，则p”=

故TH'C=8；

因为P〃=》〃_l+}〃_2+>〃—3,

故pn+1=+；p〃_1+}〃_2,

.._1111-l.l.1

故p〃+J~pn=^n—^>n-\—Dn-1—Dn-3=一于〃十4p”.1十Dn-2

〉〃一3<0；

21O

故p〃+1<pfl(n24),且pi=p2>P3>“4,

贝Up\=P2>pi>p4>ps><**,

所以答题轮数越多（轮数不少于3）,出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.

规律方法1.证明数列的单调性关键是证明相邻两项的差为正数或负数，若数列

为递推数列，则需注意寻找相邻项的关系.

2.证明数列为等差、等比数列，关键是依据概率统计知识，得到数列的通项公式

或递推式，利用等差、等比数列的的定义证明.

训练1国学小组有编号为1,2,3,…，〃的〃位同学，现在有两个选择题，每

人答对第一题的概率为:，答对第二题的概率为:，每个同学的答题过程都是相互

独立的，比赛规则如下：

a.按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮初赛；

b.若第2,3,…，〃-1）号同学未答对第一题，则第，轮比赛失败，日第i

+1号同学继续比赛；

c.若第2,3,…，〃-1）号同学答对第一题，若该生答对第二题，则比赛

在第，轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i+1号同学继续

答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；

d.若比赛进行到了第〃轮，则不管第〃号同学答题情况，比赛结束.

（1）若随机变量％表示“名同学在第8轮比赛结束，当〃=3时，求随机变量X3

的分布列；

（2）若把比赛规则c.改为：若第（=1,2,3,…，〃-1）号同学未答对第二题，则

第，•轮比赛失败，第，.+1号同学重新从第一题开始作答.令随机变量匕表示〃名

挑战者在第匕轮比赛结束.

①求随机变量匕（〃&N*,心2）的分布,列；

②证明：E（匕）单调递增，且小于3.

⑴解由题设，%的取值为1,2,3.

尸（为=i）=；x；=；,

尸叱2）=沁一2兄+卜；X1=5,

218

〃（彳3=3）=L=*,

31818

因此在的分布列为

%123

157

P

31818

⑵①解匕可取值为1,2,…，几

每位同学两题都答对的概率为

则答题失败的概率均为1一队!=匕

323

py-i

所以匕〃一1,左£N*）时，P（匕=%）=1工

*3；

当Yn=n时,

故匕的分布列为:

②证明由①知E（匕）=工/3）X|

X'+,1

37Mg.

件」件件「件

E（Yn+］）-E（Yn）=nl3）X；+（〃+l）13j=UJ＞0,

故瓜“单调递增；

由上得反力）=：,

故E（匕）=£（力）+四丫3）—/（丫2）］+囱匕）一£（%）］+••・+［£（匕）一E（y“_i）］,

「5f2］2H3件-50件「

所以E（匕）=；+bJ+bJ+…+bJ=；+2=3—2xbJ＜3,

3

故E（Y2）＜E（Yi）＜E（K4）＜£（y5）＜•••＜E（Yn）＜3.

综上E（匕）单调递增，且小于3.

类型二马尔科夫链模型

例2（2024•青岛调研）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和

人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有

着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，”一2,X-i,X,X,

+1,…，那么X+I时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态”,即P(X+]]…，X-

X-1,X)=P(X+i|X).现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如人人唾弃的赌博.

假如一名赌徒进入赌场参与赌博，每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可

以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩

下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博：一种是手中赌金为。元，即赌徒输

光；一种是赌金达到预期的8元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为/元(4£N*,

A<B),赌博过程如图中的数轴所示.

0.50.5

Z-XK

ATA4+1

1

―()।__।1_।——।————R-----------

().50.5

当赌徒手中有〃元(0《〃W8,最终输光的概率为P(〃)，请回答下列问

题：

(1)请直接写出尸(0)与P(A)的数值：

(2)证明仍(〃)｝是一个等差数列，并写出公差/

(3)当4=100时，分别计算8=200,8=1000时，。(彳)的数值，并结合实际，解

释当8-8时，P①)的统计含义.

⑴解当〃=0时，赌徒已经输光了，因此P(0)=l.

当〃=8时，赌徒到了停止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P(8)=0.

(2)证明记M：赌徒有〃元最后揄光的事件，N：赌徒有〃元下一场赢的事件，

则P(M=P(TV)P(MM+P(MP(MM，

即p(〃)=ip(〃一i)+ip(〃+i),

所以P(n)一以(〃-1)=P(〃+1)-P(n),

所以｛尸(〃)｝是一个等差数列.

设P(〃)一尸("一l)=d,P(〃一1)一尸(〃-2)=d,…，P(l)—P(0)=

累加得P(〃)一P(0)=〃d,

战P(B)-P(0)=Bd,得d=-L

B

(3)解由P(〃)一P(0)=〃d得P(A)-P(0)=Ach

A

即P(/)=1-;

当5=200时,P(J)=50%,

当8=1000时，P(4)=90%,

当8-8时，口力广1,因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的赌博，

只要赌徒一直玩下去就会有100%的概率输光.

规律方法1.马尔科夫曾模型的本质是下一步的概率仅与上一步的概率有关：

2.写出概率的递推公式，利用数学递推公式求出通项公式，进而解决有关问题.

训练2(2024•武汉模拟)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑

球和2个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球

交换的操作，重复〃次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为

⑴求Xl的概率分布列并求仇七)；

3]

,F(Y)—

(2)求证：【"2】("22且〃£N")为等比数列，并求出E(X〃)(〃22且〃£N)

⑴解X2可能取0,1,2,3.

则P(A2=0)=2X2X1X1=4；

333381

P(AS=3)=2X1X1X14-1X2X1X1=4；

3333333381

p(不=[)=]乂/义/乂乙+乙乂义/乂乙+/义/义x"+zxzxzx

333333333333333381

41

P(生=2)=l-P(E=0)—P(M=l)-P(X2=3)=：,

o1

故先的分布列为:

0123

A2

432414

Ip

81818181

43241414

E(Xi)=0X+1XJZ-F2X^1+3X

818181819

(2)证明由题可知产(苞+i=l)=尸(M=0)+l3333jP(Xi=l)+；X；P(M=2)

JJ

44

=P(M=0)+/(X=1)+/(M=2),

。(兄+产2)=2"/2(%=1)+(2"；1+1；乂2；)。(“尸2)+0(的=3)=4：P(兄=1)+4P(M

=2)+P(X“=3),

P(M+i=3)=；X；P(M=2)=b(X,=2),

又•••P(M=O)+P(%,=1)+P(M=2)+P(M=3)=1,

E(X+i)=iXP(A；,+1=l)4-2XP(XJ+i=2)+3XP(%,+I=3)=P(XJ=0)+^P(A；=l)

+；尸(M=2)+2P(X,=3),

1?1

・•・£(黑+])=1+；P(g=l)+；P(M=2)+P(X〃=3)=1+；E(M),

・・・E(X〃+D-：=("，-2](〃22且〃£N)

4J

31

F(Y}3】

故1”2j(〃22且〃仁N)为等比数列，

31

・・・E(X〃)—：=：xbJ,

21o

1叶？

：.E(Xn)=\3)+2(〃力且〃

【精准强化练】

1.(2024・湖北十一校联考)如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个

半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小

球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，

向左、右两边下落的概率都是L最后落入4袋或4袋中.一次游戏中小球落入力

袋记1分,落入8袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得〃(〃EN*)分的

概率为p〃.

⑴求0,P2,〃3；

(2)写出p〃与pi(〃£N"且〃22)之间的递推关系，并求出仍〃}的通项公式.

解(1)小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入8袋中，

此概率尸(3)=cU+C1U=|,

则小球落入/袋中的概率尸(4)=1一尸(8)=1—1=3,

44

故pi=P(4)=；,

Pl2.113

〃尸⑷+4=d

〃3=。+QXX=2

4464

(2)法一游戏过程中累计得不到〃分，只可能在得到(〃一1)分后的一次游戏中小

球落入B袋中，

故1—p“=}〃_i(〃£N*_3.〃22),

即夕〃=1一,且〃22).

得〃〃一，=—"""5](〃£N*且心2),

54

故人一1为等比数列，且首项为pi—：=；—：=—：，公比为一；，

故P〃=：X14J+；(〃EN)

法二游戏过程中累计得〃分可以分为两种情况：得到(〃一2)分后的一次游戏中

小球落入B袋中，或得到(〃一1)分后的一次游戏中小球落入4袋中，

71

故p〃=/〃-1+.Pn-2(nwN*且心3),

44

即〃“+：〃”1=〃”i+卜2(〃£N"日”23),

故人十bi[(〃£N*且〃22)为常数数列，且p2+；pi=l,故p〃+；pi=l(〃£N*

且〃22),即p〃=1—；p〃_[(〃《"*且〃力2).

下同法一.

2.(2024•开封模拟)某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊

花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，

2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据

统计，有金的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文

化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.

假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互

独立，将频率视为概率.

(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分

的数学期望；

(2)2024年的“清明文化节.”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再

次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种

出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第

一天选择“单车自由行”的概率为:，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续

选择“单车自由行”的概率为若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择

4

“观光电车行”的概率为；如此往复.

①求甲第二天选择“单车自由行”的概率；

②求甲第〃(〃=1,2,…，16)天选择“单车自由行”的概率第,并帮甲确定在2024

年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的

概率的天数.

解(1)由题意，每位游客得1分的概率为:，得2分的概率为:，随机抽取三人，

用随机变量X表示三人合计得分，则X可能的取值为3,4,5,6.

P(X=3」3)=却

件14

P(X=4)=C，X〔3j

2

Pl22

P(X=5)=qx13j

1

P(X=6)=

27,

则现¥)=3义8+4X44-5X2+6X1=4.

279927

所以三人合计得分的数学期望为4.

(2)第一天选择“单车自由行”的概率为:则第一天选择“观光电车行”的概率

若前一天选择