相似三角形旋转型-初中数学模型与解题方法专练（原卷版）

36相似三角形旋转型

一、单选题

1.在Rt△力比'中，/阳。=90°,/〃是的中线，N4T=45°,把△4T沿4〃对折，使点。落在C'

的位置，C〃交"于点Q,则整的值为（）

A。

A.V2B.6C.—D.正

22

2.如图，正方形A8C。中，点尸是8c边上一点，连接AF,以4户为对角线作正方形AQC,边FG与正方

形A8CO的对角线AC相交于点”，连接OG.以下四个结论：®ZEAB=ZGAD；②A4""A4G£）；③

2AE2=AHAC；®DGLAC.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，在矩形/切⑦中，£是/I。边的中点，BEUC于点F,连接〃R给出下列四个结论：①）XAEFs2

CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S/BF：S四边彬09防=2：5,其中.正确的结论有（）

二、填空题

4.已知正方形〃砺;的顶点尸在正方形/I&N的一边力〃的延长线上，连结力G,思交于点〃，若A8=3,DE=4i，

则的长为.

5.如图，在△月雨中，AB=5,D为边AB上一动点、,以切为一边作正方形的；当点〃从点8运动到点力

时，点/运动的路杼长为.

I

E.

D

B

6.如图，正方形力及力中，点方是外边上一点，连接"；以/斤为对角线作正方形/!防G,边凡;与力。相交

十点"连接％.以下四个结论：

①/历Q4BFE=4DAG;

②△力”△力诚

③A”AC=Vl4炉：

@DGLAC.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

三、解答题

7.【问题发现】（1）如图1,在Rl»8C中，AB=AC,〃为8C边上一点（不与点8、C重合）将线段人。

绕点1顺时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段3。与CE的数量关系是—，位置关系是_；

【探究证明】（2）如图2,在Rt,ABC和Rt二APE中，AB=4G,4。=AE,将一ADE绕点力旋转，当点C,I）,

£在同一直线时，8力与CE具有怎样的位置关系，并说明理由：

【拓展延伸】（3）如图3,在RL8CD中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,将,AC。绕顺时针旋转，点。对应

点£设旋转角NCAE为a（0°<a<360°）,当点C,〃，少在同一直线时，画出图形，并求出线段8E的长

度.

2

8.在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点力为公共顶点，

ZMC=ZAE£>=90°.如图②，若△/3固定不动，把△/1应绕点/!逆时针旋转，使椒熊与边BC的交点

分别为必、A,点时不与点片重合，点*不与点C重合J.

【探究】求证：△3/Ws^CMA.

【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4.

⑴8MCM的值为______.

⑵若BM=CN,则的长为.

9.如图，已知点E在48C内，ZABC=ZEBD=a,ZACB=/EDB=60°,ZAEB=150°,ZBEC=90°.

(1)当a=60。时，求证：BD=>/3AE；

(2)当。=90。叫，求处的值.

AE

3

10.已知中NA8C=90,点O、E分别在边8C、边4C上，连接DE、DF上DE,点、F、点C在直线OE

同侧，连接尸G且黑=岩DF=&

BCDF

(1)点。与点“重合时,

①如图1,k=l时，AE和/C的数量关系是」位置关系是二

图I

②如图2,k=2时,

(2)80=28时,

③如图3,k=l时，若AE=2,Sw=6,求Q的长度;

④如图4,攵=2时，点M、N分别为跖和4c的中点，若44=10,直接写出MN的最小值.

11.某校数学活动小组探究了如下数学问题:

(1)问题发现：如图1,8c中，N84C=90。，=AC.点P是底边比'上一点，连接力巴以力，为腰作

等腰RtZi4。。，且NPAQ=90。，连接8、则协和C0的数量关系是；

⑵变式探究：如图2,A8C中，NB4C=90。，AB=AC.点P是腰小卜一点，连接你以"为底动作

等腰R3"Q,连接妆判断您和叔的数量关系，并说明理拄

(3)问题解决：如图3,在正方形仍⑦中，点〃是边比'上一点，以印为边作正方形)怀点。是正方形

〃/环两条对角线的交点，连接CQ若正方形〃的边长为加，C2=x/2,求正方形/仍切的边长.

4

12.在48C中，CA=CBfNACB=a,点P是平面内不与点心。重合的任意一点，连接的，将线段的

绕点尸逆时针旋转。得到线段力P,连接AO,BD,CP.

图①图②

⑴观察猜想

如图①，当。=60。时,，罟的值是,直线8。与直线Cr相交所成的较小角的度数是.

(2)类比探究

RD

如图②，当口=90。时，请写出7万的值及直线3。与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说

明理由.

13.如图1,在Rt_A8c中，ZACB=90;AC=BC,在斜边AB上取一点。，过点〃作力后〃BC,交AC于

点E现将V4OE绕点力旋转一定角度到如图2所示的位置(点〃在ABC的内部)，使得乙48。+乙48=90°.

(1)①求证：=ABD7CE；

②若CQ=1,BD=瓜,求4。的长;

(2)如图3,将原题中的条件“AC=3C”去掉，其它条件不变，F=F=A设，若C/)=L/比＞=3,4)=4,

ABAD

求k的值；

ACAF?

(3)如图4,将原题中的条件“乙4C8=90“"去掉，其它条件不变，若筹=嚷=3,设CD=〃z,

ABAD3

BD=n,AD=pt试探究〃7,〃，〃三者之间满足的等量关系.(直接写出结果，不必写出解答过程)

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14.在△力比中，AH=AC,/8AXa,点、P是A/IBC外一点,连接相将线段册绕点夕逆时针旋转。得到

线段如，连接劭，CD,AP.

观察猜想：

图1图2图3

（1）如图L当。=60°时，黑的值为—，直线切与/1P所成的较小角的度数为一°;

AP

类比探究：

CD

（2）如图2,当。=90°时，求出的值及直线⑦与加^所成的较小角的度数：

AP

拓展应用：

（3）如图3,当。=90°时，点区〃分别为月4,力C的中点，点夕在线段用的延长线上，点4〃，P三点、

在一条直线上，物交所于点G,CD交AB于尽H.若CD=2+&,求物的长.

15.在工8c和VAOE中，BA=BC,DA=DE,且/48C=ZAOE=a,点/在的内部，连接£0,

EB,EA和BD,并且Z4CE+ZA8E=900.

【观察猜想】

（1）如图①，当a=60。时，线段外与成的数量关系为,线段口,/洱星的数量关系为.

【探究证明】

（2）如图②，当。=90。时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由;

【拓展应用】

（3）在（2）的条件下，当点£在线段或上时，若BC=26,请直接写出的面积.

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16.在△的。中，AR=AC,/阴Qa,点U为线段口延长线上一动点，连接力，将线段即绕点夕逆时针

旋转，旋转角为a，得到线段如，连接〃氏DC.

(1)如图1,当a=60°时，求证：PA=DC；

(2)如图2,当a=120°时，猜想必和ZT的数量关系并说明理由.

(3)当a=120°时，若44=6,BP=而,请直接写出点〃到”的距离.

17.点。为RtZXABC的斜边A8上一点，点E在AC上，连结。E,CD,且ZADE=NBCD,CFICD^DE

的延长线于点广，连结赫.

(1)如图1,若AC=BC,求证：AF±AB；

(2)如图2,若4cx/?C,当。点在AB上运动时，求证：AFLAB.

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18.几何探究:

【问题发现】

（1）如图1所示，△49C和△力匝是有公共顶点的等边三角形，BD、外的关系是（选填“相等”或

“不相等”）；（请直接写出答案）

图3

【类比探究】

（2）如图2所示，△/出。和是有公共顶点的含有30。角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说

明理由；

【拓展延伸】

（3）如图3所示，和△/!〃，是有公共顶点且相似比为1:2的两个等腰直角三角形，将绕点力

自由旋转，若BC=2&，当氏D、£三点共线时，直接写出川的长.

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19.问题背景：如图（1）,已知△A8CSA4OE,求证：一〜“CE；

尝试应用：如图（2）,在“BC和VADE中，N84C=ND4E=90°，ZABC=Z/1DE=3（）\AC与OE相交

于点产.点。在8c边上，=>/3,求的值；

BDCF

拓展创新：如图（3）,。是.A3C内一点，/BAD=NCBD=30,ZBDC=90,AB=4,4c=26，直

接写出AO的长.

20.一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点足力、〃在同一条直线上），发

现BE=DGR.BEJ.DG.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形AEQ绕点力按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到3£=DG吗？若能，请给出证明，请说

明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形A8CQ,将菱形AEAG绕点力按顺时针方向旋转（如图2）,

试问当/E4G与2840的大小满足怎样的关系时，BE=DG；

AFAR7

⑶把背景中的正方形分别改写成矩形八&七和矩形A8CO,^.―=—=-,AE=2a,48=%（如图

AGAD3

3）,连接OE,BG.试求。炉+BG?的值（用a,h表示）.

图1图2图3

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21.观察猜想

图1

(1)如图1,在等边.ABC中，点V是边8C上任意一点(小含端点£、C),连接AM,以AM为边作等边▲AMN，

连接CN,则/ABC与NACN的数量关系是一

⑵类比探究

如图2,在等边_A8C中，点"是8c延长线上任意一点(不含端点。，(1)中其它条件不变，(1)中结论

还成立吗？请说明理由.

(3)拓展延伸

如图3,在等腰SBC中，4A=EC,点"是边8c上任意一点(不含端点6、G,连接AM,以AM为边

作等腰AMN,使顶角NAMN=ZA8C.连按CN.试探究/力与44CN的数量关系，并说明理由.

(1)【问题呈现】如图1,△/I勿和△力应'都是等边三角形，连接做CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,△45C和△力龙都是等腰直角三角形，NABC=NADE=90°.连接84CE.请直

接写出卷的值•

J/?A/)3

(3)【拓展提升】如图3,△/3和△力%'都是直角三角形，/ABC=/ADE=90°,且后连接

ZzVL-ZZ-r

BD,CE.①求二的值；②延长优交劭于点片交力S于点G.求sinN的T的值.

CE

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23.如图，等腰三角形和等腰三角形4%；其中。，力

⑴如图1,若/物C=90°,当C、。、£共线时，力〃的延长线"J_比交比于点E则/力作=；

⑵如图2,连接⑶、BE,延长初交仇?于点八若点〃是比1的中点，NBAC=/DAE,证明：仅L券

(3)如图3,延长ZT到点也连接掰使得N仍什N/1Q/=180°,延长£次郎交于点A；连接儿V,若/BAC

=2ZNAD,请写出N/出伙/“忘它们之间的数量关系，并写出证明过程.

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24.在AA8C,CA=CB,ZACB=a.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕

点P逆时针旋转a得到线段DP,连接AD,BD,CP.

（1）观察猜想

如图1,当a=60’时，黑的