2026年高考数学一轮备考练习（新高考）函数中的构造问题（学生版+解析）

第三章一元函数的导数及其应用

§3.4函数中的构造问题

【考情分析•探规律】

考点三年考情(2021-2024)命题趋势

2024•全国新n卷

考点1利用导数研究函

2023•全国乙卷会构建函数利用导数判

数的零点及其应用

2021•北京卷断函数单调性比较函数值大

考点2利用导数研究方程2024•全国甲卷小关系，该内容也是新高考的

的根及其应用2021•北京卷命题热点，要熟练掌握。要会

考点3构建函数利用导2022•全国甲卷导数及其性质的综合应用，加

数判断函数单调性比较函2022•全国新I卷强复习

数值大小关系2021•全国乙卷

窗薮币而花施而i至膏摹i詈而二不甚立居苕:京籥/薇丽由应「油?

\已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.

题型一利用Ax）进行抽象函数构造

命题点1利用./U）与工构造函数

【典例】1.已知函数./U）满足凡¥）=/（—x）,且当x£（—8,0］时，益）+虫工）＞0,若a

=3°"3。2),b=\n2•4n2),c=log3#(log31)，则a,〃，c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

命题点2利用./（幻与e：构造函数

【典例】2.函数«r）是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有八幻一人外＞0，则（）

A十-1）＞0B次3）＞第2）

C.eVQ）＜eV（0D.喷3）次4）

命题点3利用於）与0出十，cosx构造函数

【典例】3.(2025・杭州模拟)已知定义在R上的函数於)满足於所】X十八小0$心>0,则

()

A/(+g哨B/晶何图

。陟何㈢口/(沙行隹)

【变式训练】

变式1.已知函数人力的定义域为(0浦，其导函数是八初若对任意的x£(o翼)有/a)sin

x-/U)cosx<0,则关于x的不等式6)sinx的解集为()

A.(0,9B.(0,H)CQ,n)D.(9n)

变式2.已知函数7U)及其导函数八x)的定义域均为(0,+8)，若，则()

A.4e^2)<16/(e)<e^4)

B.的⑷<4的⑵vl"(e)

C.的⑷vl软e)<4的⑵

D.1勺电〈的⑷<4的⑵

变式3.已知函数凡r)的导数为八幻，对任意实数x,都有yu)—f(x)>(),且y(i)=i,则

人人Ae'f的解集为()

A.(—8,1)

B.(l,+8)

C.(—1,1)

D.(—8,-1)U(1,4-00)

题型二构造具体函数关系

【典例】1.(2025•昆明模拟)设。=；"=粤，c=普，则()

61012

X.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

【典例】2.142857被称为世界上最神秘的数字，142857X1=142857,142857X2

=285714,142857X3=428571,142857X4=571428,142857X5=714285,142

857X6=857142，所得结果是这些数字反复出现，若〃=e°」42857，仁皿产十］,

c=V1.285714，贝lj()

A..a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【变式训练】

变式1.(2025・九江模拟汜知a=sin三,Z?=ln1,(?=|,则()

\.a>b>cB.c>a>h

C.c>b>aD.a>c>b

变式2.已知e是自然对数的底数,Z?=e2sin-,c=^-，贝U()

2ln、所eln2

A..a>b>cB.c>a>b

C.a>c>bD.b>c>a

【限时训练】|限时：45分钟|

一、单项选择题(每小题5分，共3()分)

1.(2025・福州模拟)已知a=；ln:,/?=ln(ln3),c=一工，则()

22e

X.ci>b>cB.b>a>c

C.b>c>aY).c>a>b

2.已知«=ln(V2e),b=^~,c="+1,则。，力，c的大小关系为()

e5

X.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

3.设定义在R上的函数J=/U)满足对,都有yU+2)+y(x)=0,且当x£(0,4]时，

MU)一/(x)>0，若。=/(2024)/=52025),c=2/(2026)，则a,b,c的大小关系是()

X.a>h>cB.a>c>b

C.c>b>aD.b>c>a

4.(2025•成都模拟)已知函数y=/(x)对任意的人｛(一满足/(x)cosx—J(x)sin入>0(其

中八X)是函数./U)的导函数)，则下列不等式成立的是()

B/停卜向⑵

C.2/(0)</Q)D啦贝0)>fQ)

5.若函数段)对任意的rGR,都有八X)勺2+2成立，则2加12)与121n2)-2的大小关

系为()

A.4Un2)M21n2)—2

B.2/(ln2)</(2]n2)-2

C.2/(ln2)=/(21n2)-2

D.无法比较大小

6.设函数府)=3门+^——一工+3,则满足府)+43—2处<6的x的取值范围是()

A.(—8,1)B.(1,4-°°)

C.(3,+8)D.(—8,3)

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.已知函数/U)的定义域为R,其导函数为/(%),且对任意的x£R,都有./(幻+/。)>0,

则下列说法正确的是()

A.eAD<A0)B.eADW)

C.2Aln2)<e/(l)D.2川n2)>eAD

8.（2025•池州模拟）下列不等关系中正确的是（）

A.ln2嘴B.bea>aeh(a>b>\)

-13177

C.cos-<—D.sin-+->n

432

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.已知a=4"=苔，c=Z，则。，b,c的大小关系为

4916-------------

10.已知3，则不等式eSinx-g、-ianx20的解集为

第三章一元函数的导数及其应用

§3.4函数中的构造问题

【考情分析•探规律】

考点三年考情(2021-2024)命题趋势

2024•全国新H卷

考点1利用导数研究函

2023•全国乙卷会构建函数利用导数判

数的零点及其应用

2021•北京卷断函数单调性比较函数值大

考点2利用导数研究方程2024•全国甲卷小关系，该内容也是新高考的

的根及其应用2021•北京卷命题热点，要熟练掌握。要会

考点3构建函数利用导2022•全国甲卷导数及其性质的综合应用，加

数判断函数单调性比较函2022•全国新I卷强复习

数值大小关系2021•全国乙卷

盲薮"i而商i商施建誉蓄蓄善防二不兼良居客:应普试薇荫山演「逋还

己知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.!

I

〒宓麻荡大面额i1

题型一利用人的进行抽象函数构造

命题点1利用./U)与X构造函数

【典例】1.已知函数%)满足/U)=/(—x),且当工£(—8,0］时，益)+0口)>0,若a

=3。2负3。2),b=\n2和2),c=log3才(log31)，则a",c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】A

【解析】令以幻=联幻，x£R,

因为大幻=八一幻，所以g(—x)=一槌一工)=一状的=一双幻，

所以g(x)为奇函数，

又因为当天£(-8,0］时，«x)+MXx)>0,

所以当xe(-oo,o］时，3(幻=/&)+犷8)>0,所以g(x)在(一8,0］上单调递增，

又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增，

又因为a=3°2式3°2)=g(3°2),

Z?=ln2y(ln2)=g(ln2),

c=端：/(唳31)=g(】og3J=g(-2),

-2<0<ln2<lne=1=3°<302,

所以g(-2)vg(22)vg(302),即a>b>c.

【解题技巧】

(1)出现,次幻+¥(工)形式，构造函数F(x)=xnJ(x).

(2)出现形式，构造函数尸(%)一鬻.

益藏商丁"前而不J写W两道函薮

【典例】2.函数./U)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有八幻一/(外>0，则()

A次-1)>0B/3)>e/(2)

C.e|fQ)<e!fQ)D.M3)次4)

【答案】B

【解析】设以月=写,

则g，(x)=3g产=第3,

由条件可知，/(x)—/W>0,所以g'(x)>0,

则函数g(x)在R上单调递增，

因为函数凡D是定义在R上的奇函数，

则的)=0,

由辔等，得火一1)<0,故A错误；

由警等，

得.穴3)＞第2)，故B正确；

由孥哼，得昶)V龊)，故C错误；

由詈＜等，得驶3)勺(4),故D错误•

【解题技巧】

(1)出现T(x)+,巩r)形式，构造函数尸(x)=e%x).

(2)出现八x)—，巩r)形式，构造函数F(x)=*

蒂瓦着3莉甬'/W肓sinx,cosx菸造函薮

【典例】3.(2025・杭州模拟)已知定义在R上的函数儿6满足人小苗工十八幻85心＞0,则

()

A/g)＜V3f(H)B./(H)＜V3f(1)

C/G)＞何(£)D/(“何⑶

【答案】B

【解析】令尸(x)=3,x^+kn,k£Z,

COSX/

故四*3[)恒成立，

COS2X

故”(X尸公在(一三十八3+1)，kZ上单调递增，

故鸣飞)■即暮篝粤学=/妙阳"

6322

思维升华函数ZU)与sinX,cosX相结合构造可导函数的几种常见形式

F(x)=J(x)s\nx,

P'a)=/U)sinx+/U)cos)；

FQc)=

sinx

/'(■r)sinx-f(xjcosx

F'(x)=

sin2x

F(x)=J(x)cosX,

k(x)=/Xx)cosx—/(x)sinx;

F(x)=f(x)

cosx

//(x)cosx4-/(x)sinx

F")=cos2x

【变式训练】

变式1.已知函数/（x）的定义域为（02，其导函数是人工）.若对任意的x£（02有八x）sin

.r-/（A）cosA＜0,则关于x的不等式/U）＞2/Q）sinx的解集为（）

A.（0,9B.（0,C.Q,IT）D.Q,TT）

【答案】B

【解析】令函数g（x）=®,“£（0,兀），

/'(x)sinx-r(x)cosx

则<0,

gW=sin2x

因此函数g（x）在（0,兀）上单调递减，不等式於）＞，'6》而入0祟,鼎，

6

即四）＞噌），解得04档，

所以原不等式的解集为（。，

变式2.已知函数./U)及其导函数八x)的定义域均为(0,+8)，若灯，则()

A.4e2A2)<16/(e)<e2A4)

B.e^4)<4e^2)<l6/(e)

C.e^4)<16Ae)<4e^2)

D.16/(e)<e^4)<4e^2)

【答案】C

【解析】方法一设8。）=婴,xe（0,4-oo）,

•：xf(x)<2J(x).

・・・<0

g'(x)=X3

则g（x）在（0,+8）上单调递减,

，g(2)>g(e)>g(4),

即4e^(2)>16/(e)>e2/(4)，故C正确.

22

方法二设八工)=1,又e<16<4c,C正确.

变式3.已知函数/U)的导数为f[x},对任意实数x,都有以用一/口)>0,且>(1)=1,则

凡。>。山的解集为()

A.(-8,1)

B.(l,+8)

C.(-l,1)

D.(-°°,-1)U(1,+°0)

【答案】A

【解析】由/U)>e'T,可得=9,

铲ee

令g(x)=等，结合/U)-f(x)>0，则g'(x)=/'(??(")<()，

所以g(x)在R上单调递减，

故g(x)>g(l)=.El,

则原不等式的解集为(一8,1).

题型二构造具体函数关系

【典例】1.(2025.昆明模拟)设,6=照,。=喏,则()

61012

A..c<b<ciB.c<a<b

C.b<c<aV).b<a<c

【答案】A

【解析】设./(©=翳，x>0,

1—21nx

则F(x)=

x3

令人工)=0,得,

则/U）在（0,加）上单调递增，在（近，+8）上单调递减，

b=fiVS）,c=/（V6）,贝ljb>c,

5-31n5吟吟0,得eb,

30

所以c<b<a.

【典例】2.142857被称为世界上最神秘的数字，142857X1=142857,142857X2

=285714,142857X3=428571,142857X4=571428,142857X5=714285,142

ln15714

857X6=857142，所得结果是这些数字反复出现，若。=e°"2857,Z?=^-1-1,

c=V1.285714,贝ij()

A..a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【解析】由题意知，。=网42857,C=V1.285714=Jl+2x0.142857,

设./U)=e‘一x—1(x>0),/(x)=ev—1,

当x£(0,+8)时,八#>0,府)单调递增，

所以外)=炉一工一1%0)=0,

所以e'+lgO).

因为x2+2x+1>1+2Hx>0),

所以x+l>J1+2X(A>0),

得eA>Jl+2x(x>0),

所以e0J42857>J1+2x0.142857,即a>c;

由e'>x+1(x>0),得x>ln(x+l)(x>0),

所以JT—1>lnx(x>1),即x>lnx+1(x>1),

所以以1.285714>ln-1.285714+1=皿2：力,十］,即日)

综上，〃>(?>0.

［【解题技巧】通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点

i构造新函数.常用的不等式：sinx<v<tanx(0<x<^),ln(x+1)<X(A>0),InxWx-lWx2

i

\-x(x>Q),e，x+l(x>0),ev^eA>A(A>0).

标】一

变式1.(2025・九江模拟)已知a=sin弓,b=ln；,c=；,则()

\.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】D

【解析】方法一a=sin^>sin'=?=，、,

56L

设/U)=lnx+1—x,x>\,

贝廿口尸号<0,

故於)在(I,+8)上单调递减,

故火x)$/(l)=0,即\nx<x-\(x>\),

所以/?=ln1=c,故a>c>b.

22

方法二fl=sin->sin-=-=c,Z?=ln-<lnVe=-=c,

56222

所以a>c>b.

变式2.已知e是自然对数的底数，。=/尸"=e%in-,c=^~,则()

21nyjneln2

A.a>h>cB.c>a>h

C.a>c>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】构建,/(工)=言,x>e,

则/")=黑>0在(e,+8)上恒成立，

\lnx)

可知ZU)在(e,+8)上单调递增，

因为a=-71r-=-^-,《=总=广7,

21nY/TXInITln2In4

可知,/(4)》U)：>/(e)=e,

即c>a>e.;

构建g(x)=x—sinx,A>0,

贝|］且。)=1-8§工20在(0,+8)上恒成立，

可知g(x)在(0,+8)上单调递增，

贝|Jg(x)>g(())=0,即Qsinx,x>(),

可得％sin-,且e>0,

ee

则e>e2sin-,即e>b,

e

综上所述，C>4>〃.

【限时训练】|限时：45分钟］

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.(2025•福州模拟)已知a=kn|,/?=ln(ln3),。=一(，则()

A..a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】B

【解析】因为Z?=ln(ln3)>ln(lne)=0,

而a=?n1<0,(?<0,所以b最大，

构造函数./U)=xlnx(x>0),因为/(x)=lnx+l(.t>0),

当04《时，八4)<°，当时，八幻>。，

所以/U)在(0,?上单调递减，在+8)上单调递增，

又因为a=/Q),c=/Q),

所以/(9/(?，即a

故b>a>c.

2.已知a=ln(&e),b=—,c=塔+1,贝Ua,b,c的大小关系为()

e5

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】由题意，片苧+1=学+1,/.=—+1,c=^+l,

24e5

设府)=产，则八》)=4/，

当0<r<e时，殁)>0，於)单调递增；当A>e时,/(A)<0,危)单调递减，

因为e<4<5,

所以沙=/(e)+1>。=<4)-1"=犬5)+1,故b>a>c.

3.设定义在R上的函数)：=/U)满足对Vx£R,都有,/U+2)+/U)=0,且当%e(o,句时，

xf(x)-J(x}>0，若a=R2024)1=软2025),c=2/(2026)，则a,b,c的大小关系是()

A..a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.b>c>a

【答案】B

【解析】由/U+2)+/U)=0/(x+4)+/U+2)=0=次x+4)=/(x),

即4为)，=/&)的一个周期，

所以a=fl2024)=/4),

同理b=4JQ025)=4/(1),c=2J(2026)=2/(2),

令蚣尸”=g,a尸8产，

由已知可得,当xe(o,4］时,ga)x),g(x)单调递增,

Fjf^—=>4/(1)<2«2)<7(4),即a>c>b.

124

4.(2025•成都模拟)已知函数)，=凡¥)对任意的满足/(x)cosx-/(x)sinx>0(其

中八x)是函数./U)的导函数)，则下列不等式成立的是()

A,(Y)>何(TB/G)〈何⑵

C.2A0)</D.V2/(0)>/Q)

【答案】c

【解析】构造函数g(x)=/(x)cosx,]£(一],,

则gW=f(x)cosx~J(x)smx>0,

所以g(x)在(―9以上单调递增，

则，

所以/(")COS(；)寸(")COS(4)'

即/(一与〈仞(一9，故A不正确；

则gg)>g(9,

所以/歙吟fe)cos；,

即/(少向(9，故B不正确；

则g(0)<g(9,

所以火0)cos0勺Oos],

即2欢)守得)，故C正确；

则g(o)<g(9,

所以_/(())cos()勺(；)cos：,

即向0)式(3,故D不正确.

5.若函数4r)对任意的AER,都有八x)勺5)+2成立，则2A)n2)与/(21n2)-2的大小关

系为()

A.2Aln2)421n2)-2

B.2/(ln2)</(2ln2)-2

C.2/(ln2)=/⑵n2)-2

D.无法比较大小

【答案】A

【解析】令g(x)一世詈，

则g'(x)=

ex

•・•对任意的x£R,都有/V)勺(x)+2成立，

・・・g3vO,即g(x)在R上为减函数,

又In2<21n2，•二g(ln2)>g(21n2),

即f(ln2)+2〉/(21n2)+2

可得2/Un2)>A2ln2)-2.

6.设函数/U)=sinx4-ev—e*—x+3,则满足儿0+43-2幻<6的x的取值范围是()

A.(—8,1)B.(l,+8)

C.(3,+8)D.(—8,3)

【答案】C

【解析】j(x)=s\n.r+ev—e-r—x+3,

设^(A)=fix)-3=sin.r+ev-e-x—x,

又易知g(-x)=-g(x),

・・・g(x)为R上的奇函数，

又g'(x)=cosx+e'+e12cosx+2—l=l+cosx，0,

・・・ga)在R上是增函数，

又./U)+/(3—2x)<6,

♦・♦伏㈤-3]+[/(3—2x)—3]<0,

・・・g(x)+g(3—2x)<0,・・・g(x)<—g(3—2K),

又g(x)为R上的奇函数，

3—3),

又g(,i)在R上是增函数，

.*.x<2x—3,.*.x>3,

故满足火幻+人3—2%)<6的工的取值范围是(3,+8).

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.已知函数/U)的定义域为R,其导函数为八x),且对任意的x£R,都有./(x)+/V)>0,

则下列说法正确的是()

A.e/(l)</(0)B.e/(l)>y(O)

C.2Aln2)<e/(l)D.2/(ln2)>e/(l)

【答案】BC

【解析】令g(x)=eVU),

所以g'a)=eyu)+eva)=e'vu)+/a)]>o,

所以g(x)在R上是增函数，所以g(O)<g(l),即10)<啜1),故A错误，B正确；

又g(ln2)<g⑴,

所以e,n2«ln2)<e/(l),

即2fi\n2)<e/(l)，故C正确，D错误.

8.(2025・池州模拟)下列不等关系中正确的是()

A.ln2嘿B.bea>aeh(a>b>1)

八131n•7।7、

C.cos-<—D.sin-+->7i

43222

【答案】ABD

【解析】对于A项，由In2=詈，构造函数段)=第(00),则八工