高考数学一轮复习 课时规范练39　分组转化法、错位相减法求和（基础版）

课时规范练39分组转化法、错位相减法求和(分值:55分)1.(13分)(2026·福建厦门期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a4=8,S3=12.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn}的前n项和为Tn,且b1b2b3=8,T2=S2,设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Mn.2.(12分)(2024·全国甲,理18)记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn.3.(15分)(2025·河南郑州三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a7=6,S12=45.(1)求an.(2)若数列{bn}满足bn=a①求数列{bn}的前20项和T20;②求数列{bn}的前n项和Tn.4.(15分)(2026·湖南长沙期中)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n+c,其中c为常数.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若数列{an}为等差数列.①若cn=a2n,设dn=15,n=1,2n-1②若数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=an2n,求证:Tn<

参考答案课时规范练39分组转化法、错位相减法求和1.解(1)设等差数列{an}的首项和公差分别为a1,d,因为a4=8,S3=12,所以an=a1+(n-1)d=2n.(2)设等比数列{bn}的首项和公比分别为b1,q,因为b1b2b3=b23=8,可得b2=又因为T2=S2,即a1+a2=b1+b2=6,可得b1=4,q=b2b1=12,则bn=4×12n-1=23-n,可得cn=a所以Mn=Sn+Tn=(2+2n)n2+4×1-(2.解(1)因为4Sn=3an+4,所以4Sn+1=3an+1+4,两式相减,得4an+1=3an+1-3an,即an+1=-3an,又4S1=3a1+4,则a1=4,故数列{an}是首项为4,公比为-3的等比数列,则an=4×(-3)n-1.(2)bn=(-1)n-1nan=4n·3n-1,所以Tn=4(1×30+2×31+3×32+…+n·3n-1).3Tn=4(1×31+2×32+3×33+…+n·3n),两式相减,得-2Tn=4(1+31+32+…+3n-1-n·3n)=4(1-3n1-3-n·3n)=(2-4n所以Tn=(2n-1)3n+1.3.解(1)设等差数列{an}的公差为d,由a3+a7=6,S12=45,得2a1所以an=1+(n-1)×12(2)①因为an+an+2=n+12+n+32=n+故T20=b1+b2+b3+…+b20=(b1+b3+…+b19)+(b2+b4+…+b20)=(3+5+…+21)+(22+23+…+211)=(3+21)×102+②当n为偶数时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=(3+5+…+n+1)+(22+23+…+2n+22)=(当n为奇数时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn-1)=(3+5+…+n+2)+(22+23+…+2n+12)=(故Tn=n4.(1)解由已知得当n=1时,S1=a1=3+c;当n≥2时,由Sn=n2+2n+c,得Sn-1=(n-1)2+2(n-1)+c,所以an=Sn-Sn-1=2n+1.当n=1时,2×1+1=3,所以当c=0时,an=2n+1,当c≠0时,an=2(2)①解由数列{an}为等差数列,所以an=2n+1,所以a2=2×2+1=5,所以cn=a2n=5n,故当n≥2时,有dn=2n-15n-1·5n=2故dn=15×(225)n-易知数列{dn}是等比数列,所以Hn=15×[1-(225)

n②证明由于bn=an所以Tn=3×12+5×(12)2+7×(12)3+…+(2n-1)×(12)n-1+(2n+1)×(12)n于是12Tn=3×(12)2+5×(12)3+7×(12)4+…+(2n-1)×(12)n+(2n+1)×(12)n+(ⅰ)-(ⅱ)得12Tn