2026高中数学10大导数：专题36 双变量不等式恒成立与能成立问题考点探析(学生版)

专题36双变量不等式恒成立与能成立问题考点探析

考点一单函数双任意型

【例题选讲】

lnx

[例1]已知函数f(x)＝＋ax＋b的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线l：2x－4y＋3＝0平行．

x

(1)求证：函数y＝f(x)在区间(1，e)上存在最大值；

3

0，

(2)记函数g(x)＝xf(x)＋c，若g(x)≤0对一切x∈(0，＋∞)，b∈2恒成立，求实数c的取值范围．

2

[例2]已知函数f(x)＝(logax)＋x－lnx(a>1)．

(1)求证：函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增；

(2)若关于x的方程|f(x)－t|＝1在(0，＋∞)上有三个零点，求实数t的值；

－1

(3)若对任意的x1，x2∈[a，a]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立(e为自然对数的底数)，求实数a的取值范

围．

[例3]已知函数f(x)＝x2－ax＋2lnx．

(1)若函数y＝f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

1

0，

(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若x1∈e，且f(x1)≥t＋f(x2)恒成立，求实数t的取值范围．

[例4]已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax．+X+K]

(1)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；

h(x1)－h(x2)

(2)令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图象上任意两点，且满足

x1－x2

＞1，求实数a的取值范围；

[例5]已知函数f(x)＝lnx＋ax2－3x．

(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2，求函数f(x)的极小值；

m(x2－x1)

(2)若a＝1，对于任意x1，x2∈[1，10]，当x1<x2时，不等式f(x1)－f(x2)>恒成立，求实数m的

x1x2

取值范围．

【对点训练】

1

1．已知函数f(x)＝alnx＋x－，其中a为实常数．

x

1

(1)若x＝是f(x)的极大值点，求f(x)的极小值；

2

151

(2)若不等式alnx－≤b－x对任意－≤a≤0，≤x≤2恒成立，求b的最小值．

x22

2．设函数f(x)＝emx＋x2－mx．

(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；

(2)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．

1－a

3．设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．

2

(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；

a－1

(2)若对任意a∈(4，5)及任意x1，x2∈[1，2]，恒有m＋ln2>|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围．

2

x

2－

4．已知函数f(x)＝elnx(其中e为自然对数的底数)．

(1)证明：f(x)≤f(e)；

y

2x－

(2)对任意正实数x、y，不等式ae(lny－lnx)－2x≤0恒成立，求正实数a的最大值．

k

5．设函数f(x)＝lnx＋，k∈R．

x

(1)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对

数的底数)；

(2)若对任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)<x1－x2恒成立，求k的取值范围．

6．已知函数f(x)＝x－1－alnx(a<0)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

1－1

(2)若对于任意的x1，x2∈(0，1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<4|x1x2|，求实数a的取值范围．

7．设f(x)＝ex－a(x＋1)．

(1)若x∈R，f(x)≥0恒成立，求正实数a的取值范围；

∀a

(2)设g(x)＝f(x)＋，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y＝g(x)上任意两点，若对任意的a≤－1，直线

ex

AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围．

考点二双函数双任意型

【例题选讲】

[例6]已知函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ax2＋1，其中e为自然对数的底数．

(1)讨论函数f(x)在区间[1，e]上的单调性；

(2)已知a(0，e)，若对任意x1，x2∈[1，e]，有f(x1)>g(x2)，求实数a的取值范围．

x1

[例7]已∉知函数f(x)＝＋x－1，g(x)＝lnx＋(e为自然对数的底数)．

exe

(1)证明：f(x)≥g(x)；

21

(2)若对于任意的x1，x2∈[1，a](a>1)，总有|f(x1)－g(x2)|≤－＋1，求a的最大值．

e2e

[例8]已知函数f(x)＝x2－2alnx(a∈R)，g(x)＝2ax.

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若0＜a＜1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|成

立，求实数a的取值范围.

【对点训练】

232

8．已知两个函数f(x)＝7x－28x－c，g(x)＝2x＋4x－40x．若对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)

成立，求实数c的取值范围．

1

9．已知函数f(x)＝x－1－alnx(a∈R)，g(x)＝．

x

(1)当a＝－2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；

(2)若a<0，且对任意x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<4×|g(x1)－g(x2)|，求实数a的取值范围．

1

10．设f(x)＝xex，g(x)＝x2＋x．

2

(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；

(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．

考点三任意存在型

【例题选讲】

[例9]设函数f(x)＝lnx＋x2－ax(a∈R)．

(1)已知函数在定义域内为增函数，求a的取值范围；

3

ax＋2，2

(2)设g(x)＝f(x)＋2ln，对于任意a∈(2，4)，总存在x∈2，使g(x)＞k(4－a2)成立，求实数k

6x

的取值范围．

x3x－6

[例10]已知函数f(x)＝2ln－．

2x＋1

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若g(x)＝lnx－ax，若对任意x1∈(1，＋∞)，存在x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数a

的取值范围．

1－a

[例11]已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．

x

1

(1)当0＜a＜时，讨论f(x)的单调性；

2

21

(2)设g(x)＝x－2bx＋4．当a＝时，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b

4

的取值范围．

1

[例12]已知x＝为函数f(x)＝xalnx的极值点．

e

(1)求a的值；

kx

(2)设函数g(x)＝，若对∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0，求k的取值范围．

ex

[例13]已知函数f(x)＝exsinx－cosx，g(x)＝xcosx－2ex，其中e是自然对数的底数．

π

0，

(1)判断函数y＝f(x)在2内零点的个数，并说明理由；

ππ

0，0，

(2)x1∈2，x2∈2，使得不等式f(x1)＋g(x2)≥m成立，试求实数m的取值范围．

＋－

[例∀14]已知函数∃f(x)＝x2eax1＋1－a(a∈R)，g(x)＝ex1－x．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)a∈(0，1)，是否存在实数λ，m∈[a－1，a]，n∈[a－1，a]，使f[(n)]2－λg(m)<0成立？若存在，

求λ的取∀值范围；若不存在，请说明理∀由．∃

【对点训练】

11．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋1的单调递减区间是(1，2)．

(1)求f(x)的解析式；

13

(2)若对任意的x1∈(0，2]，存在x2∈[2，＋∞)，使不等式x1－x1lnx1－x1t＋3＞f(x2)成立，求实数t的

2

取值范围．

12．已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R).

(1)求f(x)的单调区间；

2

(2)设g(x)＝x－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0，1]使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．

1－a

13．已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．

x

(1)当a＝1时，证明：f(x)≤－2；

21

(2)设g(x)＝x－2bx＋4，当a＝时，若x1∈(0，2)，x2∈[1，2]，f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．

4

∀∃

1

14．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax．

3

(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；

11

x，2，2

(2)若函数g(x)＝，对x1∈2，x2∈2，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围．

ex

∀∃

1

15．已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．

2

(1)求f(x)的单调区间；

2

(2)设g(x)＝x－2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．

16．函数f(x)＝exsinx，g(x)＝(x＋1)cosx－2ex，其中e是自然对数的底数．

(1)求f(x)的单调区间；

ππ

0，0，

(2)对x1∈2，x2∈2，使f(x1)＋g(x2)≥m成立，求实数m的取值范围．

∀∃

考点四存在任意型

【例题选讲】

lnx＋a

[例15]已知函数f(x)＝，a∈R．

x

(1)求函数f(x)的单调区间；

x

(2)设函数g(x)＝(x－k)e＋k，k∈Z，e＝2.71828…为自然对数的底数．当a＝1时，若x1∈(0，＋∞)，

x2∈(0，＋∞)，不等式5f(x1)＋g(x2)＞0成立，求k的最大值．∃

a1

∀[例16]已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex．

x2

(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；

2

(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．

[例17](2021·天津)已知a＞0，函数f(x)＝ax－xex．

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)证明函数y＝f(x)存在唯一的极值点；

(3)若存在实数a，使得f(x)≤a＋b对任意x∈R成立，求实数b的取值范围．

【对点训练】

1－x

17．已知f(x)＝＋lnx，(a∈R，且a≠0)．

ax

(1)试讨论函数y＝f(x)的单调性；

(2)若∃x0∈(0，＋∞)使得∀x∈(0，＋∞)都有f(x)≥f(x0)恒成立，且f(x0)≥0，求满足条件的实数a的

取值集合．

m－11

18．已知函数f(x)＝x－mlnx－(m∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex．

x2

(1)若m<e＋1，试求f(x)在[1，e]的最小值；

2

(2)当m≤2时，若存在x1∈[e，e]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)≤g(x2)成立，求实数m的取值范

围．

19．已知函数f(x)＝lnx，h(x)＝ax(a∈R)．

(1)若函数f(x)与h(x)的图象无公共点，试求实数a的取值范围；

1

，＋∞mex

(2)是否存在实数m，使得对任意的x∈2，都有函数y＝f(x)＋的图象在g(x)＝的图象的下方？

xx

若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说明理由．

3

参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，e≈1.6487，e≈1.3956．

20．已知向量m＝(ex，lnx＋k)，n＝(1，f(x))，m∥n(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，

f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xexf′(x)．

(1)求k的值及F(x)的单调区间；

2

(2)已知函数g(x)＝－x＋2ax(a为正实数)，若对于任意x2∈[0，1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，

求实数a的取值范围．

考点五双存在型

【例题选讲】

[例18]已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a>0，a≠