2026年高考数学一轮复习讲义集合（知识点+试题+8大考点+1类典型易错）

第01讲集合

目录

第一部分：基础知识................................................................1

第二部分：高考真题回顾............................................................3

第三部分：高频考点一遍过..........................................................3

高频考点一：集合的基本概念....................................................3

高频考点二：元素与集合的关系..................................................4

高频考点三：集合中元素的特性..................................................4

高频考点四：集合的表示方法....................................................4

高频考点五：集合的基本关系....................................................5

高频考点六：集合的运算........................................................6

高频考点七：/〃〃图的应用.....................................................7

高频考点八：集合新定义问题....................................................8

第四部分：典型易错题型...........................................................10

第一部分：基础知识

元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：£和史.

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图(现〃屋图).

(4)常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这

个集合中就确定了.给定集合A={1,2,3,4,5},可知IwA,在该集合中，6/4,不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

集合A={。,4(?}应满足4。〃工C.

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A=(1,2,3,4,5}和8={1,3,5,2,4}是同一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合8中的元素,

我们就说这两个集合有包含美系，称集合4为集合〃的子集，记作人胃〃（或92八），读作“A包含

于（或包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合4口B,但存在元素xeB,且我们称集合A是集合8的

真子集，记作AU3（或.读作“A真包含于3”或“3真包含A”.

（3）相等：如果集合A是集合B的子集（Aq3,且集合8是集合A的子集（BqA）,此时，集合A

与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合8相等，记作A=〃.

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集.

3、集合的基本运算

（D交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与8的交集，记作AC4,

即An3={x|xwA且xwB].

（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与8的并集，记作AU

即AUB={R|xeA,垢£8}.

（3）补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U

的补集，简称为集合A的补集，记作CuA,即=且x任A}.

4、集合的运算性质

（1）AC\A=A,AA0=0>AC\B=BC\A.

（2）ALM=A,A\j0=AtAUB=8UA.

（3）An（QA）=0,AU（QA）=U,CU（CUA）=A.

5、高频考点结论

（1）若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2〃-1个，非空子集有2"-1个，非空真子

集有2"-2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合8的真子集.

（3）4。0Ap|8=AOAUBUBOCUBUQ/.

（4）&（4（18）=（。"）11（。，3）,q（AU8）=（QA）n（G，B）.

第二部分：高考真题回顾

•北京•高考真题）已知集合M={x|-3<xvl},贝）M=N=（）

1.（2024N={x\-\<x<4}t

A.{x|-l<x<l|B.{x|x>-3}

C.{x|-3<x<4}D.{x|xv4}

2.（2024•全国甲卷•高考真题）若集合A={1,2,3,4,5,9},/3=卜,+16可，则人口8=（）

A.{1,2,3}B.{3,4,9}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4,5}

3.（2024•全国甲卷•高考真题）已知集合4={123,4,5,9},8=k|6€N，则。（Ac8）=（）

A.{1,4,9}B,{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：集合的基本概念

典型例题

例题1.（2024•西藏拉萨•一模）集合卜£用国<3}中的元素个数为（）

A.2B.3C.5D.7

例题2.（23-24高三上•重庆渝中•阶段练习）已知集合4={1«=4k攵£4,B={4V=4〃?+1./〃CZ},

C=|x|x=4/7+2,neZ|,D={x|x=4r+3,rGZ},若acB,bsC,则下列说法正确的是（）

A.a+b&AB.a+beBC.a+beCD.a+b&D

精练高频考点

1.（2025•黑龙江•模拟预测）下列关系正确的是（）

A.。史NB.石eQ

C.ZGQD.{I,2}C{A|X2-3X+2=0}

2.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）下列四个命题正确的个数是（）

①网是空集；②若aeN,则-/N；③集合［wR1/-21+1=（）}有两个元素；④集合卜

是有限集

A.1B.2C.3D.0

高频考点二：元素与集合的关系

典型例题

例题1.（2025•陕西汉中•二模）三知集合4={2m+6冲〃WZ,〃WN},则（）

A.G足AB.-2+543eAC.4eAD.-l+2x/3eA

例题2.（2025•甘肃庆阳•二模）三知集合人={1仙-1|,〃+2},且2cA,则实数。的值为.

精练高频考点

1.（2025•重庆•二模）已知全集0={123,4,5},集合M满足={1,2,5},则（）

A.3更MB.2cMC.5wMD.41M

2.（2025•辽宁•二模）设集合八二八［2・1>处•若2《A，则切的取值范围是（）

A.m<3B.rn>3C.m<3D.m>3

高频考点三：集合中元素的特性

典型例题

例题1.（2025•全国•模拟预测）三知集合人={1,。},B={-1㈠},若人口8={0，则实数。的取值集合为

（）

A.{0}B,{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

例题2.（24-25高三上・河北邢台・阶段练习）已知集合人={4/-2"}1={%+/川,3},若八二8,贝儿-〃=

（）

A.-2B.2C.-6D.6

精练高频考点

1.（24-25高三下•广东清远•开学考试）集合4={0,2,f+i},B={0,x+3},若4口8=8,贝拉=（）

A.-1B.0C.2D.-1或2

2.（24-25高三上•上海•阶段练习）设aeR,若集合S=+力中的最大元素为3,贝此=.

高频考点四：集合的表示方法

典型例题

3

例题1.（24-25高三上•江西•阶段练习）已知集合从二卜2一^Z,则用列举法表示A=（）

x-1

A.{-2,0,1,2,4}B.{-2,0,2,4}C.{0,2,4)D.{2,4}

例题2.（2025•甘肃张掖•模拟预测）方程组"[的解集是（）

x-y=-3

A.{(x,y)|x=-l,或y=2}B.{(1,-2)}

x=lx-2y=-5

C.<(")卜D.升

1>，=-2Jx+>'=1

精练高频考点

1.（23-24高三上•四川乐山•期中）集合{xwN[x-l<2x+l<7}用列举法表示为（）

A.{-L0,l,2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{1}

2.（2024高三•全国•专题练习）用列举法写出集合A=（），|.y=V-2,xwZJx|«3}=.

3.（23-24高三•全国•课后作业）已知集合知=[4/一©用用列举法表示〃=

j-a

高频考点五：集合的基本关系

典型例题

例题1.（24-25高三下•北京海淀,期中）已知集合"=kX=飙+£«€21,N=[x="+则

424

（）

A.M=NB.MqNC.NqMD.MC\N=0

例题2.（2025•云南•一模）已知集合A=*|W—3x+2K0},B={x\x<a}t若A=则实数。的值可以

为（）

3

A.2B.-C.3D.1

2

例题3.（2025高三•全国•专题练习）已知{1,2仁加{123,4,5},这样的集合M有_个.

精练高频考点

1.（2025•河南•模拟预测）已知集合A={（）,1},8=若Aq8,贝lj〃=（）

A.2B.0C.（）或2D.-2或2

2.（2025•四川,模拟预测）已知集合A=<xx=],〃cZ，,A=rx=4〃eZ,，则（）

A.A=BB.4土3C.A=4D.=0

3.（24-25高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）已知集合4={1,2,3,4,5},8=[入奇64工€4],则集合6的真

子集个数为（）

A.3B.5C.7D.15

高频考点六：集合的运算

典型例题

例题L（2025•陕西咸阳.模拟预测）己知集合何=卜卜—2区2],N={_2,_1,0,l,2,3},贝|]/30/=（）

A.{-L0,l,2}B.{-2-1.0J}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}

例题2.（2025•重庆九龙坡•三模）已知集合M={X0vxva},N={x|x2-6x+5v0},若N\JM=M,

则实数〃的取值范围是（）

A.[5,-HC）B.（5,-KO）C.[3,+8）D.（3,-HX））

例题3.（24-25高三上•上海・期中）=集合B={x||x-a|R}.

⑴求集合A;

⑵若BcQA=4,求实数”的取值范围.

例题4.（24-25高一上•江苏苏州•阶段练习）已知集合4=卜尸+2.1-15=0},B={x|^-1=0}.

（1）若"9求Afl&B）；

（2）若求实数〃的取值组成的集合C.

精练高频考点

r—2

1.(24-25高三上•湖南娄底•期中)若A={x|-2<xv2},8=卜—WO,则()

x+1

A.{.H-1W2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|-2<x<2}D.{^-2<x<2}

2.(2025・江西三模)已知集则。的取值范围为()

A.(YO,1]B.(f3]C.[l,+oo)D.[3,-KO)

3.(23-24高三下•北京朝阳•期中)设R为全集，集合A={H〃+10W24+1},8={y|)，=Y+2x-2,0WxW2}.

⑴若〃=3,求AcA,他A)c8；

(2)若AqB,求实数”的取值范围.

4.（23・24高三上•辽宁盘锦•期中）设集合4={人|/-3/+2=0},6=卜卜2+2（"十1）八十“2-5=（）}.

（1）若An8={2},求实数〃的值；

⑵若AU3=A,求实数。的取值范围.

高频考点七：口〃〃图的应用

典型例题

例题1.（24-25高三上•广东广州•阶段练习）学校举办运动会，高三⑴班共有28名同学参加比赛，有15

人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，

同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛,若从该班参加比赛的同学中随机抽取1

人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（）

13_I5

A»—B.—C.-D.—

1428728

例题2.（23・24高三•湖南长沙）已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了

田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没

有参加的人数为（）

A.25B.23C.21D.19

精练高频考点

1.（24-25高三上•云南•阶段练习）用card（A）表示有限集合A中元素的个数，例如，A={a/,c},则card（A）=3.

对于任意两个有限集合A8,若card（A）=8,card（3）=6,card（Ac3）=4,贝lJcard（Au8）=（）

A.10B.12C.14D.18

2.（23-24高三上•新疆喀什•阶段练习）2022年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹•笨小孩》

三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随机抽

取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49人，观看了《狙击手》的有

46人，观看了《奇迹•笨小孩》的有34人，统计图如图.计算图中小心c的值.

/《狙山手》八\

27/一仕1《长津湖之水门桥》］

［《奇迹•笨小孩A------/

高频考点八：集合新定义问题

典型例题

例题1.（2025•江西•模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理〃，它是中国古代史上最有创造性的成就

之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的“三名形式表示。

和力除以〃的余数相同.已知集合A3,C满足A=3|"三2（mod3）,〃eN'},B=|m=1（moc4）,eN,},

C=Ap|B.对于集合C中的任意一个元素J下列结论错误的是（）

A.c=2（nxxi3）B.c=l（nxxi4）C.c=5（m（xi7）D.c=5（mod12）

例题2.（24・25高三下•浙江•开学考试）定义：A\x为在集合A中去掉一个元素x后得到的集合；S（A）为

集合A中的所有元素之和.已知由"个正整数组成的集合人={%,。2,…9j（〃wN,〃23）,若对于

GA（/=1,2,...,/Z）,都存在两个集合B,C,使得A\q=BuCIcC=0,且S（8）=S（C）,就称集合A为

“完美集〃.

（1）若A={1,235,6},判断A是否为“完美集〃，并说明理由；

（2）若集合A={%,<4,…wN,,〃之3）是“完美集”，证明：〃是奇数；

（3）若集合A=…4}（〃wN=〃23）是“完美集”，且A中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，

则称A为“等差完美集".已知集合,4=®0,...”}（〃2〃之3）是“等差完美集〃，求〃的最小值.

精练高频考点

1.（2025高三下•全国•专题练习）已知有限集合A=M，%%「•,4},定义集合

B=.+〃小金•〈八〃，仃cN」中的元素的个数为集合A的〃容量〃，记为〃4）.若集合4={xwN」lKxK3},

则L（A）=;若集合4=卜€乂||《"4〃},且〃A）=4047,则正整数〃的值是.

2.（2025•山东临沂•二模）对集合43,定义集合/^4=卜上€4,工史B或rw仇x任A},记|X|为有限集合X

的元素个数.

（1）若％={1,2},4={2,3,4},求儿必

⑵给定集合S={1,2,3,4}的子集M,求集合{x|XqS,|X^M|=l}的元素个数；

⑶设A8,C为有限集合，证明：忸△1.

第四部分：典型易错题型

易错点一：忽视集合互异性，求解参数时没有回代检验集合是否满足互异性而造

成错误

1.（23-24高二下•上海浦东新•期末）己知集合4={2,（〃+1）2,"+为+3},且1“，则实数。的值为.

易错点二：忽视空集，特别提醒当时，优先考虑A=0

1.（多选）（25-26高三上•全国,课后作业）已知集合4={-1,2},8=3⑪=1},若则实数〃的值

可以为（）

A.gB.-1C.0D.一一

22

2

2.（24-25高三上•山东枣庄•阶段练习）已知集合4=口|/-/“+15=0},B={x\x-ax-b=0}t

4U〃=12,3,5},ACB={3}.

（1）求p,a,b的值；

（2）若。={•〃次+2=0},且CqB,求机的值.

3.(24-25高三・福建厦门•阶段练习)已知全集。=1<,集合

A=-4X+3K()},8=何卜-3<1},C=凶加KxKa+2,4£火}.

⑴求Ac笈和AD(4B)；

(2)若8uC=8.求。的取值范闱.

第01讲集合

目录

第一部分：基础知识................................................................1

第二部分：高考真题回顾............................................................3

第三部分：高频考点一遍过..........................................................3

高频考点一：集合的基本概念....................................................3

高频考点二：元素与集合的关系..................................................4

高频考点三：集合中元素的特性..................................................4

高频考点四：集合的表示方法....................................................4

高频考点五：集合的基本关系....................................................5

高频考点六：集合的运算........................................................6

高频考点七：现〃〃图的应用.....................................................7

高频考点八：集合新定义问题....................................................8

第四部分：典型易错题型...........................................................10

第一部分：基础知识

1、元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：£和仁

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（现〃〃图）.

（4）常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号

NN•或MZQR

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这

个集合中就确定了.给定集合A={1,23,4,5},可知1£人，在该集合中，6乏A,不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

集合A={a,〃,c}应满足。工〃工c.

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A=（1,2,3,4,5}和4={1,3,5,2,4}是同一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{卜括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合8中的元素,

我们就说这两个集合有包含美系，称集合4为集合〃的子集，记作人胃〃（或92八），读作“A包含

于（或包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合4口B,但存在元素xeB,且我们称集合A是集合8的

真子集，记作AU3（或.读作“A真包含于3”或“3真包含A”.

（3）相等：如果集合A是集合B的子集（Aq3,且集合8是集合A的子集（BqA）,此时，集合A

与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合8相等，记作A=〃.

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集.

3、集合的基本运算

（D交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与8的交集，记作AC4,

即An3={x|xwA且xwB].

（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与8的并集，记作AU

即AUB={R|xeA,垢£8}.

（3）补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U

的补集，简称为集合A的补集，记作CuA,即=且x任A}.

4、集合的运算性质

（1）AC\A=A,AA0=0>AC\B=BC\A.

（2）ALM=A,A\j0=AtAUB=8UA.

（3）An（QA）=0,AU（QA）=U,CU（CUA）=A.

5、高频考点结论

（1）若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2〃-1个，非空子集有2"-1个，非空真子

集有2"-2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合8的真子集.

（3）4。0Ap|8=AOAUBUBOCUBUQ/.

（4）&（4（18）=（。"）11（。，3）,q（AU8）=（QA）n（G，B）.

第二部分：高考真题回顾

1.(2024•北京•高考真题)已知集合M={x|-3<xvl},N={x\-\<x<4}t贝)M=N=()

A.{x|-l<x<l|B.{x|x>-3}

C.{x|-3<x<4}D.{x|xv4}

【答案】C

【知识点】并集的概念及运算

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【详解】由题意得MDN={X[-3<XV4}.

故选：C.

2.(2024•全国甲卷•高考真题)若集合A={L2,3,4,5,9},3=则人口8=()

A.{1,2,3}B.{3,4,9}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4,5}

【答案】C

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据集合A的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对于集合8中的元素以满足x+l=L2,3,4,5,9,

则[可能的取值为。12,3,4,8,即3={0,1,2,3,4,8},

于是AcB={l,2,3,4}.

故选：C

3.(2024•全国甲卷•高考真题)已知集合4={123,4,5,9},8=卜|。£4卜则^(4小为=()

A.{1,4.9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算

【分析】由集合8的定义求出3,结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为A={l,2,3,4,5,9},B=k|4eA},所以B={1,4,9,16,25,81},

则4口8={1,4,9},。（4口8）={23,5}

故选：D

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：集合的基本概念

典型例题

例题1.（2024•西藏拉萨,一模）集合卜£用凶<3}中的元素个数为（）

A.2B.3C.5D.7

【答案】B

【知识点】列举法求集合中元素的个数、常用数集或数集关系应用

【分析】列举法表示集合，可得解.

【详解】{xeN||A-|<3}={0,k2},该集合中的元素有3个，

故选：B.

友情提醒：集合是用描述法来表示集合，解题时注意一般元素代表

KN,养成细心的解题习惯。

C=\x\x=4n+2,neZ\9D={x|x=4/+3,/€Z）,若awB,bwC,则下列说法正确的是（）

A.a+beAB.a+beBC.a+beCD.a+beD

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、常用数集或数集关系应用

【分析】根据对描述法表示的集合的理解，设出。，〃的表示形式，得到判断其与集合的关系即可.

【详解】因为bsC,

则由题意可设a=4/〃+l,。=4〃+2,其中〃?eZ,〃eZ,

则a+力=4（〃?+〃）+3,且〃?+〃eZ,

故。，

故选：D.

精练高频考点

1.（2025•黑龙江•模拟预测）下列关系正确的是（）

A.。史NB.V3eQ

C.ZGQD.{1,2}C{A|X2-3X+2=0}

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、常用数集或数集关系应用

【分析】根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系对选项逐一判断即可.

【详解】对于A,0是自然数，OEN,故A错误；

对于B,G不是有理数，6任Q,故B错误；

对于C,Z是整数集，Q是有理数集，Z是Q的子集，故C错误；

对于D,L2是方程f—3x+2=0的解集，{1,2}=次|/一31+2=0},故D正确.

故选：D.

2.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）下列四个命题正确的个数是（）

①{0}是空集；②若awN,贝＞"N；③集合{xeR|/-2x+l=0}有两个元素；④集合卜

是有限集

A.1B.2C.3D.0

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、空集的概念以及判断、集合的分类

【分析】对①，根据空集的定义可判断；对②，根据元素与集合的关系判断；对③，求出方程的根可判

断；对④，根据集合的表示，无限集合定义可判断.

【详解】对于①，{0}不是空集，空集中无任何元素，故①错；

对于②，若OWN,当。=（）时，-awN,故②错；

对于③，集合{X£R，-2X+1=O}={1},只有一个元素，故③错；

对于④，集合{XGQI'N}是无限集，故④错；

X

综上，正确的命题有。个.

故选：D.

高频考点二：元素与集合的关系

典型例题

例题1.（2025•陕西汉中•二模）三知集合A={2〃z+G〃|meZ,〃eN）,则（）

A.G史AB.一2+5出任AC.4eAD.一l+26e4

【答案】C

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可.

【详解】因为A={2〃?+x/5〃|〃?eZ,/?€N},

设、万=2m+>/3n，则：有理数部分：0=2m=/〃=0,无理数部分:6=#=〃=],

〃Z=OGZ,〃=leN,符合条件，所以VJwA,故A错误；

设-2+575=2m+6n，则有理数部分：-2=2m=>〃?=一1,无理数部分:5G=6〃=>〃=5,

〃?=TwZ,〃=5wN,符合条件，故-2+5x/J”,故B错误；

设4=2加+6〃，则：有理数部分:4=2/〃=,〃=2,无理数部分：O=G〃=>〃=OeN,故4w4,故C正确;

设-1+2w=2〃?+百〃，则有理数部分：-1=2"7=>/〃=-0.5（非整数，矛盾），故-I+2G史A,故D错误.

故选：C.

例题2.（2025•甘肃庆阳•二模）三知集合A={l,|a-l|,a+2},且2e4,则实数”的值为.

【答案】3

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、集合元素互异性的应用

【分析】因为2eA,则|。-1|=2或々+2=2,由此可解出“，再代入集合A验证，需要满足集合的互异性,

由此可得答案.

【详解】因为2eA,所以分为以下两种情况：

①,一1|=2=。=3或-1,当〃=3时，集合A={1,2,5}满足题意；

当〃=—1时，集合A={1,21},违反了集合的互异性，故舍去；

②〃+2=2n〃=0,此时集合A={11,2},违反了集合的互异性，故舍去；

综上所述，a=3.

故答案为：3.

精练高频考点

1.（2025•重庆•二模）已知全集〃={123,4,5},集合M满足Q,M={1,2,5},则（）

A.3更MB.2GMC.5eMD.4iM

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算

【分析】根据补集可得知={3,4},根据元素与集合之间的关系逐项分析判断.

【详解】因为全集。={1,2,3,4,5},^Af={1,2,5},可得"={3,4},

所以3wM,2史M,5gM,41M.

故选：D.

2.（2025•辽宁•二模）设集合A={X|2X_1>W},若我八，则'"的取值范围是（）

A.m<3B.in>3C.m<3D.〃？>3

【答案】C

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】根据元素与集合的关系，求〃?的取值范围.

【详解】因为2wA,所以2x2-l>"],所以/〃<3.

故选：C

高频考点三：集合中元素的特性

典型例题

2

例题1.(2025•全国•模拟预测)已知集合4={"},B={-\,a}t若则实数”的取值集合为

()

A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】A

【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据交集结果求集合或参数

【分析】根据集合中元素的特性及交集运算求解即可.

【详解】由Ac8={a},得"一】或〃=心

解得〃=一1,4=()或。=1.

当〃=-1时，A=B,不符合题意；

当4=1时，八=⑴，这与集合A中有两元素相矛盾，不符合题意；

经检验符合题意.

故选：A.

友情提醒；集合元素的互异性是考察重点，求解时注意回代检验是否符合集合的

互异性。

例题2.(24-25高三上・河北邢台,阶段练习)已知集合4={«/一2〃/},8={2々+41,3},若4=3,则

()

A.-2B.2C.-6D.6

【答案】A

【知识点】根据两个集合相等求参数、集合元素互异性的应用

【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解.

【详解】因为集合八={4/-2«1}1={%+41,3),

a=2a+b＞。=3

若A=8,贝!1«

a2-2a=3[a2-2a=2a+b

解得=1或。=3,6=-3,

当”=3,)=-3时，A=(3,3,1),与集合元素的互异性矛盾，舍去,

故〃=-1,力=1,A={-h3,l},B={-1,1,3）,符合题意，此时〃一力=一2.

故选：A.

精练高频考点

1.（24-25高三下•广东清远•开学考试）集合A={0,2,f+i},B={0,x+3},若Ad"'则尸（）

A.-1B.0C.2D.—1或2

【答案】C

【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数

【分析】根据题设有讨论x+3=2、X+3=X2+\,结合集合中元素的性质求参数值.

【详解】由题设若工+3=2,则x=-l,此时d+i=2,集合A不满足元素的互异性，排除；

若工+3=d+1=%2-4-2=0,可得x=2或x=T（舍），

当“2时，A={0,2,5},B={0,5},满足题设，

所以x=2.

故选：C

2.（24-25高三上•上海•阶段练习）设aeR,若集合S={-1”“+2}中的最大元素为3,贝心=.

【答案】1

【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数

【分析】先根据元素在集合S内，再分，=3,。=-1,〃=1分别检验是否符合题意.

【详解】因为集合$={-1,«/+2}中的最大元素为3,

所以3u{—1,«/+2},所以々=3或1=1.

当a=3时，/+2=11>3不合题意舍；

当。=-1时，不符合集合的互异性舍；

当〃=1时，集合5=卜1,“/+2}中的最大元素为3；

所以。=1.

故答案为：1.

高频考点四：集合的表示方法

典型例题

3

例题1.（24-25高三上•江西•阶段练习）已知集合人=xeZ「eZ1，则用列举法表示A二（）

x-\

A.{-2,0,1,2,4}B.{-2,0,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}

【答案】B

【知识点】列举法表示集合

【分析】由题意可得X-1可为±1、±3,计算即可得.

【详解】由题意可得X-1可为±1、±3,

即；可为0,2,—2,4,即4={-2,0,2,4}.

故选：B.

例题2.（2。25.甘肃张掖.模拟预测）方程组二13的解集是（）

A.{(x,j)|x=-l,或>=2}B.{(1，-2)}

x=Ix-2y=-5

C.<(工,)升D.((.%>)卜

)'=一2x+y=1

【答案】D

【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合

【分析】解方程组，用集合表示即可判断.

【详解】由方程组=解得），=2，所以该方程组的解集为{（T，2）},

而g）卜{（-1,2）}.

、）I'"

故