高中数学必修第2册 第十章 综合测试B卷（解析版）

第十章概率综合测试卷B卷

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是

A.3件都是正品B.3件都是次品

C.至少有1件次品D.至少有1件正品

【答案】D

【分析】

根据随机事件、不可能事件以及必然事件的定义对选项中的事件逐一判断即可.

【详解】

从10件正品，2件次品，从中任意抽取3件

A：3件都是正品是随机事件，

3件都是次品不可能事件，

C：至少有I件次品是随机事件，

D：因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故选

D.

【点睛】

本题主要考查了随机事件、不可能事件、必然事件的定义与应用，意在考查对•基本概念掌握的熟练程度，

属于基础题.

2.某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%,你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（）

A.明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨

B.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨

C.明天本地下雨的机会是80%

D.气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报

【答案】C

【解析】

分析：根据概率的意义即可得出结论.

详解：根据概率的意义可得“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%.

故选C.

点睛：本题考查概率意义的理解及应用，考查学生的理解能力，属于容易题.

3.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是.

A.3个都是篮球B.至少有1个是排球

C.3个都是排球D.至少有I个是篮球

【答案】D

【分析】

从6个篮球、2个排球中任选3个球，显然必有一个篮球，根据这个事实对四个选项逐一判断.

【详解】

解析：从6个篮球、2个排球中任选3个球，A,B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，故选D.

【点睛】

本题考查了对必然事件的理解.解题的关键是对问题的隐含事实的认以.

4.设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是()

A.事件人工〃，则〃(A)<P(/3)

B.若人和B互斥，则4和B一定相互独立

C.若4和3相互独立，则4和8一定不互斥

D.P(A)+P(8)<1

【答案】C

【分析】

根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断.

【详解】

若事件B包含事件4，则尸(A)£P(8),故A错误；

若事件A、B互斥,则P(AB)=0,

若事件A、8相互独立，则夕(AB)=P(A)P(8)>0,故B错误，C正确；

若事件4,B相互独立，且尸(4；>-,P(B)>-,则P(月)+P(B)>1,故D错误.

22

故选：C.

【点睛】

本题考查概率的性质，属于基础题.

5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【答案】D

2

【详解】

分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是

女同学''的总可能，代入概率公式可求得概率.

详蟀：设2名男同学为A，儿2,3名女同学为耳，约,用，

从以上5名同学中任选2人总共有人&，44，4层，4员，44，4层,&居,4即8岗,层层共1。种可

能，

选中的2人都是女同学的情况共有片区,与禺，区名共三种可能

3

则选中的2人都是女同学的概率为P=—=0.3,

故选D.

点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A；

第二步，分别求出基本事件的总数〃与所求事件A中所包含的基本事件个数〃2;第三步，利用公式

P(A)=?求出事件A的概率.

n

6.从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品"，事件"为"三件产品全是次品”，事件

C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是

A.事件A与。互斥B.事件笈与。互斥

C.任何两个事件均互斥D.任何两个事件均不互斥

【答案】B

【分析】

根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项.

【详解】

A为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，“为三件产品全是次品，

C为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件

由此知：A与4是互斥事件；A与。是包含关系，不是互斥事件；8与。是互斥事件，故选B.

【点睛】

本题主要考查互斥事件定义的应用.

7.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参

加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲

3

同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为

【答案】c

【分析】

甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老

师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率.

【详解】

设甲同学收到李老师的信息为事件A,收到张老师的信息为事件B,A、B相互独立，P(A)=P(5)=^=|,

则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为

一一3316

l-P(AB)=l-(l-P(A))(l-P(B))=l--x-=—.

•JJ

故选C.

【点睛】

本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率.在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求

其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率.这样可减少计算，保证正确.

8.一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是045,摸

出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或红球的概率是

A.0.3B.0.55C.0.7D.0.75

【答案】D

【分析】

由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解.

【详解】

因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,

所以摸出黑球的概率是1一(0.45+0.25)=0.3,

因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，

所以摸出黑球或红球的概率尸=0.3+0.45=0.75.故选D.

【点睛】

本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式P(AU8)=P(A)+P(B),属于中档题.

二、多选题(每小题5分，共20分)

4

9.下列各对事件中，为相互独立事件的是()

A.掷一枚骰子一次,事件出现偶数点”;事件M咄现3点或6点”

B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸西球，事件第一次摸到白球”，事件产第

二次摸到白球”

C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M”第一次摸到白球“，事件产第

二次摸到黑球”

D.甲组3名男生，2名女生：乙组2名男生，3名女生，现从卬、乙两组中各选I名同学参加演讲比赛，事

件从甲组中选出1名男生”，事件从乙组中选出1名女生”

【答案】ABD

【分析】

利用相互独立事件的定义一一验证即可.

【详解】

在A中，样本空间。={1,2,3,4,5,6},事件知={2,4,6},事件％={3,6},事件MN={6},

AP(M)=-=-,P(N)=2JP(MN)=-x-=-,

6263236

即P(MN)=P(M)P(N),故事件M与N相互独A正确.

在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，

BE确；

在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C

错误；

在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出I名女生这两人事件的发牛.没有影响，所以它们是相互独

立事件，D正确.

故选：ABD.

【点睛】

判断两个事件是否相互独立的方法：

(1)直接法：利用生活常识进行判断：(2)定义法：利用P(MN)=P(M)P(N)判断.

10.从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋I人.任取3个球,那么下列各对事件中，互斥而不

对立的是

A.至少有1个红球与都是红球B.至少有I个红球与至少有I个白球

5

C.恰有1个红球与恰有2个红球D.至多有1个红球与恰有2个红球

【答案】CD

【分析】

根据互斥不对立事件的定义辨析即可.

【详解】

根据互斥事件与对立事件的定义判断.

A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；

B中两事件能同时发生，如“恰有1个红球和2个白球”，故不是互斥事件；

C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球，即有0个或1个红球，与恰有2个红球互斥，除此还有3个

都是红球的情况，因此它们不对立，

D符合题意.

故选：CD

【点睛】

本题主要考查了互斥与对立事件的辨析，属于基础题型.

11.某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾

突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，

就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别

为匕鸟，则()

A.46=]B.[+鸟=3C.6+D.

【答案】ACD

【分析】

利用列举法求出方案一坐到“3号”车的概率P、,利用古典撤型求出方案二坐到“3号”车的概率4，即可得

到答案.

【详解】

由题意，分别标有序号为力号”“2号”“3号”的三辆车，等坑随机顺序前往酒店接嘉宾，

基本事件有:(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),共6种,

设计两种方案：方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否

则乘坐第三:辆车,

6

则方案一坐到“3号”车包含的基本事件有：（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3』），共有3种，

31

所以方案一的概率为q=k=5；

方案二：直接乘坐第一辆车，则方案二坐到“3号”车的概率为£=g,

所以4+6=2.

6

故选:ACD.

12.某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得

到的点数之和是几就选几班，这种做法（）

A.每个班被选到的概率都为L

12

B.4班和10班被选到的概率都为工

12

C.2班和12班被选到的概率最小

D.7班被选到的概率最大

【答案】BCD

【分析】

根据古典概型的方法分别计算每个班被选到的概率再分析即可.

【详解】

解：题意将两枚骰子的点数之和列出下表：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

7

由表得，7班被选到的概率最大为9，

6班与8班被选到的概率都为工，

36

5班与9班被选到的概率都为"，

4班与10班被选到的概率都为L,

12

3班与11班被选到的概率都为二，

18

2班与12班被选到的概率都为

36

故选:BCD.

【点睛】

方法点睛：本题解题的关键在于根据题意列出两次骰了•的点数和，再结合古典概型计算概率即可，考查运

算求解能力，是基础题.

三、填空题(每小题5分，共20分)

13.给出下列四个命题:

①设有一批产品，其次品率为0.05,则从中任取200件，必有10件是次品；

②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是言；

③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率：

9

④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是一.

50

其中正确命题有.

【答案】④

【分析】

依据频率与概率的基本知识进行判断即可.

【详解】

①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的.

②③混淆了频率与概率的区别，故错误.

④为利用频数求得频率，故正确.

故答案为：④

14.已知事件A,8互斥，旦事件A发生的概率尸(A)=1,事件8发生的概率尸(8)=2，则事件A,B

53

8

都不发生的概率是.

7

【答案】15

【分析】

求出事件A,8至少发生一个的概率即可得解.

【详解】

因事件A,B互斥,且P(4)=g,=

JJ

11Q

则事件A,8至少发生的事件为4+8,其概率为尸(A+8)=P(A)+P(8)=—+—=一,

5315

Q7

事件A，4都不发生的事件是A+B的对立事件，则其概率为1-P(4+8)=1--=—.

1515

7

所以事件A,A都不发生的概率是

7

故答案为：—

15.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出。到9之间取整数的随机

数，规定0,1,2表示没有击中目标，3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射

击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

6011366195976947141746980371623326168045

7424761042817527029371409857034743738636

根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为.

3

【答案】-

【分析】

根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.

【详解】

由数据得射击4次至少击中3次的次数有12,

173

所以射击4次至少击中3次的概率为一二一.

205

3

故答案为：一

5

16.已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成，每次信号源甲等可能地向三个基站

中的一个发送信号，乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个，丙基站接收到的

每条信号只会传送给丁基站，丁基站只接收信号.对于信号源甲发出的一条信号，丙基站能接收到的概率

9

为•

【答案】!

2

【分析】

先确定丙基站接收信号的两种情况，再分别求出每一种情况的概率，最后用概率加法计算即可.

【详解】

丙基站能接收到信号有两种可能，甲直接发送给它，概率为g,或甲发送给乙，乙再传送给它，概率为

~x-="7,故丙能接收到的概率为37+*7=二.

326362

故答案为：y.

四、解答题(第17题10分，18-22题每题12分，共70分)

17.己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为120,80,40.现采用分层抽样的方法从中抽取6

名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的6名同学分别用A,B,C,D,E，b表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫

生工作；

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ii)设M为事件“抽取的2名同学不在同一年级”，求事件也发生的概率.

【答案】(1)从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人；(2)(i)答案见解析；(ii)

【分析】

(I)根据分层抽样定义，直接按比例抽取即可得解；

(2)(i)分别列出从抽出的6名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果即可；

(ii)由(i)可得抽出的6名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的结果，由概率公式即可得解.

【详解】

(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：1,

由于采用分层抽样的方法从中抽取6名同学，

因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人.

(2)(i)从抽出的6名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

10

{AS},{AC},{AD},{AE}，{AF},{氏0},{&£)},{氏号，{反/},{C,£>},{C,E},

{C,F}t{D,£},{D,F}f{E,F},共15种.

(ii)由(i),不妨设抽出的6名同学中，来自甲年级的是A，B,C，来自乙年级的是。，E，来自丙

年级的是F，则从抽出的6名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{AB},{AC},

{Q,号，共4种.

411

所以，事件“发生的概率为P(M)=1-西二行.

18.成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设

置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨生活

垃圾，数据统计如表所示(单位：吨)：

“厨余垃圾”箱“可问收物''箱“其他垃圾”箱

厨余垃圾5005050

可回收物3024030

其他垃圾202060

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率：

(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾''箱、"可回收物''箱、"其他垃圾''箱的投放量分别为a,b,c,其中〃>0,

。十〃+c=450.当数据。，4c的方差/最大时，写出小b,c的值(结论不要求证明)，并求此时$2的值.

注：/=[[(%-1)~+12一X)~十一十(工一工)[，其中[为数据演，汇2，，%的平均数.

【答案】(1)-：(2)0.2：(3)〃=450.Z?=c=0；/=4500().

6

【分析】

(1)根据统计数据知共厨余垃圾600吨，投放正确的500吨，即可计算；

(2)根据对立事件，先计算生活垃圾投放正确的概率即可求解：

(3)根据。+匕+。=450且小h,c的方差最大可知其中有两个为最为0时最大，计算即可.

【详解】

(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

11

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量

厨余垃圾总量

500_5

-500+50+50-6

（2）设生活垃圾投放错误为事件4则事件,表示生活垃圾投放正确.

事件^得概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可【可收物量与“其他垃圾''箱里其他垃圾量总

和除以生活垃圾总量，

（力500+240+60:0另,

\/1000

所以「（A）=l—0.8=0.2.

（3）当。二450，〃=c=0时，取$2取得最大值.

因为x=+〃+（?）=150,

所以s?=gx［（450-150）2+（0-150）2+（0-150）［=45000.

19在不同场合多次强调要“厉行节约，反对浪费“，要加大宣传引导力度，大力

弘扬中华民族勤俭节约的优秀传统.某自助餐厅为响应号召，通过就餐人员用餐后的剩余食物情况进行调杳

后并采取适当的奖惩政策.

（1）现有5人用餐，互相之间都不认识.若这5人中有3男2女，从这5人中任取2人，恰有一男一女的概

率：

（2）若每人每次用餐需68元，用餐后若无剩余食物，则返回5元奖励；若剩余在0克到50克，则不奖不

罚；若剩余在50克到100克，则罚10元：若剩余在100克以上，则罚20元.近期调查200位来就餐人员，

统计结果如下表：

食物剩余量（克）无剩余(0,50](50,100]100克以上

人数1801262

现有频率当作概率，求某人来就餐消费的总费用的平均值.

3

【答案】（1）—；（2）64兀.

【分析】

（1）本题首先可令3男分别为A、B、C,2女分别为。、b,然后列出任取2人的所有可能情况，再然

后列出满足一男一女所有可能情况，最后通过古典概型的概率计算公式即可得出结果；

12

(2)本题可通过表中数据求出平均值.

【详解】

(1)令3男分别为A、B、。，2女分别为〃、b,

则任取2人有A3、AC.Aa.Ab.BC、Ba、Bb、Ca、Cb、，山共10种取法，

满足一男一女的取法有A。、Ab.Ba、Bb、Ca、C7?共6种取法，

故恰有•男一女的取法的概率P=9=3.

1()5

-180x63+12x68+6x78+2x88.

(2)平均值x=-------------------------------=6z4,

200

故消费的平均值为64元.

20.春节是中国民间最隆重盛大的传统节口，春节历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗，

有许多还相传至今，如买年货、贴对联、吃年夜饭、拜年、放鞭炮、逛庙会、赏花灯等.在春节期间，全

国各地均举行各种贺岁活动，各地因地域文化不同而又存在着习俗内容或细节上的差异，带有浓郁的各民

族特色.在某地的一个庙会上，一个商户为了吸引客人，举行摸奖游戏.在一个口袋内装有形状大小相同

的5个小球，其中，3个红球、1个黑球、1个黄球；若中奖就送价值1()元的一件礼品，若不中奖，就在商

户这里买一件价值不低于20元的商品.

(1)若从中一次性摸出2个球，摸出黄球就中奖，求某个客人能领到一件礼品的概率；

(2)商户约定：从口袋中连续取两次球，每次取一球后放回，若取出的两个球中没有红球，则商户可以让

客人免费拿一件价值50元的商品，否则，客人就得买一件价值100元的商品，某客人想试一试，问这位客

人免费拿•件价值50元的商品的可能性会超过20%吗？

【答案】(1)(2)不会.

【分析】

(1)设3个红球的编号为1,2,3,黑球为小黄球为从写出一次性摸出2个球的所有可能，结合古典概型

的概率公式即可求解.

(2)写出从袋中连续取两次球，每次取一球后放回，则所包含的基本事件，结合古典概型概率公式，从而可

求出取出的两个球中没有红球，即可判断.

【详解】

设3个红球的编号为1,2,3,黑球为“，黄球为江

(1)从袋中一次性摸出2个球，所包含的基本事件有：(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,〃)，(3,〃)，。⑼，

13

(2,b),(3,。)，(。,〃)共10个基本事件，

有黄球的基本事件有：。/)，(2力)，(3力)，(。/)共4个基本事件；

42

所以，某个客人能领到一件礼品的概率为尸=一二一：

105

(2)从袋中连续取两次球,每次取一球后放回,则所包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1M),

(1⑼，(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2㈤,(3,1),(3,2),(3,3),(3,«),(3㈤,⑷),(a,2),

(«3),(〃⑷，(a,力),(加1),他,2),(仇3),(仇a),(db)共25个基本事件;

取出的两个球中没有红球的基本事件有(〃⑷，(。力)，(〃,〃)，伽〃)共四个基本事件；

4

所以客人能免费拿一件价值50元的商品的概率为夕=丁，

25

因此，这位客人免费拿一件价值50元的商品的可能性不会超过20%.

【点睛】

关键点睛：

本题的做题关键是对球进行编号标记，列举所有的基本事件，结合古典概型概率公式进行概率的求解.

21.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方

面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对■所推出的报团

游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游

客的满意度调查表.

老年人中年人青年人

满意度

报团游自助游报团游自助游报团游自助游

满意121184156

一般2164412

不满意1162,2

(1)由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？

(2)为了提高服务水平，该旅游部门要从卜.述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征

集改造建议，求这2人中有老年人的概率.

14

(3)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他逃择哪种旅游项目？

【答案】(1)老年人更倾向于选择报团游；(2)|；(3)建议他选择报团游.

【分析】

(1)分析数据，直接求出老年人、中年人和青年人选择报团游的频率进行比较:

(2)列举基本事件，利用古典概型求概率；

(3)分别求报团游和自助游的满意率，进行比较，得到结论.

【详解】

(1)由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为:

小”二为普白记普=11

1186~40434221

•：P{>P2>P3t

工老年人更倾向于选择报团游.

(2)由题意得满意度为“不满意''的自助游人群中，老年人有I人，记为中年人有2人，记为hC,青

年人有2人，记为d,e,

从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为:

(a,b),(a,c),(a，M，(a，4，(Ac)",d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),

其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：

(a,(〃/),(〃,e),

•••这2人中有老年人的概率为「二巴=2.

105

(3)根据表中的数据•，得到：

12+18+1545

报团游的满意率为？=

15+30+2267

1+4+61

自助游的满意率为G=——，

3+10+203

•・・丹＞4，・••建议他选择报团游.

【点睛】

概率的计算：

(1)由频率估计概率:

15

（2）利用古典概型、几何概型求概率；

（3）利用概率公式（互斥事件、相互独立事件、条件概率）求概率

22.袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0

分，取出一个白球记I分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲

取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.

（1）求甲、乙成平局的概率；

（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.

【答案】（1）（2）不影响比赛的公平性..

【分析】

（1）将甲的可能取球基本事件••列举出来，甲乙平局时的基本事件列举出来，根据古典概型概率公式计

算即可；

（2）结合（1）计算先取者（甲）获胜的概率，后取者（乙）获胜的概率，比较即可得出结论.

【详解】

解：（1）记黑球为1,2号，白球为3,4号，红球为5,6号，

则甲的可能取球共有以下20种情况：123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,

236,245,246,256,345,346,356,456,

甲乙平局时都得3分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共8种情况，

Q2

故平局的概率4=五=三.

（2）甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的是2红I白，I红2白，2红1黑共6种情况，

故先取者（甲）获胜的概率鸟=方=得，

233

后取者（乙）获胜的概率4=1一1一历二而，

所以巴二己，故先取后取获胜的暇率一样.

【点睛】求古典概型概率的步骤：

（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A：

（2）分别求出基本事件的总数〃与所求忏件A中所包含的基本加件个数〃7：

tn

（3）利用公式P（A）=一,求出事件A的概率.

n

第十章综合训练

16

一,选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.［湖南长沙天心校级考试］在某次试验中，事件A,B的概率P(A),P3)满足P(A)=0.4,P(B)=0.3,如果P(/W)=O,那

么P(AU8)=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

2.［河南安阳林州期末］下列说法正确的是()

A.任何事件的概率总是在(0,1)之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

3.甲、乙两个箱子中各装有10个大小相同的球,其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个

自球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为125,6,从甲箱子随机摸出1个球;如果点数是34从乙箱子中随机摸

出I个球，则摸出红球的概率为()

A忌CiD.《

4」山东烟台栖雀期中］已知人4是两个随机事件，且4G用则下列选项中一定成立的是()

A.P(AU8)=P(A)+P(8)

B.P(AQB)=P(A)P(B)

C.P(AUB)=\-P(B)

D.P(彳U耳)=1・P(8)

5.某城市一年的空气质量状况如下表所示：

污染指不大(60.(100.(110.(130.

(30,60]

数7干30100]110)130]I40J

111721

概率2

1063301530

其中当污染指数石50时，空气质量为优;当50＜不10()时，空气质量为良;当100＜不15()时，空气质量为轻微污

染.该城市一年空气质量达到良或优的概率为()

A-1B力%U6

6.已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件,设事件E表示“取出的3件产品全不是次品”,

事件F表示“取出的3件产品仝是次品”，事件G表示“取出的3件产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确

的是()

A.F与G互斥

B.E与G互斥但不对立

CEF,G任意两个事件均互斥

D.E与G对立

7.若从(1,2,345｝中随机选取一个数为“从｛123｝中随机选取一个数为〃，则b＞a的概率是()

17

8.甲袋装有机个白球,〃个黑球，乙袋装有〃个白球,，〃个黑球(〃?初)，现从两袋中各摸一个球工="两球同

色”,8="两球异色”，则P(4)与P(8)的大小关系为()

A.P(A)vP(8)B.P(A)=P(8)

C.P(A)>P(B)D.视m,n的大小而定

二、选择题:在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9」山西朔州怀仁月考］从1,2,3,…,9中仟取二个不同的数.则在下述事件中，是互斥但不是对立.事件的有()

A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”

B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”

C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”

D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”

10.［河南商丘期末］今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某

超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4,顾客小张中奖的概率为

02两人中奖与否互不影响，则下列说法正确的是()

A.小王和小张都中奖的概率为0.03

B/、王和小张都没有中奖的概率为0.46

C.G王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44

D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92

11.某次数学考试的一道多项选择题，要求是:“在每小题给出的四个选项中,全部选对的得5分,部分选对的得3

分，有选错的得。分.”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的

是()

A.甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是科

B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是:

C.丙同学随机选择选项，能得分的概率是看

D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是看

12.如图，由4,A2AAi四个电子元件分别组成甲、乙两种系统，设每个电子元件能正常工作的概率均为

〃(0<〃<1),则()

HHHpL|

&A4A2A4

甲乙

A.甲系统正常工作的概率为8p4

B.日系统正常工作的概率为2/r-p4

18

C.乙系统正常工作的概率为l-（l-p）2

D.甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率

三、填空题

13.司时抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A=｛（正,反）｝，写出事件人的一个互斥事件:.（用集合表示,

写出一个即可）

14.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕

上50条，发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有条鱼.

15.某市在经济快速发展的同时,更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理,市容市貌焕然一新，为了调查市

民对城区环境卫生的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的

频率分布直方图淇中若按照分层随机抽样的方式从分数在［50,60）,［60.70）内的市民中随机抽取5人，再

从这5人中随机抽取2人，则至少芍1人的分数在［50,60）内的概率为.

16.某自助银行有A6C,。四台ATM（自助取款机），在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为

JD

（1）若某客户只能使用四台ATM中的A或8,则该客户需要等待的概率为；

（2）某客户使用ATM取款时，恰好有两台ATM被占用的概率为.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.［重庆长寿期末］已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球.甲盒中是3个黑色小球（汜为444）

和I个红色小球（记为8）,乙盒中是2个黑色小球（记为〃］,㈤和2个红色小球（记为玩历）.

（1）若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，共有多少种不同的结果?请列出所有的结果.

（2）若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率.

19

18.某班倡议暑假期间每位同学每天至少进行I小时的体育锻炼.为了解同学们的锻炼情况，对该班全部34名

学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如表：

一周锻炼时长/小时56789

男生人数/人12434

女生人数/人3853i

(1)试根据上述数据，分别求出这个班男生、女生在该周的平均体育锻炼时长；

(2)若从该周锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动,求选到男生和女生各1人的概率.

19.［山东滨州期末］某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，甲同学答对每道题目的概率都是0.8.乙同学

答对每道题目的概率都是07旦甲、乙抽到不同题目能否答对是独立的.若每位面试者共有三次机会，一旦某

次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直到第三次答完为止.

(1)求在甲、乙两人第一次答题中只有一人通过面试的概率；

(2)求甲、乙两人都通过面试且甲的答题次数少于乙的答题次数的概率.