2026年四川省人教版高中数学必修第十册数列习题集

2026年四川省人教版高中数学必修第十册数列习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系b_n=b_{n-1}+2n，逐步计算b_2=b_1+4=5，b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。选项均错误，需重新计算递推公式：b_n=b_{n-1}+2n，变形为b_n-b_{n-1}=2n，累加b_2-b_1=4，b_3-b_2=6，…，b_n-b_{n-1}=2n，得b_n-b_1=4+6+…+2n=2(1+2+…+(n-1))=n(n-1)，故b_n=n(n-1)+1，b_6=6×5+1=31。选项均错误，需修正题目。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则c_4等于（）A.8B.7C.6D.5解析：由数列前n项和公式S_n=2^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故c_4=2^3=8。选项A正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3等于（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和公式T_n=n^2+n，得e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_3=2×3=6。选项均错误，需重新计算T_n=n^2+n，e_n=T_n-T_{n-1}=2n-1，e_3=5。选项均错误，需修正题目。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5等于（）A.31B.32C.33D.34解析：根据递推关系f_n+1=2f_n+1，逐步计算f_2=2×2+1=5，f_3=2×5+1=11，f_4=2×11+1=23，f_5=2×23+1=47。选项均错误，需重新计算递推公式：f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1-1=2(f_n-1)，设g_n=f_n-1，则g_n+1=2g_n，为等比数列，首项g_1=f_1-1=1，公比q=2，故g_n=2^{n-1}，f_n=g_n+1=2^{n-1}+1，f_5=2^4+1=17。选项均错误，需修正题目。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，得2a_5=18，a_5=9，又a_5+a_9=2a_7，故a_5+a_9=2×(a_3+5d)=2×(9+2d)=18+4d，但无法确定d，需重新计算。由a_3+a_7=18，得a_3+a_3+4d=18，2a_3+4d=18，a_3+2d=9，故a_5+a_9=(a_3+2d)+(a_3+6d)=2a_3+8d=2×9=18。选项均错误，需修正题目。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_4等于（）A.26B.27C.28D.29解析：由数列前n项和公式S_n=3^n-1，得h_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，故h_4=2×3^3=54。选项均错误，需重新计算S_n=3^n-1，h_n=S_n-S_{n-1}=2×3^{n-1}，h_4=18。选项均错误，需修正题目。9.在等比数列{p_n}中，若p_2=4，p_3=16，则该数列的前4项和S_4等于（）A.20B.24C.28D.32解析：由等比数列性质p_3=p_2q=16，得q=4，又p_1=p_2/q=1，故S_4=p_1(1+q+q^2+q^3)=1×(1+4+16+64)=85。选项均错误，需重新计算p_2=4，p_3=16，得q=4，p_1=1，S_4=1+4+16+64=85。选项均错误，需修正题目。10.若数列{q_n}满足q_1=1，q_n+1=3q_n（n≥1），则q_5等于（）A.81B.243C.244D.245解析：根据递推关系q_n+1=3q_n，为等比数列，首项q_1=1，公比q=3，故q_n=3^{n-1}，q_5=3^4=81。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由a_n=a_1+(n-1)d，得a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得5d=15，d=3。参考答案：32.等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，则该数列的公比q等于______。解：由b_n=b_1q^{n-1}，得b_4=2q^3=32，解得q=4。参考答案：43.数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_3等于______。解：由c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故c_3=6。参考答案：64.数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1（n≥1），则d_4等于______。解：设g_n=d_n-1，则g_n+1=2g_n，为等比数列，首项g_1=0，公比q=2，故g_n=2^{n-2}，d_n=g_n+1=2^{n-2}+1，d_4=5。参考答案：55.等差数列{e_n}中，若a_1=1，a_5=17，则该数列的前10项和S_10等于______。解：由a_n=a_1+(n-1)d，得a_5=1+4d=17，解得d=4，S_10=10×1+10×9×4/2=220。参考答案：2206.等比数列{f_n}中，若f_1=3，f_6=729，则该数列的公比q等于______。解：由f_n=f_1q^{n-1}，得f_6=3q^5=729，解得q=3。参考答案：37.数列{g_n}的前n项和T_n=2^n-1，则g_4等于______。解：由g_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故g_4=8。参考答案：88.等差数列{h_n}中，若a_3+a_9=20，则a_5+a_7等于______。解：由a_n=a_1+(n-1)d，得a_3+a_9=2a_1+11d=20，故a_5+a_7=2a_1+12d=20+2d，但无法确定d，需重新计算。由a_3+a_9=20，得a_3+a_3+6d=20，2a_3+6d=20，a_3+3d=10，故a_5+a_7=(a_3+2d)+(a_3+4d)=2a_3+6d=20。参考答案：209.数列{i_n}满足i_1=2，i_n+1=3i_n（n≥1），则i_5等于______。解：根据递推关系i_n+1=3i_n，为等比数列，首项i_1=2，公比q=3，故i_n=2×3^{n-1}，i_5=48。参考答案：4810.等比数列{j_n}中，若j_2=6，j_3=24，则该数列的前5项和S_5等于______。解：由j_n=j_1q^{n-1}，得j_2=j_1q=6，j_3=j_1q^2=24，联立解得q=4，j_1=3/2，S_5=3/2×(1+4+16+64+256)=3/2×341=511.5。参考答案：511.5三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=2，则a_10=25。解：由a_n=a_1+(n-1)d，得a_10=5+9×2=23，故错误。参考答案：×2.等比数列{b_n}中，若b_1=1，q=2，则b_5=16。解：由b_n=b_1q^{n-1}，得b_5=1×2^4=16，故正确。参考答案：√3.数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_n=2n。解：由c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故正确。参考答案：√4.数列{d_n}满足d_1=3，d_n+1=2d_n（n≥1），则d_4=24。解：根据递推关系d_n+1=2d_n，为等比数列，首项d_1=3，公比q=2，故d_n=3×2^{n-1}，d_4=3×2^3=24，故正确。参考答案：√5.等差数列{e_n}中，若a_3+a_7=20，则a_5+a_9=24。解：由a_3+a_7=2a_5，得2a_5=20，a_5=10，又a_5+a_9=2a_7，故a_5+a_9=2×(a_3+4d)=20+8d，但无法确定d，需重新计算。由a_3+a_7=20，得a_3+a_3+4d=20，2a_3+4d=20，a_3+2d=10，故a_5+a_9=(a_3+2d)+(a_3+6d)=2a_3+8d=20+4d，无法确定，故错误。参考答案：×6.等比数列{f_n}中，若f_2=4，f_4=16，则f_3=8。解：由f_n=f_1q^{n-1}，得f_2=f_1q=4，f_4=f_1q^3=16，联立解得q=2，f_1=2，故f_3=f_1q^2=8，故正确。参考答案：√7.数列{g_n}的前n项和T_n=2^n-1，则g_n=2^{n-1}。解：由g_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故正确。参考答案：√8.数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=3h_n（n≥1），则h_5=243。解：根据递推关系h_n+1=3h_n，为等比数列，首项h_1=1，公比q=3，故h_n=3^{n-1}，h_5=3^4=81，故错误。参考答案：×9.等差数列{i_n}中，若i_1=0，d=5，则i_10=45。解：由i_n=i_1+(n-1)d，得i_10=0+9×5=45，故正确。参考答案：√10.等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_4=32，则j_3=16。解：由j_n=j_1q^{n-1}，得j_4=2q^3=32，解得q=4，故j_3=2q^2=32，故错误。参考答案：×四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由a_n=a_1+(n-1)d，得a_5=2+4d=14，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.已知等比数列{b_n}中，b_1=3，b_4=81，求该数列的通项公式b_n。解：由b_n=b_1q^{n-1}，得b_4=3q^3=81，解得q=3，故b_n=3×3^{n-1}=3^n。3.数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，求c_5的值。解：由c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故c_5=10。4.数列{d_n}满足d_1=5，d_n+1=2d_n（n≥1），求d_6的值。解：根据递推关系d_n+1=2d_n，为等比数列，首项d_1=5，公比q=2，故d_n=5×2^{n-1}，d_6=5×2^5=160。5.等差数列{e_n}中，若a_3+a_9=22，求a_5+a_7的值。解：由a_n=a_1+(n-1)d，得a_3+a_9=2a_1+11d=22，故a_5+a_7=2a_1+12d=22+2d，但无法确定d，需重新计算。由a_3+a_9=22，得a_3+a_3+6d=22，2a_3+6d=22，a_3+3d=11，故a_5+a_7=(a_3+2d)+(a_3+4d)=2a_3+6d=22。6.等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_3=12，求该数列的公比q。解：由f_n=f_1q^{n-1}，得f_2=f_1q=6，f_3=f_1q^2=12，联立解得q=2，f_1=3。7.数列{g_n}的前n项和T_n=3^n-1，求g_4的值。解：由g_n=T_n-T_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，故g_4=2×3^3=54。8.数列{h_n}满足h_1=2，h_n+1=3h_n（n≥1），求该数列的前5项和S_5。解：根据递推关系h_n+1=3h_n，为等比数列，首项h_1=2，公比q=3，故h_n=2×3^{n-1}，S_5=2×(1+3+9+27+81)=242。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，已知第一年生产设备50台，求第8年生产的设备数量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=50，d=10，得a_8=50+7×10=120台。2.某城市人口每年增长率为5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列{b_n}中，b_1=100，q=1.05，得b_5=100×1.05^4≈121.55万。3.某企业投资额每年增长20%，已知第一年投资额为100万元，求第5年的投资额。解：由等比数列{c_n}中，c_1=100，q=1.2，得c_5=100×1.2^4≈207.36万元。4.某学生每天坚持背单词，第一天背10个，以后每天比前一天多背5个，求第20天背的单词数量。解：由等差数列{d_n}中，d_1=10，d=5，得d_20=10+19×5=105个。5.某产品价格每年下降10%，已知2020年价格为100元，求2024年的价格。解：由等比数列{e_n}中，e_1=100，q=0.9，得e_4=100×0.9^3≈72.9元。6.某林场种树，第一年种了100棵，以后每年比前一年多种50棵，求第10年种的树的数量。解：由等差数列{f_n}中，f_1=100，d=50，得f_10=100+9×50=550棵。7.某公司员工工资每年上涨15%，已知2020年工资为5000元，求2026年的工资。解：由等比数列{g_n}中，g_1=5000，q=1.15，得g_6=5000×1.15^5≈10208.06元。8.某城市道路建设，第一年修路20公里，以后每年比前一年多修5公里，求第15年修的路程。解：由等差数列{h_n}中，h_1=20，d=5，得h_15=20+14×5=90公里。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.无正确选项（需修正题目）3.C4.A5.无正确选项（需修正题目）6.无正确选项（需修正题目）7.无正确选项（需修正题目）8.无正确选项（需修正题目）9.无正确选项（需修正题目）10.A二、填空题1.32.43.64.55.2206.37.88.209.4810.511.5三、判断题1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.×四、简答题1.a_n=3n-12.b_n=3^n3.c_5=104.d_6=1605.a_5+a_7=226.q=27.g_4=548.S_5=242五、应用题1.120台2.121.55万3.207.36万元4.105个5.72.9元6.550棵7.10208.06元8.90公里【解析】一、单项选择题1.由a_n=a_1+(n-1)d，a_5=3+4d=9，解得d=3/2，a_n=3/2n+3/2。2.根据递推关系q_n+1=3q_n，为等比数列，首项q_1=1，公比q=3，故q_n=3^{n-1}，q_5=3^4=81。3.由S_n=n^2+n，得c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故c_4=8。4.由a_3+a_7=18，得a_3+a_3+4d=18，2a_3+4d=18，a_3+2d=9，故a_5+a_7=2a_3+6d=18+2d，但无法确定d，需重新计算。由a_3+a_7=18，得a_3+a_3+4d=18，2a_3+4d=18，a_3+2d=9，故a_5+a_7=(a_3+2d)+(a_3+4d)=2a_3+6d=18。5.由S_n=2^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故c_4=8。6.根据递推关系q_n+1=3q_n，为等比数列，首项q_1=2，公比q=3，故q_n=2×3^{n-1}，q_5=48。7.由f_2=6，f_3=24，得f_n=f_1q^{n-1}，f_2=f_1q=6，f_3=f_1q^2=24，联立解得q=4，f_1=3/2，S_5=3/2×(1+4+16+64+256)=3/2×341=511.5。8.由S_n=n^2+n，得c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故c_4=8。二、填空题1.由a_n=a_1+(n-1)d，a_5=10，a_10=25，联立解得d=3/2，a_n=3/2n+3/2。2.由b_n=b_1q^{n-1}，b_4=32，b_1=2，得q=4，b_n=2×4^{n-1}=2^{n+1}。3.由S_n=n^2+n，得c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故c_3=6。4.根据递推关系q_n+1=3q_n，为等比数列，首项q_1=3，公比q=3，故q_n=3×3^{n-1}=3^n，q_5=243。5.由a_3+a_9=20，得a_3+a_3+6d=20，2a_3+6d=20，a_3+3d=10，故a_5+a_7=2a_3+6d=20。6.由f_2=6，f_3=24，得f_n=f_1q^{n-1}，f_2=f_1q=6，f_3=f_1q^2=24，联立解得q=4，f_1=3/2，S_5=3/2×(1+4+16+64+256)=3/2×341=511.5。7.由S_n=2^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故c_4=8。8.根据递推关系q_n+1=3q_n，为等比数列，首项q_1=2，公比q=3，故q_n=2×3^{n-1}，q_5=48。三、判断题1.由a_n=a_1+(n-1)d，a_1=5，d=2，得a_10=5+9×2=23，故错误。2.由b_n=b_1q^{n-1}，b_1=1，q=2，得b_5=1×2^4=16，故正确。3.由S_n=n^2+n，得c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故正确。4.根据递推关系q_n+1=3q_n，为等比数列，首项q_1=1，公比q=3，故q_n=3^{n-1}，q_5=3^4=81，故错误。5.由a_3+a_9=20，得a_3+a_3+6d=20，2a_3+6d=20，a_3+3d=10，故a_5+a_7=2a_3+6d=20。6.由f_n=f_1q^{n-1}，f_2=f_1q=6，f_4=f_1q^3=16，联立解得q=2，f_1=3，故f_3=3×2^2=12，故正确。7.由S_n=2^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故正确。8.根据递推关系q_n+1=3q_n，为等比数列，首项q_1=2，公比q=3，故q_n=2×3^{n-1}，q_5=48，故错误。四、简答题1.由a_n=a_1+(n-1)d