2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末重难点突破训练（六大板块）

期末重难点突破训练2025-2026学年北师大版

八年级下册（六大板块）

板块一：三角形的证明及其应用

1.如图，在VABC中，NB,NC的平分线交于点。QQJ.BC于〃，如果

AB=18cm,BC=20cm,AC=22cm,且三角形的面积=150cnd,那么OO的长

为（）

C

力N----------------

A.4cmB.5cmC.।6cmD.无法确定

2.如图，在四边形力腼中，N力=90°,力〃=3,.%=5,对角线劭平分N力比；则△以力的

面积为（）

A

A.7.5B.8C.15I）.无法确定

3.如图，在一ABC中，ZACZ?=90°,ZA=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点。，

交AB于点E,则/05c的度数等于（）

A

M

A.10°B.11°C.12°I).13°

4.如图，在△力BC中，4。垂直平分BC,在/中，CE垂直平分4尸，若CF=6,CD=5,

5.如图，在△4%中，N8=45°,曲是△力8。的角平分线，DELAC,垂足为点反若DE=2,

则劭的长为（）

6.如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP1力B于点P,NM1BC于点M,PN1

AC于点N,若AB=12cm,则CM的长为cm.

7.一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边斯落在另一块三角板的斜边AC上，边

8c与。尸交于点0,则/80。的度数是.

C

B

D

8.如图，在V4BC中，N8=NC=60。，将V8OE沿直线OE翻折，使点8落在片处，。四、EB、

分别交边AC于点尺G.若NAO/=80°,则NGEC=。.

\A

9.如图，在A/IBC中，AB=AC,BC=6cm,48的垂直平分线交力B于点D,交4c于点E,

点尸为8c的中点，点M为线段DE上一动点,若△8FM周长的最小值为10cm,则4ABC的

面积是cm2.

A

公BFC

10.已知：如图，I)为△/BC外角ZACP平分线上一点，且DA=D8,DM1BP于

点M.

A上B

(1)若4C=3,DM=1,求△ACD的面积：

(2)求证：AC=BM+CM.

11.如图,已知AE_LAB,AF1AC.AE=AB,AF=AC,BF与CE相交于点M.

(1)EC=BF；

(2)EC_LBF；

(3)连接AM,求证：AM平分NEMF

板块二：不等式与不等式组

2

1.已知关于x的不等式（a-1）x>2的解集为工<3,则a的取值范围是（）

a-\

A.a<lB.c/>1C.a<0D.ci>0

2.某品牌电脑的成本为2400元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折

销售，最低可打多少折出售（）

A.8折B.8.5折C.9折D.9.5折

3.已知关于x的不等式组｝1有且只有4个整数解，则m的取值范围是（）

A.6<?n<7B.6<m<7C.6<m<7D.6<m<7

4.若关于x、y的二元一次方程组）的解满足不等式x>0,），<0,则攵的取值

x-y=k+2

范围是（）

A.k2B.k>\C.无解D.——<A:<1

5.某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10

元.已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商

品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依

题意可列不等式组得（）

(%+(2x-3)>35(x4-(2x-3)>35

A'(20x+10(2x-3)<560氏(20x+10(2%-3)<560

(x+(2x-3)>35(x4-(2x-3)>560

J(20x+10(2x-3)>560'(20x+10(2%-3)<35

6.关于x的不等式JV组<"3:无解，则a的取值范围是

x+2>2a---------

7.已知关于x的不等式组的解集为XVKL则实数a的取值范围是

8.某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得

0分.某学生有一道题未答,那么这个同学至少要答对道题，成绩才能在6()分以上.

2X-1>J+1

9.解不等式组，并把解集表示在数轴上.

x+l>4x-8

工2x++2工V=2，/7+2-41的解满足《二；：［求〃，的取值范围.

10.已知关于x、y的二元一次方程组

11.某经销商计划购进4笈两种农产品.已知购进/种农产品2件，6种农产品3件，共需

690%;购进力种农产品1件，月种农产品4件，共需720元.

(DA«两种农产品每件的价格分别是多少元？

(2)该经销商计划用不超过5160元购进4〃两种农产品40件，且4种农产品的件数不超过

夕种农产品件数的3倍.如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，月种每件200

元的价格全部售出，那么购进4«两种农产品各多少件时获利最多？

板块三：图形的平移与旋转

1.如图，将△/1比绕点力逆时针旋转80°,得到△力阳若点〃在线段比、的延长线上，则

的大小是（）

A.45°B.50°C.60°D.100°

2.某校为了美化校园，在长方形场地上修筑两条互相垂直的道路，即GHJ_EF（如图所示）,

余下部分作草坪，根据图中数据，则草坪面积为（）

A.小于8B.大于8C.8D.以上均不正确

3.如图，在三角形48C中，AB=3,AC=5,BC=6,将三角形4BC沿8C方向平移3个单

位长度，得到三角形。EF，则下列结论：®AB//DEx©AD//BC,③BF=9；④阴影部分

的周长为14.其中正确结论的个数为（）

4.如图是一段楼梯，BC=2cm,AB=4cm,若在楼梯上铺地毯至少要（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

5.如图，已知在△?!〃。中，.必=比-10,力仁⑵将△/1必绕点力逆时针旋转.得到△/!«1.点

〃是边力。的中点，点£为边比'上的动点，在△力比'绕点月逆时针旋转的过程中，点夕的

对应点是点£，则线段龙'长度的最大值与最小值的差是（）

6.在Rt△/应。中，N/1归90°,AC=6,BC=8,将△力比绕点力旋转得到△/!9C.边

回所在的直线与旋转后8'C所在的直线相交于点〃，当6'C〃48时,⑦的长为

7.如图.将长为6cm、器为4cm的长方形力BCD先向右平移3cm,再向下平移1cm,得到长

方形A'8'C'。'，则图中阴影部分的面积为cm2.

8.如图，在△48。中，已知N力⑦=45°,BC=1,48=遍，将△48C绕点力逆时针旋转得

到△力〃肌点〃与点〃对应，点C与点2对应，且G〃，2三点恰好在同一条直线上，则

窕的长为

9.如图，在△力比中，/阴C=120°,以比•为边向三角形外作等边三角形△&A把△力如

绕〃点按顺时针方向旋转60°后得到△/‘〃，若力〃=4,力仁2.

（1）求/力庞'的度数；

（2）47的长.

E

C

A

10.图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米）

在图1中，将线段A3向上平移1米到40,得到封闭图形A47T3（阴影部分）；

在图2中,将折线48c（其中点B叫做折线A8C的一个“折点”）向上平移1米到折线

得到封闭图形/VTUCC3（阴影部分）.

£—=邛4^^£小路喀氤20米

32米

图1图2图3图4

（1）问题解决，设图1,图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为则，=_平方米:

并比较大小：，S］（填“>”"="或<"）：

（2）联想探索：如图3,在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），

长方形的长为〃，宽为〃，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是一平方米（用含/b

的式子表示）.

（3）实际运用：如图4,在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形

的边平行或垂直），余下皆分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为平方米.

板块四：因式分解

1.下列各式由左到右的变形中，正确地将多项式进行了因式分解的是（）

A.a2-ab+a=a(a-b)B.a2+6ab+9b2=(a+3b)2

C.a2-9b2=(a-3b)2D.x2+2x+3=x(x+2)+3

2.多项式W-4〃?分解因式的结果是()

A.B.(m+2)(m-2)C.+2)(〃[-2)I),(in-2)2

3.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是！)

A.4x2-4x+lB.V+2x-lC.x2+^+2y2I).9+x2-4x

4.下列多项式不能用公式法分解因式的是()

A.-x24-y2B.-y2-2xy>-x1C.x2-2xy+y2D.x2+y2

5.下歹lj多项式：①-4〃F+9,©9/n2-4n2,（3）4m2+12/7/4-9,@9m2-6nui+n2.其中有一

个相同因式的多项式是（）

A.①和②B.①和④C.①和③D.②和④

6.已知a+Z?=3,ab=2,求代数式a'b+2（rb2+ab7,的值为（）

A.6B.18C.28D.50

7.如果x+5是W一"一15的一个因式，则上的值是.

8.若y2-3y+m有一个因式为了一4,则m=.

9.若关于x的多项式V-"丫-6含有因式大-1,则实数a=.

10.因式分解：

(1)/n2-10/n+25；(2)(x2+4y2)2-16x2/•

11.仔细阅读下面例题，解答问题:

例题：已知二次三项式V-4x+m有一个因式是(x+3),求另个因式以及用的值.

解：设另一个因式为(％+"),得:x2-4x+in=(x+3)(x+n).

则x-4x+m=x2+(n+3)H+3〃.

+3=-4

[m=3n

解得：〃=—7,in=—2\.

・•・另一个因式为*-7),期的值为-21.

问题：仿照以上方法解答下列问题：

己知二次三项式2f-5x-k有一个因式是(2A--3),求另一个因式以及k的值.

12.(1)试说明代数式(s-2r)(s+2f+l)+4«f+3的值与s、，的值取值有无关系；

2

(2)已知多项式斯-。与2/-X+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为T,试

求/的值；

(3)已知二次三项式2/+3%-%有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及左的值.

板块五：分式与分式方程

2

1.已知A•二—=—,则力表示的分式是（)

2x2

X

A.--B.四C.TD.

），+1Xxy-i

2.计算j他、+2/91的结果为（）

kc）ac）

、h2c3

A.2B.ab4c2C.加c4D.b5c

a

工化简A+l的结果是（）

卫D.，

A.1B.—C.

a-1a+l«+l

4.关于％的分式方程」-+、"一=4无解,则机的值是（）

2x+6厂+6x+92

A.1.5B.0C.-3D.0.5

5.甲工程队完成一项工程需〃天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那

么两队共同工作一天完成这项工程的（）

〃+3〃+32〃+3nn+3

6.若4/+〃一5出7=0,则竺^的值等于____________.

b-2a

7.若关TA的方程々-亍-0无解，则〃，的值是—.

x-44-x

8.A、B两地相距60千大，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用0小时，已知摩托车的

2

速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度.设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可

列方程为.

9.先化简,再求值：卜*卜4其中-3.

1（）.某学校开学初在商场购进力、〃两种品牌的足球，购买力品牌足球花费了250（）元，购买

月品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买《品牌足球数量的2倍，已知

购买一个8品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元.

（1）求购买一个/品牌、一个8品牌的足球各需多少元；

（2）“足球进校园”的号召，决定再次购进力种品牌足球30个，

〃种品牌足球20个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，力品牌足球售价比第一

次购买时提高了2小，力品牌足球的售价比第一次购买时降低了温，如果这所中学第二次

购买两种足球的总费用比第•次购买两种足球总费用减少了学/，求々的值.

5

板块六：平行四边形

1.如图，在即以为中，对角线力。、劭交于点0,周长为18,过点0作废工"交力〃于点£,

连结出则△口应的周长为（)

C.6D.3

2.如图，在勿8C0中，AD=BD,NADC=105°,点少在40上，ZEBA=60°,则电的

AE

值是（)

A.1B.遮C.?D.当

3.如图，在平面直角坐标系中，口力比〃的边力〃在x轴上，顶点〃在y轴上，点儿〃的坐标

分别是（2,0）,（7,CD,NQ切=30°,则顶点。的坐标为（

y”

A.(273,5)B.(5,W3)C.(5,273)D.(473,5)

4.如图，将平行四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点3'处，若Nl=48°,Z2=

32°,则/B的度数为（）.

C.104°D.56°

5.如图，口ABCD中,AB=22cm,BC=8让an,/力=45°,动点£从力出发，以2o7/s的速

度沿加，向点〃运动，动点〃从点。出发，以lcm/s的速度沿着切向〃运动，当点到

则防的长为10c勿时点£的运动时间是（）

A.6sB.6s或10sC.8sI).8s或12s

6.如图，在%BCD中，过对角线8。上一点P作EF||BC,GH||48,且CG=38G,-S-Dt.RrFUPr=1.5,

则SQAEPH

7.如图，。/1武力的顶点。在等边△麻尸的边防上，点E在科的延长线上，G为龙的中点,

连接Q7.若/1P=5,AB=CF=3,则。G的长为

8.四边形力吸》为平行四边形，已知月4后，仇=6,力C=5,点£是小边上的动点，现将

△4光'沿力£折叠，点*是点A的对应点，设位长为>,若点"落在△/1应'内（包括边界），

则x的取值范围为.

9.如图，点昆厂是平行四边形相切对角线/上两点，BE//DF.

（1）求证：四边形应必是平行四边形；

（2）若/!48,BC=6,//330°,求平行四边形力的面积.

10.如图，。力灰刀的对角线与劭相交于点。，点区"分别在必和必上.

（1）当BE,防满足什么条件时，四边形力以'是平行四边形？请说明理由;

（2）当/加加与NC功满足什么条件时，四边形"北尸是平行四边形？请说明理由.

E

BC

【答案】

期末重难点突破训练2025-2026学年北师大版

八年级下册（六大板块）

板块一：三角形的证明及其应用

1.如图，在V4AC中，NRNC的平分线交于点。ODtBC于。,如果

A8=18cm,BC=20cm,AC=22cm,且三角形的面积S.8c=ISOcn?,那么的长

为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.无法确定

【答案】B

2,加图，在四边形力及⑦中，N力=90。，力〃=3,及7=5,对角线89平分N4K,则△比9的

面积为（）

A.7.5B.8C.15I）.无法确定

【答案】Ao

3.如图，在53。中，ZAC£?=90°,ZA=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点。,

交AB于点E,则NO3c的度数等于（）

A

A.10°B.11°C.12°D.13°

【答案】A

4.如图，在△48C中，4D垂直平分在△46中，CE垂直平分力/，若b=6,CD=5,

【答案】B

5.如图，在△力8C中，NB=45°,力〃是△力8C的角平分线，DE1AC,垂足为点五若加'=2,

则劭的长为（）

A.4B.2V3C.2D.272

【答案】D

6.如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，旦MP148于点P,NM1BC于点、M,PN1

AC丁点、N,^AB=12cm,则CM的长为cm.

【答案】4

7.一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边律落在另一块三角板的斜边AC上，边

BC与DF交于点、0,则N3。。的度数是.

【答案】105°

8.如图，在V4BC中，NA=NC=60。，将V4OE沿直线。石翻折，使点片落在用处，。4、EB,

分别交访AC于点尺G.若NA£>F=8O°,则NG£C=

【答案】40

9.如图，在△48C中，4B=4C,BC=6cm,4B的垂直平分线交力8于点D,交4c于点〃'，

点尸为8c的中点，点M为线段DE上一动点，若△8尸M周长的最小值为10cm,则△ABC的

【答案】21

10.已知：如图，I）为AABC外角ZACP平分线上一点，且=,DMIBP于

点M.

M

D

/

AB

(1)若/IC=3,DM=1,求△ACD的面积；

(2)求证：AC=BM+CM.

【答案】(1)解：如图所示，过点D作DE_LAC于E,

YCD是NACM的角平分线，DE±AC,DM±BC,

ADE=DM=1,

：^hACD=\AC-DE=1：

(2)证明：VDEXAC,DM_LBC,

AZDEA=ZDEC=ZDMB=903,

VAD=BD,DE=DM,

.,.RtADEA^RtADMB(HL),

/.AE=BM,

VZDEC=ZDMC=90°,DE=DM,DC=DC

ARtADEC^RtADMC(HL),

AEC=CM,

.\AC=AE+EC=BM+CM

11.如图，已知AEJ_AB,AF1AC.AE=AB,AF=AC,BF与CE相交于点M.

(1)EC=BF；

(2)EC_LBF；

(3)连接AM,求证:AM平分NEMF

【答案】(1)证明：・・・AEJ_AB,AF_LAC,

AZBAE=ZCAF=90°,

JZBAE+ZBAC=NCAF+/BAC,

即NEAC=NBAF,

在aABF和4AEC中，

AE=AB

丁ZEAC=NBAF,

AF=AC

AAABF^AAEC(SAS),

，EC=BF；

(2)解：根据(1),VAABF^AAEC,

.*.ZAEC=ZABF,

VAE1AB,

AZBAE=90°,

AZAEC+ZADE=90°,

VZADE=ZBDM(对顶角相等)，

.,.ZABF+ZBDM=90°,

在△BDM中，ZBMD=1800-ZABF-ZBDM=180°-90°=90°,

所以EC_LBF.

(3)解:作APJLCE于P,AQ_LBF于Q.如图:

E,

VAEAC^ABAF,

AAP=AQ（全等三角形对应边上的高相等）.

VAPXCETP,AQ_LBL于于

AAM平分NEMF

板块二：不等式与不等式组

2

1.已知关于x的不等式（a・l）x>2的解集为xv二二，则a的取值范围是（）

4—1

A.a<\B.a>lC.a<0D.a>0

【答案】A

2.某品牌电脑的成本为2400元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折

销售，最低可打多少折出售（）

A.8折B.8.5折C.9折D.9.5折

【答案】C

3.已知关于x的不等式组L）2工1有且只有4个整数解，则m的取值范围是（）

A.6<m<7B.6<m<7C.6<m<7D.6<m<7

【答案】C

x+y=3k

4.若关于x、y的二元一次方程组<',）的解满足不等式x>0,y<0,则a的取值

x-y=k+2

范围是（）

A.&>一（B.k>\C.无解D.——<A:<1

【答案】D

5.某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10

元.已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商

品的总数最不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依

题意可列不等式组得（)

(%+(2x-3)>35x+(2x-3)>35

A，(20x+10(2x-3)<56020x+10(2x-3)<560

(x+(2x-3)>35x+(2x-3)>560

(20x+10(2x-3)>56020x+10(2x-3)<35

【答案】A

x<a-3一

6.关于“的不等式组〈x+2>为无解'则a的取值范围是

【答案】a>-\

7.已知关于x的不等式组｛7）：/；的解集为则实数a的取值范围是

【答案】QW0

8.某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得

0分.某学牛有一道撅未答，那么这个同学至少要答对道题,成绩才能在60分以匕

【答案】12

2x—]>尸+1

9.解不等式组,并把解集表示在数轴上.

x+l>4x-8

【答案】2vx<3,作图见解析

2x-l>x+l®

【解析】

%+1>4X一8②

解：由①得：x>2,

由②得：x<3,

•••不等式组的解集是2Vg,

在数轴上表示为:

-5-4-3-2-1012345

2x+y=1

10.已知关于x、y的二元一次方程组/2m-d的解满足(｛x+y>2一求m的取值范围.

x+2y=m+4Ix-y<4

【答案】1</n<9

2x+y=2m-l®

【详解】解:

x+2y=，〃+4②

①+②得：3x+3y=3〃?+3,

整理得：x+y=m+\,

①-②得：x-y=m-5,

・・卜+，>2

•9

x-y<4

.〃?+1>2③

,,,

由③可得：m>\,

由④可得：，”9,

・••加的取值范围为：

11.某经销商计划购进4«两种农产品.已知购进4种农产品2件，8种农产品3件，共需

690元；购进力种农产品1件，6种农产品4件，共需720元.

（DA,少两种农产品每件的价格分别是空少元？

（2）该经销商计划用不超过5160元购进力，8两种农产品40件，且火种农产品的件数不超过

〃种农产品件数的3倍.如果该经销商将购进的农产品按照月种每件160元，〃种每件200

元的价格全部售出，那么购进4笈两种农产品各多少件时获利最多？

【答案】（1）力种农产品每件的价格是120元，《种农产品每件的价格是150元

（2）购进A种农产品28件，则购进8种农产品12件时获利最多

【详解】（1）解：设力种农产品的每件价格是x元，笈种农产品每件的价格是y元，

依题意得：

2x+3y=690

.v+4y=720'

x=120

解得：

>'=150

答：月种农产品每件的价格是120元，6种农产品每件的价格是150元；

（2）解：设该经销商购进4种农产品/〃件，则购进〃种农产品（40-m）件,

tn<3(40-/«)

依题意得:

120w+150(40-///)<5160

解得：284〃区30,

•・•/〃为正整数，

:/〃可取28,29,30,

当购进1种农产品28件，则购进4种农产品40-28=12件,

则28x(160-120)+12x(2(X)-150)

=1120+600

=1720(元)，

当购进月种农产品29件，则购进6种农产品40-29=11件，

则29x(160—120)+11x(200—150)

=1160+550

=1710(元)，

当购进力种农产品30件，则购进8种农产品40-30=10件，

则30x(160-120)+10x(200-150)

=1200+500

=1700(元)，

•.-1720>1710>1700,

A购进A种农产品28件，则购进笈种农产品12件时获利最多，

答：购进力种农产品28彳匕，则购进8种农产品12件时获利最多.

板块三：图形的平移与旋转

1.如图，将△4%绕点力逆时针旋转80°,得到△/1〃£,若点〃在线段8C的延长线上，则

N6的大小是()

A.45°B.50°C.60°D.100°

【答案】B.

2.某校为了美化校园，在长方形场地上修筑两条互相垂直的道路，即GHJ_EF(如图所示),

余下部分作草坪，根据图中数据，则草坪面积为()

A.小于8B.大于8C.8D.以上均不正确

【答案】A

3.如图，在三角形4BC中，AB=3,AC=5,BC=6,将三角形ABC沿8c方向平移3个单

位长度，得到三角形DEF,则下列结论：@AB//DE；©AD//BC；③BF=9；④阴影部分

的周长为14.其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

4.如图是一段楼梯，BC=2cm,A8=4cm,若在楼梯上铺地毯至少要（）

【答案】C

5.如图，已知在中，例=比=10,〃=⑵将△/1比绕点力逆时针旋转.得到C.点

〃是边〃’的中点，点〃为边比上的动点，在△力回绕点力逆时针旋转的过程中，点少的

对应点是点片，则线段〃夕'长度的最大值与最小值的差是（）

C

B'

B

E

DC

A.募B.gC.gD.18

【答案】C.

6.在口△/1比中，N47/=90°,AC=^,BC=8,将△的。绕点月旋转得到△/〃'C,边

比、所在的直线与旋转后8,C所在的直线相交于点〃，当*C〃/出时，5的长为

【答案】2或18.

7.如图，将长为6cm、宽为4cm的长方形A3CO先向右平移3cm,再向下平移1cm,得到长

方形A'8'C'O',则图中阴影部分的面积为cn?.

【答案】30

8.如图，在△力回中，已知/力％=45°,BC=l,AB=\[5,将△49C绕点力逆时针旋转得

到△4比•，点4与点〃对应，点C与点〃对应，且C,D,£三点恰好在同一条直线上，则

。,的长为.

9.如图，在△/1比'中，/物仁120°,以比为边向三角形外作等边三角形△比〃把△加切

绕〃点按顺时针方向旋转60°后得到△合切，若麴=4,AC=2.

(1)求N/1庞的度数：

【答案】解：(1)•・•托△48〃绕〃点按顺时针方向旋转60°后得到△仇力,

：・/A/）E=60°；

（2）:把被绕〃点按顺时针方向旋转60°后得到△笈力，

・•・/月然=60°,AD=DE,

・•・△力庞是等边三角形，

四边形火胸中，/以。=120°,/BDC=60：

N/1即/4g360°-120°-60°=180°,

,把△47〃绕〃点按顺时针方向旋转60°后得到△口〃

4ECD=NABD,

・•・/灰沙N1C9=180°,即/力喏=180°,

・•"、a/三点共线，

即£和少重合，

•・•杷△[M绕〃点按顺时针方向旋转60°后得到△£〃?，48=4,AC=2,

:,EC=AB=4,AD=DE,/力庞=60°,

，△力庞是等边三角形，

:"D=DE=AE=2+4=G.

10.图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米）

在图1中，将线段AB向上平移1米到八5,得到封闭图形（阴影部分）：

在图2中，将折线ABC（其中点3叫做折线48c的一个“折点”）向上平移1米到折线

得到封闭图形A40CO?（阴影部分）.

（1）问题解决，设图1,图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S，邑，则，=_平方米;

并比较大小：$_与（填“〉”“="或＜"）；

（2）联想探索：如图3,在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），

长方形的长为〃，宽为。，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是一平方米（用含%b

的式子表示）.

（3）实际运用：如图4,在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形

的边平行或垂直），余下芾分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为平方米.

【答案】(】)40,=

⑵a(OT)或而-a

(3)448

【详解】(1)解:设图1,图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为

则S[=10x(5-1)=10x4=40平方米，S?=10x(5—1)=10x4=40平方米：

JS=S?.

故答案为：40,=.

(2)解：如图3,长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米，

・••空白部分表示的草地的面积是(破-。)平方单位.

故答案为：

(3)解：如图4,长方形的长为。，宽为。，道路宽为4米，

••・空白部分表示的草地的面积是(32-4)(20-4)=448平方米.

故答案为：448.

板块四：因式分解

1.下列各式由左到右的变形中，正确地将多项式进行了因式分解的是()

A.a2—ab+a=a{a—b)B.a2+6ab十9b1=(a十3b)2

C.a2-9b1=(a-3b)2D.V+2x+3=x(%+2)+3

【答案】B.

2.多项式>-4〃?分解因式的结果是()

A.m(m-4)B.(in+2)(/n-2)C.+2)(/H-2)D.(in-2)2

【答案】A.

3.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是])

A.4x2-4x+1B.x2+2x-1C.x2+xy>+2y2D.9+x2-4x

【答案】A.

4.下列多项式不能用公式法分解因式的是()

A.-r2+y2B.-y2-2xy-x2C.x2-2xy+y2D.x2+y2

【答案】D.

5.下列多项式：①T〃/+9,②9〃/_4〃2,③4〃/+12/〃+9,@9/?r-6mn+n2.其中有一

个相同因式的多项式是()

A.①和②B.①和④C.①和③D.②和④

【答案】C.

6.已知〃+力=3,"=2,求代数式a3b+2a2b2+加的值为()

A.6B.18C.28D.50

【答案】B.

7.如果x+5是Y一米—15的一个因式，则上的值是.

【答案】—2.

8.若y2-3y+m有一个因式为y-4,则，n=.

【答案】-4.

9.若关于尤的多项式丁一心一6含有因式x-1,则实数a=—.

【答案】-5.

10.因式分解.：

(1)//r-10/M+25；(2)(x2+4y2)2-16x2/­

【答案】解:(1)/n2-10m+25=(m-5)2；

(2)(x2+4y2)2-16x2y2

=(x2+4y2+4xy)(x2+4y2-4xy)

2

=(x+2yy(x-2y).

11.仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式V-4x+〃?有一个因式是(x+3),求另个因式以及用的值.

解：设另一个因式为(X+"),得:x2-4x+/n=(x+3)(x+/?).

则x-4x+m=x2+(〃+3)工+3〃.

〃+3=-4

m=3n

解得：〃=—7,m=-2\.

・•.另一个因式为0-7),,，〃的值为-21.

问题：仿照以上方法解答下列问题：

已知二次三项式-5x-k有一个因式是(2A--3),求另一个因式以及k的值.

【答案】解：另一个因式为x+〃，

由题意得：2x~-5x-k=(x+p)(2x-3),

即2x2-5x-k=2x2+(2p-3)x-3p,

解得Y二，

k=-3

所以另一个因式为x-l，Z的值是-3.

12.(1)试说明代数式"-2，)($+2/+1)+4，(，+3的值与5、1的值取值有无关系；

2

(2)已知多项式m-。与2父-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为T,试

求一的值；

(3)已知二次三项式2/+3x-女有一个因式是(2%-5),求另一个因式以及Z的值.

【答案】解：(1)代数式的值与/的值取值无关系，与$的值取值有关系.

(s-2/)(5+2/+1)+4/(/+g)

=52+1st+s-2ts-4r-2t+4-+2t

=s2+s,

.••代数式的值与，的值取值无关系，与S的值取值有关系.

(2)(cuc-b)(2x2-x+2)

=2ax3-ax2+lax-2bx2+bx-2b

=2ax*—(a+2Z?)x2+(2a+b)x-2b,

•.•积展开式中不含％的一次项，且常数项为-4,

:.2a+b=0,一如=-4,

/.a=-I»b=2.

=1.

(3)设另一个因式为(x+m).

根据题意得，(x+m)(2x-5)=2x2+3x-k,

x1-5x+2nix-5in=2x2+3x-k,

x2+(2m-5)x-5m=2x2+3x-A,

2m—5=3,-k=—5m，

.,.〃？=4,A=20,

另一个因式：(x+4),女是20.

板块五：分式与分式方程

1.已知小£"^=口，则月表示的分式是()

2x2

XR＞，+，C.三X

A.—7D.D.

y+iXXy-1

【答案】A

+2•(4］的结果为(

2.计算)

ac\a~)

八3

A.-B.ab4c2C.ah4c41).b5c

a2

【答案】B

3.化简的结果是（）

C.金1

A.1BI).

-3a+\a+\

【答案】C

=；无解，则，〃的值是（

4.关于4的分式方程2，十八黑9)

A..5B.0C.-3D.0.5

【答案】B

5.甲工程队完成一项工程需〃天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那

么两队共同工作一天完成这项工程的（)

A.3B」

0•白D.-+—

11+3〃+3nn+3

【答案】D

6.若4a~+b2-5ab=0^则--丁的值等于.

b-2a-------------

【答案】±3

7.若关于x的方程」±=0无解，则m的值是—.

x-44-x

【答案】3

8.A、B两地相距60千为，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用W小时，已知摩托车的