2026年高考数学一轮复习（新高考）重难点专训03 概念中的新定义问题（学生版+解析）

重难点专训03概念中的新定义问题

解题方法及技巧提炼................................1

题型通法及变式提升................................2

题型一：似然函数................................................................2

题型二：卡特兰数............................................................................2

题型三：信息嫡..............................................................................5

题型四：切比雪夫不等式..........................................................6

题型五：随机游走............................................................................8

题型六：其它定义新腕....................................................................10

重难专题分层过关练................................................................12

巩固过关...................................................................................14

创酬升..............................................................................14

解题方法及技巧提炼＜＜＜、

♦1

一、新定义型创新题的基本思路：

（1）正确理解新定义；

（2）根据新定义建立关系式；

（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题：

（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算：求得结果.

二、处理概率新定义问题

核心是“精准拆解定义一转化为已知概率知识一规范推导验证”，具体分三步：

首先，逐句解析新定义，提取关键信息。圈出定义中的核心要素（如特殊规则、公式、约束条件），

明确新概念的本质（是新概率模型、新统计量，还是新运算），避免因遗漏细节导致思路偏差。

其次，将新定义转化为熟悉的概率框架。若定义涉及新公式，先代入简单值验证理解；若涉及新场景,

用具体案例具象化，再关联已知的期望、方差、分布列等知识，搭建转化桥梁。

最后，按“定义一推导一验证”规范解题。先依据定义列表达式，结合概率性质或公式化简；再用特

殊值(如参数取0、1)验证结果合理性，确保不偏离定义核心，同时兼顾概率问题的逻辑严谨性。

题型通法及变式提升＜＜＜、

题型一：似然函数

典例1-1.“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值

时，常采用最大似然估计的方法.最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一

种估计方法，其原理是从总体中抽出具有〃个值的采样X，Xz，…,x“，求出似然函数

“P)=外毛=3/2=.12「・,*“=\3似然函数"〃)表示样本同时取得用—・，工的概率，当似然函数取

得最大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值.

(1)已知一，.厂生产产品的合格率为〃，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取20件进

行检测，有2件不合格；

(i)估计该批次产品合格率；

(ii)若用随机变量X表示产品是否合格，X=。表示不合格，X=1表示合格，求合格率〃的最大似然估

计值，并判断与(i)中估计值是否相等；

(2)设一次试验中随机变量y的概迩分布如下：

Y123

*>

P尸2x(17)

现做〃次独立重复试验，y=i出现了％次，y=2出现了〃2次，y=3出现了八次，求工的最大似然估计值:

(3)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为P(X=A)=4e-“(X=0,1,2,…)，设一次试验中随机变

量X的取值服从泊松分布，进行〃次试验后得到X的值分别为/生，•••，4,已知义的最大似然生计值为2,

求数列｛4｝的前〃项和S-

典例1-2.现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品的不合格率均为

⑴在抽取的100件产品中，恰有2件不合格品，以频率估计概率，若从该批产品中共抽取〃件，记不合格

品的数量为X.

(i)求X的期望E(X)；

(ii)当概率P(X=/)(其中MN)取得最大值时，求，的值.

(2)极大似然估计是用给定观察数据来估计模型参数的一种统计方法，其基本思想是概率最大化原则：一个

随机试验有若干个可能的结果4，B,C,...»若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A

出现有利，即A出现的概率很大，也就是找到参数〃的最优值方，使得在该参数〃卜.观测数据出现的概率

最大(即似然函数UP)最大).现对该批产品估计其不合格品率P,对其进行初次独立观测，每次从中抽

取拄个产品，记录不合格品数分别对应为勺，勺，…，%,求P的极大似然估计值.

变式1-1.在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球〃次，

红球出现〃?次.假设每次摸出红球的概率为P,根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率P的估

计值为〃=生.

n

(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球，设摸出的

球为红球的次数为丫，则丫〜6(3,p).

(注：今(丫=攵)表示当每次摸出红球的概率为〃时，摸出红球次数为攵的概率)

3i)在统计理论中，把使得々,(y=Q的取值达到最大时的P,作为P的估计值，记为〃，诗写出〃的值.

⑵把(1)中“使得月,(丫=4)的取值达到最大时的〃作为P的估计值〃”的思想称为最大似然原理.基于最

大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数。构建对数似然函数/(。)，

再对其关于参数。求导，得到似然方程=最后求解参数。的估计值.已知y〜3(〃,〃)的参数P的

对数似然函数为/(〃)=£xjnp+t(l-X,)ln(l-p),其中Xj=«。，第i次摸出白球-…人

1,第歆摸出红球.求参数P的估计值，

并且说明频率估计概率的合理性.

变式i-2.在统计中似然函数是指设总体x的分布律或概率密度/（x：e）,e=（%a，a，…，q）是未知参数，

天冬,…X”是总体X的样本，称小七…X”的联合分布律或概率密度函数小,和…;。）=力/（为例为

/=.

样本的似然函数，简记为L（。）.如果样本似然函数”0）在4处达到最大值，则称为为参数。的最大似然估

计值.例如三亚某学校一次调研考试中数学科目及格率为0，现任选20名同学的成绩作为样本进行分析，

发现有2人不及格，此时可估计该学校本次模考中数学科目及格率为0.9.同时也可设及格率为仇。«0,1）,

令样本似然函数为七（6）="8（1-娟,乙'（。）=〃（。-1）（206—18）,令L'M）=0解得。=0.9,当。£（0,0.9）

时，"9）单调递增，当，e（O.9,l）时，〃（夕）＜0,"8）单调递减，则当夕=0.9时，取得最大

值，即。的最大似然估计值为09与及格率的估计值相等；

⑴设•次试验中随机变量丫的概左分布如下:

YXY2

P0226(1-6)(~)2

（i）现做4次独立重复试验，X出现了1次，打出现了2次，匕出现了1次，求。的最大似然估计值：

（ii）现做〃次独立重复试验，X出现了々次，匕出现了&次，L出现了件次，求。的最大似然估计值；

（2）泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为P（X=A）=/e-'（X=0,1,2,…），设一次试验中随机变

量X的取值服从泊松分布，进行〃次试验后得到X的值分别为4，生，…，凡，己知。的最大似然估计值为2,

求数列｛4｝的前〃项和

八

......X”）

（公式：Y[X.=XCX2X3

/=1

题型二：卡特兰数

典例2-1.以走网格为例，从格点（。,0）走到格点（〃,〃），只能向右或向上走，且在对角线的右下方（不能

越过对角线）的路径的条数，就是卡特兰数，记为•则%=（）

A.C：B.；C：C.3；D.

典例2-2.元旦小长假到来，多上也迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小

明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一

个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走,

且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.

（1）若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步，求X的分布列；

（2）记Pj（ieN'）为设定机器人一关行走27步时游戏胜利的概率，求化，并判断当，•为何值时，游戏胜利的

概率最大；

（3）该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置.，才视为胜利.小

明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的姐姐，姐姐

告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将〃个0和〃个1排成一排，若对任意的他女42〃,在前

女个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有C£-C黑种，其中，C%-C累的结果

被称为卡特兰数.若记功为设定机器人行走万步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的

P,，有好心代武）

2/—1'/

变式2-1.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数（以比利时数学家欧

仁•查理•卡特兰的名字命名）.有如下问题：在〃x〃的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上

或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），

则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数-Qi.如图，现有3x4的格子，每一步只能往上

或往右走一格，则从左下角人走到右上角“共有种不同的走法：若要求从左下角A走到右上角△的过

程中只能在直线AC的右下方，但可以到达直线AC,则有种不同的走法.

变式2-2.设点集此=｛（4吗,43,1%如=0或1，1<,<〃，^^｝,从集合上中任取两个不同的点

A（%,42M3,…M”），8（4也也，…也J,定义A，8两点间的距离d（A,8）=Z|q*|.

1=1

⑴若4（如生，/，…，%0）d/0,当且仅当〃=34-2（人1<心24）时，为=（）,求数列｛（-2）%）的前70项

和；

⑵从集合M”中任取两个不同的点A,B,用随机变量X表示它们之间的距离d（A,8）,求X的分布列与期

望E（X）；

（3）已知点C（c-…,如）£也“，且满足如下条件：

①q=0；②£q=〃：③对于任意的1W&W2〃-1,丘N,，/产）.

;=Ii-i2

（2/7-2）!

证明：所有满足条件的点C的个数为N=%—

加（〃一】）！

（“卡特兰数”可以帮助解决上述问题：将〃个。和〃个1排成一排，若对任意的14〃K2〃，〃?eN”，在前

，〃个数中，。的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有C；“-C黑种，其中C2-G1的结果被

称为卡特兰数.）

题型三：信息墉

典例3-1.（多选）信息墉是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…，〃，且

P（X=i）=〃j>0（i=l,2,…,〃），定义*的信息焰"（*）=一£>1。82/不下列正确的为（）

/=11=1

A.若〃=1,则"")=0

B.若〃=2,则"(X)随着A的增大而增大

C.若p,=T(i=1,2,…则“(X)随着〃的增大而增大

D.若〃=2"7,随机变量y所有可能的取值为1,2,…，m,且尸(y=/)=〃/+〃2”川./(，=1，2,…,〃2)，

则”(x)2”(y)

典例3-2.信息烙是信息论之父香农(Shannon)定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信

的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息燧”，并给出

了计算信息端的数学表达式：设随机变量X所有可能的取值为L2,…,”("GN),且

P(X=z)=p,>0(/=1,2.....n),£Pi=I,定义X的信息牖H(X)=-力log,

,=i•-i

⑴当〃=1时，计算”(X)；

(2)当〃=2时，试探索X的信息嫡关于Pi的解析式，并求其最大值；

⑶若〃二2〃«〃?eN"),随机变量y所有可能的取值为1,2,…，小，且P(y=j)=Pj+P2”,+1(，=1,2,…,m),证

明田(x)>H(y).

变式3-1.信息焙是信息论中的一个重要概念.设随机变量X和y的分布列分别为：p(x=xj=p,.,

P(Y=xi)=qii其中i=l,2,.定义X的信息燧："(X)=-fpJogzP,,X和丫的“距离”：

r=l

/CZXX||n=f/Alog2—.

(1)若X〜4(4,5,求”(X)；

⑵已知发报台只发出信号。和1,接收台只收到信号。和1.现发报台发出信号0的概率为加，由于通信信

号受到干扰，发出信号()接收台收到信号0的概率为〃，发出信号I接收台收到信号1的概率也为

(i)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率；

⑴)记x和y分别为发出信号和收到信号，证明：^(xiin>o.

变式3-2.在信息论中，牖(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息燧、信源燧

、平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.(燧最好理解为不确定性的量度

而不是确定性的量度，因为越随机的信源的端越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法

是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息1牖)定义为

概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机

变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即烯).端的单位通常为比特，但也用Sh、

nal、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，

投掷一次硬币提供了ISh的信息，而掷初次就为，〃位.更一般地，你需要用log”?位来表示一个可以取〃个

值的变量.在1948年，克劳德•艾久伍德•香农将热力学的嫡，引入到信息论，因此它乂被称为香农滴.而正

是信息燧的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而

设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量€所有取值为12定义〈的信息皤〃©=二甲。g*,

1=1

n

(2匕=1,i=1,2,…,〃).

I=I

(1)若〃=2,试探索看的信息牖关于匕的解析式，并求其最大值；

(2)若片=巴=右,%=2号(比=2,3,…汨)，求此时的信息端.

题型四：切比雪夫不等式

典例4-1.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫不等式和切比雪夫(Chebyshev)

不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量X的期望E(X)和方差。(X)存在但其分布未知的情况下,

对事件”|X-E(X)|之£”的概率作出上限估计，其中£为任意正实数.马尔科夫不等式的形式如下：设X为一

个非负随机变量，其数学期望为E(X),则对任意£>(),均有尸(XNe)K空色，切比雪夫不等式的形式

£

为：P(|X-E(X)|>^)</(7XX)^),其中/(O(X)，幻是关于。(、)和£的表达式，且

P(|X-£(X)|>r)=P(|X-E[X)|2>f2),由于记忆模糊，该同学只能确定/(Q(X),£)的具体形式是下列四

个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联.请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是

()

D.警

A-B.丽修

D(X)

典例4-2.某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标

大干或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表；

测试指标[20,68)168,76)[76,84)184.92)[92,1001

元件数

21836404

(件)

⑴现从这10()件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；

(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望E(K)=〃，方

差。(X)=/,则对任意正数£,均有P(|X-〃^£)工「成立.

£~

(i)若证明：A0<X<25)<―

(ii)由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范I制落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工

厂声称本厂元件合格率为95%,那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合

格率是否可信？(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)

变式4-1.概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔可夫和切比雪夫

分别提出的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式.马尔可夫不等式的形式如下：设X为一个非负履机变量，其

数学期望为E(X),则对任意。>0,均有Pg上,马尔可夫不等式给出了随机变量取值不小于

某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当X为非负离散型随机变量时，

马尔可夫不等式的证明如下：设X的分布列为P(X=xJ=〃j,=…”其中〃x(O,l),

x.€[0,+oo)(z=1,2,•••,«),之Pi=1,则对任意£>0,

;=|

p(x*)=zA<X-P>=-」£>/,二史Q,其中符号xa表示对所有满足%>&的指标i所

Xj>CXi>£££X>C£1=1£Xfis

对应的4求和.切比雪夫不等式的形式如卜.：设随机变量x的期望为七（x）,方差为o（x）,则对任意

£>0,均有尸（|X-E（X）,小半Z

（1）根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立.

（2）某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使川该

药治疗后，治愈的人数为60,请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信.

变式4-2.某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试I的概率为40%,未通过测试I

的芯片须进入测试H,通过率为通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该

芯片是通过测试I的概率为。

（1）求e（结果用〃表示）；

（2）切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为

E（x）,方差为。（X）,则对任意£>0,均有尸萼）.请结合该定理解决下列两个问题:

£

（i）若厂商声称该厂芯片通过测试H的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，

经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件

A为小概率事件）；

（ii）为估计仇工厂随机抽取〃，枚合格芯片，其中2枚为通过测试I,记。=人.若要使得

m

尸但一夕20.05）总能不超过0.01,试估计最小样本量）小蚱7）

题型五：随机游走

典例5-1.小明对数学课上的随机游走模型充满兴趣，思维也进入丰富的想象，他将自己想象成一颗粒子,

在一个无限延展的平面上，从平面直角坐标系的原点出发，每秒向上、向下、向左、向右移动一个单位，

且向四个方向移动的概率均为；，记第〃秒末小明回到原点的概率为P"，求p4=_____,/%=_____（与〃

4

有关的式子，附：之（c：）2=G“）.

*=0

典例5-2.一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为试探讨下列问题:

⑴若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；

⑵记P⑺为中=2,3,4,…,〃+2）次游走中恰有2次向右游走的概率，令Y=P（2）+P（3）+…+P（〃+2）.记

J代=2,3,…,〃）为不超过〃次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游

走到〃次时也停止游走），此时一共游走的次数，4的数学期望为仪4）.请比较E4）与2y的大小，并说明

理由.

变式5-1.随机游走也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向.核

心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运

动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中.规定：在直角坐标系中，一个粒

子从坐标原点开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次走一个单位.

⑴求该粒子随机移动4个单位回到出发点有多少种移动方法；

（2）证明:X（c-）?=q„；

/=0

⑶求该粒子经2〃（〃eN“）次随机移动后【口|到出发点的概率尸（2〃）.

变式5-2.数学中有这么一个定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家.这

个定理数学家波利亚在1921年给出证明，它与随机游走有关，随机游走是概率论中的一个重要概念，它

描述了一个在空间中随机移动的过程，随机游走最简单的形式是一维随机游走，即一个点在数轴上以一定

的概率向左或向右移动，如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或

向右移动一个单位，记移动攵次后质点回到原点位置的概率为Pt，其中A为偶数.

IIII1IIIII1II

-6-5-4-3-2-10123456

⑴求Po，〃2，〃4；

(2)证明：2^>2-A>0.

题型六：其它定义新概念

典例6-1.为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100

只，得到如下数据(单位：只)：

发病未发病合计

使用药物1()4050

未使用药物302050

合计4060100

从该动物种群中任取1只，记事作人表示此动物发病，事件8表示此动物使用药物，定义人的优势

"=丁=，在8发生的条件下A的优势&=一则()

1一P(A)1J一Pf(!A\NB)

A-”化简为第黑估计其值为2”,化简为铸*估计其值疗

C.。■可化简为。黑，估计其值为!D.。■可化简为瞿兴，估计其值为:

典例6-2.在信息理论中，X和y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：P(X=%)=〃7,,

?”=%)=〃,，肛＞0,%＞0,,：=1,2,…,〃，f町=£〃,=1.定义随机变量X的信息量

J-lrJ-I

"(x)=-2成1吗见，x和丫的‘'距离"KL(xy)=£町log?”.

；=1/=1ni

(1)若乂~3。《｝求X的分布列和“(X)；

(2)已知发报台发出信号为。和1,接收台收到信号只有0和L现发报台发出信号为。的概率为〃(。＜〃＜1),

由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为夕，发出信号1接收台收到信号为1的

概率为夕(0＜夕＜1).

19

（i）若〃=；，9=；，求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率;

小）记随机变量x和y分别为发出信号和收到信号，证明：KL（Xy）NO.

变式6-1.已知离散型随机变量X的分布列为25=七）=〃,（，=123「.,〃）.定义随机变量丫=心（小区6为

自然对数的底数，e=2.71828…）的分布列如下：

Y4卢L

PPiPiLPn

随机变量丫的数学期望研丫）=七卜"）='3"，〃,称为随机变量丫的生成函数，记为（0）是函数

r=l

M,、（）在f=0处的导数，则（）

A.Mx（0）=£（X）

B.若X服从两点分布，P（X=O）=P（X=1）=1,则=g

C.若X〜B（%p）,则（"=（/'+

D.若实数出〃为常数，则M,x"（/）=a・Mx（S）

变式6-2.在平面直角坐标系中，动点M（x,y）的移动规则为：从原点出发，每次都等可能地向上或向右移

动I个单位长度.定义"合法路径''为动点M的坐标始终满足）Wx+女的路径.

⑴列举出点M移动3次时的所有珞径，并求攵=1时“合法路径”的数量.

⑵已知点M从原点出发到达点（几〃）（〃£N）

Cn

（i）若2=0,“合法路径”的数量为乩，证明：

n+\

（ii）若k=I,从点M的所有路径中随机选取一个路径，记选取的路径为“合法路径”的概率为2,求匕

的表达式.

If重难专题分层过关练<«、

巩固过关

1.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫(1821.5~18%.12)在研究统计规律时发现的，其内容

是：对于任一随机变量X,若其数学期望E(X)和方差5X)均存在，则对任意正实数£,有

尸阴-&乂><£"1-驾).根据该不等式可以对事件|."£(')|<£的概率作出估计.在数字通信中，信号

£

是由数字"0”和"1”组成的序列，现连续发射信号〃次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的•记发射信号力”的

次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使发射信号“I”的频率在区间(0.4.0.6)内，估计信号发射次数〃

的值至少为

2.21世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率Q、召回率R、卡帕(Kappa)系数K

是衡量算法性能的重要指标•在对某型号扫雷机器人的测试中，汜人表示事件“选择的位点实际有雷“，8表

示事件”选择的位点检测到有雷“，定义：精确率Q=P(A|8),召回率R=P(和4),卡帕系数乂=隼千，

PC

其中Po=〃(A8)+p(而),〃,=p(A)p(8)+〃®〃⑻.则(；

2QR-2P(AB)Q+R-2P(AB)

Q+R-2P(AB)Q+R-QR

Q+R-2QR_2QR-2P(AI3)

C"=Q+R—2P(AB)D.K=Q+R—QR

3.五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成

都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走

路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每

一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好I可到初始位置，则视为胜利.

(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步，求X的分布列和期

望；

⑵记为设定机器人一共行走X步时游戏胜利的概率，求R,并判断当，为何值时，游戏胜利的

概率最大；

(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置.，才视为胜利.小

明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥

告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将〃个0和〃个1排成一排，若对任意的1WZW2”,在

前上个数中，。的个数都不少于I的个数，则满足条件的排列方式共有C1-C；1种，其中，丁的结

果被称为卡特兰数.若记E为设定机器人行走2,•步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对(2)中的

P，，有4=悬2)

4.在信息论中，燧(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，乂被称为信息燧、信源燧.若把信

息端定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X的所有取值为123,…,〃(〃eN)P(X=，)=〃,.，定义

//t

信息端：H(X)=H“(PI，P2,…，p.)=-£pjog2Pi,£pi=l,i=1,2,…,〃

l-ll-l

(1)若〃=2,且P1=P2,求随机变量X的信息标

(2)若PL£+»2，PA“=2小=2,3,…”求随机变量X的信息港

⑶设x和y是两个独立的随机变量，求证："(xy)=〃(x)+"(y).

5.概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属分别由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分

别提出的马尔科夫不等式和切比雪夫不等式.切比雪夫不等式：设随机变量x的期望为E(X),方差为

D(x),则对任意£>0,均有P(X—E(X)|*)K=Q.

£

(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立.

(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该

药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信.

6.“随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机

外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位.

.斗.........（3.•,3）

⑴求质点移动6次后位于(3,3)的概率；

⑵设质点在第2秒末移动到点(x,y),记外的取值为随机变量X,求X的分布列和数学期望"(X)；

⑶记第〃秒末质点回到原点的概率为P”.

(i)求〃2，〃4；

(ii)求〃2”.

参考公式：£(0=5”.

卜0

创新提升

1.生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律.统计人员发现某鸟类在A区域经常出

没，在4区域统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为I种和11种.统计人员在A区域随机捕获了50只该

鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试验结果.记第，次试验中I种的数目为随机变量X,«=123,…,10).

设该区域中I种的数目为M,H种的数目为N.

(1)(i)求在第1次试验中随机变量X1的分布列.

(ii)假设每一次试验均相互独立，统计人员完成所有试验后，得到X,的实际取值分别为

_110

为«=1,2,3,…,10),其平均值〃=10,方差=0.77.记随机变量X=京W%.采用〃和/分别代替期望