2026年高考数学复习专练：直线平面垂直的判定与性质（五类重难点题型）原卷版+解析

专题7.4直线、平面垂直的判定与性质

目录•重难点题型分布

序号题型

重难点题型1垂直的性质

重难点题型2证明线线垂直

重难点题型3证明线面垂直

重难点题型4证明卸卸垂直

重难点题型5垂直关系的综合应用

痴:能雀测练延明Q继以脸邀遨口加测逐阚

ZMINENGJIANCEE

重难点题型1垂直的性质

・・■・aw■■・■・■・■・■■・■・■・・•■・■・・・・・・・・・・・■・・•■・・•■・■・・・・・■・・・■・・・・•・・・・・■・■■・■・■・・・・・・・・・■・・・・・■・■・■・・•・•・・■・■・■・・•■・■■・■・■・■・・•■・■■・■・■・・・・•■・・•・・・・・・・■・・•■・■・■・■・

1.（2025•山东临沂•模拟预测）已知/、m、”是直线,7是平面,且，〃ua,n//a,则“/_L〃z,/_!_〃"是"/_La"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.（2025•天津•二模）已知〃?，〃为两条不同的直线，〃为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.〃?ua,〃ua,m//p,〃〃/=>a〃/B.a10,aDQ=〃，mLn=>m±p

C.mA.a,ml.n^>n//aD.n//ni,〃-Lan"z_La

3.（2025•天津•二模）已知a,人是两条直线，4是两个平面.下列命题正确的是（）

A.若a_La,b工a,贝心_L力B.若a/la,a!!p,aC/3=b,则a//Z?

C.若〃_1_a，则a，/?D.若a_L/?,alia,则aJ•分

4.（2025•湖北黄冈•二模）已知〃"为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

（）

①若"?_La,/〃_!_〃，则〃〃a；

②过直线〃?外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；

③若a"L"〃?ua,则〃?必垂直于面夕内的无数条直线;

④若〃2，八为异面直线且点「任〃?，小〃则存在两条宣线过点P且与〃?，〃都相交.

A.@B.③C.②D.①

5.（2025・吉林长春•模拟预测）（多选题）设〃?，〃为直线,。，力为平面，则下列结论正确的是（

A.若〃」ajxlla,则m_L〃B.若上〃a,〃〃a,则m//〃

C.若加_La,〃?//〃，则aJ•6D.若/〃/〃Aa_L£,贝!J〃?_La

6.（2025•内蒙古呼和浩特•模拟预测）（多选题）如图，棱长为2的正方体。为底面ABC。

的中心，E为棱CG的中点，M是线段上的动点，P为平面4G。内的动点，则下列说法正确的是（）.

A.OE//平面AG。B.OElAtD

»°P的最小值为手

C.OM+MG的最小值为加

重难点题型2证明线线垂直

,・■・一•■・■•■・・・■・■•・•・•■・■•■・■・■・・・・•・•・・■・・・・・■・・・・・■・・・■・・・・・■・・・・•■・・・・・・・・・■・・・・•■・・・・・・・■・■・・・・・・・・・・・・・・・■・・・・・■・■・・•■・・・・•■・・・■・・・■・・・・・■・・・・•■・■・・・

7.（2025•广东梅州•一模）如图，在三楂锥V-A3C中，VA=VB=AB=AC=BC=2,VC=\.

⑴求证：ABLVC；

⑵求直线与平面AVC所成角的正弦值;

⑶若人B//a,VC/la,用平面a将三棱锥V-A3C分为两部分，求截面面积的最大值.

8.（2025•云南丽江•一模）已知点尸是边长为2的菱形4ACO所在平面外一点，且点P在底面人ACO上的射

影是AC与3。的交点。，已知/射。=60,△尸8。是等边三角形.

P

⑴求证：AC1BD,

⑵求二面角P-8C—A的平面角的正切值；

⑶若点E是线段40上的动点，问：点E在何处时，直线正与平面08c所成的角最大?求出最大角的正弦

值，并说明点E此时所在的位置.

9.（2025•江苏宿迁•模拟预测）如图，在四棱锥S-A8C。中，ZS4C=60°,ZAZX?=120°,AD=CD=2,

AS=20ZACB=45°,ABA.BC,cosZ54D=—,其中。为AC中点.

（1）求证：BS上AC；

⑵求二面角O—S8—C的正弦值.

7T

10.（2025•山东聊城•模拟预测）如图，在四面体ABCO中，^ACD=^BDC=-,AC=BD=\,CD=x,记

二面角A—8—2为M,N分别为AD,a?的中点.

(2)若x=B,e=%求直线MN与平面48。所成角的正弦值.

23

重难点题型3证明线面垂直

11.(2025•陕西汉中•模拟预测)如图1,在矩形ABC。中，AD=2AB=2,P是AC的中点，连接AP,将

沿直线AP翻折♦，使得平面抬8_L平面APCO(如图2),连接BC,BD，。是棱8。的中点.

图1图2

⑴证明：八8，平面尸80：

(2)证明：CQ〃平面B48：

⑶求直线尸。和平面尸6c■所成角的正弦值.

12.(2025・福建汉门•三模)在三棱锥P-/WC中，AC1BC,APLCP,AP=CP=2,力是A8的中点,

且平面尸ACJ■平面ABC.

(1)证明：AP工平面BCP；

(2)已知平面a经过直线PC,且A3〃夕，直线PO与平面。所成角的正弦值为如，求三棱锥P-A8C的体

3

积.

13.(2025•山东泰安・模拟预测)如图，在底面为正方形的四棱台人BCO-AAGR中，已知AB=2A禺=2,

AJ\=O,DD}1AD,NBiBA=NB&C.

⑴证明：ORJ■平面ABC。：

⑵点尸在棱。R上，当二面角P-Aq-C的正弦值为巫时，求DP.

14.（2025•天津•二模）如图，在四棱锥夕-A4cz>中，是以A。为斜边的等腰直角三角形，底面A3co

是等腰梯形，0BCUAD,AD=2DC=2CB,ZA/9C=60°,PC=gc，M为A。中点.

⑴求证：口0_1平面43。。；

⑵求直线AB与。。所成角的余弦值；

⑶求平面BPC与平面PCZ）夹角的正弦值.

15.（2025•新疆喀什•模拟预测）如图，直四棱柱A8CO—EFG〃中，£4=AC=2,8。=1,43=6.

⑴若AD//8C,证明：£1〃_!_平面EAB；

（2）若AD_L£>C,且人。=G，求二面角A—CE—力的余弦值.

重难点题型4证明面面垂直

16.（2025・河南信阳•模拟预测）如图，四边形ABC。与8QE尸均为菱形，AB=2,ZDAB=ZDBF=60°,且

FA=FC.

(1)求证：平面ASCDS平面6OEF；

⑵求四面体AOEF的体积：

⑶求直线AD与平面48户所成角的余弦值.

17.(2025•河北邢台♦三模)如图，在斜三棱柱ABC-A4G中，ABJ.AC,A8=AC,点A在底面ABC上

的投影为BC的中点。，点用满足QV?=2或(0<2<1).

(2)已知AAl=2AB=4,若平面A/C与平面A"C夹角的余弦值为得^，求义的值.

18.(2025•甘肃白银•模拟预测)如图，在四棱锥尸-4BCO中，底面A8CD是矩形，ZPDC=90°,PA1PD,

BC=&AB=1.

⑴求证：平面小AJ_平面PCD.

(2)若=求平面B4D与平面P8C的夹角的余弦值.

19.(2025•安徽六安•模拟预测)如到，已知四楂锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD=2,PA=DC=BC=l,

AD/IBC.ZBCD=90°,且幺_LAA,PD_LCD

AD

BC

⑴证明：平面P4A_L平面A4C。；

⑵求二面角6-尸。-。所成平面角的余弦值.

20.（2025•上海•模拟预测）如图所示，圆锥的底面半径为4,高为4,线段A8为圆锥底面。。的直径，点C

在线段A8上，且8C=3cA，点。是以8c为直径的圆上一动点.

⑴当8=8时，证明:平面平面P。/）；

⑵当三棱锥P-8C7）的体积最大时，求心与平面24。所成角的正弦值.

重难点题型5垂直关系的综合应用

21.（2025•云南玉溪•模拟预测）如图，在多面体/WCOE/中，四边形CQE/7为正方形，AB//EF,

AD=AE=BC=BF=3,EF=2AB=4.

⑴设平面AQ£c平面8C7M,证明：///C广;

⑵直线QE上是否存在点G,使得。比平面A8G?若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说

明理由;

（3）若茹=丸前，A0[O,1],求平面B尸G与平面。口夹角的余弦的取值范围.

22.（2025•山东淄博•三模）在直四棱柱ABCD-^QD,中，底面A8CD为平行四边形，人8=4,3C=3,

AC=5,CC,=4,E在AB上，AE=2,”在AO上，DF=2,P在CD上,CP=1,M为棱A4上的动

点，。、夕分别是二面角M—8G—A和二面角的平面角.

⑴当M为棱的中点时,

⑴证明：比_!_平面MOE;

（ii）N为底面A8CO（包括边界）内的一个动点，且N到平面AQRA的距离等于N到直线网的距离，

MN最大时，确定N的位置；

⑵当a+月最小时，求tan（a+⑶.

23.（2025・甘肃白银•模拟预测）妇图，四边形ABC。是边长为2的正方形，点£尸分别在线段ADA8上运

动，且4E=B/=/14。（26（0,1））.将△A"沿EE折起，使得点A到达点。的位置，此时平面尸律JL平面

BCDEF.

⑴当义=/时，求证：CPLEF；

⑵是否存在为，使PE_LPC?若存在，求出此时力的值；若不存在，请说明理由；

⑶证明：存在4,使得二面角尸-小-产的平面角为75。.

24.（2025•辽宁大连•模拟预测）如图①所示，长方形A8CD中，AD=l,AB=2,点M是边CD的中点，将

△4ZW沿AM翻折到,连接PB,PC,得到图②的四棱锥P-A8CM.

图②

⑴若△AFD为等边三角形，求四棱锥P-A6CW的体积；

⑵在图②中画出平面期”与平面P8C的交线，并陈述作图方法的理由；

⑶设二面角0-的大小为。，若8e(0,],求平面和平面P8C夹角余弦值的最小值.

专题7.4直线、平面垂直的判定与性质

目录•重难点题型分布

序号题型

重难点题型1垂直的性质

重难点题型2证明线线垂直

重难点题型3证明线囿垂直

重难点题型4证明囿回垂直

重难点题型5垂直关系的综合应用

二研能:检测二二抽宓€>u>份—遇啦遗魇地

ZHINENQJIANCK

重难点题型1垂直的性质

1.（2025•山东临沂•模拟预测）已知/、机、〃是直线，a是平面，且mua,n//a,则“/J_〃?，/JL〃"是"/_L。"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直

【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断.

【详解】解：由〃//e得：

存在Mua,满足〃//m,

若则直线/垂直平面a中任意一条直线，

Mua,:ALm,U”,

•/11.tn,/_!_〃'，〃?，"'是否相交不确定，.,./_La不一定成立，

；・“Um,/1〃”是"/_La〃的必要不充分条件.

故选:B

2.（2025・天津•二模）已知〃?，〃为两条不同的直线，以夕为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.〃uct,in//pf〃〃/na〃6B.a_L/7,aQ/?=//,

C.m±a,m±n=>n//aD.n//m,〃_La=〃7_La

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直

【分析】对于A当阳〃〃时，则a与■有可能相交即可判断,对于B当6Ua时即可判断,对亍C由线面位

置关系即可判断，对于D由线面垂直的判断定理即可判断.

【详解】对于A：当〃时，满足加ua,〃ua,机〃夕，〃〃夕，则。与夕有可能相交，故A错误；

对干B：当〃时，则a_L〃，an/=〃，,故B错误；

对卜C：满加机_La,〃?_!_〃，则uua或〃〃a,故C错误：

对「D：由〃〃6，_La，故D正确.

故选：D.

3.（2025•天津•二模）己知a,。是两条直线，«,仅是两个平面.下列命题正确的是（）

A.若a_La,b工a,则。JL力B.若.//a,0,a（\p=b,则〃///?

C.若a_L（z,a【B,则a_L/?D.若a_L/,al'.a,则aJ■/

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】判断线面是否垂直、判断面面是否垂直、线面垂直证明线线平行、线面平行的性质

【分析】ACD可举出反例：B选项，利用线面平行的性质定理、平行关系的转化判断即可.

【详解】对于A,若〃_1。，bVa,则。//力，即垂直于同一个平面的直线平行，故A错误；

对于B,若a//a,设〃uy,y[}a=m,/，则a//〃z.

乂则加R.

因为4(1〃=。，a,则〃?/",

所以九故B正确；

对于C,若a_La,alfl,则。〃夕，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C错误；

对十D,若。，夕，alia,则。/啰，au"或。0尸，故D错误.

故选：B.

4.(2025•湖北黄冈・二模)已知人〃为两条不同的直线，尸为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

()

①若〃?_La,/〃1〃，则〃//a；

②过直线〃?外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；

③若a_L"〃?ua,则〃?必垂直于面尸内的无数条直线；

④若〃?,〃为异面直线且点。必〃z,P/〃，则存在两条直线过点户且与，〃，〃都相交.

A.@B.③C.②D.①

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】平行公理、异面直线的概念及辨析、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直

【分析】根据线面垂直性质可知①错误，由点、线、面的位置美系以及线面平行的性质可得②错误，利用

面面垂直判定定理及其性质可判断③正确，由异面直线定义以及基本定理可得仅有一条直线过点P且与

〃，方都相交，即④错误.

【详解】对于①，若加-La,〃2JL〃，则可知〃//a或“ua,如下图中〃「巧所示：

〃2

即①错误：

对于②，不妨取正方体为例，如下图所示:

直线加外一点P,此时平面ADRA与CDAG均与直线式平行,

因此过直线机外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误;

对于③，若•夕,不妨设ac[=a,

作/>_La,日力u尸，所以可知人_La,显然这样的直线b可以作出无数条，

如下图所示:

所以〃?必垂直于面夕内的无数条直线，即③正确：

对丁④，在直线机上取两点比C,在直线〃上取两点如卜.图所示:

B

因为〃?,〃为异面直线且点P0/〃,P任〃，所以过三点REP有且仅有一个平面,

同理过三点8,C,P有且仅有一个平面，此时两平面仅有一条过点户的交线，

所以④错误；

综上可知，仅有③正确.

故选：B

5.（2025•吉林长春•模拟预测）（多选题）设机，〃为直线，力为平面，则下列结论正确的是（）

A.若"i_La,〃//。，则〃?_L〃B.若m/3,〃//二，则机//〃

C.若，则al/7D.若根贝iJ〃?_La

【答案】AC

【难度】0.65

【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线

垂直

【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可.

【详解】若"Ua，〃//a,则〃?L?,所以A选项正确;

若初/a,则向/〃或m与〃相交或异面,所以B选项错误；

若m工a,m〃D，则根据线面垂直与线面平行的性质定理可得a_L4，所以C选项正确；

若ml/a10,则加_La或m//a或〃?ua或/〃与。成（。悔）的任意角，所以D选项错误.

故选：AC.

6.（2025•内蒙古呼和浩特•模拟预测）（多选题）如图，楂长为2的正方体A8CO-A4GA，O为底面A8CO

的中心，E为楂CG的中点，M是线段A。上的动点，尸为平面AG。内的动点，则下列说法正确的是（）.

A.OE//平面AG。B.OEIAiD

D.0。的最小值为25

C.OM+MG的最小值为西

3

【答案】BCD

【难度】0.65

【知识点】证明线面平行、点面距离的概念及性质、线面垂直证明线线垂直

【分析】用线面平行判定定理判断A选项；用线面垂直的性质定理判断B；用余弦定理判断C：结合0P垂

直平面AG。时的值最小判断D选项.

【详解】选项A中，分别取AA，AG中点尸,G,连接所、AG，AC,可知ACJ/OE,

又因为FG//AC；,所以FG//OE,所以OE〃平面AG。不成立，选项A错误：

选项B中，取AA中点，，连接F"，AR，HG,所以“G//CQ,

因为正方体ABC。—A4G口，所以GA，面O4A2，

因为Mu平面。AAA，所以即“GJLF"：

因为OA^AR,FH//ADlf所以。耳上尸”，

FHcHG=H、FHu平面尸GH,HGu平面FGH,所以4。人平面产G”,

因为FGu平面尸G”,所以AO1R7,故4O_LOE,选项B成立；

选项C中，要求。例+例G的最小值，。“<=面48。，"。1<=:面4。1。，

这两个三角形"4。和AGA。都是边长为2立的正三角形，

将它们置入同一平面可以得到平行四边形AC/O，。为BD中点,

在△OOG中，由余弦定理可得C02=8+2-2x75x2&X，；'=14,

ECO=V14,选项C成立；

选项D中，OP垂直平面AG。时的值最小，

乂0到平面AGO的距离等于B到平面AG。距离的3，

设正四面体AG。〃的岛等于3

即一S"、"x力=2,-4x—SxAD,

因为%（008=匕8s"儿反他一4x匕_/m，133i[儿)Cafx

L!P-xlx2>/2x2x/2xsin60xh=23-4x-x-x2x2x2,解得力=型，

32323

正四面体AGD8的高等于生叵，所以。尸的最小值为弟.选项D成立;

33

故选：BCD.

重难点题型2证明线线垂直

7.（2025•广东梅州•一模）如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2,VC=\.

（1）求证：AB1VC；

⑵求直线VB与平面AVC所成角的正弦值；

⑶若48//a,YCHa,用平面a将三棱锥丫-ABC分为两部分，求截面面积的最大值.

【答案】⑴证明见解析

15

⑶g

【难度】0.65

【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、空间垂直的转化、由线面平行求线段长度

【分析】（1）取中点M，N,证得AMJ_VC且利用线面垂直的判定定理，证得VC1平

面AA仍,进而证得VC1/W；

（2）作4〃_L/W交人〃于“，证得4”_1_平面AVC,得到/小生为直线V8与平面AVC所成用，求得BH

RH

的长，结合sinN〃V8=??,即可求解；

VB

（3）设平面。0平面出8二八2,平面平面C48=S7,平面平面MC=PS,平面af］平面V8C=Q7,

证得截面尸。75为矩形，设。7二工，得到矩形PQ方的面枳，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）证明：如图所示，取VCAB中点M,N,连接AM,BM

因为E4=AC，VB=BC,可得AW_LVC且3MJLVC,

又因为AMc/3M=M,且AM.BMu平面AA/3，所以VCL平面AA加,

因为ABu平面AA/3.所以VCJ_A3.

(2)解：作交AM于从连接MN,VH,

itl(1)VC_L平面4MB,VCu平面AVC所以平面AVC_L平面4MB,

因为平面AVCc平面AM5=AM,且BHu平面40B，所以身7_L平面AVC,

所以NHVB为直线VB与平面AVC所成角,

又因为4M=8M=JVB、VM2=叵，所以MN=dBM2-BN'=叵,

22

2叵L

因为可得8H=ABMN=/

22AMV1515

F

2屈

又因为BH工VH,所以.,woBH闹，

sinZHVB==———=-------

VB215

所以直线V8与平面AVC所成角的正弦值为眄.

15

(3)解：如图所示，设平面afl平面幺8=PQ,平面af)平面C45=ST,平面af)平面M1C=PS,平面

afl平面丫8C=Q7,

因为A3//a,H.A4u平面”48,所以A8〃PQ,

同理可证A8//S7\VCIIPS,VC//QT,即PQ//S7,PS//QT

由⑴知/18_LVC,所以PQ_LQT,所以截面尸。不为矩形，

设27=彳，其中X£（O,1）,则B7=2X,CT=S7=2-2K,

8.(2025•云南丽江•一模)已知点。是边长为2的菱形A8C£＞所在平面外一点，且点P在底面A8CD上的射

影是4c与8。的交点。，已知NBA。=60,△？是等边三角形.

p

⑴求证：ACO

⑵求二面角P-4C-A的平面角的正切值；

⑶若点E是线段4。上的动点，问：点石在何处时，直线总与平面P5C所成的角最大?求出最大角的正弦

值，并说明点E此时所在的位置.

【答案】（1）证明见解析

（2）2

I4

⑶当点E在线段AO上匏近。点的;处时，直线庄:与平面P8C所成的角最大，最大角的正弦值为工

45

【难度】0.65

【知识点】求cosx（型）函数的值域、证明线面垂直、求线面角、求二面角

【分析】（1）由题意得到POJ•平面ABC/）,即得尸OJ.AC,再由4。J.AC可证ACL平面280,由线面

垂直可得AC/8。；

（2）过P在平面PBC内作PH_L8C于〃，连接OH,证明BCJ.平面POH,得到N?为二面角P-8C-A

的平面角，在RkPOH中，利用三角函数的定义求解即得；

（3）由4）〃平面PBC得到E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离7?,利用等体积求得h=冬叵，

5

设直线产£与平面P3C所成的角为。，求得sine=3叵，推得当依时，庄最小，从而sin。的值最

5PE

大，由此即得点E的位置.

【详解】（1）因为点P在底面A8CD上的射影是AC'BO的交点0,

所以尸O_L平面A8cO,又ACu平面ABC。，所以尸OJ.AC,

因为四边形ABC。为菱形，所以BO_L4C,

因为尸。08。=0,P0、3。匚平面尸8。.所以AC_L'I'：面尸友），

又BOu平面心。，所以AC工3D.

(2)

p

如图，过尸在平面P3C内作出/18C于〃，连接

因为OP_L平面4BCO,ACu平面AACO,所以POJ.BC,

又POC\PH=P,PO、PHu平面POH,所以8C_L平面尸

又0〃u平面POH,所以3CJLOH,故NP”O为二面角尸一区C-A的平面角，

因菱形ABC。中，NB4O=60，则8。=2,AO=—x2=y/3,

2

乂△P8。是等边三角形，故P0=^X2=G，

2

由SMBC=g0C.OB=goH.BC,知O"==当^邛,

PO

在Rt△尸O”中，tan/PHO=777T=2,故二面角P—8C—A的正切值为2.

(3)因为A力〃BC,目.A力U平面08C,8Cu平面P8C,所以AZ>〃平面P3C,

所以E到平面PBC的距离即为/)到平面PBC的距离h,

因为^D-PBC=Vp-BCD,所以Q儿瓯=Q。0'^BCD,

JJ

®BhPHBC=OPBC8Dsin60，

.一OPBDsin6()°^x2xV2后

所以八/,,=一I/=,

^OP-^OH-l3+35

设直线PE与平面PBC所成的角为夕，则0e[O,f,sinO=4-=亚，

2PE5PE

因正弦函数在第一象限单调递增，故要使sin。最大，即使。最大，则需使心最小,

此时PE_ZAD,由对称性知，PE=P”=J(J5y+(亨门=半，

所以DE=JPD?-PE2=J""」」./),此时sine=^^=3,

V4245PE5

故当点E在线段A。上靠近。点的I;处时，直线PE与平面P8C所成的角最大，旦最大角的正弦值为4『

45

9.(2025・江苏宿迁•模拟预测)如图，在四棱锥S-人8C。中，ZS4C=60°,ZADC=\20°,AD=CD=2,

AS=2g,ZACZ?=45°,AB1.BC,cosNSAD=叵,其中。为AC中点.

⑴求证：BS1AC；

(2)求二面角O—S3-C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵手

【难度】0.65

【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法

【分析】(1)先证人6'3_。8〃0_1。。，推得8,0,。在同一直线上,在八4。。中，由余弦定理求得4。=26,

进而可证SO_L4C,利用线线垂直可得AC_L平面S5Q,进而可证结论；

(2)利用余弦定理求得SD?=10,可证得SO_LO£),结合SO_LAC,得到AC_L平面S3。，建系后，求出

平面S8C和平面S4D的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.

【详解】(1)因为NACB=45。，ABLBC,所以A8=8C,

又因为4。=8=2,点。为AC中点.

所以AC_LO8,且AC_LO£),故氏2。在同一条直线上，

在A4OC中，由余弦定理，AC2=AD2+CD2-2ADDCcosZADC»

又乙4£>C=120。，AD=CD=2,故得AC?=2?+2?-2x2x2x(-g)=12,

解得AC=2>/L又AS=20/SAC=60。，故ASAC是等边三角形，则SO_LAC.

又SOcBD=O,SO,4£>u平面S8O,所以AC_L平面S8O,

又因为S8u平面S3。，所以8S_L4C；

z

(2)由(1)可得AB=BC=,x26=在,。0=小22一(可=1，

SO“(2可一⑻=3,OB=/厨一曲=5

在公“。中，由余弦定理可得SD2=SA2+AD2-2SA-ADcos/SAD,

又cos/SAD二回,AS=2y/3»AD=2,SD?=12+4-2x28x2x立=10,

44

因SZ)2=OZ)2+SO2,则SO_LOD,

又SO_LAC,且OOnAC=O,0D,ACu平面ABC。，所以SO_L平面ABC。,

以0为坐标原点，0A013,OS所在直线为X,y,z轴建立空间直角坐标系如图，

则。(0,0,0),C(一石,0,0),3(0,75,0),5(0,0,3),

所以阮=(-V3,-V3,oxBS=(0,-石,3),OC=(-73,0,0),

设平iMSBC的一个法向依为〃=（A,j,z）,

弁忒=_瓜_&=4

则・令z=i,则)，=6,x=—G,

n-BS=-6y+3z=0

所以平面SBC的一个法向量为7=（-73,瓜\）,

由（1）已得OC_L3Q,OC_LSO,故可知OCJL平面SBO,

即OC=（-V3,0,0）是平面5力。的一个法向量，

九5g二3二6

所以cos«i,OC)

同国FxG一万,

所以二面角O—S8-C的正弦值为

7F

10.（2025•山东聊城•模拟预测）如图，在四面体/WC7）中，^ACD=^BDC=-,AC=BD=\,CD=x,记

二面角A-CO-8为9M,N分别为AD,8c的中点.

⑵若％=且粗=色，求直线MN与平面A8D所成角的正弦值.

23

【答案】（1）证明见解析

⑵手

4

【难度】0.65

【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法

【分析】（1）取8中点。，连接。M.ON,利用三角形中位线的性质及异面直线夹角的概念得

CDlOM,CD±ONt进而利用线面垂直的判定定理证得CD_L平面OMN,最后利用线面垂直的性质定理

即可证明.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面A8O的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值即可.

【详解】（1）取CO中点。，连接OM,ON,又M,N分别为4R8C的中点，

则。M//4C,ON//80，因为/4CO=/8QC=£,

2

所以CO_LOM,CDION,又OMcON=OQM,ONu平面OMN,

所以CO_L平面OMN,又MNu平面OMN,所以MNJ_CZ）.

（2）由（1）知NMON是二面角A-CD—B的平面角，所以NAIONn：

J

如图，以。为原点，O2QN分别为轴，过。作平面BC。的垂线为z轴建立空间直角坐标系，

所__以_（。，厂1子

，。月=（0』,0）,。4=1222)

—y=0

/、n-DB=O-

可取元=(1,0,1),

设平面AB。的法向量为元=(%,y,z),则＜引0,即，6J+6_0

g=[^2X¥2y+^TZ=

"而［卡

设直线MN与平面A8。所成角为。，则sina=|cos瓦而网

何.画一4

所以直线MN与平面A3。所成角的正弦值为远.

4

重难点题型3证明线面垂直

■・■・一•・・一・・・・■・■・■■・■*・■・■■・■・■・■・■■・■■・■・・■・■・■・■■・■■・■■・■・■・■・■・■・・・・■■・■・■■・■・■・■■・■・■・■・■■・■■・■・•■・■■・■・■・■・■■・■■・■・■・■■・■・■■・■■・■・■■・■・■・■■・■・・■・■■・■・■■・■・•■・■・■・■・■■・■■・■・■・■・■■・■・

11.(2025•陕西汉中•模拟预测)如图1,在矩形A6c。中，AD=2AH=2,尸是3c的中点，连接人尸，将△出6

沿直线AP翻折，使得平面尸A8L平面4PC。（如图2）,连接AC,B。,。是棱的中点.

（1）证明：A4_L平面。4Q；

⑵证明：。。〃平面EW；

⑶求直线PQ和平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明过程见解析

（2）证明过程见解析

⑶半

3

【难度】0.65

【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法

【分析】（1）只需证明尸。_LAB.AB工BP,再结合线面垂直的判定定理即可得证；

（2）取取A。中点E,连接。£支，只需证明平面QEC"平面小6,再结合面面平行的性质定理即可得

证;

（3）建立适当的空间宜角坐标系，求出直线尸。的法向量与平面P8C的法向量，由向量夹角的余弦公式即

可求解.

【详解】（1）因为在矩形ABCO中，AD=2AB=2,尸是BC的中点，

所以AP=PO=VL即AP?+尸加=AD?，所以PZ）_LAP，

又因为平面B48_L平面4PC。，平面E4Bc平面APCD=PA,A4u平面APCD,

所以PQ_L平面。钻，

乂A8u平面23,所以

又因为AB_L8P,PBp\PD=P,PRPDu平面08D,

所以八8平面。40；

（2）如图所示，取A。中点E，连接QECE,

因为在矩形A8CO中，AD=2AB=2,尸是3c的中点，

所以AE//PC,AE=PC,即四边形AECP为平行四边形，

从而AP//CE,乂因为CEcz平面248,P4u平面上钻，

所以CE//平•面R48,

又因为。,E分别是DB,D4的中点，

所以QE//A8,

又因为QE<Z平面Q44,ABu平面A4A，

所以QE〃平面心3,

又因为QEcEC=E,QE,ECu平面QEC,

所以平面QEC//平面PAB,

又因为CQu平面QEC,所以。。〃平面RW；

（3）取Q4中点0,因为4A=AP,所以O4J.AP,

又因为平面Q48_L平面4QC。，平面Q43c平面APCD=FA,QHu平面E44,

所以60人平面4PCO,

又因为O£O4u平面APC£>,所以4O_LO£8O_LO4,

又因为尸4_L尸ROE//PO,所以以_LOE,

所以OE,OA,OB两两互相垂直,

以点。为原点，OEOAO8所在宜线分别为x，）'，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意。（。，。，。），人。与。，P。，-4,。]]0,0,4,E4.0,0

4乙4J/*

设C（x,y,马）,0（芍,%，马），

因为西边形田尸为平行四边形，所以反1=玉-乎.e，4尸二（0,-&,01

XZ

即xi=（0,-^2,0）,一斤以％-Y^=0,y=-应,Z[=0，

12

故（工1，乂凸）=[亍,-&,0,

又因为而=物力-冬Zz）=2而=2（冬.冬0）=（△-&,0）,

解得（七,必，4）=①一1,o）,

又因为Q是B。中点，

所以弧隹乎用研呼用小件当。

设平面PBC的一个法向最为”=（%,为，7），

五.丽=^）'o+冬。=0

则，令％=1，解得%=1/0

五衣=与飞一号丫。=°

所以平面P5c的法向量为及=,

也+也一比

\PQn\~r-4r

故所求为

3

12.（2025・福建厦门•三模）在三棱锥P—A8c中，AC±BC,APLCP,AP=CP=2,。是A3的中点,

且平面平面ABC.

⑴证明：平面8cP；

⑵已知平面。经过直线PC,且直线PO与平面。所成角的正弦值为"，求三棱锥P-A8C的体

3

积.

【答案】（1）证明见解析

（2）|或|>/2

【难度】0.65

【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量

【分析】（1）由平面P4C_L平面ABC,得到8CJ_平面PAC,再结合AP_LCP即可求证；

（2）建系，设BC=2〃2求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可求解小，利用体积公式计计

算得出结果.

【详解】（1）因为平面PACA.平面ABC，平面PACn平面ABC=AC,BC（z平面A8C,ACA.BC,

所以BCA.平面PAC.

又APu平面PAC,所以BC1AP.

又APLCP.BC.CPCL平面BCP,BCcCP=C,

所以APA.平面BCP.

（2）记AC的中点为。，连接PO.DO,

因为AP=CP,所以POLAC,

因为平面PACA,平面ABC,所以POA.平面ABC.

因为O,D分别是AC,AB的中点，所以OD//BC,又BC1AC,所以OD1AC.

以0为坐标原点，OA.OD.OP所在直线分别为Xy,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

设BC=2m，则人（60,0）川-0,2加,0）4-夜,0,0）,尸（0,0,匈,0（0,巩0）,

所以"二（0,皿-&）,齐=（"0,&）,府=（一2&,26,0）.

由题知ABIIa,PCua,设平面a的法向最