垂径定理（数学竞赛题汇编）九年级全国（原卷版）

专题08垂径定理

0全国各地竞赛真题试题汇编

1.（2023九年级•江西赣州♦竞赛）4是半径为5的。。内的一点，且OA=3过点力且长小于8的弦有

（）

A.0条B.1条C.2条D.无数条

2.（2024九年级下•广西•竞赛）如图，CO是OO的直径，弦AB交CO于点E,CE=AB=8,ZAOD=

2/BCD,则。。的直径为（）

A.5B,8C.10D.842

3.（2023九年级下•安徽宣城•竞赛）如图，边长为2伪勺正方形ABCO的中心与半径为勺。。的圆

心重合，E,F分别是AD,BA的延长线与OO的交点，则图中阴影部分的面积为（）

A.2n-243B.2n-2C.2口+2D,2n+2心

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4.（2024九年级下•湖南长沙•竞赛）如图，MN为。O的直径，44是OO上的两点，过力作AC_LMN

于点C过4作BDJLMN于点O,P为DC上的任意一悬，若MN=26,AC=728。=5则PA+PB

的最小值为（）

C.17^3D.150

5.（2023九年级上•浙江•竞赛）如图，OO的半径为5,四边形ABCD内接于。O,且AC_LBD于点E,

若DE=2,EC=4,则AB的长为（）

A.4岳B.gTBC.^45D.345

6.（2023九年级上•广东深圳•竞赛）如图，「4切00于点4点4在。0内，BP交OO于点。，若PA=6,

PC=4,CB=2,OB=7,贝!OO的半径为（）

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7.：2024九年级上•青海西宁•竞赛）如图，O。是.XABC的外接圆，圆心。在这个三角形的高A。匕AB=

70.BC=12,则€）0的半径长为.

8.（2023九年级上•浙江宁波•竞赛）如图，O。的弦AB=8,直径CD1AB于M,OM.MD=3:2,E

是劣弧CB上一点，连结CE并延长交AB的延长线于点F.连结DE,则CE・CF的值为.

9.（2023九年级•北京朝阳•竞赛）已知OO的半径为r,AB为。O的一条弦旦长为k,则请用含r,k的代

数式表示sinZAOB=.

10.（2023九年级•北京朝阳•竞赛）已知四边形ABC。内接于一圆.若NBA。=ZABC=67,AB=3,

CD=7,则该圆半径的长为.

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B

11.（2024九年级上•浙江金华•竞赛）如图1,C,D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P,

满足NAPC=NBPD,则称NCPD是2）的“美丽角”.

⑴加图2,AB是OO的直径，弦CE_LAB,。是BC上一点，连结E。交AB于点P,连结CP,ZCPD

是分的“美丽角”吗？请说明理由；

⑵如图3,在（1）的条件下，若直径AB=70,分的“美丽角”为%°,当。E=772时，求CE的长.

12.（2024九年级下•湖南长沙•竞赛）如图，BE为OO的直径，点A和点。是O。上的两点，连接AE,AD,

DE,过点A作射线交BE的延长线于点C,使NEAC=NEQA

（1）求证：AC是（DO的切线；

⑵若AOJLBC于点尸，DE=6.OF=3,求图中阴影部分的面积.

13.（2023九年级上•广东中山•竞赛）如图，在。O中，AB=AC,连接AO.

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M

（1）求证：OA1BC-,

⑵过点B作BMIIOA交CA的延长线于点M,若CM=80,OA=5,求的长.

14.（2024九年级上•安徽安庆・竞赛）如图，△ABC内接于OO,点/是△ABC的内心，延长A1交0O

于D点，连接。。交BC于点瓦连接BO.BI.

⑴求证:DB=DI；

⑵连接01,若011AD,且AB+AC=10,求BC的长.

今全国联赛真题试题汇编「

1.（2024九年级•全国•竞赛）在OO中，半径为2&m,弦AB=20/2m,则NAOB的度数为（）.

A.60°B,90PC.12CPD.135°

2.（2024九年级•全国•竞赛）已知在OO中，半径为am,弦AB所对的圆心角为67,则圆心到弦AB

的距离为（）

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A.6cmB.34cmC.3cmD.2-/?cm

3.（2024九年级•全国•竞赛）在。。中，一条弦把圆周分成的两段弧的长度比为1:2,如果。。的半径为叱

那么这条弦的长度为（）.

A.rB.2vC,D.VJr

4.（2024九年级•全国•竞赛）如图，已知四边形4BCO为OO的内接四边形，点E为BC上一点，其中。O

的半径为7Cm,AB=AD=AE=DE=8cm,则C。的长度为（）

A.4ScmB,%mC.JOcmD.72cm

5.（2024九年级•全国•竞赛）如图，OA与x轴负半轴相切于点出交y轴于点。。2人夕，则点/

C.(-4,5)D.(-5,3)

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6.（2024九年级•全国•竞赛）如图，点C是AB的中点，CD1AB于点。，点P是AB上的一个动点（不

与A、B重合），M,N分别是&,还的中点，若AB=6C,CD=3,则MN的长（）

A.等于6B.随点P的运动而变化，最大值是6

C.随点P的运动而变化，最小值是6D.随点P的运动而变化，没有最值

7.（2024九年级•全国•竞赛）两个同心圆的半径分别为6cm和70cm,大圆的弦AB与小圆相切，则弦AB

的长度为cm.

8.（2024九年级•全国•竞赛）在。。中，半径为8cm,弧AB所对的圆心角为12",那么弦AB的长度

为_______

9.（2024九年级•全国•竞赛）如图，在OO中，直径AB=7/m,位于点。两侧且垂直于直径AB的两条

弦长分别为CO=&m,EF=6cm,若点G为直径AB上任意一点，则CG+EG的最小值为cm.

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10.（2024九年级•全国•竞赛）如图，0。为△ABC的外接圆，AO的延长线交OO于点D,且垂直BC

于点E,若。。的半径为70cm,BC=76cm,则AE与DE的长度之比为.

11.（2024九年级•全国•竞赛）如图，AB为。。的直径，弦CD1AB,点E为弦CD上一点，且BE=DE.

(1)求证：△BCQ-zXEB。；

⑵若BO=6cm,BE=4cm,求CE的长度.

12.（2024九年级•全国•竞赛）如图，在△ABC中，AB=