江苏苏州市2025-2026学年高一年级下册期中调研数学试卷（试卷+解析）

高一期中调研试卷

数学

2026.04

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题〜第8题）、多项选择题（第9题〜第11题）、填空

题（第12题〜第14题）、解答题（第15题〜第19题）.本卷满分150分,答题时间为120分

钟.答题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0・5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用

0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2sin-cos-

6

1.6的值为（）

B¥T

3

2.在V49C,角力，B,C的对边分别是〃，b,c,若b=3,。=2,cosJ=-,则。二（）

4

A.2B.3C.273D.y/22

3.己知sina=1,a为第二象限角，则的值为（）

-4-36口4+36-4+36D,且

A..t>.-----------

10101010

4.设B是两个非零向量，则〈列说法正确的是（）

A.若同〉且G与5同向，则"＞刃

B.若GB=GN，则5=>

C.若d,B是两个单位向量，则＞6=1

D.若万=归一6,则5

5.在V/44c中，点。是5c中点，记X8=〃?，AD=n,则,4。=（）

A.一〃7+2〃B.m-2nC.-2m+nD.2m-n

己知cos(a+/)=’,tanatanQ=，,则cos(a-£)=(

6.)

5

12、34

A.B.一c.—D.

5555

7.飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速

（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风飞行，在某时

刻测得风速对应向量为（45,25）,地速对应的向量为（315,245）,则£行器在该时刻的空速大小约为（单

位：km/h）（）

A.400B.450C.560D.630

1,X>0,

8.己知函数"X）=（0,x=0,a,b,6是平面内三个不同的单位向量，若/（鼠坂）=0,且

-l,x<0,

/（C-J）+/（C-^）=O,则1+B-2a的取值范围是（）

A.（1,V5）B.（在右）C.（1,3）D,（V2,V10）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对于函数/（x）=sin2x与8（工）=5足卜》一方），下列说法正确的有（）

A./（'）与g（x）有相同的最小正周期B./"）与g（x）有相同的对称轴

C./（x）与g（x）有相同的最值D./（力与g（x）有相同的零点

10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2026年马年新春，有人设计了

一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形l8CD的边长为

2,四个半圆的圆心均为正方形48CO各边的中点（如图2）,若£,尸分别为弧8C,弧。。的中点，则

卷口

（图D（图2）

A.~AE+^4F=2ACB.旅与方的夹角为45°

_3—

C,而在万方向上的投影向量为^力产D.（丽+丽）•乔=8

11.在VZ8c中，角4,B,C的对边分别是“，b,c,sinJsin5sinC=-,且V48c的面积为1,则下

2

列命题正确的是（）

A.V/18C的外接圆半径为1B.abc=4

c.》•••D.Vn8c可能为钝角三角形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分.

12.己知向量。二（2）），b=（1,2）,且。区,则y=_______.

14.如图，在平行四边形力8。。中，点E,尸分别是边力。，。。边的中点，BE,8/分别与力C交于R,T

AD

两点.若2万•~AD+9DRAT=0）,则——的值是________.

AD

C

AB

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量R,a是夹角为60。的单位向量，a=2e1+e2,b=-3ei+2瓦.

（1）求召e及同的值；

（2）求1与B的夹角的大小.

…」口一（G.8X5）-（妙Q设函数/（》）=〃•（"?一〃）+g（">0）,且

16.已知向量加=V3sin—,cos—n—cos—,0,

122）12J

/（X）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

（1）求3的值，并直接写出/（工）在［0,可上的单调增区间;

anq7

⑵若/—+—-,cos^=--5/2,且a/w(O,7t),求a+户的值.

23

17.记锐角V力内角4,B,C的对边分别为“，b,c,已知/+C2_〃2=2COS小

（1）求庆•的值;

⑵若V相。的面积为正，求竺当二警+2的值.

4acosB+bcosAc

18.如图，在河流一侧农田里有两个灌溉点48,它们到河岸线/的距离都为3百米.为了锥设管道取

水，计划在河岸线/上找一点0修建抽水点，在与/之间修建中转接水点P,设计铺设三釜直线管道

2兀

PA,PB,PQ,其中43=2百百米，PQL，ZAPB=—.记铺设管道的总长度为y百米.

（1）按下列要求建立函数关系式:

（i）设NP/8=8（rad）,将y表示成。的函数;

（ii）设尸0二x百米，将y表示成x的函数：

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求铺设管道总长度的最小值.

19.已知a,b,c分别为V43C三个内角4B,C的对边，且acosC+J§6fsinC=b+c.

（1）求角力的大小；

（2）当。=2石时，

（i）设8C,力。边上的两条中线4。，8七相交于点G,求荏•元的最大值;

cosB—cosC

(ii)求-----AB+-----就值.

sinCsinB

高一期中调研试卷

数学

2026.04

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题〜第8题）、多项选择题（第9题〜第11题）、填空

题（第12题〜第14题）、解答题（第15题〜第19题）.本卷满分150分,答题时间为120分

钟.答题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0・5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用

0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2sin-cos-

1.66的值为（）

A.yB.—C.—D.I

222

【答案】C

【解析】

【详解】2sin-cos—=sin（2x—）=sin-=­­

66632

2.在V48C,角4,B,C的对边分别是b,c,若6=3,c=2,cos4=。，则。=（）

4

A.2B.3C.2石D.722

【答案】A

【解析】

3

【详解】在V48C,b=3,c=2,cos4=一，

4

则a2=b2+c2-2bccosJ=9+4-2x3x2x—=4,

4

所以a-2.

3.已知sina=1,△为第二象限角，贝Usin（a-的值为（）

A—4—3^3n4+3^3r—4+3>/34-3^3

10101010

【答案】B

【解析】

4I--------3

【详解】因sina=一，a为第二象限角，则cosa=-Jl-sin%=一-,

55

「日.（兀）,兀.兀413、石4+3>/3

于是sina——=sinacos——cosasm—=—x——（一一）x—=-------.

I3）33525210

4.设不，B是两个非零向量，则不列说法正确的是（）

A.若同〉|可，且）与B同向，则万

B.若GH,则B5

C.若G,5是两个单位向量，则>3=1

D.若a+b=a-b,则5

【答案】D

【解析】

【详解】对于A,因向量有方向，不能比较大小，故A错误；

对干B,不妨取值二（1,0）力=（0』）忑=（0,2）,则2石=不£=0,但很忑不是相等向量，故B错误;

对干C,由后，5是两个单位向量，可得15=同同85伍5）=85心万），

因«石）的大小未知，故得不到不6=1，即c错误：

对于D,由不+B=。一行两边取平方，可得/+2不B+7=方一2万3+庐，

整理得不5=0,故）JLB，即D正确.

_______UUU

5.在V/18C*中，点。是8c中点，记=〃7，/。=〃，则.4C=（）

-・—•-・-•-•—•—■—

A.？+2〃B-m-2nC.-2in+nD.2ni-n

【答案】A

【解析】

【详解】•・•点解是8C中点,

.•.访=:湘+：就，「.2而二方+%，

,/AB=m»AD=n^:.2n=ni+AC：.AC=-m+2n^改选项A正确.

6.已知（：05（。十夕）=一，1@。。1@11夕=-,piijuos（a-/?）=（

52

34

C.一D.

55

【答案】C

【解析】

【分析】应用两角和余弦公式结合同角三角函数关系计算cosacos尻sinasin/7,最后应用两角差余弦公

式求解.

【详解】因为cos(a+/)=，,所以cosacos尸一sinasin/?=!,

।sinawin/?\

又因为tanatan/?=—,则---------,即得cosacos/?=2sinasin/,

2cosacosp2

所以2sinasin〃-sinasin/7=sinasin/7=；,且cosacos/?=|-,

213

则cos(a-/?)=cosacos/y+sinasin/?=-+-=-.

7.飞行器K行中的地速（GS）是指K行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速

（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风飞行，在某时

刻测得风速对应向量为（45,25）,地速对应的向量为（315,245）,则飞行器在该时刻的空速大小约为（单

位：km/h）（）

A.400B.450C.560D.630

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意设出方，M，E，得到。=代入向量坐标，求得E=（360,270）,利用向量的模

的公式计算即得.

【详解】设飞行器飞行中的地速向量为力，飞行器相对于周围空气的空速和风速向量分别为％匕，

由已知可得e=E-E，且<=(315,245),^=(45,25),

所以7=0+^=(360,270),

故％=V3602+2702=^202500=450.

\,x>0,

8.已知函数/(x)={0,x=0,a,b,己是平面内三个不同的单位向量，若/’(。石)=0,且

—1,x<0,

/(c-J)+/(c^)=0,则K+3-2m的取值范围是()

A.(1,V5)B.(&/)C,(1,3)D.(>/2,>/10)

【答案】D

【解析】

【分析】根据题目条件平面建系设出£(0,1)、及1,0)、Xcosdsin。)并判断。所在象限，再月辅助角公式

化简忖+B-2m并结合。所在象限求解即可.

【详解】由题意可知£5=0,且和〉£中，一个大于o,另一个小于0,

l,x>0,

不妨设/01)=1,/伍・1)二-1,由函数/(x)=<0,1=0,可知

—<0,

不妨设a=(0,1),=(1,0),c=(cose,sinO),。£(一兀,冗］,

所以B.c=cos0〉0，c•。=sin4<0，所以夕e一］'°)

所以a+8-2c=(1-2cos，,l一2sin。)，

则有归+B-=^(l-2cos(9)2+(l-2sin(9)2=^6-4心in(°+；),

因为所以一

I2)4I4

所以sin6+：）$（--争冬4而in（9+；）e（—4,4）,可得6—4>/^sin（夕+w）c（2,10）,

所以应,可).

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.对于函数/(x)=sin2x与g(x)=sin(2x-1)下列说法正确的有()

A./(x)与g(x)有相同的最小正周期B./(x)与g(x)有相同的对称轴

C./(x)与g(x)有相同的最值D./(x)与g(x)有相同的零点

【答案】AC

【解析】

【分析】根据正弦型函数的周期、对称轴与零点，最值计算逐一判断即得.

【详解】对于A,由正弦型函数的周期公式，易得两函数的周期都是竺二兀，故A正确；

对于B,对于/(x)=sm2x,由2x=]+攵兀«EZ可得其对称轴为Z：

对于g(x)=sin(2工一二)，由2工-工二巴+〃7兀,向Z可得其对称轴为x=2+!〃?兀,加Z,

''I32122

由:=可得左一〃?=；,该方程显然无整数解，故/(')与g(x)没有相同的对称轴，即

B错误;

对于C,由正弦型函数的性质可知两函数的最大值为1,最小值为-1,故C正确：

对于D,由/(x)=sin2x=0,可得2x=A兀，左wZ,即x=

而由g(x)=sin121一色1=()可得2x-二二〃7兀,〃打Z,即工='+，加兀,LZ,

\3y362

由;也=已+；〃?兀，可得…W，显然该方程无整数解，故/'(X)与g(x)没有相同的零点，故D错

误.

10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2026年马年新春，有人设计了

一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形力ACT)的边长为

2,四个半圆的圆心均为正方形力8CO各边的中点(如图2),若E,6分别为弧8C,弧CD的中点，则

()

（图I）（图2）

A.~AE+JF=2~ACB,N后与春的夹角为45。

_3—

C,而在万方向上的投影向量为^力产D.回+丽)•丽=8

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用图形对称性易得点C为的中点,即可判断A；建立平面直角坐标系，写出相关点坐标,

利用向量夹角的坐标公式计算判断B；根据投影向量定义列式计算判断C；利用向量数量积的运算律计算判

断D.

【详解】

对干A,如图连接政，由图形对称性可得ER经过点C,且被点C平分,

故有NC=g(方+//)，即得下十万Z=2%，故A正确；

对于B,如图，以正方形48CQ的中心0为坐标原点，分别以。瓦O厂所在直线为工，歹轴建立平面直角坐

标系.

则N(・1,・1),£(2,0),尸(0,2),则荏:(3,1),7F=(1,3),

——.・一AEx>4F63****

因co卸E,//h==~=^=-7=~/==-,则储E/QH45。，故B错误；

\AE\x\AF\V10,V105A，"'

__AEx/iR—►6—•3—•

对于C,力石在力产方向上的投影向量为mNF=gNF,故C正确;

对干D,因。（一1,1）方（1,-1），ED=（-3,1），EB=（一1，-1），E尸=（-2,2）,

则廊+丽）•前=（-4,0）•（-2,2）=8,故D正确.

11.在V力4C中，角力，B,C的对边分别是〃，b,c,sinJsin^sinC=—,且V/f8C的面积为1,则下

2

列命题正确的是（）

A.V/3C的外接圆半径为1B.abc=4

C・力••D.V力3c可能为钝角三角形

【答案】ABC

【解析】

【分析】由正弦定理有2R=一日一结合面积公式计算判断A；由正弦定理结合siMsinBsinC=!判断

s\nA2

B：由面积公式及基本不等式判断C；利用余弦定理及正弦定理判断D.

【详解】A：设V/AC的外接圆半径为R,

（2^）2=-xlx4/?2=l

因为V43C的面积为8c=—6csini5=—sinJsin5sinCx

V722

所以R=l,故A正确;

B：由，一=/一二」一=2,即。力c=Z^sin/sinBsinC=8x，=4,B选项正确;

sinJsin8sinC2

C：由S力8c=LhcsinJ=1«,则6cN2,当siM=1时取be=2,

所以当且仅当3=c=且siM=l时取等号，C选项正确;

2122

D：若V/8C为钝角三角形，设,4为钝角，cosA=C+<0>即得

2bc

由C选项知所以/>4，即。>2,

又因为三=2,所以。=2siMW2,所以与〃〉2矛盾，假设不成立,

S1H4

同理从。也不可能为钝角，D选项错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量不二（2））,^=（1,2）,且万/石，则）'=

【答案】4

【解析】

【分析】应用向量平行坐标关系计算求解.

【详解】因为向量值=(2少)，B=(l,2),且不/区,

则2x2=1xy

则P=4.

l+sin283

13.已知--------------=-则tan20=

2cos~6+sin2。2

41

【答案】一二相一1二

33

【解析】

【分析】先应用二倍角正弦公式计算化简得出tan<9=2,再应月二倍角正切公式计算求解.

1+sin26

【详解】因为

2cos?0+sin2。

2，

由卜।(sin0+cos〃)~(sinO+cos。)-sinO+cos03而山.与°幻而卜i

所以——-------------=——-——------------r=--------------=—.所以sin4=2cos9.所以

2cose+2sinecos。2cos6(sine+cos。)2cos82

tan。=2，

2tan0_44

则tan26二

l-tan2/9-1^43

14.如图，在平行四边形48co中，点E,尸分别是边40,。。边的中点，BE,8户分别与4c交于R,

两点.若2万/方+9/•"=°’则而的值是——

【答案】V2

【解析】

【分析】设方二〃5，得到m=2〃#〃赤，根据&T,/三点共线，得到方=，就，再用

前，五5表示向量，最后应用数量积运算律计算得出而2_2而2=0,结合模长公式求解：

【详解】设讶=〃乱=〃而+〃赤=2〃酝+〃无，且从T,〃三点共线，

.•.2〃+〃=1,解得〃=•.才=一刀,.•.万=一n；同理版=一就；

3333

由匕尸分别是边力。和。C上的中点，由三角形相似可得七T分别是线段8E、8厂上的三等分点,

又BT=,BF，所以DR=_g8F=_|（C/_CB）=_4_gi46+?lD）=44B_%D，

又因为2万.亦+9丽.77=0，所以2通•而=一9加.万=—9X|Q而一|而）.（而+而）

即得248•4D=-2（48-ABAD-2AD），所以万~一2彳5=0，

所以AB=6AD，即得空=拒.

AD

四、解答题；本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量不,当是夹角为60。的单位向量，a-2e,+e2,b=-3et+2e2.

（I）求召e及同的值；

（2）求G与B的夹角的大小.

［答案］（1）不迅=5；|万1=0

⑵竺

3

【解析】

【分析】（1）利用向量数量积的定义易得不•瓦，再由向量数量积的运算律即可求得|司；

（2）利用向量夹角的计算公式计算即可.

【小问1详解】

依题意，e]-e2=|^|-|e21cos(epe2)=,

由2=24+三可得15|=J(2召+&)2=1电？+4耳苞=^4+4x|+l=V7；

【小问2详解】

——2—217

因=(2e+e)-(-3e+2e)=-6e+e^e+2e=-6+—+2=——

]2}2y2222

22

回=近,|h|=^(-3e,+2e2)=^9e}-\2e1-e2+4^=^9-12x1+4=77

_7

则8虱鼠5〉=3'=「2L因兀，故@B〉二T，

\a\^\b\V7xV72J

即)与方的夹角为J.

3

16.己如向量〃？=V3sin,cosJ»/?=^cos,0j,设函数/（x）=〃•（唐一〃）+5（0〉0）,且

/（x）的图象相邻两条对.称轴之间的距离为

（1）求。的值，并直接写出/（工）在［0,可上的单调增区间；

（2）若/（不+^）二不，cos/?=—［,且a/£（0,兀），求a+4的值.

、乙D/D1U

【答案】（1）0=2；［0百和［=,兀］；

36

（2）停

4

【解析】

71

【分析】（I）利用向量数量积的运算律与三角恒等变换得到/'（x）=sin（ox-三），结合函数周期求出口的

值，再由正弦函数的单调递增区间与给定区间求交即得；

（2）由条件和诱导公式求出cosa,再由角的范围求出sina,sm/?,根据和角的正弦公式计算即得.

【小问1详解】

一/_一、1a)xr-coxcoxa)x1

/W=n-［m-n)+-=(cos—,0)•(\3sin--cos—,cos—)

乙乙乙乙乙+5

COX2J百.1+COS69X1

=V3sin--cos——cos—=——sin/x------------------+一

2222222

6.1.,n

=——sin——COS69X=sin(6yx——)，

226

因/的图象相邻两条对称轴之间的距离为万，则谭二=，

'(x)5X解得0=2,

/(x)=sin(2x--^),

0

由一5+2女兀<2x——+2kn,kGZ可得一不+ku<x工5+ku、keZ,

因工40,兀］,故/(x)在［0,兀］上的单调增区间为［0与和［学,兀］；

36

【小问2详解】

，/a兀、.…a兀、兀1./兀、3

f(~+~)=sm［2(-+-)--］=sin(a+-)=cosa=-,

232302J

又cos/?=—V2,a,pe(0,n),则得ae(0,—),/?G(—,TT)»

1u乙乙

4

于是sina=—,sinp=V2)2=—,

5V1010

则sin(a+0)=sinacos/?+cosasinp=^-x(-y^V2)+|x^^='

e0,兀3兀、,,八57t

因a+£c,故。+£=丁.

224

17.记锐角V/BC内角4B,C的对边分别为〃，b,c,已知/+C2—Q2=2COS4.

(1)求从'的值；

(2)若V48C的面积为立，求竺2匣二臀+2的值.

4acosB+bcosAc

【答案】(1)1(2)1

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理结合条件推得〃+。2-/=0或次=1,再由锐角三角形即可确定答案;

(2)先推得8=,兀-。，根据正弦定理化简待求式，并统一为角C的三角函数，利用差角公式化简即得.

【小问1详解】

,2221222

由/+c?-Q2=2COSA和余弦定理，可得cosA=——...-=+c---—,

2bc2

则有从+(?—=0或力c=1，

由/+c2—q2=o可得cos/=0,即4=四，这与锐角V4BC矛盾，故bc=l；

2

【小问2详解】

由(1)知故Z?c=l，则S=，8csin/l=，sinN=巫，可得sin4=E，

:2242

因0<4〈工，故力二工，

23

2

因,4+3+。=兀，则3=—兀一C.

3

「十分…丁”，acosB-bcosAsinBsinAcosB-sinBcosAsin8

由正弦定理，--------------+-----=-------------：--------+-----

acosB+bcosAsinCsinAcosB+sinBcosAsinC

_sin(4-8)+sin8_sin(力—8)+sin4_sm(C-3)+5111(3兀一。)

sin(4+8)sinCsinCsinC

-sinC——-cosC+—cosC+—sinC

二2222=]

sinC

18.如图，在河流一侧农田里有苣个灌溉点4,B,它们到河岸线/的距离都为3百米.为了铺设管道取

水，计划在河岸线/上找一点。修建抽水点，在与/之间修建中转接水点P,设计铺设三柒直线管道

2兀

PA,PB,P0,其中48=2退百米，尸。，/，ZAPB=—.记铺设管道的总长度为y百米.

(1)按下列要求建立函数关系式:

(i)设N/<48=〃(rad),将y表示成。的函数;

(ii)设PQ=x百米，将y表示成x的函数；

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求铺设管道总长度的最小值.

【答案】(1)

(i)y=4sin0+--2sin20+—+4,0<。<一.

I3jI6；3

(ii)y=2yj6-x+x,2<x<3.

(2)选用(i),最小值为600米；选用(ii),最小值为600米

【解析】

【分析】(1)(i)求出NQA4,利用正弦定理求出尸8,求出P到直线月B的距离为力二P/sin。，从

而求出产。，于是铺设管道的总长度为y=P/+P8+P。，利用两角和差的正弦公式和二倍角的正余弦公

式求解即可；

(ii)设=x百米，则尸到直线48的距离为3-x百米，利用三角形面积求出S”肥=-耳,

S“PB=；PAPB.sin^从而得到P4・P8=4(3-x).利用余弦定理求出AB2，从而得到P小PB,继而

得到PT+P82,从而求出（P4+P8）2,即可得到尸4+求出歹二尸4+〃8+〃0即可得解.

C兀-71

（2）若选用第（I）问中的第（匚）个函数关系式，设z=e+；,则6=/-彳，求出/的范围，则函数

33

/兀］.兀］、

y=4sin0+--2sin20+—+4转化为y=-4sin，+4sinr+6,设加=sinf,则

\3/I6J

y=-4sin2/+4sin/+6转化为y=-4〃/+4〃?+6,利用二次函数的图像和性质求出最小值：若选用第

（1）问中的第（ii）个函数关系式，利用换元法，结合二次函数的单调性求出V的最小值.

【小问1详解】

77171

在△/1尸8中，/PBA=TI-------6=一一0.

33

PAPBAB2G4

=____=4

由正弦定理，.（花\sinJ.2TI73

sin——0sin—2_

U）32

/\

所以尸4=4sin--0,P5=4sin，.

13）

乂因为ABHl,且43到河岸线/的距离都为3百米,

所以44与/的距离为3百米，

夕到直线力8的距离为6=P%sinO=4sinOsing—〃)，

..(n、

故P。=3-4sin6sin—0,

13>

于是铺设管道的总长度为

y-PA+PB+PQ=4sin_+4sine+3-4sinesin(1—夕

所以y=4sin；一°+4sin0+3-4sin0sin(；-外，0<8<；.

/、/

•兀71•7171

v=4sin—cos0-cos—sin+4sin9+3-4sin。sin—cos0-cos-sin0

\33)I33

=zVJcos。-2sin6+4sin9+3-2>/3sin^cos^+2sin2^

=zVJcos8+2sin。+3-VJsin29+1-cos2。

=4sin夕+几一2sin29+冗+4,0<6><-.

I3/I3

（i：）设P0=x百米,

则P到直线18的距离为3-x百米，

在AAPB中，S.APB=—x）=—x2^3x（3—x）=^3（3—x）.

又因为S,=-PAPBsin—=—PA-PB,

:ro234

所以P4P4=4（3-x）.

由余弦定理，AB2=PA2+PB2-2PA•P5cosy=PA2+PB1+PA-PB.

因为48=2百，所以12=P4?+pB?+P4•PB.

代人/<4/4=4（3-x）,+=12-4（3-x）=4x.

从而（产4+。8）2=。42+。82+2。4.08=41+2,4（3—工）=4（6—1），

所以P4+PB=26G.

于是y=PA+PB+PQ=2y/^+x.

又因为（尸/-尸BpNO,

所以（产4+PB）2-4PAPB>0.

即4（6-x）-16（3-x）Z0,

解得xN2.

又由于点P在力B与/之间，所以x<3.

故自变量的取值范围为24x<3.

所以y=2j6T+x,2<x<3.

【小问2详解】

若选用第（I）问中的第（i）个函数关系式：

y=4sin^+―l-2sin2^+—+4,0<^<—.

TTrr

设/=—，则夕=z—»

33

八八兀八北7C7C27c

Q0<6<一，0</—<—，-</<—,

33333

y=4sin0+—兀j-2sin26^+—+4转化为

k3JI6J

.c—7C7nC...—._27r7T

y=4sin/-2sin2t--+一+4=4sinr-2sin2t-----+—+4

♦3/6I36J

=4sinZ-2sinI2r-^i+4=4sin/+2cos21+4=4sin£+2（l-2sin2r）+4

=4sin/-4sin21+6=-4sin，-4sin/+6

即y=-4sin21+4sint+6

、n.IT27rJ3

设加二sint,:—：.一<ni<\^

332

，y=-4sin，+4sin/+6转化为y=-4〃/+4〃?+6,

•••对称轴为〃7=!，开口向下，

2

/.y=-4m2+4〃?+6在^,1］上是单调递减函数，

「•当〃2=1时，y=-4〃/+4，〃+6取最小值，且最小值为J，min=7+4+6=6.

故铺设管道总长度的最小值为6百米，即600米.

若选用第(1)问中的第(ii)个函数关系式：

y-2>/6-x+x,2<x<3»

设n=《6-x,则x=6，n>0,

,/2<x<3,.\2<6-W2<3»/.-4<-w2<-3»

3<;?2<4，w>0,z.5/3<77<2，

y=2j6-x+x,2<x<3转化为y=2n+6-n2=-n2+2〃+6（6<n<2^,

•.•对称轴为〃=1,开口向下，.•.〉=—/+2〃+6在（百,2］上是单调递减函数，

••・当〃=2时，y=—〃2+2〃+6取最小值，且最小值为y=—2?+2x2+6=6,

故铺设管道总长度的最小值为6百米，即600米.

19.已知a,b,c分别为VABC三个内角力，8,。的对边，且acosC+GosinC=/?+c.

（1）求角力的大小；

（2）当〃=2道时，

（i）设8C,力。边上的两条中线力。，BE相交于点G,求丽•公的最大值；

皿而