2026年云南省部编版高中数学选修第四册第5章同步练习题

2026年云南省部编版高中数学选修第四册第5章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第四册第5章中，函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）A．πB．2πC．π/2D．4π解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可化简为√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π，故选B。周期性质是本章重点，需掌握sin(ax+b)和cos(ax+b)的周期公式。2.若复数z=1+i满足|z-a|=1，则实数a的取值范围是（）A．{0}B．{1}C．{2}D．{0,2}解析：由|z-a|=1得|1+i-a|=1，即(a-1)²+1=1，解得a=0，故选A。复数模的几何意义是本章核心，需结合复平面理解。3.在选修第四册第5章中，若向量a=(1,k)，b=(2,3)，且a⊥b，则实数k的值为（）A．-6B．6C．-2D．2解析：由a⊥b得a•b=0，即1×2+k×3=0，解得k=-2，故选C。向量垂直条件是本章基础考点，需掌握数量积运算。4.已知函数f(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极值，且f(1)=2，则b的值为（）A．1B．-1C．3D．-3解析：由f'(1)=0得2a+b=0，又f(1)=a+b+c=2，联立解得b=-3，故选D。导数极值问题是本章难点，需熟练应用求导法则。5.在选修第四册第5章中，若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_3=9，S_6=27，则a_9的值为（）A．9B．12C．15D．18解析：由S_3=9，S_6=27得a_4+a_5+a_6=18，又a_4+a_5+a_6=3a_5，故a_5=6，进而a_9=a_5+4d=12，故选B。数列求和公式是本章重点，需掌握S_n与a_n的关系。6.已知函数f(x)=e^x-x在区间(0,1)上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．k>1B．k<1C．k≥1D．k≤1解析：f'(x)=e^x-1，由f'(x)>0得x>0，故在(0,1)上单调递增，需满足k≤1，故选D。导数单调性是本章核心，需区分严格单调与单调不减。7.在选修第四册第5章中，若圆(x-1)²+(y+2)²=r²与直线y=x+1相切，则圆的半径r的值为（）A．√2B．2C．√5D．3解析：圆心(1,-2)到直线y=x+1的距离d=|1-(-2)-1|/√2=√2，故r=√2，故选A。直线与圆位置关系是本章基础，需掌握点到直线距离公式。8.已知函数f(x)=log_a(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．(0,1)∪(1,2)解析：x²-2x+3在(1,+∞)上单调递增，且恒大于0，若f(x)单调递增，需a>1，故选B。对数函数单调性是本章重点，需结合复合函数性质分析。9.在选修第四册第5章中，若函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小值为k，则k的值为（）A．-√2B．-1C．√2D．1解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，其最小值为-√2，故选A。三角函数最值问题是本章难点，需掌握辅助角公式和正弦型函数性质。10.已知函数f(x)=x³-3x+1，则方程f(x)=0在区间(-2,-1)上的实根个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(-2)=11，f'(-1)=-1，由零点定理知存在唯一实根，故选B。函数零点存在性是本章核心，需掌握导数与单调性关系。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=2-3i的模为|z|，则|z|²的值为________。参考答案：13解析：|z|²=(2)²+(-3)²=13。复数模是本章基础，需掌握模的运算性质。2.已知向量a=(3,-1)，b=(-2,k)，且a⊥b，则向量b的坐标为________。参考答案：(-2,6)解析：a•b=3×(-2)+(-1)×k=0，解得k=6，故b=(-2,6)。向量垂直条件是本章重点。3.函数f(x)=x²-4x+3的图像的对称轴方程为________。参考答案：x=2解析：对称轴x=-b/2a=-(-4)/(2×1)=2。二次函数图像性质是本章基础。4.等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，q=2，则S_4的值为________。参考答案：15解析：S_4=a_1(1-q⁴)/(1-q)=1×(1-16)/(-1)=15。等比数列求和是本章重点。5.已知圆(x-1)²+(y-3)²=4的圆心到原点的距离为________。参考答案：√10解析：圆心(1,3)到原点的距离为√(1²+3²)=√10。圆的基本性质是本章基础。6.函数f(x)=e^x-1在区间(0,1)上的平均值等于________。参考答案：e-1解析：平均值=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-0)/1=e-1。函数平均值是本章拓展内容。7.已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π。三角函数周期是本章基础。8.若向量a=(1,2)，b=(k,1)，且|a+b|=√5，则实数k的值为________。参考答案：1解析：a+b=(1+k,3)，|a+b|²=(1+k)²+3²=5，解得k=1。向量模运算需掌握。9.已知函数f(x)=log_2(x²-x+1)在(0,+∞)上单调递增，则x的取值范围是________。参考答案：(1,+∞)解析：x²-x+1在(0,+∞)上单调递增，且恒大于0，需x>1/2，结合复合函数性质得x>1。对数函数单调性需综合分析。10.已知函数f(x)=x³-3x+1，则方程f(x)=0在区间(1,2)上的实根个数为________。参考答案：1解析：f'(x)=3x²-3，在(1,2)上f'(x)>0，函数单调递增，且f(1)=-1，f(2)=2，由零点定理知存在唯一实根。函数零点问题需结合导数分析。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z₁=a+bi，z₂=c+di，则|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|。（×）解析：向量模的三角不等式成立，但一般不等于和，需a,b,c,d满足特定条件。复数模运算需掌握基本性质。2.若向量a=(1,k)，b=(2,3)，且a//b，则k=6。（×）解析：向量平行需a=λb，即1=2λ，k=3λ，解得λ=1/2，k=3/2。向量平行条件是本章基础。3.函数f(x)=x²-4x+3的图像开口向上，故在R上单调递增。（×）解析：函数在顶点左侧单调递减，右侧单调递增，整体非单调。二次函数单调性需结合导数分析。4.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=27，则{a_n}是等比数列。（×）解析：S_3=3a₁+3d=9，S_6=6a₁+15d=27，解得a₁=3，d=2，但{a_n}=3+2(n-1)非等比数列。数列性质需严格区分。5.已知圆(x-1)²+(y-2)²=r²与直线y=x相切，则圆的半径r=√2。（√）解析：圆心(1,2)到直线y=x的距离d=|1-2|/√2=√2，故r=√2。直线与圆位置关系是本章基础。6.函数f(x)=log_a(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a>1。（√）解析：x²-2x+3在(1,+∞)上单调递增，且恒大于0，若f(x)单调递增，需a>1。对数函数单调性需综合分析。7.已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小值为-√2。（√）解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，其最小值为-√2。三角函数最值问题是本章难点。8.函数f(x)=x³-3x+1在区间(-2,-1)上存在唯一实根。（√）解析：f'(-2)=11，f'(-1)=-1，由零点定理知存在唯一实根。函数零点存在性是本章核心。9.若向量a=(1,2)，b=(k,1)，且|a+b|=√5，则向量a与b的夹角为90°。（×）解析：|a+b|²=5，但a•b=1×k+2×1=k+2，不一定为0，需k=-2时才垂直。向量垂直条件需严格验证。10.已知函数f(x)=log_2(x²-x+1)在(0,+∞)上单调递增，则x的取值范围是(0,+∞)。（×）解析：x²-x+1在(0,+∞)上单调递增，且恒大于0，需x>1/2，结合复合函数性质得x>1。对数函数单调性需综合分析。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知复数z=1+i，求z²的值。参考答案：2i解析：z²=(1+i)²=1+2i+i²=2i。复数乘法需掌握分配律和i²=-1。2.求函数f(x)=x²-4x+3的单调递增区间。参考答案：(2,+∞)解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)>0得x>2，故单调递增区间为(2,+∞)。导数法是本章核心。3.求数列{a_n}的前n项和S_n，其中a_n=2n-1。参考答案：n²解析：数列为等差数列，a₁=1，d=2，S_n=n/2[2a₁+(n-1)d]=n²。数列求和公式需熟练掌握。4.求圆(x-1)²+(y+2)²=4的圆心坐标和半径。参考答案：圆心(1,-2)，半径2解析：标准方程可直接读出圆心和半径。圆的基本性质是本章基础。5.求函数f(x)=e^x-1在区间(0,1)上的平均值。参考答案：e-1解析：平均值=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-0)/1=e-1。函数平均值是本章拓展内容。6.求函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期。参考答案：2π解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π。三角函数周期是本章基础。7.求向量a=(3,-1)和b=(-2,4)的夹角余弦值。参考答案：-2/√26解析：cosθ=(a•b)/(|a||b|)=(3×(-2)+(-1)×4)/[√(3²+(-1)²)×√((-2)²+4²)]=-2/√26。向量夹角公式需严格掌握。8.求函数f(x)=log_2(x²-x+1)在(0,+∞)上的单调性。参考答案：单调递增解析：x²-x+1在(0,+∞)上单调递增，且恒大于0，若f(x)单调递增，需a>1，故单调递增。对数函数单调性需综合分析。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-i，求z₁z₂的值。参考答案：5+5i解析：z₁z₂=(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i²=5+5i。复数乘法需掌握分配律和i²=-1。2.已知向量a=(1,2)，b=(3,k)，且a⊥b，求实数k的值。参考答案：k=-3解析：a•b=1×3+2×k=0，解得k=-3。向量垂直条件是本章基础。3.已知函数f(x)=x²-4x+3，求其图像的顶点坐标和对称轴方程。参考答案：顶点(2,-1)，对称轴x=2解析：顶点x=-b/2a=-(-4)/(2×1)=2，y=f(2)=-1。二次函数图像性质是本章基础。4.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，求a_3的值。参考答案：a_3=5解析：S_5=5/2[2a₁+4d]=25，解得a₁+2d=5，故a_3=a₁+2d=5。数列求和公式需熟练掌握。5.已知圆(x-1)²+(y+2)²=4与直线y=x相切，求圆心到直线的距离。参考答案：√2解析：圆心(1,-2)到直线y=x的距离d=|1-(-2)|/√2=√2。直线与圆位置关系是本章基础。6.已知函数f(x)=e^x-1在区间(0,1)上的平均值等于2，求实数a的值。参考答案：a=1解析：平均值=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-0)/1=e-1，若等于2，需e-1=2，解得a=1。函数平均值是本章拓展内容。7.已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小值为-√2，求其图像的对称中心。参考答案：(π/4,0)解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，最小值-√2在x=3π/4处取得，对称中心为(π/4,0)。三角函数图像性质是本章难点。8.已知函数f(x)=x³-3x+1在区间(1,2)上存在唯一实根，求f'(x)的符号。参考答案：f'(x)>0解析：f'(x)=3x²-3，在(1,2)上x²>1，故3x²-3>0，函数单调递增。函数零点问题需结合导数分析。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.D4.D5.B6.D7.A8.B9.A10.B解析：1.周期公式T=2π/|ω|，sin(x)+cos(x)的ω=1，T=2π。2.复数模|z-a|=1表示以a为圆心，半径为1的圆，a=0时z在实轴上。3.向量垂直条件a•b=0，即3×2+(-1)×k=0。4.极值点处导数为0，f'(x)=2ax+b，x=1时2a+b=0。5.等差数列求和公式S_n=na₁+n(n-1)d/2，联立S_3和S_6解出a₁和d。6.导数f'(x)=e^x-1，f'(x)>0需x>0。7.圆心到直线距离等于半径，d=|1-2|/√2=√2。8.对数函数单调性需复合函数性质，x²-2x+3在(0,+∞)上单调递增，且恒大于0，若f(x)单调递增，需a>1。9.三角函数最值问题，f(x)=√2sin(x+π/4)，最小值为-√2。10.函数零点存在性，f'(x)=3x²-3，在(1,2)上f'(x)>0，函数单调递增，且f(1)=-1，f(2)=2，由零点定理知存在唯一实根。二、填空题1.132.(-2,6)3.x=24.155.√106.e-17.2π8.19.(1,+∞)10.1解析：1.复数模平方|z|²=a²+b²=2²+(-3)²=13。2.向量垂直条件a•b=0，即3×(-2)+(-1)×k=0，解得k=6。3.二次函数对称轴x=-b/2a=-(-4)/(2×1)=2。4.等比数列求和公式S_n=a₁(1-qⁿ)/(1-q)，S_4=1×(1-2⁴)/(-1)=15。5.圆心(1,3)到原点的距离√(1²+3²)=√10。6.函数平均值=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-0)/1=e-1。7.三角函数周期公式T=2π/|ω|，sin(x)+cos(x)的ω=1，T=2π。8.向量模平方|a+b|²=(1+k)²+3²=5，解得k=1。9.对数函数单调性需复合函数性质，x²-x+1在(0,+∞)上单调递增，且恒大于0，若f(x)单调递增，需a>1。10.函数零点存在性，f'(x)=3x²-3，在(1,2)上f'(x)>0，函数单调递增，且f(1)=-1，f(2)=2，由零点定理知存在唯一实根。三、判断题1.×2.×3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.×解析：1.复数模三角不等式|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|，一般不等于。2.向量平行需a=λb，即1=2λ，k=3λ，解得λ=1/2，k=3/2。3.二次函数在顶点左侧单调递减，右侧单调递增，整体非单调。4.等差数列{a_n}=3+2(n-1)非等比数列。5.圆心到直线距离等于半径，d=|1-2|/√2=√2。6.对数函数单调性需复合函数性质，x²-x+1在(0,+∞)上单调递增，且恒大于0，若f(x)单调递增，需a>1。7.三角函数最值问题，f(x)=√2sin(x+π/4)，最小值为-√2。8.函数零点存在性，f'(x)=3x²-3，在(-2,-1)上f'(x)>0，函数单调递增，且f(-2)=11，f(-1)=-1，由零点定理知存在唯一实根。9.向量垂直条件a•b=0，不一定为0，需k=-2时才垂直。10.对数函数单调性需复合函数性质，x²-x+1在(0,+∞)上单调递增，且恒大于0，若f(x)单调递增，需a>1。四、简答题1.2i解析：z²=(1+i)²=1+2i+i²=2i。复数乘法需掌握分配律和i²=-1。2.(2,+∞)解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)>0得x>2，故单调递增区间为(2,+∞)。导数法是本章核心。3.n²解析：数列为等差数列，a₁=1，d=2，S_n=n/2[2a₁+(n-1)d]=n²。数列求和公式需熟练掌握。4.(1,-2)，2解析：标准方程可直接读出圆心和半径。圆的基本性质是本章基础。5.e-1解析：平均值=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e-1-