2026年高考数学一轮练习：第八章 必刷大题17 解析几何（附答案）

必刷大题17解析几何

分值：60分

1.（13分）已知直线/：产5+加与抛物线八9二81交于点4,B.

（1）若直线/的倾斜角为45。，且过抛物线r的焦点立求直线/的方程；（4分）

⑵若近加=0,且用W0,证明：直线/过定点.（9分）

2.（15分）已知两点R（-V5,0）,F2（V3,0）,设圆。：/+>2=4与.（轴交于4B两点,且动点P满足：以线

段「凡为直径的圆与圆。内切，如图所示，记动点P的轨迹为A过点B且与x轴不重合的直线/与轨迹

「交于M,N两点.

（1）求轨迹厂的方程；（5分）

（2）设线段MN的中点为Q,直线。。与直线产竽相交于点R,求证：而^_L/.（10分）

22

3.（15分）已知双曲线C：号刍=13〉0,/»0）的右焦点尸（同，0）到双曲线C的一条渐近线的距离为伤.

a，y

（1）求双曲线C的方程；（4分）

（2）设双曲线C的左、右顶点分别为4,A2,过点（3,0）且斜率不为。的直线/与双曲线C相交于M,N两

点，直线4M与直线4N相交于点P.试问点P是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说

明理由.（11分）

4.（17分）（2024.赤峰模拟）已知点P为圆C（口2）2+丁=4上任意一点，A（-2,0）,线段04的垂直平分线交直

线PC于点M,设点M的轨迹为曲线H

（1）求曲线”的方程；（4分）

（2）若过点M的直线/与曲线〃的两条渐近线交于S,7两点，且M为线段ST的中点.

①证明：直线/与曲线〃有且仅有一个交点；（6分）

②求裔+高的取值范围。分）

WI

答案精析

1.(1)解焦点/(2,0),斜率七1,

故直线/的方程为y=x-2.

(2)证明设A(xi,y\),5(X2,yi),

联立R2=8X：

(y=kx4-m,

消去K,整理得k)r-Sy+Sni=0,J>0,

由可知AWO且,

由根与系数的关系可知)叮2=萼，

K

-yl

XYlXY2-TT-^~-^'

由OAOB=0,即xiX2+vi.V2=0,

得汨若+詈0,

即in=-Sk,直线I:y=kx-^k,

故直线/过定点(8,0).

2.(1)解连接PQ,设线段PF2中点为C,连接OC

，OC为的中位线，

・・・|0。1却加.

由以线段为直径的圆与圆。内切可知，

2ap同=|oqg|PR|,

A|PFI|+|PF2|=4>2V3=|FIF2|,

・••点P的轨迹是以人(-遍，0),F2(V3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，

贝ij〃=2,c=y/3,b=>la2—c2=1,

，轨迹厂的方程为?+)?=1.

(2)证明由题意知，当直线/的斜率不存在时，直线/：尸百,直线OQ：尸0,此时R(殍，0),

••丽L；

当直线/的斜率存在且不为0时，设直线/：户〃LV+V5,

A/(Xi,yi),Ng,J2),Q(XQ,yo),

(x=my+V3,

联立M；

E+y2=L

可得("+4)尸+2百/可，-1=0,J>0,

：.+y=-2bm

yi2?n2+4

技n

则)衍-

m2+4

,Xk〃7),。+百二磊,

则直线OQ:y=?.

当尸苧时，y=-y,n，

即”(苧，一斗瓶)»••kRF2=-m,

又热耳，krkRF2=-1,.'.RF^LL

综上，而_L/.

3.解(1)根据对称性，F(V10,0)到C的一条渐近线bx-ay=0的距禹仁黑德二①，

由F(710,0)为其右焦点，知c=V10,

得b=R,贝ija2=(r-b2=4,

故双曲线C的方程为46

⑵点P在定直线后:上.

依题可设直线/的方程为广)+3,

Wi.yi),

MM,>f2),

联立]?一?=1，

x=ty+3,

整理得(3六2)产+18/)，+15=0,必有/>0,

贝ijV+)'2=一段

)LV2*,

贝I]O?I>,2=-7(VI+3,2).

6

又4(-2,0),A2(2,0),

所以直线4M的方程为产气(x+2),

X1+2

直线A2N的方程为kX、(x-2),

%2-2

整理得%+、二工(%1+2)

X-2%(外-2)

二力(04+5)

、1(口2+1)

_。1，2+5力__,6]+32)+5、2_5

tyiyz+yi-1(yi+y2)+yi'

解得A:

故点尸在定直线尸；上.

4.(1)解M为线段PA的垂直平分线上一点，

则|MP|=|MA|,

则I|MAHMQ=||MPHMQI

=2<\AC\=4,

，点M的轨迹为以A,C为焦点的双曲线,且2a=2,c=2,b2=c2-a2=3,

故曲线”的方程为P?=i.

(2)①证明设M(xo,yo),S(xi,y\),T(x2,»),

双曲线的渐近线方程为y=±V3x,

如图所示，

贝I]yi=V3xi,y2=-V3x2,

可得刃+丁2=75（汨-12）,

>'i-y2=V3（xi+x2）,

m|iyi+y2=同“1-必）

J

V3（^+X2）yt-y2'

得以+丫2:3（孙一孙）

xi+x2yi-y2'

由题可知|MS|=|M71,

贝|JM+X2=2XO,yi4-y2=2yo,

得，0:3(八一。2)

xoyi-y2'

即心春仁邕二步，

xi-x2y0

••・直线ST的方程为

>,-}'o=—U-.ro),

Vo

即3".儿尸3丈一九，

又•・•点M在曲线〃上,

则3说-羽=3,

得3大(比-九尸3,

联立

-yoy=3,

得（%-3诏）《+6X的3_%=0,

化简得-3『+6xg3诏=0,

由』二(6%O)2-4X(-3)X(-3;^)=O,可知方程有且仅有一个解，

即直线/与曲线”有且仅有一个交点.

②解由①联立图3。一

可得上产

^x0-y0

同理可得『念，

贝|J|Q