湖南省2025-2026学年高一年级下册期中考试数学（解析版）

雅礼中学2026年上学期期中考试试卷

高一数学

时间：120分钟分值：150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.三知集合彳={1,235,7,11},B={x\3<x<\5}t则4n8中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】采用列举法列举出/C8中元素的即可.

【详解】由题意，4c8={5,7,11},故4c8中元素的个数为3.

故选：B

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是•道容易题.

2.已知■，则z的虚部为()

i

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的四则运算求出复数z,再确定其虚部即可.

【详解】由2=但="要=2-1,可知Z的虚部为-1.

11

故选：D.

3.己知4(—2,1),8(4,—5),点。满足万=,万，则点夕的坐标是()

2

A.(-3,3)B.(-8,7)C.(1,-2)D.(10,-11)

【答案】C

【解析】

【分析】求出向量懑的坐标，进而求出点尸的坐标.

【详解】点力(—2,1),8(4,—5),则布=(6,-6),于是万二；而=(3,—3),

所以点。的坐标为(1,一2).

故选:c

4.”幕函数/（x）=（〃2—3〃+3）/“3”在（0,+8）上是减函数”是，，〃=2”的一个（）

A.必要不充分条件B.充要条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据某函数的单调性求解〃=1或〃=2,再根据必要不充分条件的定义即可得解.

【详解】由幕函数的定义得〃2—3〃+3=1，解得〃=1或〃=2,此时〃2一3〃=一2，/（x）=/=4；

所以当事函数/（"=（〃2-3〃+31/一3"在（0,+为上是减函数时，〃=1或〃=2,充分性不成立；

当〃=2时，/（工）=婷=4在（（）,+8）上是减函数，必要性成立；

X

所以幕函数/（X）=（〃2-3〃+3）./・3”在（0,+8）上是减函数，，是“〃二2”的一个必要不充分条件.

故选：A

4

5.已知sin(a+£)=1，tan«=3tanp,则sin(a-£)=()

22

AB.-C-D.

l?5I3

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件可得出关于sinacos/?、cosasin//的值，结合两角差的正弦公式可求出sin（a-尸）

的值.

、4〃3

sin(«+/?1=sinacosP+cosasinP=—sin(7cosp=-

、.〃解得.

【详解】由题意可得＜5,

sina_3sinp〃

cosasm,p=—1

cosacosQ5

因此sin(a-尸)=sinacosp一cosasin/?=---=

故选:B.

6.努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式,它通常表示为：1.01365=37.8,

0.99365=0.03我们可以把（1+1%严看作每天的进步率都是1%,而把（1-1%）365看作每天的落后率都

）天后进步的是落后的200倍（1g；；；x0.0087,lg2、0.301

足1%,大约经过（

A.264B.266C.268D.270

【答案】A

【解析】

iorv

【分析】设X天后进步的是落后的20（）倍，则上L=200,利用指对数运算求解即可.

0.99'

【详解】设x天后进步的是落后的200倍，则人丝二200,f—1=200，

0.99A10.99J

rioi।

即==^lg7^=lg200=lg（2xi00）=2+lg2，

iU・W/U・w

x—_2_+_ljg2_2_._3_0_1__才264

所以有一11.01~0.0087~（天）.

80.99

故选：A.

7.若平面。截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面。平行的棱有（）

A.0条B.1条

C.2条D.1条或2条

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，作平行四边形EFG”为三棱锥的截面，根据线面平行的判定定理，以及线面平行的性

质，即可得出结果.

【详解】如图所示，四边形EbGH为平行四边形，则EF//GH.

EFa平面BCD,GHI平面BCD,

「.£F〃平面BCD.

又•••£77u平面4CO,平面8CDCI平面ZC0=CZ），

又EFu平面EFGH,CDQ平面EFGH.

CD!I平面EFGH，同理，ABH平面EFGH，

所以与平面a（面EFGH）平行的棱有2条.

故选：C.

【点睛】本题主要考查线面平行的判定，熟记线面平行的判定定理，以及线面平行的性质即可，属于常考

题型.

—2x~-x~xWO

8.已知函数/（x）=・加乂x〉'o，若,且===则〃++c+2d

的取值范围是（）

C.（2>/2,+oo）D.（272-2,+oo）

【答案】B

【解析】

【分析】作出/（戈）图象，由数形结合的方法可知一2<。<一1<6<0<。<1<4<10,由对称性知

。+力=-2,cd=l,将所求式化为-2+^+2d,利用对号函数单调性可求得所求范围.

d

【详解】由/（X）解析式可得/'（工）图象如下图所示：

设/(〃)=/S)=/(c)=/(d)=z,由图象可知：0<女<2,

-2<6/<-1</><0<c<1<6/<10,

又％力关于x=-l对称，.♦.。+6=—2；

由旭4=旭"|得：一lgc=lgd,即cd=l,:.a+b+c+2d=-2+—+2d,

•••y=2x+，在(1,10)上单调递增，.•.2d+[u]3,201

xdI10

:.a+b+c+2de1,——.

I10J

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的相关知识，解题关键是能够利用数形结合的方式确定Ac,d

所处的范围及对称关系，由此化简所求式，得到一个关于某一变量的函数的形式，利用函数值域的求解方

法求得结果.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.三知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的有（）

A.z-z=|z|2=|z|2

B.若4>z2,则zt-z2>0

C.若mwR,则2=m+1+何2—2加一3）i不可能是纯虚数

D.若|z|Kl,则在复平面内对应的点Z的集合确定的图形面积为27r

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,结合共轨复数的定义，以及复数模公式，即可求解，对于B,结合复数的概念求解即可,

对于C,结合纯虚数的定义，即可求解，对于D,结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】对于A,设z=〃+bi,GR）,则z=〃一6i，

z-z=（a+bi）（a-bi）=a2+b2,|z|2=|z|2=a2+/?2»故A正确；

对于B,由于虚数不能比大小，又Z>Z2,可得z「Z2都是实数，可得Z1-Z2>0,故B正确,

对于C,当z=，〃+1+（//-2加一3）i为纯虚数时,

〃7+1=0

则<,，无解,

m~一2〃？一3二0

故当加wR,则2=m+1+（〃/—2加-3）i不可能是纯虚数，故C正确,

对于D,|z|<1,则z在复平面内对应的点Z的集合确定的图形为以（。，0）圆心，1为半径的圆,

以及圆的内部，其面积为兀二兀，故D错误.

故选：ABC.

10.记锐角V45。的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,a8s?8=2Z)cos4cos8+bsin4sin8,则

().

/Tt71\

A.A=BB.8的取值范围为—

(64；

c.2的取值范围为(J5,6)D.］的取值范围为(1,2)

【答案】BCD

【解析】

【分析】由条件利用正弦定理边亿角，可得sin(/-2B)=0,判断A;由三角形为锐角三角形结合A的结

论，可求得8的范围，判断B；利用正弦定理表示£=2cos8,结合8的范围可判断C;利用正弦定理表示

b

y=4cos2Z?-l,结合4的范围可判断D;

b

【详解】由题意得sin4cos2B-2sinBcosAcos5-sinJsin2B=0，

得sin4(cos28-sin?8)—cos4•sin28=sin(4-28)=0,

由于48c(0,工)，则4—28w(—兀,二)，

22

则,4=28,A错误.

71

0<A=2B<-

2

因为V45c•是锐角三角形，所以＜0<B<—,

2

71

0<。=兀-38<一

2

兀7T

解得一＜8＜一，B正确.

64

」十兀八兀asinAsin2B

由于一＜8＜一，故：==2cos^e(V2,V3j,C正确.

64bsinBsin8

c_sinC_sin(28+4)2sin5cos25+(2cos2-1)sinB

4cos2B-1,

bsinBsinBsinB

享升故4cos28—le(l,2),故D正确,

由于乙＜8＜色，cosBe

64

故选：BCD

u.在棱长为i的正方体力44GA中，而=%万+〃麴，AG[OJ],[0』],下列结论正

确的是（）

A.若24=〃=1时，直线8。与直线CO的夹角余弦值为如

6

B.若％+〃=1时，ZX8尸。周长的最小值为2+公

C.若〃=1时，三棱锥C-PB。的体积为定值

D.当a二工时，有且仅有一个点P,使得AP_LC尸

2

【答案】AC

【解析】

【分析】根据平行求出直线与直线所成的角，解三角形得解判断A,取特殊点判断B,由点到面的距禽为定

值判断C,点。位于。或〃时满足B.PVCP即可判断D.

—1————

【详解】对于A,当24=〃=1时，AP=-AC+AA.,如图，

2

所以点尸为线段4G的中点，因为CD//48,

所以直线BP与直线CD的夹角即为直线BP与直线AB的夹角/PBA,

吁及珞+8俨=在+倒邛

r~n_PB2+AB2~AP2_]_R

同理可得力尸=乂色，在等腰△48中c°s/NP产以A"一2PBAB—=飞=了，故A正确:

22xlx—

2

对干B,当％+〃=1时，根据三点共线的充要条件可知，点户在线段4。上,

当点尸是线段4。的中点时，可知周长为告+等+也＜2+夜，故B错误;

对于C,当4=1时，点尸在线段4G上,

因为4G//平面ABCD,所以点p到平面BCD的距离为定值,

所以^C-PBD=V/-B8=§,SABCD'^P-KCD为定值，故C正确;

对于D,因为万二几万+〃五彳，4=：,//s[0,l],取4C,4G中点分别为。，H,

所以尸点在线段。〃上运动，当点?位于。或〃时，B.P1CP,故D错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆锥的母线长为l()cm,侧面积为50兀cm?,则此圆锥的体积为.cm5.

【答案】嘤

【解析】

【分析】应用圆锥侧面积公式计算求出底面半径，再根据圆锥体积公式计算求解.

【详解】设圆锥底面半径为，•圆锥的高为力，圆锥的母线长为10cm,侧面枳为50兀co?,

22

则71/7=10兀/=50K,则/•二5,所以〃=yjl-r=5，

则此圆锥的体积为'兀X25X5JJ="3兀cm3.

33

故答案为：至8兀.

3

13.已知函数/(x)=3cos/x+2(口＞0)在区间［0,冗］上恰有3个最小值点，则实数口的取值范围为

I4J

19竺

【答案】

了7,

【解析】

JIJIJI

【详解】XG[0,-T],则公r+—e—，。乃十一

4144

因为/(x)在区间［0,兀］上恰有3个最小值点，

所以结合余弦函数的性质可得，5兀工初:+女＜7九，得上工。〈幺，

444

「1927A

则实数。的取值范围为—.

1.44)

14.已知平面向量瓦B,2,且同二1•已知向量石与？所成的角为60°,且1-亚上1一目对任意实数/

恒戊立，则区+2@+归一可的最小值为.

【答案】2百

【解析】

【分析】由匠回诽词，两边平方化简得同=2,再用向量的三角不等式求区+2日+忸-可的最小值.

【详解】由同=1,向量E与。所成的角为6()。，可得Bz二；W，

由b-te＞b-e,则力？一2区1十/容232一包+铲，

化简可得r—W，+W-120对任意实数/恒成立，

令/(')二"_曰1+%-1,则20恒成立，

由于函数图象抛物线开口向上，所以需要满足△=同一烟+44()，

即(忖一2『W0,所以忖=2.

由阿量的三角不等式，有忸+2回+收一同［伍+20)-,一川二忤+4，

又悴+B卜"浮+特^+庐="+4+4=2瓦

则区+2耳+B一3的最小值为24.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=x2+2ax+3,xe［-4,6］.

(1)当。二一2时，求/(X)的最值：

(2)若/(')在区间［-4,6］上是单调函数，求实数a的取值范围.

【答案】⑴/⑴.1，/(X)M=35.

(2)(-<»,-6］U［4,+oo)

【解析】

【分析】(1)利用二次函数的性质求/(X)的最值即可.

(2)由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a的取值范围.

【小问1详解】

当〃=一2时，/(x)=x2-4^+3=(x-2)2-1,

・・・/(工)在［-4,2］上单凋递减，在［2,6］上单调递增，

•••/(、)min=/(2)=T，/(力3=/(-4)=(-4)、4x(-4)十3=35.

【小问2详解】

/(x)=x2+2QX+3=(X+Q/+3-/，

・•・要使/、")在［-4,6］上为单调函数，只需一aW—4或一解得或〃W-6.

・•・实数a的取值范围为(-8,-6］U［4,+oo).

16.己知函数/(x)=2sinxcos工+后一273sin'x.

(1)求/(x)在一二,占上的值域；

126

(2)将/(x)的图象向右平移四个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的一倍(纵坐标不变)，

33

得到函数gQ)的图象，求g(x)的单调递减区间；

【答案】(1)〃X)£[1,2]

Ikit5兀2knIE

(2)—।--,----1---，kGZ

318318

【解析】

【分析】(1)先利用降耗公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可;

(2)先根据平移变换和周期变换的原则求出g(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性求解即可.

［小问1详解】

/Q)=2sinxcosx+6-2百sin2T=sin2x+V3cos2x=2sin(2%+；),

7T乃7T行…兀71兀2兀

因为XE1则py

12'63

所以sin(2x+^)e[1,1],故〃幻£[1,2]；

【小问2详解】

将f(幻的图象向右平移1个单位长度,

可得＞=2sin2x-y1+71=2sin2x--I,

33)

再把y=2sin(2x-g)函数图象上所有点的横坐标变为原来的，倍，

得到函数g(x)=2sin(3%-规的图象，

,_.兀兀,237r,-_2ATT5兀”,2kn1In,

由2kitH—W3x---«2kitH----〃eZ,可得-----•---WxW---1----,"eZ,

232f318318

所以g(x)的单调递减区间为第+^,当+坐，kcZ.

31o31o_

17.已知V43c的周长为L,面积为S,内角A、B、。对边分别是。、b、c，且2ccosC=QCOSA+bcos4.

(1)求角C；

(2)若边长c=3,求4的最小值.

5

n

【答案】(1)c=-

3

⑵逋

3

【解析】

【分析】(1)正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解.

(2)由余弦定理可得(。+8)2-3G方=9,结合基本不等式求出。+力W6,即可求解.

【小问1详解】

v2ccosC-(acosB+bcosJ)=0,

由正弦定理得2sinCeosC-(sin/cos5+cosAsinB)=。

2sinCcosC-sinC=0,

在V/AC中，C.G(O,rr)sinC0,/.cosC=-i

vCG(0,7t),C=y

【小问2详解】

由余弦定理可得：c2=a~-\-b~-labcQsC=一2〃b(I+cosC)=9,

即(。+8)2-3”。=9,

a"=[[(4+1)2,

/.(a+b)2<36,

:.a+b<6,当且仅当。二人二3时取等号

又a+b>c=3:.3<a+h<6

.L_a+b+c_4(a+b+c)_4V3(a+b+3)_46>4行

§—^/jsinC(a+b)2—9n+b—33

2

.・.当。=〃=3时，4取到最小值为延

S3

18.如图，在四棱锥。一片8c。中，底面45CQ为梯形，其中力。〃8。，且AD=2BC,点、E为棱PD

的中点.

p

(l)求证：CE〃平面P4B；

(2)若M为CE上的动点、,则线段上是否存在点N,使得A"/〃平面44?若存在，造确定点N的

位置，若不存在，请说明理由；

(3)若PA=PB=PC=AD=10,CD=12,请在图中作出四棱锥尸-46CO过点反E及棱力。中点的

截面，并求出截面周长.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在N为线段4。中点，证明见解析

(3)23+—

2

【解析】

【分析】(1)取线段"的中点尸，连接ERBF,通过证明EC//FB可得结论；

(2)当N为线段力。中点时，A/V||平面尸通过证明面ENC//面产/也可得结论；

(3)取线段0C的中点〃，连接EH,HB,通过证明EA//NB,得到四边形为截面，然后分别

求出各边的长即可.

【小问1详解】

取线段的中点/，连接七£9"

因为旦产分别为线段21的中点，

所以EF//AD,且£尸二1乂D,

2

乂ADHBC,且4O=23C,

所以EF//BC且EF=BC,

所以四边形8C£尸为平行四边形，

所以EC//E5,又ECa平面产,48,FBu平面P4B,

所以CE//平面尸力3：

p

【小问2详解】

当N为线段4。中点时，MN//平面PAB,

证明：取线段力。中点N,连接EN,CN

因为瓦N分别为线段PD,AD的中点,

所以EN//PA,又EN«平面P4B,u平面产48,

所以EN//平面43；

因为力N=8C,且AN//BC,

所以四边形8CA3为平行四边形，

所以NC///8,又NC(Z平面"8,48u平面

所以NC//平面尸/8；

又ENCNC=N,EN,NCu面ENC,

则面ENC//面尸力8,又“Nu面ENC,

所以MN//面P4B,

所以当N为线段力。中点时，MN//平面"6；

【小问3详解】

取线段尸C的中点〃，连接EH,HB,

因为。N=3C,且DN//BC,

所以四边形NDC5为平行四边形,

所以DC//NB,又已〃分别为线段PQ,尸C,

所以EH//DC,

所以月，//人口，则四功形EHRN为四棱锥尸一力用。。过点B、E及棱AD中点的截面,

则BN=CO=12,EN=-PA=5,HE=-CD=6,

22

5

在△P8C中，BC=HC=5,/口321，

cosZrCB=—=—

104

所以BH?=BC?+HC?—2BCHCCGS/HCB=25+25—2'X5X5X-=—,

42

则坟，

2

所以截面周长为8汽+川+〃/+〃8=12+5+6+侦=23+侦.

22

19.对于定义在。上的函数/(x),若存在实数阳，使得/*+加)-/(加)为奇函数，则称函数/(用为“位

差奇函数”.

(1)判断f(x)=24+3和g(x)=x2是否是，，位差奇函数，，,并说明理由.

(2)若/(x)=e、+eL/心)=/3-忙一',且〃(x)为“位差奇函数”.

①证明：r＞l：

②若t=2,对于VXER,"(2x)+/?(2x)+2a+6W0,求a的取值范围.

【答案】(1)/a)=2x+3为“位差奇函数为g(x)=＞不是"位差奇函数”,理由见解析;

(51

(2)①证明见解析；②-8,一二

I3」

【解析】

【分析】(1)根据“位差奇函数”的定义分别判断即可；

(2)①根据题意可得尸(幻=/心+〃。-力。")为奇函数，则。幻+尸(T),化简整理求出「的表达式,再

结合指数函数的性质即可得出结论；

②分离参数可得a＜匚一『-6,化简分离常